决战2020年中考数学压轴题综合提升训练：《三角形》(解析版)

1、决战2020中考数学压轴题综合提升训练:三角形1.已知， ABC是等边三角形，过点 C作CD /AB,且CD=AB,连接BD交AC于点O.(1)如图1,求证：AC垂直平分BD;(2)如图2,点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND = NM ,连接BN.求证：NB=NM.(1)证明： ABC是等边三角形， . / ABC = / ACB = / CAB = 60 ,CD / AB,且 CD =AB,. CD = CA=BC, /ACD=/ACB = 60 ,. BO = DO , CO ±BD,. AC垂直平分BD;(2)由(1)知AC垂直平分BD, .NB=ND,. ND =

2、 NM , .NB=NM .2.等腰RtABC,点D为斜边AB上的中点，点 E在线段BD上，连结CD, CE,作AHXCE,垂足为H,交CD于点G, AH的延长线交 BC于点F.(1)求证： ADG ACDE.(2)若点H恰好为CE的中点，求证：*/CGF=/CFG.证明：(1)在等腰RtAABC中， 点D为斜边AB上的中点，.-.CD=yAB, CD LAB,. AD=-AB,. AD = CD ,. CD LAB, ./ ADG =Z CDE= 90 ,. AHXCE, ./ CGH + /GCH=90 , . / AGD +/ GAD =90 ,又 / AGD =Z CGH , ./ G

3、AD =/ GCH ,在4 ADG和 CDE中. / ADG =/CDE= 90 , AD = CD, / GAD = / GCH . ADG ACDE (ASA),(2) AH，CE,点H为CE的中点，. AC =AE, ./ CAH =Z EAH, . / CAH+/AFC = 90/ EAH+ Z AGD =90 , ./ AFC = Z AGD ,. Z AGD =/CGH , . / AFC = / CGH ,即/ CGF = Z CFG.3.如图，在 ABC中,AD，BC且BD= DE, EF垂直平分 AC,交AC于点F,交BC于点E.(1)若/ BAE=32 ,求/ C的度数；(

4、2)若 AC = 6cm , DC = 5cm ,求 ABC 的周长.解：(1) . ADXBC, BD=DE, EF垂直平分 AC. AB = AE=EC.-Z C = Z CAE , / BAE= 32 ./ AED = y (180 ° - 32 ° ) =74 b-l./ C=-/ AED=37 ;(2)由(1)知：AE=EC=AB,.BD=DE,.AB+BD=EC+DE = DC , .ABC 的周长=AB + BC+AC ,= AB+BD+DC+AC ,= 2DC + AC =2X5+6 = 16 (cm).4.如图，在 ABC中，/ BAC和/ABC的平分线相

5、交于点 O,过点O作EF/ AB交BC 于F,交AC于E,过点O作OD，BC于D.(1)求证：/ AOB = 90 +yZC;(2)求证：AE+BF= EF;(3)若OD = a, CE+CF=2b,请用含a, b的代数式表示 CEF的面积，SA cef= ab(直接写出结果)1800 -yZCOB-y/ABC = ui证明：(1) . OA , OB 平分 / BAC 和 / ABC,/ AOB = 180 人 OAB / OBA =1加'-/邺。)= L8Q& -irdSO4 -/C)(2) EF/ AB,/ OAB = / AOE, / ABO = / BOF又/ OAB

6、 = / EAO, / OBA = / OBF,/ AOE = / EAO , / BOF= / OBF,. AE=OE, BF= OF,.EF= OE+OF = AE+BF;(3)二点O在Z ACB的平分线上,，点O到AC的距离等于OD ,Sa cef=1(CE+CF)?OD 得?2b?a = ab ,故答案为：ab .5.如图，在 ABC中，AB = AC , AD为BC边上的中线，DE±AB于点E.(1)求证：BD?AD = DE?AC .(2)若AB=13, BC = 10,求线段 DE的长.(3)在(2)的条件下，求 cos / BDE的值.证明：(1) . AB=AC ,

7、 BD=CD,. ADXBC, / B= / C,.DE± AB, ./ DEB= Z ADC ,BDEsACAD .BD AC LU. BA?AD=DE?CA;(2) . AB= AC, BD = CD ,.ADXBC,在 RtAADB 中，AD = VAB2 -BD 2=V 132 -5 2= 12,. !?AD?BD=!?AB? DE,22(3) ./ ADB=Z AED = 90cos ZBDE=cos / BAD =AD 126.如图，在 ABC中，AB=AC ,以AB为直径作半圆 O ,交BC于点D,交AC于点E.(1)求证：BD=CD.(2)若弧DE=50 ,求/ C的

8、度数.(3)过点D作DFLAB于点F,若BC = 8, AF=3BF,求弧BD的长.A(1)证明：如图，连接.AB是圆O的直径,. ADXBD.又 AB = AC , . BD=CD.(2)解：二弧 DE= 50 ./ EOD = 50 . ./ DAE = 4/DOE = 25 . Ib-I 由(1)知，AD，BD,则/ ADB=90。，ABD= 90° - 25 = 65 . AB = AC , ./ C = ZABD = 65 .(3) BC= 8, BD=CD ,BD=4.设半径OD =x.则AB=2x.BF=1 -rAB= 4 _3由 AF=3BF可得 AF=-rAB=&q

9、uot;：rx,42. ADXBD, DFXAB, 2 一 21 . BD =BF?AB,即 4 =x?2x.解得x=4. OB = OD =BD=4, .OBD是等边三角形, ./ BOD = 6060兀X4 4兀弧BD的长是:亘CD1807.阅读下面材料:数学课上，老师给出了如下问题:如图，AD为AABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F, AE= EF.求证：AC = BF.经过讨论，同学们得到以下两种思路:思路一如图，添加辅助线后依据 SAS可证得 ADC AGDB,再利用AE=EF可以进步证得/ G = Z FAE=/ AFE=/ BFG,从而证明结论.G图思路二如图，添加辅助线后

10、并利用AE=EF可证得/ G = Z BFG=/AFE=/ FAE,再依据AAS可以进一步证得 ADC GDB ,从而证明结论.VG图完成下面问题：(1)思路-的辅助线的作法是：延长AD至点G ,使DG = AD ,连接BG ;思路二的辅助线的作法是：作BG = BF交AD的延长线于点 G .(2)请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法(要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程)解：(1)延长AD至点G,使DG =AD ,连接BG,如图，理由如下： . AD为 ABC中线，. BD=CD,rAD=CD在4ADC 和4GDB 中，彳 /ADO/GDB , ,CD=ED .

11、ADCGDB (SAS),. AC = BG,. AE= EF, ./ CAD =Z EFA,. / BFG=Z G, / G = Z CAD ,. . / G = / BFG,. BG = BF,. AC = BF.故答案为：延长 AD至点G ,使DG =AD ,连接BG；作BG=BF交AD的延长线于点 G,如图.理由如下：. BG = BF, ./ G = Z JBFG,-.AE= EF,/ EAF= / EFA,. / EFA= / BFG,.Z G = Z EAF,r ZCAD=ZG在ADC 和4GDB 中， /ADO/GDB, lcD=ED. .ADCGDB (AAS),. AC =

12、 BG,. AC = BF;故答案为：作 BG=BF交AD的延长线于点 G;(2)作BG / AC交AD的延长线于 G,如图所示:则/ G = / CAD ,.AD为 ABC中线， .BD=CD, f ZCAD=ZG在ADC 和4GDB 中， /ADO/GDB, lcD=BD .ADCGDB (AAS),. AC = BG, .AE= EF, ./ CAD =Z EFA,. / BFG=Z G, / G = Z CAD ,. . / G = / BFG, .BG = BF,. AC = BF.8.如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分/ AOB交AB于点C,点 D为线段AB上

13、一点，过点D作DE/ OC交y轴于点E,已知AO = m , BO = n,且m、 n 满足 n2 - 8n+16+| n - 2m | = 0 .(1)求A、B两点的坐标；(2)若点D为AB中点，求OE的长；(3)如图2,若点P (x, -2x+4)为直线AB在x轴下方的一点，点 E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角 PEF,使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标图1解：(1) n2- 8n+16+| n - 2m| =0,(n - 4) 2+| n - 2m| =0, ( n - 4) 2>0, | n - 2m| >0,(n - 4) 2= 0, | n - 2m

14、| =0,1. m =2, n =4, 点 A 为(2, 0),点 B为(0, 4);(2)延长DE交x轴于点F,延长FD到点G,使得DG = DF,连接BG,设 OE = x,. OC 平分/ AOB, ./ BOC =/ AOC =45 , DE/ OC,/ EFO= / FEO= / BEG= / BOC = / AOC = 45 ,OE=OF=x,在 ADF和4BDG中，'AD 二EDZADK=ZBDG, 晔DG .ADF-BDG (SAS), .BG=AF=2+x, /G=/AFE=45 ,. G = / BEG =45 ,BG = BE= 4 x,1. 4 - x= 2+x

15、,解得：x= 1 , .OE=1;(3)如图2,分别过点F、P作FMy轴于点M, PNy轴于点N,设点E为(0, m),一点P的坐标为(x, - 2x+4),，PN=x, EN=m+2x-4,/ PE三 90 , ./ PEN+ZFEM=90 ,.FMy 轴, .Z MFE+/ FEM= 90 , ./ PEN= / MFE,在 EFM和 PEN中， rZMFE=ZPEl：+ ZFFE=ZPME, 网二EP . EFM仁 PEN (AAS),.-.ME=NP= x, FM=EN=m+2x- 4,，点 F为(m+2x 4, m + x), F点的横坐标与纵坐标相等，m+2x 4 = m+x,解得

16、：x=4,.二点 P 为(4, - 4).图】9.在等边 ABC中，线段 AM为BC边上的中线.动点 D在直线AM上时，以CD为一 边在CD的下方作等边 CDE ,连结BE.（1）若点D在线段AM上时（如图1）,则AD = BE （填或“=”），/CAM = 30 度;（2）设直线BE与直线AM的交点为O.当动点D在线段AM的延长线上时（如图 2）,试判断AD与BE的数量关系，并说明 理由；当动点D在直线AM上时，试判断/ AOB是否为定值？若是，请直接写出/AOB的度数；若不是，请说明理由.解：（1） ABC与 DEC都是等边三角形. AC = BC, CD=CE, /ACB = /DCE=

17、 60 ./ ACD +/ DCB = Z DCB + Z BCE ./ ACD =Z BCE.在 ADC和BEC中rAC=EC，ZACD=ZBCE,kd=ck . ACD ABCE (SAS),. AD = BE; ABC是等边三角形， ./ BAC = 60 . 线段AM为BC边上的中线 ./ CAM =4-Z BAC , 2 ./ CAM =30 .故答案为：=,30 ;(2)AD = BE,理由如下： ABC和CDE都是等边三角形. AB=BC, DC = EC, /ACB=/DCE = 60 ,. / ACD =/ACB - Z DCB, / BCE = Z DCE - Z DCB,

18、 ./ ACD =Z BCE, .ACD ABCE (SAS).AD = BE./AOB 是定值，/ AOB = 60 ,理由如下：当点D在线段AM上时，如图1,由知 ACDA BCE,则/ CBE=Z CAD =30° ,却又/ ABC = 60 ,/ CBE+ / ABC = 60 ° +30 ° = 90 ABC是等边三角形，线段 AM为BC边上的中线AM平分/ BAC,即/丽.4阵城，BOA = 90 - 30° = 60 ° .当点D在线段AM的延长线上时，如图 2, ABC与乙DEC都是等边三角形 AC = BC, CD=CE, /

19、ACB = /DCE = 60 ./ ACB + Z-DCB = Z DCB+/ DCE ./ ACD =Z BCE在 ACD和ABCE中AC=ECZACD=ZBCE, lcD=CE .ACD ABCE (SAS) ./ CBE=Z CAD =30 ,同理可得：/ BAM = 30 , BOA = 90 - 30° = 60 ° . 0.数学课上，王老师出示了如下框中的题目.小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况 ？探索结论:在等边三角形 ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB 点延长线上，且 ED=EC；如图1,确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出

20、结论 AE= DB ;(2)特例启发，解答题目王老师给出的题目中， AE与DB的大小关系是：AE=DB .理由如下：如图2,过点E作EF/ BC,交AC于点F,（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在4ABC中，AB = BC=AC=1;点E在AB的延长线上， AE=2;点D在CB的延长 线上，ED = EC,如图3,请直接写 CD的长 1或3 .在等边三龟形ABC中，京E在二B ；上，点在CB的延长就上,且EJAEC, ；如图武魂上法段AE与DB的大小关系r ，并兑明理由.i解：（1）如图1 ,过点E作EF/ BC,交AC于点F, ABC为等边三角形,，/AFE= Z ACB =

21、Z ABC = 60 , 4AEF 为等边三角形, ./EFC= /EBD=120 , EF= AE, . ED= EC, ./ EDB= / ECB, / ECB=Z FEC, ./ EDB= / FEC,在 BDE和FEC中, 'NEED :/EFC，ZEDB=ZFEC,;ED=EC .BDEAFEC (AAS), . BD=EF,. AE= BD,故答案为：=;(2-)解答过程如下：如图 2,过点E作EF/ BC,交AC于点F, ABC为等边三角形， . Z AFE= Z ACB = Z ABC = 60 , 4AEF 为等边三角形, .Z EFC=Z EBD=120 , EF=

22、AE, .ED= EC, ./ EDB=Z ECB, Z ECB=Z FEC, ./ EDB=Z FEC,在 BDE和AFEC中rZEED=ZEFC4/EDB=/FEC, ED=ECBDEAFEC (AAS),BD=EF,. AE= BD.故答案为：AE=DB.(3)解：分为四种情况:.B是AE的中点, ABC是等边三角形，. AB = AC = BC= 1 , AACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）， ./ ACE=90 , / AEC = 30 ,. ./D=/ECB= /BEC=30 , / DBE= / ABC =60 , ./DEB= 180 ° -

23、30° -60° =90° ,即 DEB是直角三角形. BD=2BE= 2 （30°所对的直角边等于斜边的一半），即 CD = 1+2 =3.过A作ANBC于N,过E作EMXCD于M,等边三角形 ABC, EC=ED,. BN=CN =TVBC = 772'CM = MD =CD , AN / EM, . BANA BEM,包亚电 MN'ABC 边长是 1, AE=2,工2 MN .MN = 1, .CM =MN -CN = 1 .CD = 2CM = 1;如图5,A. / ECD>Z EBC (Z EBC=120角形内角和定理，而

24、/ ECD不能大于120 ,否则 EDC不符合三，此时不存在EC=ED;又. / ABC = Z ACB = 60 ./ ECD>Z EDC,即此时EDwEC,，此时情况不存在，答：CD的长是3或1 .故答案为：1或3.11 .定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形” .(1)如图1, 4ABC中，AB = AC , ZA = 36° ,求证： ABC是倍角三角形；(2)若 ABC 是倍角三角形，Z A>Z B>Z C, Z B= 30 ° , AC =442,求 ABC面积；(3)如图2, ABC的外角平分线

25、AD与CB的延长线相交于点 D,延长CA到点E,使得AE = AB,若AB+AC = BD,请你找出图中的倍角三角形，并进行证明.(1)证明：AB = AC ,. Z B=Z C, /A+/B+/C = 180 , Z A = 36.B= / C = 72 / A=2/C ,即ABC是倍角三角形，(2)解：./ A>Z B>Z C, / B= 30当/ B=2/C,得/ C=15° ,过C作CH，直线AB,垂足为H,可得/ CAH =45° ,. AH = CH =4 .ABDA AED (SAS), ./ ADE=Z ADB, BD=DE. 又. AB+AC

26、= BD, .AE+AC = BD,即 CE=BD. . CE= DE.C = / BDE= 2/ADC . .ADC是倍角三角形.12.如图，在平面直角坐标系中，OA = OB, AC = CD ,已知两点 A (4, 0), C (0, 7),点D在第一象PM内，/ DCA =90° ,点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线 交于点M , AC与BD交于点N.(1)点B的坐标为：(0, 4) ;(2)求点D的坐标；(3)求证：CM=CN.解：(1) A (4, 0),. OA = OB = 4,B (0, 4), 故答案为：(0, 4).(2) C (0, 7), .OC

27、=7,过点D作DEL y轴，垂足为E, ./ DEC = Z AOC =90 , . / DCA =90 , ./ ECD + Z BCA = Z ECD+Z EDC = 90 ./ BCA = Z EDC, .DECQCOA (AAS), DE= OC = 7, EC=OA=4, .OE=OC+EC=11 ,D (7, 11);(3)证明：. BE= OE- OB=11 -4=7，BE= DE, . DBE是等腰直角三角形， ./ DBE= 45° , - OA =OB, ./ OBA = 45 , .Z DBA= 90 , ./ BAN+/ANB=90 , . / DCA =90

28、 , ./ CDN +/ DNC =90 ,. / DNC =/ANB, ./ CDN =Z BAN, . / DCA =90 , ./ ACM =Z DCN =90 ,DCN AACM (ASA),.CM =CN .13.如图，在 ABC中，BDXAC ,垂足为C,且/ Av/ C,点E是动点，其在BC上移动，连接 DE,并过点E作EF，DE,点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G .(1)请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图.(2)当4ABD 与4FDE全等，且 AD=FE,/A = 30,ZAFD = 40 ,求/ C的度数.(2) DE± EF, BDXAC ,

29、./ DEF= / ADB = 90 . ABD与 DEF全等，. AB=DF,又. AD = FE, ./ ABD = Z FDE, . BD=DE.在 RtABD 中，/ ABD = 90 -Z A = 60° ./ FDE= 60 . . / ABD = Z BDF+Z AFD, . / AFD = 40 , BDF= 20° . ./BDE= /BDF+/FDE= 20° +60 = 80. BD=DE,14 ./ DBE= / BED= 2(180° -Z BDE) = 50在 RtABDC 中，Z 0 = 90° -乙 DBE=90

30、 - 50 ° =40° .DA为一条边作/ ADF=60 ,另一边交射线 CP于F.如图.CP是等边 ABC的外角/ ACE的平分线，点 D在边BC上,(1)求证.AD = FD;(2)若AB = 2, BD=x, DF= y,求y关于x的函数解析式;(3)联结AF,当 ADF的面积为 费时，求BD的长.&证明：(1)如图1 ,连接AF,图1 . / ACB = 60 , ./ ACE= 120 ,CP 平分/ ACE , ./ ACP = / PCE= 60 ./ ADF = Z ACP = 60 A、D、C、F四点共圆， ./ AFD = Z ACB=60 .

31、Z ADF = Z AFD=60 , ./ DAF = 60 , .ADF是等边三角形，. AD = FD;(2)如图2,过点A作AHBC,H D C 图2 ABC 是等边三角形，AHXBC, AB = 2, BH=1, ah=Vsbh=73,. HD=BD- BH=x-1,DF=/诏乔(3) . ADF是等边三角形，且4ADF的面积为.皿=亍或一_15.如图， ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以 D为顶点作一个120 °的角，角的两边分别交直线 AB、直线 AC于M、N两点.以点 D为中心旋转/ MDN (/ MDN的度数不变)，当DM与AB垂直时(如图所示)，易证BM+CN = BD.(1)如图，当 DM与AB不垂直，点 M在边AB上，点N在边AC上时，BM + CN=