理论力学第十三章动能定理

1、1. 常力在直线运动中的功常力在直线运动中的功:单位单位: J（焦耳）（焦耳） 1 J = 1 Nm 力的功力的功是力沿路程累积效应的度量。是力沿路程累积效应的度量。13-1 13-1 力的功力的功元功元功2. 变力在曲线运动中的功变力在曲线运动中的功:令：令：力力 在在 路程上的功：路程上的功：1)、重力的功、重力的功质点系质点系:由由重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。3. 常见力的功常见力的功质点：质点：重力在三轴上的投影：重力在三轴上的投影：k弹簧刚度系数弹簧刚度系数 (N/m)弹性力：弹性力：弹性力的功：弹性力的功：re因因式中式中即即 弹

2、性力的功只与弹弹性力的功只与弹簧在初始和末了位置簧在初始和末了位置的变形有关，与作用的变形有关，与作用点路径无关。点路径无关。若若 常量常量从角从角 转动到角转动到角 过程中力过程中力 的功为：的功为：同样适用于刚体上作同样适用于刚体上作用一力偶所作的功。用一力偶所作的功。当质心由当质心由 ，转角由，转角由 时，力系的功：时，力系的功：平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。化所得的力和力偶作功之和。说明：说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；、对任何运动的刚体，上述结论都适用； 2、C点为刚体上任意一点，上述结论仍成立；

3、点为刚体上任意一点，上述结论仍成立； 3、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可 不考虑。不考虑。 4. 平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功例：例：图示弹簧原长图示弹簧原长l=100mm，刚性系，刚性系数数k=4.9KN/m,一端固定在点一端固定在点O，此点，此点在半径为在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧的圆周上。如弹簧的另一端由点的另一端由点B拉至点拉至点A和由点和由点A拉至拉至点点D，AC垂直垂直BC，OA和和BD为直径。为直径。分别计算弹簧力所作的功。分别计算弹簧力所作的功。COABD解：解：对于弹簧作功：对于弹簧作功：2、质点系的动能、

4、质点系的动能1、质点的动能、质点的动能 单位：单位：J（焦耳）（焦耳）（1）平移刚体的动能）平移刚体的动能 即即 （2）定轴转动刚体的动能）定轴转动刚体的动能 即即 13-2 13-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能 平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和。与绕质心转动的动能之和。速度瞬心：速度瞬心：P（3）平面运动刚体的动能）平面运动刚体的动能上面结论也适用于刚体的任意运动。上面结论也适用于刚体的任意运动。两端乘两端乘 ，1、质点的动能定理、质点的动能定理质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。质点动能的增量等于作用在质点上

5、力的元功。在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。作用于质点的力作的功。13-3 13-3 动能定理动能定理2、质点系的动能定理、质点系的动能定理质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。元功的和。 求和求和质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。3、理想约束、理想约束定义：约束力作功等于零的约束为定义：约束力作

6、功等于零的约束为理想约束。理想约束。、 对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。l质点系质点系内力作功之和不一定等于零。内力作功之和不一定等于零。质点系内力作功问题：质点系内力作功问题：1）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零。）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零。2）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与 物体的相对位移相反，摩擦力作负功。物体的相对位移相反，摩擦力作负功。l刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。 例例1 已知：轮已知：轮O的的R1、

7、m1,质质量分布在轮缘上量分布在轮缘上; 均质轮均质轮C的的R2、m2纯滚动纯滚动, 初始静止初始静止 ;, M为常力偶。为常力偶。求：轮心求：轮心C走过路程走过路程S时的速度时的速度和加速度和加速度解：解：其中：其中：式式(a)是函数关系式，两端对是函数关系式，两端对t求导，求导，已知：轮已知：轮O的的R1、m1,; 均质轮均质轮C的的R2、m2纯滚动纯滚动, 初始静止初始静止 ;, M为为常力偶。常力偶。求：轮心求：轮心C走过路程走过路程S时的速度和加速度时的速度和加速度 例例2 冲击试验机冲击试验机m=18kg , l=840mm, 杆重不计，在杆重不计，在 时静止释放，冲断试件后摆至时

8、静止释放，冲断试件后摆至求：冲断试件需用的能量求：冲断试件需用的能量冲断试件需要的能量为冲断试件需要的能量为解：解：设冲断试件所损失的能量为设冲断试件所损失的能量为WK MW01 T rlrv 11 222222221292)( 4 )(26 lgPQrlgrPlgPgQlT MlgPQ 0129222PQgMl9232 2)92(6lPQgM 21221 2 2121 grPvgP 2T22321 gQl , 1 lv 由由 ，得，得1、功率：、功率：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。功率等于切向力与力作用点速度的乘积。 单位单位:W（瓦特）（瓦特）,1W=1J/S作用在转动刚体上的力的功

9、率作用在转动刚体上的力的功率:单位时间力所作的功。单位时间力所作的功。13-4 13-4 功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率2、功率方程、功率方程 质点系动能对时间的一阶导数，等于作用质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。于质点系的所有力的功率的代数和。或或两端除以两端除以dt功率方程功率方程3、机械效率、机械效率机械效率机械效率多级传动系统多级传动系统 表明机器对输入功率的有效利用程度。是评定机表明机器对输入功率的有效利用程度。是评定机器质量优劣的重要指标之一。器质量优劣的重要指标之一。对于有对于有n级传动的系统，总效率等于各级效率的连级传动的系统

10、，总效率等于各级效率的连乘积。乘积。( )例例1 已知：车床电动机功率已知：车床电动机功率求：允许切削力求：允许切削力F的最大值？若的最大值？若 ，问，问 允许的允许的F的最大值。的最大值。解解:当当当当例例2 已知已知 物块质量物块质量m ；弹簧；弹簧原长原长 l0 .刚度系数刚度系数k，质量不计；质量不计；滑轮半径滑轮半径R ，转动惯量转动惯量J求：系求：系统的运动微分方程。统的运动微分方程。解：解：令令 为弹簧静伸长，即为弹簧静伸长，即mg=k ,以自然位置为参考点以自然位置为参考点以平衡位置为参考点以平衡位置为参考点1. 势力场势力场势力场：势力场： 力场：力场： 13-5 13-5

11、势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律（1）重力场中的势能）重力场中的势能（2）弹性力场的势能）弹性力场的势能2. 势势 能能则有则有 （3）万有引力场中的势能）万有引力场中的势能取零势能点在无穷远取零势能点在无穷远例：已知均质杆例：已知均质杆l, m， 弹簧刚弹簧刚度度 k, AB水平时平衡，弹簧拉长水平时平衡，弹簧拉长变形变形 弹簧取自然位置弹簧取自然位置O为零势能点为零势能点,重力以杆水平位置为零势能点重力以杆水平位置为零势能点:取杆平衡位置为弹簧和杆的零势能点取杆平衡位置为弹簧和杆的零势能点:0kmg（重力（重力-弹力系统常采用）弹力系统常采用）系统平衡系统平衡质

12、点系在势力场中运动质点系在势力场中运动,有势力功可通过势能计算。有势力功可通过势能计算。zxyM1M2M0 有势力所作的功等于质点有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与终了位系在运动过程的初始与终了位置的势能的差。置的势能的差。3. 机械能守恒定律机械能守恒定律即：质点系即：质点系仅在有势力作用下仅在有势力作用下运动时，机械能守运动时，机械能守恒。此系统称恒。此系统称保守系统。保守系统。卡住前卡住前 ： 卡住时：卡住时：解：解：例例 已知：重物已知：重物m=250kg, 以以v=0.5m/s匀速下降，钢索匀速下降，钢索 k=3.35 N/m，求，求: 轮轮D突然突然卡住时，钢索的最大张力。

13、卡住时，钢索的最大张力。（平衡）（平衡） 重物只受重力和弹力，重物只受重力和弹力，系统机械能守恒。系统机械能守恒。即即由由 有有已知：重物已知：重物m, v匀速下降，钢索匀速下降，钢索 k，求，求: 轮轮D突然卡住时，钢索的突然卡住时，钢索的最大张力。最大张力。 13-6 13-6 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 例例1 已知已知 轮轮I ：M，r, m1; 轮轮III :r，m3; 轮轮II ：R=2r, m2;压力角为压力角为20o，物，物块：块：mA；摩擦力不计。求：；摩擦力不计。求：O1 O2处处的约束力。的约束力。其中其中解解:其中其中研究研究 I 轮轮压力角为压力角为研究物块

14、研究物块A研究研究II轮轮aA例例2 已知已知 m，R , k, CA=2R为无重弹簧为无重弹簧原长，原长，M为常力偶。求：圆心为常力偶。求：圆心C 无初速无初速度由最低点到达最高点时，度由最低点到达最高点时，O处约束力处约束力.解：解：整个系统：整个系统：O O已知，已知，m，R, k, CA=2R为弹簧原长，为弹簧原长，M 为常力偶。求：圆心为常力偶。求：圆心 C 无初速度由最低无初速度由最低点到达最高点时，点到达最高点时，O 处约束力处约束力.F 研究轮研究轮C：actacn质心运动定理：质心运动定理：解：解：( 1 )动能定理：动能定理：mgatcanc 例例3 均质杆均质杆AB，l, m,初始铅直静止，无摩擦初始铅直静止，无摩擦求：求：1) B端未脱离墙时，摆至端未脱离墙时，摆至角位角位 置时的置时的 ， , ,FBx , FBy 2) B端脱离瞬时的端脱离瞬时的1 , 3) 杆着地时的杆着地时的vC及及 2（ 2 ）脱离瞬间时）脱离瞬间时脱离瞬时：脱离瞬时：已知：杆已知：杆AB，l, m,初始铅直静止，无摩擦初始铅直静止，无摩擦求：求：1)B端未脱离墙时，摆至端未脱离墙时，摆至角位角位 置时的置时