第十一章量子力学

1、量子跃迁第 11 章11.1 11.1 量子态随时间的演化量子态随时间的演化 量子力学中，关于量子态的问题，可分两类：量子力学中，关于量子态的问题，可分两类：（a) 体系的可能状态问题，即力学量的本征态与本体系的可能状态问题，即力学量的本征态与本征值问题征值问题. 量子力学的基本假定之一是：力学量的观测值量子力学的基本假定之一是：力学量的观测值就是与力学量相应的算符的本征值就是与力学量相应的算符的本征值.通过求解算符通过求解算符的本征方程可以求出它们的本征方程可以求出它们.特别重要的是特别重要的是Hamilton量量(不显含不显含t)的本征值问题的本征值问题,可求解不含时可求解不含时Schrd

2、inger方程方程 (1) EH 由于它是含时间一阶导数的方程由于它是含时间一阶导数的方程,当体系的初当体系的初态态 给定之后给定之后,原则上可以从从方程原则上可以从从方程(2)求解求解出以后任何时刻出以后任何时刻t 状态状态 ,即即 由初态由初态唯一确定唯一确定.)0()(t)(t)0()()(itHtt(b)体系的状态随时间演化的问题体系的状态随时间演化的问题.量子力学的量子力学的又一基本假定是又一基本假定是:体系的状态随时间的演化体系的状态随时间的演化,遵遵守含时守含时Schrdinger方程方程 (2) 如体系的哈密顿量不显如体系的哈密顿量不显t ( ), 则体系能量则体系能量为守恒量

3、为守恒量.此时此时 的求解是比较容易的的求解是比较容易的.方程方程(2)的解形式上可表示为的解形式上可表示为 0 tH)(t(3)i( )( )(0)e(0)Ht tU t 如采取能量表象如采取能量表象,把把 表表示示成成是描述量子态随时间演化的算符是描述量子态随时间演化的算符.iHtetU )()0(4)nnna )0(5)这里)0(nna 由由)0(完全确定完全确定,n是包括是包括 H在内的一组守恒在内的一组守恒量量 完全集的共同本征态完全集的共同本征态,即即nnnE H(6)把把(4)代入代入(3)式式,利用式利用式(6),即可求得即可求得t 时刻的量子态时刻的量子态,i( )enE t

4、nnn ta (7)如果如果k )0(8)即初始时刻体系处于能量本征态即初始时刻体系处于能量本征态 ,相应能量为相应能量为kkE.按式按式(4), .此时此时nkna i( )ekE tk t (9),由初态由初态 决定决定(见式见式(5), 即体系保持在初始时刻的能量本征态即体系保持在初始时刻的能量本征态,这种量这种量子态子态,称为定态称为定态. 如果体系在初始时刻并不处于某一个能量本如果体系在初始时刻并不处于某一个能量本征态征态,而是若干能量本征态的叠加而是若干能量本征态的叠加,如式如式(4)所示所示,式中式中)0(nna )0(则则t 0时刻体系的状态时刻体系的状态)(t由式由式(7)给

5、出给出,是一个是一个非定态非定态.s2xxLxeBeBHBscc (10)ceBL2 (Larmor频率)设初始时刻电子自旋态为设初始时刻电子自旋态为 的本征态的本征态,zs2zs1(0)0 (11)求在求在t 时刻的自旋时刻的自旋.)(t解解 方法一方法一例例1 设一个定域电子处于沿设一个定域电子处于沿x方向的均匀磁场方向的均匀磁场B中中(不考虑电子的轨道运动不考虑电子的轨道运动),电子内禀磁矩与外磁场电子内禀磁矩与外磁场作用为作用为令令( )( )( )a ttb t(12)按初条件按初条件,. 0)0(, 1)0( ba把式把式(12)代入代入Schrdinger方程方程01di10dL

6、aabbt (13)得得i,iLLabba 两式相加、减两式相加、减,得得,sini)(,cos)(ttbttaLL即即cos( )isinLLttt(14)方法二方法二体系的能量本征态体系的能量本征态,即即 的本征态的本征态,本征值和本征态本征值和本征态分别为分别为x111,12xLEE 111,12xLEE (15)电子自旋初态为电子自旋初态为11(0)()02 所以所以t 时刻自旋态为时刻自旋态为ii1( )ee2cosisinLLttLLttt(16)前已提及，量子力学的基本假定之一：量子态随时间前已提及，量子力学的基本假定之一：量子态随时间的演化遵守的演化遵守Schrdinger方程

7、方程(2).按照微分方程的唯一按照微分方程的唯一性定理性定理,只要体系初始时刻的状态给定只要体系初始时刻的状态给定,则以后任何时刻则以后任何时刻的状态的状态,作为作为t的函数是唯一的的函数是唯一的,即即)0()()(tUt为量子态随时间的演化算符为量子态随时间的演化算符,T为为0i( )exp( )d tU tTH tt 编时算符编时算符.在实际问题中在实际问题中,人们更感兴趣的往往不是泛泛地讨论人们更感兴趣的往往不是泛泛地讨论量子态随时间的演化量子态随时间的演化,而是想知道在某种外界作用下而是想知道在某种外界作用下体系在定态之间的跃迁概率体系在定态之间的跃迁概率.(0)k加入微扰后，总的哈密

8、顿量为设无外界作用时,体系的哈密顿量哈密顿量(不显含t)为H0 .包括H0在内的一组力学量完全集F的共同本征态记为 .设体系初始时刻处于某一能量本征态n(17)(18)此时,并非完全集F中所有的力学量都能保持为守恒量,因而体系不能保持在原来的本征态,而将变成F的各本征态的叠加.)(HHH0t( )( )exp( i/ )nknnntCtE t(19)(20)量子态 (亦即 )随时间的演化,可以在给定初条件(17)下,求解如下含时Schrdinger方程得出)(t)(tCnk0i( )()( ) tHH tt用(19)式代入,得iiieeE tnE tnnknnknnnCCH (21)上式左乘

9、,利用本征函数的正交归一性,得*k iiek ntk knknCk Hn C (22)其中.)(nknkEE (23)方程(22)与(20)等价,只是表象不同而已.于是问题归结为在给定的初条件(17),即(0)nknkC(24)下如何去求解 .在时刻t去测量力学量F,得到 值的概率为)(tCnknF2)()(tCtPnknk (25)再利用初条件再利用初条件(24),得得一级近似一级近似.按微扰论精神按微扰论精神,在在(22)式右边式右边,令令跃迁速率跃迁速率:体系从初始状态体系从初始状态 在时刻在时刻t跃迁到跃迁到 态态,跃迁概率为跃迁概率为 ,而单位时间内的跃迁概率而单位时间内的跃迁概率,

10、即是即是kn)(tPnk2dd( )( )ddnknknkPtCttt(26)零级近似零级近似,即忽略即忽略 影响影响.按按(22)式式, )(tH, 0)()0( tCkk即即 .所以所以）常数（不依赖于tCkk)0().0()0()0(kkkkkkCCC kkkktC )(0(27)(0)( )( )nknknkCtCt由此得出一级近似解i(1)iekktk kk kCH (28)积分,得i(1)01edikkttk kk kCHt (29)因此,在准到微扰一级近似下i(0)(1)01( )( )edikkttk kk kk kk kk kCtCCtHt (30)对于 (末态不同于初态)k

11、k i01( )edikkttk kk kCtHt (31)而而2i201( )edkkttk kk kPtHt (32)此即微扰论一级近似下的跃迁概率公式此即微扰论一级近似下的跃迁概率公式.此公式此公式成立的条件是成立的条件是1)( tPkk(对 )kk (33)即跃迁概率很小即跃迁概率很小,体系有很大概率仍停留在初始状态体系有很大概率仍停留在初始状态.因为因为,如不然如不然,在求解一级近似解时在求解一级近似解时,就不能把就不能把)(tCnk近似代之为近似代之为.nk由由(32)式可以看出式可以看出,跃迁概率与初态跃迁概率与初态k、末态、末态 以及微以及微扰扰 的性质都有关的性质都有关.特别

12、是特别是,如果如果 具有某种对称性具有某种对称性,k HH 则则, 0 kkP即在一级微扰近似下即在一级微扰近似下,不能从初态不能从初态k跃迁到跃迁到末态末态 ,或者说从或者说从k态到态到 态的跃迁在一级近似下是禁态的跃迁在一级近似下是禁戒的戒的,即相应有某种选择定则即相应有某种选择定则.k k 利用利用 的厄米性的厄米性, 可以看出可以看出,在一级近似下在一级近似下,从从k态到态到 态的跃迁概率态的跃迁概率 , 等于从等于从 态到态到k态概率态概率. 但应但应注意注意,由于能级一般有简并由于能级一般有简并,而且简并度不尽相同而且简并度不尽相同.所以不所以不能一般地讲能一般地讲:从能级从能级

13、到能级到能级 等于从能级等于从能级 能级能级 的跃迁概率的跃迁概率.如要计算跃迁到能级如要计算跃迁到能级 的跃迁概率的跃迁概率,则需则需要把到要把到 诸简并态的跃迁概率都考虑进去诸简并态的跃迁概率都考虑进去,如果体系的如果体系的初态初态(由于由于 能级有简并能级有简并)未完全确定未完全确定,则从诸简并态出则从诸简并态出发的各种跃迁概率都要逐个计算发的各种跃迁概率都要逐个计算,然后进行平均然后进行平均.简单地简单地说说,应对初始能级诸简并态求平均应对初始能级诸简并态求平均,对终止能级诸简并态对终止能级诸简并态 H,*kkkkHH k kkP k kEkE kE kEkE kE kE求和求和.例如

14、例如,一般中心力场中粒子能级一般中心力场中粒子能级 的简并度为的简并度为 nlE).12( l所以从所以从 能级到能级到 能级的跃迁概率为能级的跃迁概率为 nlElnE ,121nln ln l m nlmm mPPl (34)例例2 考虑一维谐振子考虑一维谐振子,荷电荷电q.设初始设初始 时刻时刻 处于基态处于基态 .设微扰设微扰 )( t022etHq x (35) 为外电场强度为外电场强度, 为参数为参数.当当 时时,测得振子测得振子处于激发态处于激发态 的振幅为的振幅为 tn220i(1)01( )()0 einttnCqn x nEEnn)(00利用利用nlxn20可知在一级微扰近似

15、下可知在一级微扰近似下,从基态只能跃迁到第一激发态从基态只能跃迁到第一激发态,容易算出容易算出222 2(1)i104( )edi21i e2ttqCtq 所以所以222222102( )eqP (36)(38)用不含时微扰论来处理实际问题时用不含时微扰论来处理实际问题时,有两种情况有两种情况:(a) 纯粹是求能量本征值问题的一种技巧纯粹是求能量本征值问题的一种技巧,即人为即人为 地把地把H分成两部分分成两部分, 其中其中 的本征的本征值问题已有解或较容易解出值问题已有解或较容易解出,然后逐级把然后逐级把 的影的影响考虑进去响考虑进去,以求得以求得H的更为精确的解的更为精确的解.,0HHH0H

16、H(b) 真正加上了某种微扰真正加上了某种微扰.例如例如,Stark效应效应,Zeeman效应效应等等.在此过程中在此过程中, 实际上是随时间实际上是随时间t 而变的而变的.但人们但人们通常仍然用不含时微扰论来处理通常仍然用不含时微扰论来处理.其理由如下其理由如下:设设H( )e(0) tH tHt式中参数式中参数表征微扰加进来的快慢表征微扰加进来的快慢. 变化如下图变化如下图所示所示. )(tH设设 时体系处于时体系处于 的非的非简并态简并态 ,按微扰一级近似按微扰一级近似,t=0时刻体系跃迁到时刻体系跃迁到 态态的波幅为的波幅为 t0Hkn)(kn 1iiiexpdi)0(0)1(nknk

17、nkkHnttkHntC(39)设微扰设微扰 的引进足够缓慢的引进足够缓慢,确切地说确切地说, 比体系的比体系的 )(tH)(tH H 0t特征时间长得多特征时间长得多,亦即亦即 比体系的所有比体系的所有 的的1kn knnkEE 小得多小得多.令令 的极小值记为的极小值记为 min,nkmin1 T即体系的特征时间即体系的特征时间.因此因此,当下列条件当下列条件满足时满足时T(40)式式(39)化为化为nknkknCH)0()1(因此因此,在微扰一级近似下在微扰一级近似下nEEknknknH)0(41) 加入含时微扰的方式很多，常见的有在加入含时微扰的方式很多，常见的有在某一小时段加入，这称

18、为突发微扰；还有微某一小时段加入，这称为突发微扰；还有微扰加入比较缓慢，这称为绝热微扰扰加入比较缓慢，这称为绝热微扰.11.11.2 2 突发微扰和绝热微扰突发微扰和绝热微扰突发微扰定义为：突发微扰定义为：即在很短的时间内（和体系特征时间相比），即在很短的时间内（和体系特征时间相比），加上一个有限大的常微扰加上一个有限大的常微扰. Schrdinger方程方程即突发即突发(瞬时但有限大瞬时但有限大)微扰并不改变体系的状态微扰并不改变体系的状态.(1)(2),2,( )(0 )0,2HtH tt2021(2)(2)( ) ( )d0iH t tt 例如例如考虑考虑 衰变衰变,原子原子核核 ) 1

19、, 1(),(NZNZ过程中过程中,释放出一个电子释放出一个电子,持续时间持续时间Zcat a为玻尔半径为玻尔半径.与原子中与原子中1s轨道电子运动的特征时间轨道电子运动的特征时间)1371()( aZacZa相比相比,).137( a1ZT设在此短暂过程中在此短暂过程中,衰变前原子中一个衰变前原子中一个K壳电子壳电子(1s电子电子)的状态还来不及的状态还来不及改变改变,即维持在原来状态即维持在原来状态.但由于原子核电荷已经改变但由于原子核电荷已经改变,原来状态并不严格是新原子的能量本征态原来状态并不严格是新原子的能量本征态,特别是特别是,不不是新原子的是新原子的1s态态.试问有多大概率处于新

20、原子的试问有多大概率处于新原子的1s态态?设设K电子波函数表为电子波函数表为1 231003( , )eZr aZZ ra(3)按照波函数统计诠释,测得此K电子处于新原子的1s态的概率为33222(21)200100100260362(1)(1)( )(4)d113(1) (1)1(1137)24Zr aZ ZPZZerraZZZZ (4)例如,.9932. 0,10 PZ练习 氢原子处于基态氢原子处于基态,受到脉冲电场受到脉冲电场)()(0tt (5)作用作用, 为常数为常数.试用微扰论试用微扰论(一级近似一级近似)计算电子跃迁计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率到各激发态的概

21、率以及仍停留在基态的概率.0现在情况与突发微扰相反，体系的哈密顿量随现在情况与突发微扰相反，体系的哈密顿量随时间缓慢变化，此时能量本征值和本征态（瞬时间缓慢变化，此时能量本征值和本征态（瞬时）都与时间有关时）都与时间有关注意，在固定的时间，这些瞬时本征态是正注意，在固定的时间，这些瞬时本征态是正交归一的，不同时刻的瞬时本征态不一定正交归一的，不同时刻的瞬时本征态不一定正交归一交归一.设体系初始时刻处于某一本征态设体系初始时刻处于某一本征态(0)(0)m那么经过一段时间后，这个态演化到什么态？那么经过一段时间后，这个态演化到什么态？(6)(7)()()()(tntEtntnH这个态应该有所有瞬时

22、本征态的贡献这个态应该有所有瞬时本征态的贡献注：如果体系哈密顿量不含时，这个表达式就返注：如果体系哈密顿量不含时，这个表达式就返回到以前的式子回到以前的式子( )( )exp( i/ )nnnta tE tn其中系数其中系数 是时刻是时刻 处于处于 的振幅，比较难的振幅，比较难解（解析解），对于解（解析解），对于 随时间变化足够缓慢随时间变化足够缓慢的体系的体系,则可用量子绝热定理来处理则可用量子绝热定理来处理.( )na tt( )n t(8)0i( )( )exp( )d ( )tnnn ta tE ttn t )(tH量子绝热定理说量子绝热定理说:设体系设体系Hamilton量量H(t)

23、随时间变化随时间变化足够缓慢足够缓慢,初态为初态为 ,则则t0时刻体系将保持在时刻体系将保持在H(t)的相应的瞬时本征态的相应的瞬时本征态 上上.(0)(0)m)(tm定理成立的条件是什么定理成立的条件是什么?也就是说也就是说: H(t)随时间变化随时间变化“足够足够缓慢缓慢”的确切含义是什么的确切含义是什么?从绝热定理的物理内容来讲从绝热定理的物理内容来讲,就是要求式就是要求式(8)中所有中所有 项的项的mn 1)(2tan即从即从 态到所有态到所有 态的跃迁可以忽略态的跃迁可以忽略,因因而体系才可能保持在而体系才可能保持在 态态.能保证这一点的条件将能保证这一点的条件将在式在式(19)或或

24、(21)中给出中给出.在此之前在此之前,先从物理直观图像来先从物理直观图像来分析分析H(t)随时间变化随时间变化“足够缓慢足够缓慢”的确切含义的确切含义.)0(m)()(mntn )(tm半经典图像半经典图像考虑质量为考虑质量为M 的粒子在宽度为的粒子在宽度为 的一维无限深方势阱的一维无限深方势阱)(tL中运动中运动,阱宽阱宽 随时间缓慢变化随时间缓慢变化(阱壁缓慢移动阱壁缓慢移动).阱内阱内粒子动量和速度的量级为粒子动量和速度的量级为)(tLMLMpvLp ,(9)粒子在阱内运动的周期粒子在阱内运动的周期2MLvLT (10)所谓所谓“阱壁缓慢移动阱壁缓慢移动”是指在粒子运动的一周期是指在粒

25、子运动的一周期T内内势宽的变化势宽的变化 即即. lLTL即阱壁移动的速度即阱壁移动的速度 非常缓慢非常缓慢, 比阱内粒子运动比阱内粒子运动速度速度v小得多小得多,这就是经典物理中阱壁绝热移动的含义这就是经典物理中阱壁绝热移动的含义.LL12 vLMLLLLML(11)量子力学估算量子力学估算一个量子体系随时间变化的特征时间为一个量子体系随时间变化的特征时间为min1 T(12)min是体系从初态是体系从初态i到一切可能末态到一切可能末态f的跃迁相应的频率的跃迁相应的频率iffiEE 中的极小值中的极小值.对于一维无限深方阱对于一维无限深方阱2222( )2( ),1,2,3nE tnML t

26、n 2minmin1MLEETif (13)与与(10)的估算时间一致的估算时间一致.阱壁运动的特征时间阱壁运动的特征时间(即即Hamilton量量H(t)随时间变化快慢的特征时间随时间变化快慢的特征时间)为为LL 1(14)所以绝热变化条件可以表述为所以绝热变化条件可以表述为1, 1 min或MLLT(15)这与半经典估计式这与半经典估计式(11)一致一致.定义绝热参量定义绝热参量min 因而绝热近似成立的条件就是因而绝热近似成立的条件就是1(16)下面来更严格讨论量子绝热定理成立的条件下面来更严格讨论量子绝热定理成立的条件.把式把式(8)代入代入Schrdinger方程方程)()()(it

27、tHtt(17)得得0000iii( )exp( )d ( )( )exp( )d ( )iii( )exp( )d ( )( )exp( )d ( )( )ttnnnnnnnttnnnnnnna tE ttn ta E tE ttn ta tE ttn ta tE tt E t n t 上式左边第二项与右边相同上式左边第二项与右边相同,消去消去.用用 左乘上式左乘上式,得得)(tm00iexp( )( )d iexp( )( )d tmnmnntmnmnn maaEtEttm nam maEtEttm n (18)上式即上式即 的展开系数的展开系数 所满足的方程组所满足的方程组.绝热绝热定理

28、成立的条件是式定理成立的条件是式(18)右边所有右边所有 的项可以的项可以略去略去.式式(18)对对t积分后积分后,即可求出即可求出 (无量纲无量纲).在绝热一级近似下在绝热一级近似下, 项可以略去的条件为项可以略去的条件为)(t)(tanmn )(tammn 1,mnm nEE (19)瞬时能量本征态方程瞬时能量本征态方程(6)对对t微分微分,得得( )( )( )( )tnnEHn tH n tn tE n tt用用 左乘左乘, ,得得)(tm)(nm nmEnmEntHmnm (对所有 )nm所以所以)()(mnEEntmnmmnH(20)于是于是(19)式可以改为式可以改为)(, 1)

29、(2mnEEnmEEnmmnmn对所有H(21)式式(19)或或(21)即很多文献中给出的量子绝热定理成立即很多文献中给出的量子绝热定理成立的条件的条件.当此条件满足时当此条件满足时,体系从瞬时能量本征态体系从瞬时能量本征态跃迁到所有跃迁到所有 的瞬时能量本征态的瞬时能量本征态 的概率就可以的概率就可以忽略忽略,因而能保证体系保持在因而能保证体系保持在 相应瞬间能量本征态相应瞬间能量本征态 ,见下图见下图.)0(mmn )(tn)0(m)(tm所以所以,如果如果H(t)随时间变化随时间变化足够缓慢足够缓慢,能保证绝热近似能保证绝热近似条件条件(21)满足满足,则式则式(18)就就化为化为mma

30、mma(22)积分得积分得0( )expd (0)tmmatm mt a (23)因此因此,如体系初态如体系初态 即即,)0()0(m nmna)0(则在绝热近似下则在绝热近似下,式式(8)解解 中所有中所有 项可以忽略项可以忽略,因而因而)(tmn i( )( )( )e( )mmatt tm t(24)式中式中01( )( )dtmmatEtt 0( )idtmtm mt (25)(26)综上所述综上所述,在绝热近似下在绝热近似下,按照量子态的演化必须满足按照量子态的演化必须满足Schrdinger方程的要求方程的要求,式式(24)中的含时因子中的含时因子i( )( )emmatt是必不可

31、少的是必不可少的.01( )expiexp iditk kk kk kCtHtttt在时刻 体系从初态 跃迁到末态 的跃迁振幅是kk周期微扰为(1)计算得到exp i()11( )ii(-)k kk kk kk ktCtHiH ( )ettH跃迁概率是222sin () /24( )k kk kk kk ktPtH由数学公式22sinlim( )xxx 可知，当微扰时间足够长时，有(2)(3)(2)(22kkkkkkHttP上式表明,如周期微扰持续时间足够长,则跃迁速率将与时间无关,而且只有当末态能量 的情况下,才有可观的跃迁速率.单位时间的跃迁概率（跃迁速率）为22d( )2( )dk kk

32、 kk kk kPtwtHt (4)22()k kkkHEE kkEE 下面考虑另一种情况,即常微扰只在一定时间间隔中起作用.设( ) ( )()H tHtt(5)计算得到(6) 其中 为阶梯函数,定义为)(t0, 10, 0)(ttt按11.1节式(31),在时刻t,微扰 导致的体系从k态 态的跃迁振幅(一级近似)为)(tH k i(1)1( )( )edikkttk kk kCtHtt(7) 分部积分,得ii(1)( )ee( )dkkkktttk kk kk kk kk kHtHCttt (8) (9) i(1)( )(1 e)kkTk kk kk kHCt(10)跃迁概率是222sin

33、/21( )/2k kk kk kk kTPtH22)2()2(sinkkkkT 随 变化的曲线,见下图.kk 由此可见，当微扰时间足够长，且跃迁时间大于微扰时间是，有222( )k kk kk kPtHT 跃迁速率定义为(11)(12)上式表明,如常微扰只在一段时间内(0,T)起作用,只要作用延续的时间T足够长,则跃迁速率与时间无关,而且只当末态能量 的情况下,才有可观的跃迁发生.kkEE 2222()2()k kk kk kk kk kkkPTHHEE 对所有末态求和，跃迁速率之和为d( )kkk kwEEwt计算得到22kk kwEHFermi黄金规则:(13)设 表示体系 的末态态密度

34、,即在 范围内的末态数为)(kE )(0H(,d)kkkEEEd()d.kkNEE 在1.1节中已经指出，由于微观粒子具有波动性，人们对于粒子的力学量的经典概念有所修改.把经典粒子力学量的概念全盘搬到量子力学中来,显然是不恰当的.使用经典粒子力学量的概念来描述微观粒子必定会受到一定的限制.这个限制集中表现在Heisenberg 的不确定度关系中.下面我们来讨论与此有关,但含义不尽相同的能量-时间不确定度关系.先讨论几个特例.例1 设粒子初始状态为 ),()()0 ,(21rrr 21 和是粒子的两个能量本征态，本征值为则和,21EE12ii12( , )( )e( )eE tE t r t r

35、r（1）.r, 是一个非定态)( t在此态下，各力学量的概率分布一般要随时间而变.例如粒子在空间的概率密度22212ii1212( , )( , )( )( )(ee)ttr t r t rr （2）其中21EEE （）E可视为测量体系能量时出现的不确定度.由上可见,随时间而周期变化,周期 动量以及),(tr.2EhT其他力学量的概率分布也有同样的变化周期.这个周期T是表征体系性质变化快慢的特征时间,记为按以上分析,它与体系的能量不确定度 有下列关系 .Tt Et Eh (3)对于一个定态,能量是完全确定的,即. 0 E这并不违反关系式(3)定态的特点是所有力学量的概率分布都不随时间改变,即变

36、化周期 ,或者说特征时间 T. t例2 设自由粒子状态用一个波包来描述，波包宽度 ,群速率为v,相应于经典粒子的运动速度.波包掠过空间某点所需时间 .因此其能量不确定度为 .因此其能量不确定度.xvxt xpEEpv pp 所以xtEv pxpv (4)例3 设原子处于激发态,它可以通过自发辐射而衰变到基态,寿命为 .这是一个非定态,其能量不确定度 称为能级宽度 实验上可通过测量自发辐射光子的能量来测出激发态的能量.由于寿命的限制,自发辐射光子相应的辐射波列的长度因而光子动量不确定度 能量(E=cp)的不确定度 由于观测到的光子能量有这样一个不确定度,由之而得出的原子激发态能量也相应有一个不确

37、定度,即宽度 而,E.,cx ,cxp.pcE.T(5)其中_2)(AAA前面（3.3.1）讲过，两个力学量 和 不确定度之间的关系是AB(6)那么对于以下常见的能量-时间不确定度关系如何理解？2tE(7)下面对能量-时间不确定度关系给一个较普遍的描述.,21BABA其中21221_2)()(AAAHHE，由我们先给出以下推导，选两个力学量分别为体系的哈密顿量 和 ，那么(7)得到d2 dAEAt (8)HA,21AHAE,ddiHAtA所以，定义对应于力学量 的时间不确定度就有这里 是 改变 所需的时间间隔,表征 变化快慢的周期.在给定状态下, 每个力学量A都有相的 ,在所有的 中,最小的一

38、个记为.这就是能量时间不确定关系的含义.d/ dAAAt2AE AAAAAAA11.5 光的吸收与辐射的半经典理论光的吸收与辐射的半经典理论 在光的照射下在光的照射下, ,原子可能吸收光而从低能级跃原子可能吸收光而从低能级跃迁到高能级迁到高能级, ,或从较高能级跃迁到低能级并放出光或从较高能级跃迁到低能级并放出光. .这现象分别称为这现象分别称为光的吸收光的吸收和和受激辐射受激辐射. .实验上还观实验上还观察到察到, ,如果原子本来处于激发能级如果原子本来处于激发能级, ,即使没有外界即使没有外界光的照射光的照射, ,也可能跃迁到某些较低能级而放出光来也可能跃迁到某些较低能级而放出光来, ,这

39、称为这称为自发辐射自发辐射. . 对于光的吸收和受激辐射现象对于光的吸收和受激辐射现象, ,可以在非相对可以在非相对论量子力学的框架中采用半经典方法来处理论量子力学的框架中采用半经典方法来处理. .在这在这里里, ,原子是作为一个量子力学体系来对待原子是作为一个量子力学体系来对待, ,但辐射但辐射场仍用一个连续变化的经典电磁场来描述场仍用一个连续变化的经典电磁场来描述, ,并未进并未进行量子化行量子化, ,即把光辐射场当作一个与时间有关的外即把光辐射场当作一个与时间有关的外界微扰界微扰. .用微扰论来近似计算原子的跃迁速率用微扰论来近似计算原子的跃迁速率. .但但对于自发辐射对于自发辐射, ,

40、这个办法就无能为力了这个办法就无能为力了. . 为简单起见,先假设如射光为平面单色光,其电磁强度为0cos()tEEk rBkE k(1)在原子中,电子的速度 ,磁场对电子的作用远小于电场作用.因此只需考虑电场的作用.此外,对于可见光波长远大于玻尔半径,在原子大小范围中,电场变化极微,可以看成均匀电场,即cv tEEcos0 (3)它相应的电势为E rC (2)常数项对于跃迁无贡献,不妨略去.因此,入射可见光对于原子中电子的作用可表示为0HcoscoseD EtWt (4)其中0,WD EDer 把 代入跃迁振幅的一级微扰公式(11.1节,式(31)H ii(1)ii00i()i()1ede(

41、ee)di2ie1e12kkkkkkkkttttttk kk kk kttk kk kk kWCHttW (5)对于可见光, 很大.对于原子的光跃迁, 也很大.kk (5)式中的两项,只当 时,才有显著的贡献.为确切起见,下面讨论原子吸收光的跃迁, ,此时,只当入射光 的情况下,才会引起 的跃迁.此时kk kkEE )(kkkkEE kkEE i()(1)e1( )2kktk kk kk kWCt (6)因此从 的跃迁概率)(kkk 22222)1(2)( 2)(sin4)()(kkkkkkkkkktWtCtP(7)当时间t充分长以后,只有 的入射光才对 的跃迁有明显贡献.此时kk kkEE

42、22( )() 2)4k kk kk ktPtW(8)而跃迁速率为2202222202d()()d22cos()2k kk kk kk kk kk kk kk kwPWDEtDE (9)其中 是 与 的夹角.如入射光为非偏振光,光偏振( )的方向是完全无规则的,因此把 换为它对空间各方向的平均值,即kkD 0E0E2cos22220011cosdcosdsincosd1 344所以2202()6k kk kk kwDE(10)这里 是角频率为 的单色光的电场强度值.以上讨论的是理想的单色光.自然界中不存在严格的单色光.对于这种自然光的跃迁,要对式(10)中各种频率的成分的贡献求和.令 表示角频率为 的电磁辐射场的能量密度.利用0E)(22222200011( )()84( ) 11d cos( )48TEBEEttET (11)可把式(10)中 换为 就得出非偏振自然光引起的跃迁速