渐开线与摆线

1、渐渐 开开 线线 与与 摆摆 线线BABABAABM 以基圆圆心以基圆圆心O O原点，直线原点，直线OAOA为为x x轴建立平轴建立平面直角坐标系面直角坐标系设基圆的半径设基圆的半径为为r r，点，点M M的坐的坐标（标（x,yx,y) )由由惟一决定。惟一决定。 取取为参数，则点为参数，则点B B的坐标为的坐标为(rcos(rcos,rsin ),设设e1是与是与 同向的单位同向的单位向量，向量，从而向量从而向量e1= (cos(cos,sin ),设设e2是是与与 同向的单位向量，所以同向的单位向量，所以 = （r r）e2，同时，同时 = (x(xrcosrcos, y sin ),由图

2、可知，由图可知，e2 =（ sin , coscos)OBBMBMBM(x(xrcosrcos, y sin )= （r r）（ sin , coscos)y =r(sinsin cos)x=r(coscos + sin )（为参数）为参数）注意：注意： 4.基圆内无渐开线基圆内无渐开线 3.渐开线的形状取决于基圆的大小渐开线的形状取决于基圆的大小1.发生线发生线BM沿基圆滚过的长度等沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度。于基圆上被滚过的圆弧长度。 2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。 例例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿

3、廓线的基圆直径为齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所求齿廓所在的渐开线的参数方程。在的渐开线的参数方程。解：因为基圆的直径为解：因为基圆的直径为22mm，所以，所以基圆的半径为基圆的半径为11mm，因此齿廓线的，因此齿廓线的渐开线的参数方程为：渐开线的参数方程为：X=11 (cos + sin )Y=11(sin cos)（为参数）为参数）例例2.当当= ， 时，求出渐开线时，求出渐开线42X=cos + sin Y=sin cos上的对应点上的对应点A，B，并求出，并求出A，B的距离。的距离。四、平摆线探究：探究： 如果在自行车的轮子上喷一个如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔

4、直的道白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？样的曲线？1、平摆线的定义我们把定点我们把定点P的轨迹叫做的轨迹叫做，又叫，又叫。当一个圆沿着一条定直线当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，无滑动地滚动时，圆周上一个定点圆周上一个定点P的的轨迹是什么？轨迹是什么？OABP 平摆线在它与定直线的平摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。叫做一个拱。上述问题抽象成数学问题就是：上述问题抽象成数学问题就是：xyO DAEBPC2 2、平摆线的参数方程、平摆线的参数方程取定直线为取定直线为X轴，轴，定点定点P滚

5、动时落在滚动时落在定直线上的一个定直线上的一个位置为原点，建位置为原点，建立直角坐标系。立直角坐标系。设圆的半径为设圆的半径为r。设P(x,y)是轨迹上任意一点，此时圆转过 角，圆心位于A点，则BAP= ，作ABOx，PDOx，PCAB。由题意，OB=BP=r那么，x=OD=OB-DB=OB-PC=r( -sin )y=DP=BA-CA=r (1 -cos )所以，平摆线的参数方程为：所以，平摆线的参数方程为：(sin ),()(1 cos ).xryr为参数2 2、平摆线的参数方程、平摆线的参数方程(sin ),()(1 cos ).xryr为参数平摆线的参数方程为：平摆线的参数方程为：思考

6、思考1 1：在平摆线的参数方程中，参数：在平摆线的参数方程中，参数 的取值范围的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？xyO DAEBPC思考思考2 2：若点：若点Q Q在半径在半径APAP上，且上，且AQ=r/2AQ=r/2，当圆滚动时，当圆滚动时，点点Q Q的轨迹是什么？的轨迹是什么？3、摆线 摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹。 当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平摆线。 当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。三、小结(sin),()(1 cos ).xryr为参数1、摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹。当基线是直线时，就得到平摆线