第四章 Z变换(离散信号与系统)

1、2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系1 本本 章章 要要 点点 Z Z变换及其收敛域变换及其收敛域 Z Z反变换反变换 Z Z变换的性质变换的性质 Z Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系 信号线性变换小结信号线性变换小结2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系2 有抽样信号有抽样信号 单边拉氏变换单边拉氏变换0)()()()()(nTsnTtnTxttxtxsnTnstnstnsenTxdtenTtnTxdtenTtnTxsX 00000)()()()()()(2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系3 令 , 其中 z 为一个

2、复变量 则 通常取 T=1zTsezsTln1，0)()(nnznTxzX0)()(nnznxzX单边Z变换nnznxzX)()(双边Z变换2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系4nnznxzX)()(nnznx)(2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系52121)()(NnNznxzXNNnn RezImzj02022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系61nNznxzXNnn11)()( zR1收敛域收敛半径1RRezImzj0圆外为收敛域2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系722)()(NnznxzXNnn22)

3、()()(NnnmnNmmnmznxzmxzX20Rz 收敛半径2RImzjRez0圆内为收敛域，若 N20 则不包括z=0点2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系8nznxzXnn)()(01)()()(nnnnznxznxzX圆内内收敛R2圆外外收敛R112RR 12RR 有环状收敛域没有收敛域12RR ImzjRe z2R1R02022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系9对 ：对 ：有限长序列：；右边序列：R1 | Z | ；左边序列：0 | Z | R2 ；双边序列：R1| Z | R2 ；12RR Imzj2R1R0Re z2022年4月14日星期

4、四东华理工学院 电子工程与自动化系10例例4.1-1单边序列单边序列0)()(anuanxn01)()(nnnnnazzazX其中a为正实数，求x(n)的Z变换并确定收敛域。1)(11azaznn要满足az收敛域：azzazzX111)(解：由定义：ImzjReza零零点点极极点点2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系11几个例子几个例子)(31)() 1 (nunxn右边序列31311131)(101zzzzzXnn311R31 z311R31ImzjRez2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系12)1(31)()2(nunxn左边序列23113Rzz

5、收敛半径2R31ImzjRez313111)3(13131)(01111zzzzzzzXmmmmnmnn2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系13)8()(31)()3(nununxn有限长序列)()(1)(131)(31783181318131801zzzzzzzXnnRezImzj3131283180)(82zzezezKjkj8个零点7阶极点1阶极点31收敛域为除了 0 和 的整个Z平面2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系14nnx31)()4(双边序列)(3(3133131)(3138101zzzzzzzzzzXnnnnImzj331 zRez

6、3132022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系15 单位函数序列单位函数序列 单位阶跃序列单位阶跃序列 斜变序列斜变序列 指数序列指数序列 正弦余弦序列正弦余弦序列2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系16)0(0)1()1()1(3000:)()()(2)0(1)()(1101)(00zzzznznnZTzmzmzzrzmnmnZTzznnZTnnnnmmrmrnnnn）（时去除当时去除当收敛域）（）（2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系17)(11)(6)() 1()()1 (1)(11)(5) 1(111)(4102201210

7、11110010azazzazzanuaZTnunZTzznznnuZTzzznzzznznnuZTzzzzznuZTnnnnnnnnnnnnnn）（等类似可求得两边同乘求导得两边对，斜变序列）（）（2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系181cos2)cos(2/)(2/)(cos)(1)(0200000000000zzzzezzezzeeZTnZTezznueZTezezznueZTjjnjnjjnjjjnj余弦序列的余弦序列的 Z 变换变换)(0jea 在前式中令2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系19正弦序列的正弦序列的 Z 变换变换1cos2

8、sin2/)(2/)(sin)()(020000000000zzzjezzezzjeeZTnZTezznueZTezznueZTjjnjnjjnjjnj2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系20)(cos2)cos(2/)(2/)(cos2020000000000zzzzzezzezzeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjnnjnjnjnjn例例2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系212022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系22210)2() 1 ()0()()(zxzxxznxzXnn2022年4月14日星期四东华理工学

9、院 电子工程与自动化系23（2）部分分式法）部分分式法NNNNMMMMzazazaazbzbzbbzX11101110)(NiiiZzAzzX1)(iiZziZzizzXZzzzXA)()()(ResAi 是 在Zi 处的留数X(z)仅含一阶极点情况zzX)(2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系24 查表得：若)(Rz 查表得：若)(Rz )()()(10nuZAnAnxniNii) 1()()(10nuZAnAnxniNii右边序列左边序列!)(:1列不同，收敛域不同对应的序变换NiiiZzzAzXZNiiiZzzAAzX10)(0000)(abzXAz其中2022年4

10、月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系25 NriniirjjnjZzrjrjrjNriiirjjjnuZAnuZjjnnBnAnxzzXZzdzdjrBZzzAZzzBAzX1111011110)()()()()!1()!1(!)()()()()!(1)()(1见P119 续表4.1-1（21）见P118 表4.1-1（3）2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系26 例?)() 231(2375)(2nxzzzzzX双边序列231)(zzzzzX右边序列左边序列) 1(2)()()(31nununxnn2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系27

11、（3）围线积分法）围线积分法(留数法留数法) 设设选取一条选取一条的的围线围线 。为求得反变换。为求得反变换 x(n)，两边同乘以，两边同乘以Zm-1，然后沿着围线然后沿着围线C逆时针方向积分，得到：逆时针方向积分，得到：0)()(nnznxzXCCnnCmnnmmdzznxdzznxzdzzXz111)()()(2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系28由复变函数中的柯西定理由复变函数中的柯西定理只有右边的只有右边的 即即 一项，一项，于是于是逆变换：逆变换：nmnmjdzzCnm02111mnmn CnCndzzzXjnxnjxdzzzX11)(21)()(2)(202

12、2年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系29iinCnZzzXdzzzXjnx,)(Res)(21)(11用留数求围线积分iZzniinzzXZzZzzX)()(,)(Res11一阶极点（ r 1）r 阶极点iZznrirrinzzXZzdzdrZzzX)()()!1(1,)(Res11112022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系30例：与例4.2-3类似（P123）?)() 1() 5 . 0)(1(12)(23nxzzzzzzzX序列）必然是因果序列（右边)(1nxz解：iizznizznzzzzzzzXnx2231)5.0)(1(12Res)(Res)(0,

13、 5 . 0, 1, 10, 5 . 0, 1, 05 . 0, 1, 23214, 32121zzznzzznzzn极点：极点：2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系31nznznzzzzzzzznxn)5 . 0(138) 1(12)5 . 0(12)(2) 1 (5 . 0223122311386)5 . 0(138)5 . 0)(1() 12()0()!12(1)(0)2(002232znzzzzzzdzdnxn5 . 3)5 . 0(1382)5 . 0(138)5 . 0)(1() 12)(0()(1) 3(10223znzzzzzznxn2022年4月14日星

14、期四东华理工学院 电子工程与自动化系32 线性和位移性 序列线性加权（ Z 域微分） 序列指数加权（ Z 域尺度变换） 初值定理和终值定理 时域卷积和 Z 域卷积定理 帕色瓦尔定理2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系33线性)min()max()()()()(,2,2, 1, 1YXYXRRzRRzbYzaXnbynaxZT)(1tfLTanii位移110)()()()()()()()(:)()(:mkkmmkkmmzkxzXznumnxZTzkxzXznumnxZTzXzmnxZT单边双边)()()()()(00000ssFetfesFttuttftsst尺度变换asF

15、aatf1)()()(zXdzdznxnZTmm序列线性加权：变换域变换域微分微分nnndssFdtft)()()(azXnxaZTn)(序列指数加权：变换域变换域积分积分zmmdzzzXzmnnxZTmn1) 1(11)()(:序列除011)()(dssFttf2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系34)(lim)0()(lim0ssFftfst终值定理)(lim)()(lim0ssFftfst卷积定理)()()(*)(zYzXnynx初值定理dvvvHvzXjnhnxc11)(21)()()()(21)()()()()()(21212121FFtftfFFtftf)(l

16、im)0(zXxz)()() 1(lim)(lim1xzXzzXzn时间反转)11()()(121XXRzRzXnx，帕色伐尔定理CndzzzHzXjnhnx11)(21)()(无无2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系35（一）从（一）从 S 平面到平面到 Z 平面的映射平面的映射（二）拉氏变换与（二）拉氏变换与Z变换的关系变换的关系2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系36（一）从（一）从 S 平面到平面到 Z 平面的映射平面的映射sTjTjTTjsTTeezezeeezjsezs22)(其中：2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化

17、系37 jTjTTjsTezeeeez)()( 10)6(110)5(1( 10)4()5()4(10)3(10)2(10) 1 (单位圆与正实轴交点的圆）（常数的圆）常数虚轴的平行直线单位圆内左半平面单位圆外右半平面单位圆虚轴zsrrzRRzzzezjsT11RrRezImzj10jTjTTjsTezeeeez)(2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系38旋转多圈（多值性）相差相同负实轴的实轴平行线过任意此时为奇数扇形区域变化在过原点的射线实轴的平行线常数正实轴实轴任意此时TknkTkTkrkTkTkrTs2), 2 , 1(2)11(),()10()9()8(), 0(

18、0)7(21210012ImzjRezjTjTTjsTezeeeez)(02022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系39jSRezImzj12312121j2j3j4j5j2TT3221TT235413123452e1e2e1eZ0011-2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系40（二）拉氏变换与（二）拉氏变换与Z变换的关系变换的关系 拉氏变换F ( s )Z 变换F ( z )连续信号f ( t )离散信号f ( n )?2022年4月14日星期四东华理工学院 电子工程与自动化系41 dsesFjtfjjst)(21)(拉氏反变换：dsesFjnTfjjs