第八节闭区间上连续函数的性质ppt课件

1、第八节第八节 闭区间上函数的性质闭区间上函数的性质一、最值定理与有界性一、最值定理与有界性二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理四、小四、小 结结三、均衡价格的存在性2/12一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上上的的最最大大在在区区间间是是函函数数则则称称都都有有使使得得对对于于任任一一如如果果有有上上有有定定义义的的函函数数对对于于在在区区间间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1

2、xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y3/12定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意:1.:1.若区间是开区间若区间是开区间, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, , 定理不一定定理不一定成立成立. .4/12xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理)

3、 ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上上连连续续在在设设函函数数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则则有有.,)(上上有有界界在在函函数数baxf5/12二、介值定理二、介值定理定义定义: :.)(, 0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx .),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程baxf 6/12ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连

4、续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy 7/12几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 8/12推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1.)1

5、 , 0(01423至至少少有有一一根根内内在在区区间间证证明明方方程程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xxMm9/12例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使使得得证证明明且且上上连连续续在在区区间间设设函函数数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使)

6、,(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即10/12三、均衡价格的存在性三、均衡价格的存在性 ( ( ) )( ( ) )( ( ) )Z PD PS P ；= =- -( () )( () )( () )0000,ZDS于于是是= =- - 11/1212/12四、小结四、小结 思考题思考题四个定理四个定理 有界性与最值定理；根的存在性定理；介值有界性与最值定理；根的存在性定理；介值定理；均衡价格的存在性定理定理；均衡价格的存在性定理.注意条件注意条件1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思

7、路1.1.直接法直接法: :先利用最值定理先利用最值定理, ,再利用介值定理再利用介值定理; ;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),F(x),再利用零点定理再利用零点定理; ;业业作作; 3);1(178 P13/12思考题思考题假设有一个登山者头天上午假设有一个登山者头天上午8点从山脚开始上点从山脚开始上山，晚上山，晚上6点到达山顶，第二天上午点到达山顶，第二天上午8点从山顶点从山顶沿原路下山，下午沿原路下山，下午6点到达山脚。问该登山者点到达山脚。问该登山者在上、下山过程中，会同时经过同一地点吗？在上、下山过程中，会同时经过同一地点吗？为什么？为什么？14/

8、12思考题解答思考题解答会会.结论。结论。亦即证明亦即证明），使），使，（存在一点存在一点由零点定理知由零点定理知且且上连续，上连续，在在则则设设上连续，且上连续，且在在、则则数为数为，第二天登山的高度函，第二天登山的高度函为为函数函数登山者头天登山的高度登山者头天登山的高度不妨设山高为不妨设山高为. 0)(188. 0)18(, 0)8(188)(),()()(. 0)18(,)8(;)18(, 0)8(18, 8)()().()(,2122112121 fhfhfxfxfxfxffhfhffxfxfxfxfh15/12一、一、 证明方程证明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一个正根，并且它不超过少有一个正根，并且它不超过ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上连续，上连续，bxxxan 21 则在则在,1nxx上必有上必有 ，使，使 nxfxfxfxfn)(