六年级数学校本课程

1、数学中的简单逻辑推理问题一、“被墨水盖住”的算式如果要想具备福尔摩斯那样神奇的破译密码的本领，不 但应具有非凡的推理能力，还要懂得大量的其他知识。然而, 只要你有心，也可以破译一些简单的密码。现在我们来看一个例子：据传说，英国物理学家牛顿(1642 1727)小的时候， 学习成绩几乎在学校是倒数第一。后来他下决心改变这一令 人沮丧的状况。有一次，他把自己的作业做得干净整齐，没 有任何错误，但正当他把笔和本子收起来时，糟糕的事情发 生了：墨水洒了，正好在他的一道算术题上留下了一块墨迹。 下图显示了这个令人不快的结果。式中只剩下了 3个数字较为清晰。小牛顿尽了一切努力，最后终于记起来整道题凑巧用了

2、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10个数字，一样一个。如果这是一种从0到9这10个数字编制的密码，你能破译由被墨水盖住的都是哪些数 字吗由于被墨水盖住的是10个数字，所以原式应为:+4我们可以把这个算式写成：28A+CB4GFED其中每个英文字母分别表示数字0、 1、 3、 5、 6、 7、 9中的莫一个。我们先考虑千位上的G。 两个三位数相加，和是四位数，1，所以，G 只1，这时，算式就成了：28A+CB41FED ?再看百位上的 C和F。如果要保证向千位进 1, C不能 小于 7 即C只可能是7或9中的一个。设 C=9,那么如果十位不进位到百位，F=1;如果十位进位到百位，F=2

3、。这都和已知的数字重复。所以 C9。所以C=7, F=0O即28A+7B410ED这时，B可能是3、5、6、7中的莫一个。如果 B=3,那么应有 E=1 或 2，但这不可能；如果B=5,那么 E=3,彳1 6+4片9, 9+4片6;如果 B=6,那么E=5,这日t令 A=9,贝U有D=3o整理出来就是：A=9， B=6， C=7， D=3， E=5， F=0， G=1。于是，小牛顿的算式应为：289+7641053二、问路问题有这样一个故事：在太平洋中有AB两个相邻的小岛。A岛居民都是诚实的人，B 岛的居民都是骗子。当你问一个问题时， A 岛的居民会告诉你正确的答案，而B 岛的居民给你的答案都

4、是错误的。一天，一个旅游者独自登上了两岛中的莫个岛。他分辨不清这个岛是A岛还是B岛，只知道这个岛上的人既有本岛的居民又有另一岛的来客。他想问岛上的人“这是 A 岛还是 B 岛”却又无法判断被问者的答案是否正确。旅游者动脑筋想了会一儿，终于想出一个办法，他只需要问他所遇到的任意一人一句话，就能从对方的回答中准确无误地断定这里是哪个岛。你能猜出旅游者所问的问题吗如果旅游者直接问“这是 A岛还是B岛”那么当被问者是 A 岛人时，他会得到正确的回答；当被问者是B 岛人时，他会得到错误的回答。两种回答截然相反，而旅游者又无法知道他得到的答案对不对，因此这样问话达不到问路的目的。聪明的旅游者的问话是，“你

5、是这个岛的居民吗”如果对方回答“是"，那么这个岛一定是 A岛；如果对方回答“不是”，那么这个岛一定是B 岛。你能说出这是为什么吗下面我们就对上面的问题进行分析：我们知道，旅游者提出问题时并不知道提问地是何岛，也不知道被问者是何岛居民。他要从所听到的第一句回答来判断问话地是何岛。因此，所提问题的答案必须是因提问地而异，而不由被问者是A 岛居民或是B 岛居民发生变化。根据上述特点，我们设法找到这样的问题：1、使得在A 岛提问时，被问者（不论是何岛居民）都回答同样的一种答案；2、在B岛提问时，被问者都回答另一种答案。于是，我们就可以根据任一人的回答来判断提问地为何 岛了。显然，这样的问题必

6、须与提问地相关，并且还要与被 问者有关，如果在 A岛提生这样的问题时， A岛居民应作肯 定回答（B岛居民也会作肯定回答，但这种回答与客观实际 相反），那么在B岛提由同一问题时，A岛居民应作否定回答（B岛居民也会做否定回答，但回答与实际情况相反）。“你是这个岛的居民吗”这一问题就是一个满足以上要 求的问题，我们通过下表表示在不同的提问地的不同的被问 者对问题的相应回答。问题：你是这个岛的居民吗问话地被问者A岛居民B岛居民A岛回答是是B岛不是不是由上表可以一目了然地发现：在 A岛提问时，回答总为“是”；在B岛提问时，回答总为“不是”。这就为旅游者 判断提问地是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”得以

7、解 决。请想一想，如果旅游者的问题为“你是相邻的另一岛上 的居民吗”，那么能根据任一人的回答来判断提问地是何岛吗为什么试通过列表的方式说明理由数学中有个分支叫做数理逻辑，它通过数学方法来研究 逻辑规律。在数理逻辑中，列表法是一种基本的研究方法， 只是其中表的形式与本文中的表有许多不同，使用了一些有 关命题、真值的抽象符号，但其基本思想与我们用表讨论问 题的思想是大体一致的，都是通过列表来分析和说明问题。数学是以逻辑推理为重要研究方法的学科。所谓逻辑推 理，就是合乎事理的、有根有据的推导判断。上面的两个问 题正是运用到逻辑推理的问题，同学们应在数学学习中注意 提高自己的逻辑推理能力，使自己勤于思

8、考并且善于思考， 成为聪明人。九宫图的应用班级：六年级教师：张桐生一、数学故事：任意写一个三位数做几次简单运算，可以发现一个小小规律。任意写一个三位数，例如135。把它的数字倒过来写，成为531 。用其中较大的减去较小的，得到531-135=396 。换几个另外的三位数，也做同样的计算，分别得到876-678=198，995-599=396 ，963-369=594。以上 4 个式子里得到的差，有一个明显的共同点：差的中间一位数字都是9。再仔细看看，还发现一个共同点：差的首、尾两位数字的和等于9。这样，通过观察和归纳，就发现了三位数颠倒相减的规律。还可以再随意写很多三位数颠倒相减的例子，来验证

9、上面得到的规律，结果大部分都完全符合，只有两种例外情形。第一种例外，如594-495=99 ，差是两位数99，不是三位数。第二种例外，如323-323=0 ，这时的差是0。由此可见，刚才初步归纳出来的规律，需要作两点小补充：第一，如果差的末位数字是9，这个差一定是99；第二，如果差的末位数字是0，这个差一定是0。在其他情形下，差都是三位数。这样一来，规律就完整了。你可以让你的朋友转过身去，在纸上任意写三位数，然后颠倒相减，只要把差的末位数字告诉你， 就能猜出差是多少。无论哪种情形，只要掌握规律，总能应答如流，一猜就准。二、九宫图的应用（一）历史古老而悠久的中华文化的宝殿中，有两颗璀璨夺目的明珠

10、 - ，至今吸引着众多学者的研究热情，人们为河图洛书的神话般的传说，高深的奥义，丰富的内容，简洁的形式万分惊讶，对河图洛书与中国的思想文化、社会科学、自然科学的密切联系更是迷惑不解。种种论述表明，河图洛书是中华文化的总源头，对中国及世界文化的发展，都有过深刻的影响。然而，令我们每个人吃惊和迷惑不解的是，河图洛书只是两个简单的数字图。（二）龙马载河图，神龟背洛书河图洛书是我们祖先创造出来的，翻遍祖国的各种古典着作，我们根本找不到这位创始人。河图洛书的产生，至少要追溯到四千五百多年以前，那时， 人类尚处于无文字时代，人类的认识水平还十分低，很难想象那时就有人能够制造出如此高深莫测的图书。在我国各种

11、古籍中，对河图洛书的起源，仅有两个龙马载河图，神龟背洛书的传说。1、龙马载河图相传远古时期的孟津河边，一天河水忽然 大涨，波浪滔天，水中有一巨兽，似龙非龙， 似马非马，浪里飞腾。当时的伏羲黄帝与众臣听到有人报告, 立即去河边观看，只见河中洪涛巨浪，波浪中一巨兽踏水如 登平地，大体象马却身有鱼鳞，高八九尺，有两翼，形体象 骆驼，身上负有由花点构成的图案，黄帝命人走近河边，将 图案记录下来，刚刚记下，怪兽即没而不见。后伏羲皇帝认 真研究了这副图发现它正是由十种花点组成，这十种花点代 表1-10这10个数，两种花点构成一组，布局在东西南北中 五个位置上，每组花点所表示的数， 其差均是5.这种和谐统

12、一，四方对称的特征，黄帝越研究越感到奇妙无比，后来他 就依此画八卦，建甲历，定时辰，治理国家。由于此幅图是 在孟津河中发现的，故称此图为河图。2、神龟背洛书公元前23世纪，大禹治水的时候，在黄河支流洛水中， 有一天突然浮规由一个大乌龟，当时，大禹与治水士兵正在 河边现察洛河水情，商议治理黄河大计，遇到乌龟在河里上 下翻腾就十分奇怪，只见此龟行走水面，游来游去，其身形 庞大，甲背平圆。近处仔细观看，发现甲上载有9种花点的图案，大禹令士兵们将图案中的花点布局记了下来，带回去 作了深入的研究，他惊奇地发现，9种花点数正好是1-9这9个数，各数的位置排列也相当奇巧，纵横六线及两条对角 线上三数之和都为

13、15,既均衡对称，又深奥有趣，在奇偶数 的交替变化之中似有一种旋转运动之妙。大禹受到启发，他 参照九数而划分天下雨九别，并且把一般政事也区分为九 奥。据史记.夏本纪写道：夏禹治水时，“左准通、右 规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽”大禹治水 以九宫为据，应用到测量、气象、地理与交通运输之中，从 而治理黄河，大获成功，受到黄河两岸人们的拥戴。由于神 龟所背图是在黄河支流洛水中发现，且图中内容如书一样深 奥，故人们称此为洛书。（三）应用：如何分班132321213图1为师各班成绩均匀，我们给先学生排序，然后按照一定 的规律将学生分组。如分 3个班，将学生排序后，按照图 1 的行（或列）从上到下

14、一次编号 3为一组，向下重复。所有 编号为1的一个班，编号为2的一个班，编号为3的一个班。 如分4个班则按图2处理；5个班按图3处理；6个班按图4 处理。1432321423414123图21345224513523413512441235316524625341541236163452452163234615图3图4作业：按照示例4图，请与同学合作，编制一张分 7个班的分班表。鸡兔同笼问题班级：六年级 教师：张桐生鸡兔同笼，这个问题，是我国古代着名趣题之一。大约 在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书 中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九 十四足，问雉兔各几何”

15、这四句话的意思是：有若干只鸡兔 同在一个笼子里，从上面数，有 35个头；从下面数，有 94 只脚。求笼中各有几只鸡和兔第一类：列表举例法。方法1:根据鸡和兔共20只的条件，假设鸡只有 1只, 那么兔有19只，腿共有78条在这样的逐一举例中，直 至寻求到所求的答案。头/个鸣/只兔/只腿/条20I1978202IS7620131774204I1672an* V2013754方法2:先作一些分析，比较后再试头/个鸡/只他/只腌/条2011978201 5157020101060201555020146522013754方法3:先假设鸡和兔各占一半，再列表头/个鸡/只兔/只腿/条20101060201

16、2856201 1375460>54,说明兔子多了，应减少兔子的只数。上面三种方法中，第一张表格是常规的逐一列举法，即 根据鸡与兔共20只的条件，假设鸡只有 1只，那么兔就有 19只，腿共有78条；假设鸡有2只，那么兔就有18只，腿 共有76条。，再这样的逐一举例中，直至找到所求的答案。第二类：作图分析法。方法1:先画20个圆圈表示20个头。再为每个动物画两条腿，20只动物只用完40条腿，还多生了 14条腿。把剩 下的14条腿用完，要给其中的 7只动物加2条腿，这7只 就是兔子，另外的13只就是鸡。方法2:先画20个头，接着假设全部是兔，共画 80条 腿，多生了 26条腿，要给其中的13

17、只动物去掉2条腿，这 13只就是鸡，另外的7只就是兔了。第三类：方程解答法。解法1:设其中有X只兔，有Y只鸡。列式为：X+ Y= 20, 4X+2Y=54 最后算由 X=7, Y=13。解法2:设其中有X只兔，有（20-X）只鸡。列式为： 2X+4x（20 X） =54，最 后算由X= 7,得生兔的只数是7只， 那么20 X= 13就是鸡的只数。第四类：假设推理法。方法 1： 假设这 20 只全部是兔子，那么就应该有80 条腿，而题目只告诉我们有 54 条腿，我们算的80 与实际相比多算了26 条腿，这是为什么呢因为一只鸡是两条腿，而我们把它当成四条腿算了，如果用一只鸡来换一只兔，就要减少 2

18、 条腿， 也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然 26+ 2=13（只），所以鸡有13只，兔子有7只。可以列式为： （20X4-54） +（4-2）=13 （只），20-13=7（只）。方法2： 假设这 20 只全部是鸡，那么就应该有40 条腿，比实际少了14 条腿，是因为每只兔子少算了2 条腿，这样共有兔子是7只，鸡则是13只。列式如下：（54-20x4） +（4 -2） =13（只），20- 13=7 （只）。解决鸡兔同笼问题通常使用假设法，可以假设所有的动物都是兔子，并求出在假设情况下的总腿数，再把实际的腿数和假设情况下的腿数相比较，看看多出了多少，每多2 只腿说明有一只鸡，将多出的腿数除

19、以2 就算出共有多少只鸡。也可以假设全部是兔子来解。?方法3： 把一只鸡和一只兔看做一个整体，一个整体中就有（ 4 2=6）条腿，54 条腿应该是几个这样的整体呢54+ 6 = 9（个），在9个这样的整体里兔子的只数应该不是9只，因为 9 只兔和 11 只鸡的腿的条数超过了总条数54。那么就把兔看成8 只，还是偏大，最后把兔的只数看成7 只，鸡是13只，腿的总条数就正好是 54 了。列式为：4+2=6 （只），54+6= 9（个），91 = 8 （只），92=7 （只），207= 13（只），7X4=28 （条），13X2=26 （条）28+26=54（条）第五类： “金鸡独立”法此方法是：每

20、只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后脚站起来”。显然，在这种情况下，总脚数出现了一半，是27，此时，鸡的脚数与鸡的头数是相等的，兔子的脚数是兔子的头数的2 倍。所以，从27 中减去总的头数20 得 7，就是兔子的头数。当然，20-7=13 ，鸡就是13 只了。鸡兔同笼问题早在我国古代数学名着孙子算经中就出现过，社会发展到今天，鸡和兔同装一笼的此类事件应该不多见了。但学生可以借助 “鸡兔同笼”这个载体经历尝试、创新的过程，让学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，体会到数学的价值。作业：设计一个算法，输入鸡兔的头和脚数，输出鸡和兔的数量。抽屉原理的简单应用班级：六年级教师：张桐生“任意36

21、7 个人中，必有生日相同的人。”“从任意 5 双手套中任取6 只，其中至少有2 只恰为一双手套。”“从数1, 2,，10中任取6个数，其中至少有 2个数为奇偶性不同。”大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢这个原理叫做抽屉原理。抽屉原理又称鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法。它的内容可以用形象的语言表述为：“把 m个东西任意分放进n 个空抽屉里（m>n） ，那么一定有一个抽屉中放进了至少 2 个东西。”举个最简单的例子，把 3 个苹果按任意的方式放入两个抽屉中，那么一定有一个抽屉里放有两个或两个以上的苹果。这是因为如果每一个抽屉里最多放有

22、一个苹果，那么两个抽屉里最多只放有两个苹果。运用同样的推理可以得到：原理 1 把多于 n 个的物体放到n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2 个或2 个以上的物体。原理2把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1 个或多于m+l 个的物体。卜面我们用抽屉原理来分析前面的例子：第一个结论中，由于一年最多有366 天，因此在367 人中至少有2 人出生在同月同日。这相当于把367 个东西放入366 个抽屉，至少有 2 个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为 1, 2,，5的手套各有两只，同号的两只是一双。任取 6 只手套， 它们的编号至多有5 种，

23、因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6 个东西放入5 个抽屉，至少有2 个东西在同一抽屉里。例：利用上述原理证明：“任意 7 个整数中，至少有3个数的两两之差是3 的倍数。”分析：因为任一整数除以3 时余数只有0、 1、 2 三种可能，所以7 个整数中至少有3 个数除以3 所得余数相同，即它们两两之差是3 的倍数。如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：“把无限多个东西任意分放进 n 个空抽屉（n 是自然数） ，那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。”抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。一、抽屉原理和六人集会问

24、题1958 年 6/7 月号的 美国数学月刊上有这样一道题目：“证明在任意 6 个人的集会上，或者有3 个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”这个问题可以用如下方法简单明了地证出：在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他 们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑 A点与其 余各点间的5条连线AB, AC, . , AF,它们的颜色不超过 2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB, AC, AD同为红色。如果BC, BD, CD3条连线中有一条（不 妨设为BQ也为红色，那么三角形 ABC即一个红色三角形， A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果 BC BH CD3条 连线全为蓝色，那么三角形 BCD即一个蓝色三角形，B、C、 D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符 合问题的结论。图1六人集会问题是组合数学中着名的拉姆塞定