【课件】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

1、2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义目标导学：1、能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度；2、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。向量的夹角：向量的夹角：已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，作，作 ， ，abOAa OBb 则则AOB= AOB= (0(0180)180)叫做向量叫做向量 与与 的夹角的夹角. .ababOabAB当当= 0时，时， 与与 同向；同向；ab当当= 180时，时， 与与 反向；反向；ab当当= 90时，时， 与与 垂直，记作垂直，记作 。ababababab问题问题sF 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的位移的作用下产生的位移s，

2、那么力那么力F 所做的功应当怎样计算？所做的功应当怎样计算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量， 是是F 与与s 的夹角，而功是数量的夹角，而功是数量. | s|F|W cos平面向量的平面向量的数量积数量积： 已知非零向量已知非零向量 与与 ，我们把数量，我们把数量 叫作叫作 与与 的的数量积数量积（或内积），记作（或内积），记作 ，即规定，即规定 |cosa bababa b |cosa ba b 其中其中是是 与与 的夹角，的夹角， 叫做向量叫做向量 在在 方向上（方向上（ 在在 方向上）的方向上）的投影投影. .并且规定，零向量与任一向量并且规定，零向量与任一向量的数量积为

3、零，即的数量积为零，即 。ab|cos (|cos )bababa00a BB1OAab1| |cosOBb 数量积的几何意义：数量积的几何意义： 数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的的方向上的投影投影 的乘积。的乘积。a b a|aba|cosbBB1OAab思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正， 什么时候为负呢？什么时候为负呢？由向量数量积的定义，试完成下面问题：由向量数量积的定义，试完成下面问题：_._.(3)| _ |.()aba ba baba baba aa ba b ； 反； 若与 同向, 若与

4、 同向, 若与向, 若与向, 填或填或(1)(1)(2)(2)注：常记注：常记 为为 。a a 2a|aa a 0|a b|a b2|a22( )|aa 证明向量证明向量垂直的依据垂直的依据例例1.已知已知 ， 的夹角的夹角=120=120， 求求 。| 5,| 4abab 与与a b 解：解：|cos5 4 cos12015 4 ()210= a ba b ;()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2)(2)(3)(3)数量积的运算规律：数量积的运算规律：12 1A1BABOabCc2B1| |cos|cosOBOBab 11| |cosOAa1122

5、| | |cosABABb 如图可知：如图可知：111112| |cos|cos|cosOBOAABabab 12() |cos|cos|cos cabcabcac bc ac b ()abca cb c ()abca cb c ;()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2)(2)(3)(3)思考：等式思考：等式 是否成立？是否成立？()()a b ca b c 数量积的运算规律：数量积的运算规律：不成立不成立1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号确定；2、两个向量的数量积称为内积，写成ab;与代数中的数ab不同，书写时要严格区分；

6、3、在实数中，若a0，且ab=0,则b=0；但在数量积中，若a0，且ab=0,不能推出b=0。因为其中cos有可能为04、已知实数a、b、c（b0)，则有ab=bc得a=c.但是有ab=bc不能得a=c5、在实数中（ab)c=a(bc), 但（ab)c a(bc),要注意的是：例例2.我们知道，对任意我们知道，对任意 ，恒有，恒有, a bR22222()2,()().abaabbab abab对任意向量对任意向量 是否也有下面类似的结论？是否也有下面类似的结论？, ,a b 22222()2;()().abaa bbab abab (1)(1)(2)(2)33223(3)()( )3( )3( )( )abaaba bb例例3.已知已知 ， 的夹角的夹角6060， 求求 。| 6,| 4abab 与与(2 ) (3 ),|ababab例例4.已知已知 ，且，且 与与 不共线，不共线，k为何值时，为何值时， 向量向量 与与 互相垂直互相垂直。| 3,| 4abaakbbakb小结小结向