13.4《最短路径问题(2)》教案

1、13.4课题学习 最短路径问题（第二课时）13.4.2造桥选址问题一、教学目标：（一）学习目标1 .熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2 .学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3 .体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.（二）教学重点教学重点：利用平移将 造桥选址”的实际问题转化为 两点之间，线段最短”问题（三）教学难点教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题二、教学设计（一）课前设计1 .预习任务平移不改变图形的 和；三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差 第三边；如图，直线AB, CD且AB/CD,在直线AB上任取不同两点P、Q,过P

2、、Q分别作CD的垂线，垂足分为M、N,则PM与QN的大小关系为（）A. PM>QNB. PM = QNC. PM<QN D.不能确定答案：形状，大小；小于； B2 .预习自测直线AB上有一点P,当点P在 时，PA+PB有最小值，最小值为 AB的值；直线AB上有一点P,当点P在 时，PB-PA等于AB的值；直线AB上有一点P,当点P在 时，PA-PB等于AB的值；【知识点】线段的和差【数学思想】分类讨论，数形结合【思路点拨】直线AB上有一点P,此时点P与线段AB的位置关系有两种： 如图1,点在线段AB上；如图2和图3,点在线段BA的延长线上或点在直线 AB的延长线上.【解题过程】当点

3、P在线段AB上时，如图1, PA+PB=AB即PA+PB最小值为 AB的值；当点P在线段BA的延长线上时，如图2, PB-PA=AB;当点P在 线段AB的延长线上时，如图3, PA - PB =AB;【答案】线段AB上；线段BA的延长线上；线段 AB的延长线上.如图，点A、B在直线l的同侧，在直线l上能否找到一点P,使得| PB-PA | 的值最大？【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据三角形任意两边的差小于第 三边"，则| PB-PA | <AB;当点P与A、B共线，点P在线段BA的延长线 上时，即点P为直线AB与直线

4、l的交点，则| PB-FA | =AB.【解题过程】当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时| PB-PA | < AB;当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-PA=AB,即| PB-PA | =AB;【答案】如图，连接BA并延长交直线l于P,此时| PB-PA |的值最大.（二）课堂设计1 .知识回顾在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平移 变换（简称平移）.平移不改变图形的形状和大小.三角形三边的数量关系：三角形两边的差小于第三边2 .问题探究探究一运用轴对称解决距离之差最大问题舌动回顾旧知，引入新知师：上节课我们认识了精通数学、物理学的

5、学者海伦，解决了数学史中的经典问 题一一将军饮马问题”，但善于观察与思考的海伦在解决 两点（直线同侧）一 线”的最短路径问题时他从另一角度发现了 “最大值”的情况：活动整合旧知，探究新知例1.如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C,使| AC- BC | 的值最大.【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值 问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A（或点B）关于直线l的对称点A'或 B',）利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线 A'B（AB'与直线l交点C.【解题过程】如图1

6、所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A', AB的延长线交l于点C,则点C即为所求.活动类比建模，证明新知师：回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明两点（直线同侧）一线型”时AC +BC最小的吗？试类比证明AC-BC |最大”的作法是否正确性？理由：在直线l上任找一点C '（异于点C）,连接CA, CA, CA', CB.因为点A, A关于直线l对称，所以l为线段AA'的垂直平分线，则有CA=CA',所以CA- CB = CA'CB=A'B.又因为点 C在 l 上，所以 CA= CA'又在 ABC中，C'A CB

7、= CACB<AB,所以 C'A CB<CACB.练习 点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直 角坐标系，如图所示.若P是x轴上使得|PA PB|的值最大的点，Q是y轴上使得 QA+QB的值最小的点，请在图中画出点 P与点Q.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两 边的和大于第三边【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P为直线AB 与x轴的交点，则此时P是x轴上使得|PA- PB|的值最大的点，即| PA- PB | =AB.将点A、B看成y轴同侧有两点：在y轴上求一点Q,使得QA+QB最小【解

8、题过程】延长线段 AB, AB与x轴交于点P,则此时P是x轴上使得|PA PB|的值最大的点，即| PA-PB | =AB;作点A关于x轴的对称点A； AB 的连线交y轴于点Q,则点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.【答案】如图，点P与点Q即为所求： 探究二利用平移解决造桥选址问题 舌动结合实际，难点分解师：常说 遇山开路，遇水搭桥”，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢?如图，在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥，连接河岸 EF,且CD/ EF. 显然当桥AB垂直于河岸时，所建的桥长最短.活动生活中的实际问题例2.如图，A、B两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥 MN,桥

9、造在 何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要 与河岸垂直）【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点 A到点B要走的路线是 A-M-N - B,如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要 AM + BN最 短即可.如图1,此时两线段AM、BN应在同一平行方向上，平移 MN至IJA A', 则A A MN, AM+NB=A' N+NB这样问题就*$化为：当点 N在直线b的什么位 置时，A N+NEft小？如图2,连接A； B两点的线中，线段 AB最短，因此， 线段AB与直线b的交点N的位置即为所求，即在点

10、N处造桥MN,所得路径 Af MR NHB 是最短的.【解题过程】 如图2,平移MN到AA'（或者过点A作A A垂直于河岸），且 使AA等于河宽.连接BA与河岸的一边b交于点N.过点N作河岸的垂线交 另一条河岸a于点M.【答案】如图所示，则 MN为所建的桥的位置.图2活动几何证明上述作图为什么是最短的？请你想想.先让学生小组合作完成，进行展示、分享.证明：由平移的性质，得 MN/AA',且MN = AA', AM=AN, AM/AN,所 以A、B两地的距离：AM+MN+BN= AA' AN+ BN = AA' AB.如图2,不妨在直 线b上另外任意取一点

11、N',若桥的位置建在N M处，过点N'作N' M 1 a,垂足 为M 连接AM AN ； N B.由平行知：AM =A N AA= N M 则建桥后AB 两地的距离为：AM +M N +N B=A N +AA +N B=AA +a. NEW N'中，. A' N +N'>B A' B,. .AA +A N +NJSBAA' +A' B,即 AM +M N +N'd AM+MN+BN.所以桥建在MN处，AB两地的路程最短.【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的已知问题，从而做出最短路径的选择.练习 如

12、图1,江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从 A城经过一条大江到 B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行 .应 如何选择建桥的位置，才能使从 A地到B地的路程最短？【知识点】平移的知识，两点之间线段最短【思路点拨】从A到B要走的路线是A-M一N - B,如图所示，而MN是定值， 于是要使路程最短，只要 AM + BN最短即可.此时两线段应在同一平行方向上， 平移MN到AC,从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时 不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥.【解题过程】(1)如图2,过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；(2)连接 BC与河岸的一边

13、交于点N; (3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点 M.【答案】如图2所示，则MN为所建的桥的位置.3.课堂总结知识梳理本堂课主要知识为两个最值问题：(1)利用轴对称知识解决 线段距离之差最大”问题；(2)利用平移、两点间线段最短解决 造桥选址”问题.重难点归纳解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的 两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.距离之差最大”问题的两种模型：如果两点在一条直线的同侧时， 过两点的 直线与原直线的交点处构成线段的差最大； 如果两点在一条直线的异侧时，先 作其中一点关于直线的对称点，转化为即可.通常求最大值或最小值的情

14、况， 常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正 确性. 造桥选址”问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.解决连接河两岸的 两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零， 转化为 求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.（三）课后作业 基础型自主突破1 .如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线 a表示输水总管道，直 线b表示输煤气总管道.现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道 将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤 气分管道的用料最短.图中，点 A是点A关于直线b的对称点，AB分别交

15、b、 a于点C、D;点B是点B关于直线a的对称点，BA分别交b、a于点E、F .则 符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A. F 和 CB. F和 EC. D和 CD. D和 E【知识点】最短路径问题.【思路点拨】 图中隐含了两个 两点（同侧）一线型”的模型.【解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B与A的连线的交点F,煤气分管道的连接点是点 A关于b的对 称点A与B的连线的交点C.故选A.【答案】A2 .如图所示，一面镜子 MN竖直悬挂在墙壁上，人眼 O的位置与镜子MN上沿 M处于同一水平线.有四个物体A、B、C、D放在镜子前面，人眼能从镜子

16、看 见的物体有（）A.点 A、B、C B.点 A、B、D C.点 B、C、D D.点 A、B、C、D 【知识点】轴对称的知识【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称 点，人眼从镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点，必须在眼的视线范围内.如下图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A'、B'、C'、D由 于C不在/ MON内部，故人能从镜子里看见 A、B、D三个物体.【解题过程】如下图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A'、B'、 C'、D'.由于C不在/ MON内部，故人能从镜子里看

17、见 A、B、D三个物体.【答案】B3 .如图，在四边形 ABCD 中，/C=50°, /B=/D=90°, E、F 分别是 BC、 DC上的点，当 AEF的周长最小时，/ EAF的度数为()A. 500B. 60°C. 700D. 80°【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、三角形的外角以及三角形内角和、 四边形内角和【解题过程】二.在四边形 ABCD 中，/C = 50°, /B=/D = 90°,./BAD=130° 延长AB至ij P,使BP=AB,延长AD至I Q,使DQ=AD, WJ点A关于BC的对称 点为点P,

18、关于CD的对称点为点Q,连接PQ与BC相交于点E,与CD相交于 点F,如图,PQ的长度即为 AEF的周长最小值；又:/ BAD=130°, 在4APQ 中，/P+/Q=180° 130 =50°. . /AEF = /P+/PAE=2/P, /AFE=/Q + /QAF=2/Q, . AEF+/AFE = 2(/ P+/ Q) = 2>50° = 100° , . . / EAF =180 100 =80°【思路点拨】 补全图形，转化为“一点两线型”求三角形周长最小的问题； 根据三角形的内角和等于180°求出/ P+/

19、Q,再根据三角形的外角以及三角 形内角和知识运用整体思想解决.【答案】D4 .如图，村庄A, B在公路l的同侧，在公路l上有一个公交车站点P,此点P使 得| PB- PA|值最大，试作出公交车站 P的位置.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据三角形任意两边的差小于第 三边"，则| PB-PA | <AB;当点P与A、B共线时，即在线段BA的延长线 上，点P为直线AB与直线l的交点，则| PB-PA | =AB.【解题过程】当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时| PB-FA | < AB;当点P在线段BA

20、的延长线与直线l的交点时，如图，PB-PA=AB,即| PB-PA | =AB;【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.5 .如图，等边 ABC的边长为2, AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点， F是AC边上的中点，当EF+EC取得最小值时，求/ ECF的度数.【知识点】等腰三角形的 主线合一”，轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】拆分出点F、点C和直线AD,构成两点一线型”的基本模型是解 决本题的关键，连接CF （或者连接BF）与直线AD交于点E,此时EF+EC取 得最小值为CF （或者BF）,但题目要求/ECF的度数，则只能连接CF,根据 等腰三角形主线合一 ”的性质求解.【解题

21、过程】取AB得中点F',则等边三角形AC边的中点F与点F'关于直线 AD对称；连接CF',与直线AD相交于点E,此时EF+EC取得最小值.因为CF' 是等边 ABC的边AB上的中线，所以CF平分/ACB,则/ ECF的度数是30°.作图解题之前应该忽略图中的点 E,如图1,又由 两点一线型”的最短距离的 模型得到图2;【答案】/ ECF的度数为3006 .如图，在 RtAABC 中，/ACB=90°, AC=6, BC=8, AB=10, AD 是/ BAC 的 平分线.若P、Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值.【知识点】轴对称

22、的知识、垂线段最短、角平分线的性质【数学思想】数形结合，转化【解题过程】如图，过点C作CM ±AB于点M ,交AD于点P,过点P作PQXAC 于点Q,=AD是/BAC的平分线，PQ=PM,这时PC+PQ有最小值，最小值 为 CM 的长度.V AC=6 , BC=8 , AB=10 , Saabc= - AB?CM= - AC?BC ,22CM= AC BC =6-8 = 24 ,即 pc+pq 的最小值为义. AB 1055【思路点拨】因为/ BAC的对称轴是/ BAC的平分线所在的直线AD,所以点Q 的对称点在射线AB上.若点Q关于直线AD的对称点为点M, PC+PQ =PC+PM

23、, 又当PC、PM共线时，PC+PM的最小值为线段CM的最小值，根据垂线段最短， 所以当CM ±AB时线段CM的值最小.过点C作CM ±AB于点M ,交AD于点P, 过点P作PQXAC于点Q,因为AD是/ BAC的平分线，得出PQ=PM,这时11PC+PQ有最小值，最小值为CM的长度，再运用Saabc="AB?CM = -AC?BC,得 22出CM的值，即PC+PQ的最小值.本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是 找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置.5能力型师生共研7 .如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC 的中点，点

24、P是线段EF上一个动点，连接BP、GP,求4BPG周长的最小值.【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】要使 PBG的周长最小，而BG=1.5是一个定值，只要使BP+PG 最短即可，则转化为 两点一线型”的最短路径问题.连接AB交直线EF于点P 即当P和E重合时，止匕时BP+PG最小，即 PBG的周长最小.【解题过程】如图，连接 AG交EF于M；等边 ABC, E、F、G分别为AB、 AC、BC 的中点，. . AGBC, EF/BC, WJAGLEF, AM=MG,A、G 关于 EF对称，连接AB交直线EF于点P,即当P和E重合时，此时BP+PG最小， 即4PBG 的周长最小，v

25、 AP=PG, BP=BE,最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=3+1.5=4.5.【答案】4.5探究型多维突破8 .读一读：勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系：在直角三角形中，两直角 边a、b的平方和等于斜边c的平方，即ab2=c2 .我国古代学者把直角三角形的 较短直角边称为 勾”，较长直角边为 股”，斜边称为 弦”，所以把这个定理成为勾股定理”.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4,则斜边c2= a2+b2=9+16=25,则斜边c为5.借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体 内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：

26、如图，已知A、B两个村庄位于河流CD的同侧，它们到河流的距离 AC=10km, BD=30km,且CD=30km.现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺 设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站 P的位置，并 求出此时所花费用的最小值为多少？（保留痕迹，不写作法）【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】根据已知得出作点 A关于直线l的对称点A；连接AB,则AB与 直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，冉构造直角三角形利用勾股定理即 可求出.此题主要考查了用轴对称解决最短路径问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形.【解题过程】依题意，只要在直线l上找

27、一点P,使点P到A、B两点的距离和 最小.作点A关于直线l的对称点A；连接AB,则AB与直线l的交点P到A、 B两点的距离和最小，且 PA+PB=PA' PB=A'B.又过点A向BD作垂线，交BD 的延长线于点E,在直角三角形 ABE中，A'E=CD=30, BE=BD+DE=40,根据 勾股定理可得：AB=50 （千米）即铺设水管长度的最小值为 50千米.所以铺设 水管所需费用的最小值为：50X2=100 （万元）.【答案】100万元9.读一读：勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系：在直角三角形中，两直角 边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2nb2=c2 .我国古

28、代学者把直角三角形的 较短直角边称为 勾”，较长直角边为 股”，斜边称为 弦”，所以把这个定理成为勾股定理”.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4,则斜边c2= a2+b2=9+16=25,则斜边c为5.借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体 内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图，/AOB=30°,点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1, ON=3,点 P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是.【知识点】轴对称的知识【思路点拨】点M、N分别在边OA、OB上的定点，作M关于OB的对称点M 作N关于OA

29、的对称点N',连接M N 即为MP+PQ+QN的最小值.【解题过程】解：作M关于OB的对称点M',彳N关于OA的对称点N', 连接MN',即为MP+PQ+QN的最小值.根据轴对称的定义可知： /N' OQ/MOB=/AOB=30° , O N'=ON=3, OM =OM=1, . . / N' OM=90° , 在 R3M ON中，M N=V32 12 = >/i0.故答案为石0 .【答案】、T0自助餐1 .如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂 E为A 村与B村供水，自来水厂建在什么地方到

30、 A村、B村的距离和最小？请在下图中 找出点E的位置.（保留作图痕迹，不写作法）【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出 A点关于直线CD的对称点A', 再连接AB交CD于点E,即可得出答案.【解题过程】如图所示，点E即为所求.2 .如图，在一条笔直的公路l旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货， 那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差即| PB- PA |最 小？（保留作图痕迹及简要说明）【知识点】线段垂直平分线的知识，绝对值的知识【思路点拨】因为绝对值具有非负性，即|PB-AP | >0,所以当点 PA=PB时，|

31、PB PA |最小值为0.【解题过程】作线段AB的垂直平分线，与直线l交于点P,交点P即为符合条 件的点.如图，取线段 AB的中点G,过中点G画AB的垂线，交EF于P,则P1. 到A, B的距离相等.也可分别以 A、B为圆心，以大于2AB为半径回弧，两弧 交于两点，过这两点作直线，与 EF的交点P即为所求.【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.3.如图，直线l外不重合的两点A、B,在直线l上求作一点C,使得AC+BC的 长度最短，作法为：作点B关于直线l的对称点B'连接AB与直线l相交 于点C,则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的数学知识或方法 是（）A.转化思想B.三角形的两边之和大于第三边C.两点之间，线段最短D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角【知识点】轴对称的知识、两点之间最短【解题过程】二.点B和点B'关于直线l对称，且点C在l上，CB=CB'，又二 AB交l与C,且两条直线相交只有一个交点，. CB' CA= AB '最短，即此时 点C使CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”， 体现了转化的思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边.故选 D.【思路点拨】利用“两点之间线段最短”分析并验证即可.此题主要考查了利用 轴对称知识解决最短路径