渐开线与摆线ppt

1、渐开线与摆线渐开线与摆线1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹滚动时圆上定点的轨迹(平摆线平摆线)、直线在圆、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线渐开线)，了解，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程们的参数方程2.通过阅读材料，了解其他摆线通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.学习目标学习目标重

2、难重难点点突破突破重点：渐开线与摆线的基本概念和参数方程重点：渐开线与摆线的基本概念和参数方程. 难点：渐开线与摆线及其方程的灵活运用难点：渐开线与摆线及其方程的灵活运用. 1. 渐开线探 究：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线.这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？讲授新课 圆的渐开线的概念：先分圆的渐开线的概念：先分析动点（笔尖）所满足的析动点（笔尖）所满足的几何条件，如图所示，设几何条件，如图所示，设开始时绳子外端为开始时绳子外端为 于点于点A，当外端展开到点当外端展开到点M时，因时，因为绳子对圆

3、心角是一段弧为绳子对圆心角是一段弧AB，展开后成为切线展开后成为切线BM，所以切线所以切线BM的长就是弧的长就是弧AB的长，这是动点满足的长，这是动点满足的条件，我们把笔尖画出的条件，我们把笔尖画出的曲线叫圆的的曲线叫圆的渐开线渐开线，相，相应的圆叫做渐开线的应的圆叫做渐开线的基圆基圆.GGB演示演示ABMO讲授新课 根据动点满足的几何条件:我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系(图).设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x,y).显然，点M由角惟一确定.ABBM OABM讲授新课( , )( cos , sin )(cos ,sin ),OOA xrMx yMBrrBM

4、x ryrBMr我们以基圆圆心 为原点， 直线为 轴， 建立平面直角坐标系， 设基 圆的半径为 ， 绳子外端的坐标为， 显然， 点 由角 唯一确定。取 为参数， 则点 的坐标为从而讲授新课122(cossi(cos ,sin )(sin ,cos )()(cos ,sin )()(sn )()(sincoin ,co)s )seOBeBMBMrexryrrxryr由于向量是与同方向的单位向量，因而向量是与向量同方向的单位向量，所以解得这就是圆的渐开线的参为参数数方程。:圆的渐开线的参数方程圆的渐开线的参数方程讲授新课渐开线的应用：在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力.由于渐开线齿形的齿轮磨损少

5、，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。讲授新课12122(cossin ) (sincos )cossinsin ( cos )0./.eeeeBMeur uu rur uu rQQuruu ruuuu ruu ruruu ruuuu ruu r，即即: :讲授新课思考思考讲授新课 2. 摆线思考： 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？ 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？如图，假设如图，假设 B 为圆心，圆周上的

6、定点为为圆心，圆周上的定点为 M， 开始时位于开始时位于 O 处处.圆在直线上滚动时，点圆在直线上滚动时，点 M 绕圆绕圆 心作圆周运动，转过心作圆周运动，转过 (弧度弧度)角后，圆与直线相角后，圆与直线相 切于切于 A，线段线段 OA 的长等于的长等于MA的长的长，即，即 OA=r . 这就是圆周长上的定点这就是圆周长上的定点 M 在圆在圆 B 沿直线滚动过沿直线滚动过程中满足的几何条件程中满足的几何条件.我们把点我们把点 M 的轨迹叫做的轨迹叫做平平摆线摆线，简称，简称摆线摆线，又叫，又叫旋轮线旋轮线. 讲授新课GGB演示讲授新课 摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。讲授新

7、课()sincos .(sinxMrMxABMABxCDMx yMxODOADAOAMCrryDMACABCBrrxr 我我们们取取定定直直线线为为 轴轴，定定点点滚滚动动在在定定直直线线上上的的一一个个位位置置为为原原点点，建建立立直直角角坐坐标标系系，设设圆圆的的半半径径为为 ，设设开开始始时时定定点点在在原原点点，圆圆滚滚动动了了 角角后后与与轴轴相相切切于于点点 ，圆圆心心在在点点 ，从从点点分分别别作作，轴轴的的垂垂线线，垂垂足足分分别别为为 ， ，设设点点的的坐坐标标为为， 取取 为为参参数数，根根据据点点满满足足的的几几何何条条件件，所所以以，摆摆线线的的参参数数方方程程为为：

8、)(1cos().yr 为为参参数数摆线的参数方程是摆线的参数方程是因此因此,(sin ),()(1 cos )xryr是参数讲授新课(1) 在在摆摆线线的的参参数数方方程程中中，参参数数 的的取取值值范范围围是是什什么么？一一个个拱拱的的宽宽度度与与高高度度各各是是多多少少？;0)22().rrr 参参数数 的的取取值值范范围围是是一一个个拱拱的的宽宽度度是是，高高度度是是其其中中是是滚滚动动圆圆的的半半径径，思考思考例题例题+ +变式圆的渐开线变式圆的渐开线例题例题+ +变式圆的渐开线、摆线的参数方程理解变式圆的渐开线、摆线的参数方程理解方法总结方法总结圆的渐开线的参数方程中，字母圆的渐开

9、线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母表示基圆的半径，字母是指绳子外端运动时绳子上的定点是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角；相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程例题例题+ +变式圆的渐开线变式圆的渐开线例题例题+ +变式摆线变式摆线例例2求半径为求半径为2的圆的摆线的参数方程的圆的摆线的参数方程(如图如图所示所示，开始时定点开始时定点M在原点在原点O处处，取圆滚动时取圆滚动时转过的角度转过的角度，(以弧度为单位以弧度为单位)为参数为参数)例题例题+ +变式摆线变式摆线例题例题+ +变式摆线变式摆线1圆的摆线的实质是一个

10、圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹圆周上一个定点的轨迹2根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母字母r是指定圆的半径，参数是指定圆的半径，参数是指圆上定点相对于某一定点是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小运动所张开的角度大小方法总结方法总结例题例题+ +变式摆线变式摆线例题例题+ +变式圆的渐开线、摆线的参数方程理解变式圆的渐开线、摆线的参数方程理解例例3如图如图，一个宽为一个宽为a的矩形木条沿着半的矩形木条沿着半径为径为r的定圆无滑动地滚动的定圆无滑动地

11、滚动，试求木条外缘试求木条外缘上某点上某点P的轨迹方程的轨迹方程例题例题+ +变式圆的渐开线、摆线的参数方程理解变式圆的渐开线、摆线的参数方程理解例题例题+ +变式圆的渐开线、摆线的参数方程理解变式圆的渐开线、摆线的参数方程理解方法总结方法总结例题例题+ +变式圆的渐开线、摆线的参数方程理解变式圆的渐开线、摆线的参数方程理解例题例题+ +变式圆的渐开线、摆线的参数方程理解变式圆的渐开线、摆线的参数方程理解易错警示易错警示典例典例已知一个圆的摆线过一定点已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出请写出该摆线的参数方程该摆线的参数方程例题例题+ +变式圆的渐开线、摆线的参数方程理解变式圆的渐开线、

12、摆线的参数方程理解错因与防范错因与防范 如图，一个直径为如图，一个直径为1的小圆沿着直径为的小圆沿着直径为2的大圆内的大圆内壁的逆时针方向滚动，壁的逆时针方向滚动，M和和N是小圆的一条固定直是小圆的一条固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁的径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周点一周点M，N在大圆内所绘出的图形大致是在大圆内所绘出的图形大致是() A阅读提高阅读提高分析：分析：根据小圆与大圆半径根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为的关系，知小圆的周长为大圆的一半，则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一大圆的一半，则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周若小圆转半圈，

13、周若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一刚好是大圆的二分之一阅读提高阅读提高2:1时时 一个点的一个点的 内摆线内摆线 4:1时时一个点的一个点的内摆线内摆线（星形线）（星形线） 阅读提高阅读提高阅读提高阅读提高)()cos(sin)sin(cos是参数是参数 ryrx(sin ),()(1 cos )xryr是参数2. 平摆线、摆线的参数方程平摆线、摆线的参数方程.1.圆的渐开线，渐开线的参数方程；圆的渐开线，渐开线的参数方程；小结小结题目部分题目部分题目部分题目部分题目部分题目部分题目部分题目部分上的对应点上的对应点A,B,并求出并求出A，B的距离的距离.,cossin()sincosxy是参数4.（难度：易）（难度：易）当当 时，求出时，求出渐开线渐开线3,22题目部分题目部分题目部分题目部分5.（难度：易）（难度：易）有一个半径是有一个半径是a的轮子沿着直的轮子沿着直线轨道滚动线轨道滚动,在轮辐上有一点在轮辐上有一点M，与轮子中心，与轮子中心的距离是的距离是b