高等数学(6)向量代数与立体几何

1、第五章作业：第五章作业：1节节: 2；4；8；9；12；13.2节节: 10;12;13;17.3节：节：1（3）；）；2（3）；）；4（2,5）；）； 5（2,4）；）； 7；8；10；11；13；15； 18.4节：节：4；6；9.第五章第五章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何1 向量及其运算向量及其运算2 坐标表示坐标表示3 空间平面与直线空间平面与直线4 曲面与曲线曲面与曲线5.1 向量及其运算向量及其运算1 向量概念向量概念2 向量的线性运算向量的线性运算3 向量的数量级（内积或点积）向量的数量级（内积或点积）4 向量的向量积向量的向量积5 向量的混合积向量的混合积5.1

2、 向量及其运算（几何描述）向量及其运算（几何描述） 在高中，已经学习过关于向量的基本知识，不再在高中，已经学习过关于向量的基本知识，不再详细讲解。这里仅简要讨论对基本概念的理解。详细讲解。这里仅简要讨论对基本概念的理解。（1）基本概念：）基本概念：数量（标量）、空间与平面向量数量（标量）、空间与平面向量； 向量向量与与向量模的表示向量模的表示（几何几何及及符号符号表示方法）；表示方法）； 自由向量自由向量（如何理解（如何理解向量的相等向量的相等与与不考虑起点不考虑起点）；）；单位向量、零向量单位向量、零向量（方向的特殊规定）（方向的特殊规定）、负向量、负向量；夹角、平行（共线）、垂直（正交）夹

3、角、平行（共线）、垂直（正交）的符号表示。的符号表示。（2）向量的线性运算）向量的线性运算：（：（i）向量加法向量加法（几何定义）；（几何定义）；（ii）数乘数乘（几何定义）；（几何定义）；（iii）线性运算的运算律（交换、结合、加法单位元和线性运算的运算律（交换、结合、加法单位元和逆元；数乘单位元、数乘的结合律、对数乘以及对向量逆元；数乘单位元、数乘的结合律、对数乘以及对向量加法的分配律）加法的分配律）。（iv）关于数乘的基本结论：任意非）关于数乘的基本结论：任意非0向量都可以表示向量都可以表示为与其共线（平行）的单位向量与某个数的乘积。为与其共线（平行）的单位向量与某个数的乘积。 作为推论

4、有作为推论有命题命题5-1 两个向量共线的充要条件是其中某个向量可以两个向量共线的充要条件是其中某个向量可以表示为另一个向量与某个数的乘积。表示为另一个向量与某个数的乘积。注：区别有注：区别有0向量与都不为向量与都不为0向量的情况。向量的情况。【例【例5-1】证明三角形两腰中点的连线平行于底边，且】证明三角形两腰中点的连线平行于底边，且等于底边的一半等于底边的一半.ABCDE（图（图5-9）注：考虑向量的注：考虑向量的“有向线段有向线段”表示方法。表示方法。DE=DA+AE =0.5(BA+AC) =0.5BC.（v）向量空间的基本定理）向量空间的基本定理(几何证法几何证法)：平面向量空间的基

5、本定理（二维向量或线性空间）；平面向量空间的基本定理（二维向量或线性空间）；立体向量空间基本定理（三维线性空间）；立体向量空间基本定理（三维线性空间）；N维实向量或线性空间的定义。维实向量或线性空间的定义。抽象实向量空间（加法群公理与数乘公理）；抽象实向量空间（加法群公理与数乘公理）；（vi）补充或复习一点线性代数的基本知识（抽象化）补充或复习一点线性代数的基本知识（抽象化）（3）向量的数量积：）向量的数量积：（i）一向量到另一向量的）一向量到另一向量的投影：投影：（ii）数量积的两种等价定义式）数量积的两种等价定义式-夹角余弦与投影表示。夹角余弦与投影表示。（iii）数量积的运算律）数量积的

6、运算律-交换、数乘结合、对加法分配。交换、数乘结合、对加法分配。|cos( )ababab Prj|cos( )abbab 【例【例5-2】设流体以速度】设流体以速度v流经平面流经平面，在，在上有一面积上有一面积为为A的区域，的区域，e为垂直于为垂直于的单位向量的单位向量 图图5-14(5-14(a)，试用数量积表示流体经过该区域且流向试用数量积表示流体经过该区域且流向e所指一侧的所指一侧的流量（即单位时间内流过该区域的流体质量），已知流量（即单位时间内流过该区域的流体质量），已知流体的密度为常数流体的密度为常数. veA cosvA(a)(b)（图（图5-14）;VAveAve （4）向量积

7、（又称叉积或外积）向量积（又称叉积或外积）（i）向量积的几何定义（或几何直观描述）：）向量积的几何定义（或几何直观描述）：ba 是一个空间向量是一个空间向量，按照右手定则垂直于向量，按照右手定则垂直于向量，并且，并且)sin(|bababa 。（ii）向量积的几何解释。）向量积的几何解释。（iii）运算律）运算律-反交换、结合（与数乘的）、分配律：反交换、结合（与数乘的）、分配律：ba ab ；)()(baba ；cbcacba )(注：前两个等式由定义是显然的；后面一个，可由注：前两个等式由定义是显然的；后面一个，可由代数方法证明（参见向量及其运算的坐标表示）。代数方法证明（参见向量及其运算

8、的坐标表示）。（iv）一个简单关系：两个非）一个简单关系：两个非0向量共线的充要条件是向量共线的充要条件是它们的向量积为它们的向量积为0.ab与与【例【例5-3】设】设ABC的三条边长分别为的三条边长分别为a,b,c（图（图5-18）,试用向量运算证明正弦定理试用向量运算证明正弦定理.sinsinsinCcBbAa （图（图5- -18）ABCabc提示：将这些分式倒过来，再都乘以提示：将这些分式倒过来，再都乘以 ,便可以看出与向量积的关系了。便可以看出与向量积的关系了。abc（5）向量的混合积）向量的混合积（i）混合积的定义；）混合积的定义；（ii）几何解释）几何解释-平行六面体的有向体积；

9、平行六面体的有向体积；（iii）三个向量共面的一个充要条件。）三个向量共面的一个充要条件。附加说明（复习）：附加说明（复习）：行列式几何意义的一种解释行列式几何意义的一种解释。注：考虑代数余子式，可以看出向量积的代数表示。注：考虑代数余子式，可以看出向量积的代数表示。5.2空间点与向量的坐标表示空间点与向量的坐标表示 数学发展中一个具有重大里程碑意义的理论构建，数学发展中一个具有重大里程碑意义的理论构建，就是解析几何的产生（它使后来的数学爆炸式成长）。就是解析几何的产生（它使后来的数学爆炸式成长）。 所谓解析几何，就是将原属于几何学研究的对象，所谓解析几何，就是将原属于几何学研究的对象，与代数

10、对象严密的对应起来，将各种几何中的形式与代数对象严密的对应起来，将各种几何中的形式与形式关系，转化为代数中的形式及运算关系。并通与形式关系，转化为代数中的形式及运算关系。并通过对代数的运算和分析，研究几何问题。从而使数学过对代数的运算和分析，研究几何问题。从而使数学在极大程度上摆脱了对几何直观的依赖，在逻辑上更在极大程度上摆脱了对几何直观的依赖，在逻辑上更为严瑾和便于分析。为严瑾和便于分析。 并且这也有助于数学研究的不断深入和抽象化，为并且这也有助于数学研究的不断深入和抽象化，为更自由（当然是相对意义上的自由）的构建或拓展数更自由（当然是相对意义上的自由）的构建或拓展数学研究的形式对象搭建了广

11、阔的平台。学研究的形式对象搭建了广阔的平台。依赖几何概念、几何性质以及直观的几何描述给出的。依赖几何概念、几何性质以及直观的几何描述给出的。换句话说，就是用换句话说，就是用几何学的语言定义或描述几何学的语言定义或描述的。的。 这一节，我们将讨论如何将这些几何对象和关系转化这一节，我们将讨论如何将这些几何对象和关系转化为代数的符号和公式。并简略介绍一点例子，说明这为代数的符号和公式。并简略介绍一点例子，说明这种转化对拓展数学研究内容的意义。种转化对拓展数学研究内容的意义。（1）空间直角坐标系（几何点与向量的算数化）空间直角坐标系（几何点与向量的算数化）（i）标准单位向量标准单位向量 , , (或

12、或 )与与空间直角坐空间直角坐标系标系的构建（注：这里的向量还是有向线段）。的构建（注：这里的向量还是有向线段）。ijkkji,派生概念：坐标轴、坐标原点、坐标平面，卦限。派生概念：坐标轴、坐标原点、坐标平面，卦限。（ii）三元有序数组三元有序数组与空间与空间点的坐标（点空间）点的坐标（点空间），以及两点间的距离（所谓以及两点间的距离（所谓欧氏距离欧氏距离）。）。 前面一节，所有关于向量和向量运算的定义，都是前面一节，所有关于向量和向量运算的定义，都是（iii）向量的坐标表示：向量到坐标轴上的投影；）向量的坐标表示：向量到坐标轴上的投影；向量的标准分解式向量的标准分解式；向量沿坐标轴的；向量沿

13、坐标轴的分量分量（教材中（教材中书写有误）；向量的书写有误）；向量的坐标表示坐标表示；点与；点与向径向径。注：注：前后文前后文表述明确，表述明确，“向量向量”不会与不会与“点点”混淆。混淆。（iv）向量模的计算公式。）向量模的计算公式。【例【例5-6】已知两点】已知两点A(3,0,2),B(4, ,1)，求向量，求向量AB的三的三个方向角个方向角.2（v）单位向量的坐标）单位向量的坐标-向量的向量的方向角方向角，方向角余弦方向角余弦的的计算公式及其满足的关系式（空间的勾股定理）。计算公式及其满足的关系式（空间的勾股定理）。【例【例5-4】已知点】已知点A(4,1,7)、B(-3,5,0)，在，

14、在y轴上求一点轴上求一点M，使得使得 MA = MB .（ii）数量积的坐标表示及两个向量夹角余弦的计算）数量积的坐标表示及两个向量夹角余弦的计算 注：标准单位向量所起的作用注：标准单位向量所起的作用-坐标构建的基石。坐标构建的基石。【例【例5-5】设有点】设有点 ，求向量，求向量11112222(,),(,)Mxy zMxy z12M M的坐标表达式。的坐标表达式。（2）向量运算的坐标表示（算术化）向量运算的坐标表示（算术化）（i）加法与数乘）加法与数乘-向量共线的代数刻画（坐标成比例）；向量共线的代数刻画（坐标成比例）；【例【例5-7】设向量】设向量a=(1,2,4)，求，求a在向量在向量

15、b=(2,0,-1)上的上的投影投影Prjba.Prj|babab 注意：注意：【例【例5-9】判断空间】判断空间4个点个点M1(1,1,3)，M2(0,1,1)，M3(1,0,2)， M4(4,3,11)是否共面是否共面.（iv）混合积的代数（表示）混合积的代数（表示）-行列式的几何意义的行列式的几何意义的利用利用-向量积代数表示的另一种讨论。向量积代数表示的另一种讨论。利用标准基本向量导出的计算公式。利用标准基本向量导出的计算公式。（iii）向量积的代数（坐标）表示。）向量积的代数（坐标）表示。【例【例5-8】对任意实数】对任意实数a1,a2,a3,b1,b2,b3，证明不等式，证明不等式

16、232221232221332211bbbaaabababa 重温向量代数重温向量代数-关于线性方程组的理解。设有方程组关于线性方程组的理解。设有方程组 nmmmnnaaaaaaaaaA,2,1 ,22,21 ,2, 12, 11 , 1,12mxxxx 12mbbb ,11,22,iii nnia xaxaxb(1,2,)im 1,2,jjjm jaaa (1,2, )jn 记记；,1,2,iiii naaa (1,2,)im （1）（注：行向（注：行向量的转置）量的转置）Ax 1122iinnAxxxxx1122iinnxxxx 12TTTmA 12(,)nA （1）矩阵可表为）矩阵可表为

17、 ，由矩阵乘法得，由矩阵乘法得于是方程组（于是方程组（1）实际上是给出如下关系：）实际上是给出如下关系：想想看，根据向量空间基本定理，可以得到什么结论？想想看，根据向量空间基本定理，可以得到什么结论？引入矩阵与向量表示，方程组（引入矩阵与向量表示，方程组（1）可记为：）可记为：（2）此外，矩阵还可以表示为；）此外，矩阵还可以表示为；线性方程组有解的充要条件线性方程组有解的充要条件-系数矩阵与增广矩阵刻画。系数矩阵与增广矩阵刻画。于是方程组（于是方程组（1）又可以看做如下关系：）又可以看做如下关系：12mxxAxx 0 假设假设 ，则方程组便是齐次方程，由上述表示。，则方程组便是齐次方程，由上述

18、表示。我们可以得到什么结论呢？我们可以得到什么结论呢？ （3）最后，我们再来看看克莱姆法则。假设方程）最后，我们再来看看克莱姆法则。假设方程组（组（1）有解，并且）有解，并且n=m，系数行列式不为，系数行列式不为0. 则由则由1122iinnxxxx 齐次线性方程组解的结构定理。齐次线性方程组解的结构定理。12111211121111211,iiiiniiiinnijjinjiinxxx 可得如下行列式等式：可得如下行列式等式：12111211,iiniiiinx 即有克莱姆法则的主要结论：即有克莱姆法则的主要结论：5.3 空间平面与直线（的代数表示）空间平面与直线（的代数表示）（1）平面）平

19、面 设立体空间由直角坐标系表示，表示该空间的一设立体空间由直角坐标系表示，表示该空间的一个点集往往有如下形式个点集往往有如下形式:),(| ),(zyxPzyx 假设该集合是空间中的一个平面，那么这个集合表示假设该集合是空间中的一个平面，那么这个集合表示中的命题函项（公式或方程）中的命题函项（公式或方程） 一般具有什么一般具有什么形式呢？下面讨论这个问题。形式呢？下面讨论这个问题。),(zyxP 首先考虑这样一个问题：要在三维空间中确定一个首先考虑这样一个问题：要在三维空间中确定一个平面，需要哪些条件（先从几何角度考虑）？平面，需要哪些条件（先从几何角度考虑）？（a）已知平面中的一个点的位置以

20、及平面法向量已知平面中的一个点的位置以及平面法向量； （b）已知平面中三个不共线的点的位置已知平面中三个不共线的点的位置。 下面我们分别从这两个角度考虑如何得到空间平面的下面我们分别从这两个角度考虑如何得到空间平面的代数表示形式（即所谓平面方程）。代数表示形式（即所谓平面方程）。（i）点法式或一般式。假设情况（）点法式或一般式。假设情况（a），即已知平面），即已知平面上的一点，以及该平面的法方向（向量）。上的一点，以及该平面的法方向（向量）。 设已知平面法向量为设已知平面法向量为 ；平面上已知点为；平面上已知点为),(CBA ),(0000zyxp ；记；记 是平面上是平面上任意任意其它点。其

21、它点。),(zyxp 根据条件，向量根据条件，向量),(0000zzyyxxpp 与与 垂直，于是有：垂直，于是有：0)()()(000 zzCyyBxxA ( , , )|x y z 000()()()0A xxB yyC zz以上讨论已经表明，该平面的集合表示可以为：以上讨论已经表明，该平面的集合表示可以为：000()()()0A xxB yyC zz而方程而方程（1）便是该平面的方程（平面的代数表示）。方程（便是该平面的方程（平面的代数表示）。方程（1）被）被称为平面表示的称为平面表示的点法式方程点法式方程。在（在（1）式中，记）式中，记 ，则（，则（1）式）式)(000CzByAxD

22、便成为便成为0AxByCzD（2）反之，如果有点反之，如果有点 满足方程（满足方程（2） ， 000(,)xy z则（则（2）式便转换为（式便转换为（1）式。这说明（）式。这说明（2）式是以）式是以 为法向量，为法向量，000(,)xy z 并且是点并且是点 所在的平面。（所在的平面。（2）式称为平面的）式称为平面的一般一般（式）（式）方程方程。0()0pp 0, p p（ 分别表示平面上的动点与定点）分别表示平面上的动点与定点）附注：关于一般式的一个几何解释。假设前述所给的附注：关于一般式的一个几何解释。假设前述所给的法向量法向量 是一个单位向量，并记是一个单位向量，并记 观察一般式的向量表

23、示：观察一般式的向量表示： ，考虑它的几何，考虑它的几何意义。意义。),(CBA ),(zyx D- 可见这个一般式也有很明确的几何直观背景。它是不可见这个一般式也有很明确的几何直观背景。它是不是可以称为是可以称为“法投式法投式”或者或者“法截式法截式”？【例【例5-10】已知空间两点】已知空间两点M1(1,2,-1)，M2(3,-1,2)，求经，求经过点过点M1且与直线且与直线M1 M2垂直的平面方程垂直的平面方程（ii）“三点式三点式”与截距式与截距式 考虑情况（考虑情况（b），假设已知平面上不共线的三个点，），假设已知平面上不共线的三个点，分别为：分别为：),(1111zyxM2222(

24、,)Mxy z3333(,)Mxy z，。1213nM MM M 则则是该平面的法向量。利用前面的是该平面的法向量。利用前面的点法式可得平面方程。但是还可用混合积直接给出由点法式可得平面方程。但是还可用混合积直接给出由三个点确定平面的方程。三个点确定平面的方程。 设想点设想点 是任何一个点，则该点在平面上的是任何一个点，则该点在平面上的的充要条件是如下等式成立：的充要条件是如下等式成立： ),(zyxM013121 MMMMMM即有即有0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx该式被称为平面的该式被称为平面的三点式三点式。【例【例5-11】已知不共线的三点】已知不共

25、线的三点M1(2,-1,-3)，M2(-1,3,-2)和和M3(0,3,-1)， 求过这三点的平面方程求过这三点的平面方程【例【例5-12】设平面与】设平面与x轴，轴，y轴，轴，z轴分别交于三点轴分别交于三点M1(a,0,0)、M2(0,b,0)、M3(0,0,c)，其中，其中a,b,c均不为零，均不为零，求该平面方程求该平面方程 假设三个坐标轴与给定平面的交点都已给定（相当假设三个坐标轴与给定平面的交点都已给定（相当于给出截距），显然这是三点式的特例。那么根据上于给出截距），显然这是三点式的特例。那么根据上述讨论很容易得到这个方程（略）。述讨论很容易得到这个方程（略）。 对于给定平面上三个点

26、，平面方程的对于给定平面上三个点，平面方程的另一个解法另一个解法是给是给出平面的一般式，再利用待定系数法确定方程的系数。出平面的一般式，再利用待定系数法确定方程的系数。+1xyzabc 【例【例5-13】求经过】求经过 z 轴及点轴及点(1,2,-3)的平面方程的平面方程【例【例5-14】设平面】设平面的方程为的方程为3 3x-2-2y+ +z+5=0+5=0，求经过坐，求经过坐标原点且与标原点且与平行的平面方程平行的平面方程上述得到的平面方程被称为上述得到的平面方程被称为截距式截距式（假设（假设b=0如何）。如何）。（iii）几类特殊形式的平面方程。）几类特殊形式的平面方程。 平面的一般式中

27、有四个系数平面的一般式中有四个系数A,B,C,D，则有如下几，则有如下几类特殊情况：类特殊情况： D为为0，其它系数均不为，其它系数均不为0； D为为0时时 ，A,B,C中有一个为中有一个为0；有两个为；有两个为0； D不为不为0时，时， A,B,C中有一个为中有一个为0；有两个为；有两个为0。 试讨论这四种情况下，方程所表示的平面具有什么试讨论这四种情况下，方程所表示的平面具有什么性质。性质。（2）直线）直线 在考虑如何给出立体空间中直线的代数表示之前，在考虑如何给出立体空间中直线的代数表示之前，先从几何的角度讨论确定一条直线需要哪些条件。先从几何的角度讨论确定一条直线需要哪些条件。（i）给

28、出两个不平行的平面（其交线）；）给出两个不平行的平面（其交线）；（iii）给出两个点，可确定唯一一条直线；）给出两个点，可确定唯一一条直线； （ii）给出一点，并给一个方向（向量）；）给出一点，并给一个方向（向量）； 根据上面的讨论，我们来探讨一下空间直线的代数根据上面的讨论，我们来探讨一下空间直线的代数表示方法。对应于上述三种情况，有：表示方法。对应于上述三种情况，有：（i+）直线的）直线的一般式（联立方程组）一般式（联立方程组）表示：表示：1111222200A xB yC zDA xB yC zD （设两平面不平行）（设两平面不平行）（ii+）点向式（对称式）点向式（对称式）-方向向量方

29、向向量与与方向数方向数-参数式参数式；000000000000( ., );(,);/()sl m nM Mxxyy zzsM Mt tsM Mxxltxxyyzzyymtlmnzznt 若方向向量某分量为若方向向量某分量为0.有如下特别形式约定（如有如下特别形式约定（如n=0）：）：0000000zzxxyyzzyyxxlmml 注：表示该直线在垂直于注：表示该直线在垂直于z轴的平面上。轴的平面上。【例】求过两点【例】求过两点M1(x1,y1,z1)和和M2(x2,y2,z2)的直线方程。的直线方程。【例【例5-16】已知直线的一般方程为】已知直线的一般方程为 ,015640332zyxzy

30、x求它的点向式方程和参数方程求它的点向式方程和参数方程注：无论以哪一种形式表示一条直线，本质上都是一样注：无论以哪一种形式表示一条直线，本质上都是一样的，即都是表示一条直线。所以这些表示形式都可以相的，即都是表示一条直线。所以这些表示形式都可以相互转化。不难看出，两点式和点向式就是完全一样的。互转化。不难看出，两点式和点向式就是完全一样的。（iii+）直线的）直线的两点式方程两点式方程。222121212xxyyzzxxyyzz注：两点确定方向注：两点确定方向（3）关于（通过一条直线的）关于（通过一条直线的）平面束平面束设设L是空间中一直线，那么如下以平面为元素的集合是空间中一直线，那么如下以

31、平面为元素的集合| L是平面且是平面且被称为过直线被称为过直线L的平面束。设该直线的方向向量为的平面束。设该直线的方向向量为( , )sl m n ，直线上一点为，直线上一点为),(000zyxM),(1111CBAn 2222(,)nA B C ，与与是与方向向量垂直的两个向量，并且不共线。是与方向向量垂直的两个向量，并且不共线。 直线的一般式（方程组）只需要两个平面方程，但直线的一般式（方程组）只需要两个平面方程，但是，通过一条直线的平面有无穷多。有时候，在讨论是，通过一条直线的平面有无穷多。有时候，在讨论直线与平面的关系时，考虑所有这些平面的集合，可直线与平面的关系时，考虑所有这些平面的

32、集合，可能会带来一些方便。这便产生了能会带来一些方便。这便产生了平面束平面束概念。概念。 下面推导过直线下面推导过直线L的平面束的代数表示形式（含参数的平面束的代数表示形式（含参数的一般平面方程）。的一般平面方程）。 我们知道如下两个基本的几何关系：我们知道如下两个基本的几何关系：（a）平面过直线平面过直线L的充要条件是该平面的法向量与的充要条件是该平面的法向量与L（的方向向量）垂直，且过点（的方向向量）垂直，且过点),(000zyxM；ns（b）若若 与与 垂直，则存在唯一一对不全为垂直，则存在唯一一对不全为0的实数的实数 与与，使得使得21nnn 。由以上两点，立刻可以得到过直线由以上两点

33、，立刻可以得到过直线L的平面束的代数的平面束的代数表示形式为（利用点法式）：表示形式为（利用点法式）：0)()()(021021021 zzCCyyBBxxAA 转换为一般式方程为转换为一般式方程为【例【例5-23】求过平面】求过平面x-y-2z+4=0和和2x+y+z-2=0的交的交线，且在线，且在x轴、轴、y轴上有相同截距的平面方程轴上有相同截距的平面方程12121212()()()0AA xBByCCzDD)(0101011zCyBxAD 2202020()DA xB yC z 其中其中；。（1）如果令如果令 等于等于1，则，则 （1）式表示了除第二个平面以外，）式表示了除第二个平面以外

34、， 平面束中所有其它的平面。平面束中所有其它的平面。注注（1）首先观察。两个平面方程都不满足条件，所）首先观察。两个平面方程都不满足条件，所以可以用不含有第二个平面方程的平面束方程，根以可以用不含有第二个平面方程的平面束方程，根据条件求解，即确定参数的具体数值。据条件求解，即确定参数的具体数值。,xyxyx 0 02 2【例【例5-24】设直线】设直线L的方程为的方程为试求试求L在平面在平面：x+y+z=0上的投影直线的方程上的投影直线的方程注（注（2）：教材中对于该题的解答对应于它的陈述，）：教材中对于该题的解答对应于它的陈述，有一些疏漏。该解答仅仅考虑了在有一些疏漏。该解答仅仅考虑了在x,

35、y轴上的非轴上的非0截截距。假设令平面束方程中的常数项为距。假设令平面束方程中的常数项为0，则可以得，则可以得到过原点的一个平面。假设允许截距为到过原点的一个平面。假设允许截距为0，该方程，该方程也符合所提条件。也符合所提条件。50 xy2 令令 ，即有：，即有： 解答上题基本的考虑是：求与给定平面垂直且过直线解答上题基本的考虑是：求与给定平面垂直且过直线L的平面方程。但是从不同的角度考虑，有多种解法。的平面方程。但是从不同的角度考虑，有多种解法。解法解法1：求出直线的方向向量，再由点法式确定所求：求出直线的方向向量，再由点法式确定所求平面的法向量。平面的法向量。 先由两个平面方程的法向量做外

36、积（即求直线的方先由两个平面方程的法向量做外积（即求直线的方向向量）；向向量）； 再由方向向量与给定平面的法向量做外积。再由方向向量与给定平面的法向量做外积。解法解法2：预设所求平面的方程，用待定系数法。：预设所求平面的方程，用待定系数法。 先代入直线中两个比较简明的点，得到两个关于系先代入直线中两个比较简明的点，得到两个关于系数的方程；再由法向量相互垂直（数的方程；再由法向量相互垂直（ 其内积为其内积为0）得到）得到第三个方程，解方程组可确定平面方程系数。第三个方程，解方程组可确定平面方程系数。注：尽管表面上看平面方程有四个系数，但在已知一注：尽管表面上看平面方程有四个系数，但在已知一个点的

37、情况下，其中一个可由另外三个确定。个点的情况下，其中一个可由另外三个确定。 于是可以取直线上两个点，与所求平面上的动点做于是可以取直线上两个点，与所求平面上的动点做两个向量（其中一个向量是由两个给定点做出的），两个向量（其中一个向量是由两个给定点做出的），利用混合积公式得到所求的平面方程。这个解法从几利用混合积公式得到所求的平面方程。这个解法从几何角度看，思路也比较简明。何角度看，思路也比较简明。两个向量，与给定平面的法向量共面，即混合积为两个向量，与给定平面的法向量共面，即混合积为0.解法解法4：垂直于给定平面且过直线：垂直于给定平面且过直线L的平面上的任意的平面上的任意 直接从平面束寻找满

38、足条件的平面。也就是利用直接从平面束寻找满足条件的平面。也就是利用法向量与给定平面法向量垂直，由其内积为法向量与给定平面法向量垂直，由其内积为0，列出，列出线性方程，得出参数值，从而确定所求的平面。线性方程，得出参数值，从而确定所求的平面。 从代数角度看，思路相对简明。从代数角度看，思路相对简明。解法解法3：利用平面束方程，确定所求平面的法向量。：利用平面束方程，确定所求平面的法向量。（4）点、线、面的位置关系（计算公式）点、线、面的位置关系（计算公式） 这里的位置关系，是几何关系，有这里的位置关系，是几何关系，有距离距离和和夹角夹角。 考虑的距离有：点与点之间（已知）；点与面之间；考虑的距离

39、有：点与点之间（已知）；点与面之间；点与直线之间；不平行直线之间（最短）距离。点与直线之间；不平行直线之间（最短）距离。 考虑的夹角有：面与面之间；直线与直线之间；直线考虑的夹角有：面与面之间；直线与直线之间；直线与平面之间的夹角。与平面之间的夹角。（i）点到平面距离（设给出平面一般式或点法式）。）点到平面距离（设给出平面一般式或点法式）。),(000zyxM111(,)M xy z设设是空间中某一点，是空间中某一点，是给定是给定平面中的某一个点，平面中的某一个点，),(CBAn 是给定平面的法向量。是给定平面的法向量。讨论下面公式的几何意义：讨论下面公式的几何意义：2221010100101

40、)()()(jPrCBAzzCyyBxxAnMMnMMdn 【例【例5-17】求两个平行平面】求两个平行平面1 1：z=2x-2y+1, 2:4x-4y-2z+3=0之间的距离之间的距离【例【例5-18】求点】求点M(1,2,3)到直线到直线L： 的距离的距离5322zyx （ii）点到直线的距离（设已知直线的点向式）。）点到直线的距离（设已知直线的点向式）。),(000zyxM111(,)M xy z设有直线上一点设有直线上一点，空间中一点，空间中一点以及直线的方向向量以及直线的方向向量( , )sl m n ，讨论下面公式的几，讨论下面公式的几何意义：何意义：ssMMd 100101010

41、00222222()()()A xxB yyC zzAxByCzDdABCABC 或者：或者：注：讨论不求点求距离。注：讨论不求点求距离。（iii）不平行直线间的最短距离）不平行直线间的最短距离),(1111zyxM 2222(,)Mxy z ；与与设有两条直线设有两条直线 ，分别经过点：，分别经过点：21,LL其方向向量分别为：其方向向量分别为：1111(,)sm np 2222(,).sm np 与与考虑如下公式的几何意义：考虑如下公式的几何意义：212121ssMMssd 211221)(ssMMss （iii）两个平面之间的夹角）两个平面之间的夹角（a）平面夹角平面夹角的定义（的定义（

42、法向量夹角法向量夹角-取锐角取锐角）；）；（b）讨论下面公式的几何意义：）讨论下面公式的几何意义：1212121222222212111222arccosarccosnnA AB BC Cn nABCABC 其中其中),(1111CBAn 2222(,)nA B C ，分别是两个平面的法向量。分别是两个平面的法向量。（c）讨论何种情况下上述的）讨论何种情况下上述的0 2 以及以及。并。并讨论这些情况在几何上意味着什么。讨论这些情况在几何上意味着什么。【例【例5-19】设长方体】设长方体 中，中，AB=1，BC=2， 问问 所在的平面与所在的平面与 所在的所在的平面之间的夹角是多少？平面之间的夹

43、角是多少？DCBAABCD 3 BBACB D AC A(0,0,0)B(1,0,0)C(1,2,0)D(0,2,3)301(，B A zxy（图（图5-325-32）|() ()|arccos|ACABACADACABACAD 注：首先建立坐标。注：首先建立坐标。见图见图5-32.求两个平面的法向量，求两个平面的法向量，再求其夹角：再求其夹角：【例【例5-20】设平面】设平面通过原点通过原点O及点及点M(6,3,2)，且与，且与平面平面1:2x+5y+2z-7=0相互垂直，求此平面方程相互垂直，求此平面方程（iv）两）两直线之间的夹角直线之间的夹角（方向向量的夹角方向向量的夹角-取锐角取锐角

44、）设两直线方向向量分别为设两直线方向向量分别为2222(,)sm np 1111(,)sm np ，讨论公式：讨论公式：2121arccosssss 的几何意义。的几何意义。注：可以有几种考虑方式。例如：一是考虑所求平面注：可以有几种考虑方式。例如：一是考虑所求平面法向量别与给定平面法向量以及所求平面给定的向量法向量别与给定平面法向量以及所求平面给定的向量垂直；二是可以考虑，所求平面上从原点出发的向量垂直；二是可以考虑，所求平面上从原点出发的向量（原点与动点构成），与给定平面法向量以及所求平（原点与动点构成），与给定平面法向量以及所求平面给定的向量共面（混合积为面给定的向量共面（混合积为0）.

45、（v）平面与直线间的夹角平面与直线间的夹角（平面法向量与直线方向（平面法向量与直线方向向量夹角向量夹角-取锐角取锐角-的补角）的补角） 假设给定了一条直线的方向向量与一个平面的法向假设给定了一条直线的方向向量与一个平面的法向量分别为量分别为。【例【例5-21】两条直线的参数方程为】两条直线的参数方程为:xtLytzt 1 11 123234 4，:xrLyrzr 2 22 23 33434，验证验证L1和和L2是异面直线（即两直线既不平行，也不是异面直线（即两直线既不平行，也不相交），并求相交），并求L1和和L2的夹角的夹角2x+y+z-3=0，求，求L与与的夹角的夹角【例【例5-22】已知直

46、线】已知直线 和平面和平面： 08205zxyxL：snsn arcsin 讨论下面公式的几何意义：讨论下面公式的几何意义：注：考虑与法向量的夹角和与平面夹角的关系。注：考虑与法向量的夹角和与平面夹角的关系。而这两个向量垂直，恰好意味着平面与直线平行。而这两个向量垂直，恰好意味着平面与直线平行。 显然，这两个向量平行，意味着平面与直线垂直；显然，这两个向量平行，意味着平面与直线垂直；( , )sl m n ),(CBAn 与与5.4 曲面与曲线曲面与曲线（1）曲线与曲面方程）曲线与曲面方程（i）在空间直角坐标系中，）在空间直角坐标系中，曲面曲面S的方程的方程与它的与它的图形图形。注：参考平面方

47、程。考虑一般方程的几何意义。注：参考平面方程。考虑一般方程的几何意义。【例【例5-25】给定两点】给定两点A(0,-2,4)、B(2,1,3)，求线段，求线段AB的垂直平分面的方程的垂直平分面的方程【例【例5-26】求以点】求以点M0 (x0 , y0 , z0)为球心，以为球心，以R为半径为半径的球面方程的球面方程【例【例5-27】方程】方程x2+y2+z2-2x+4y-4=0表示怎样的曲面？表示怎样的曲面？（ii）空间曲线的一般代数表示）空间曲线的一般代数表示 空间曲线是两个曲面的交线，所以空间曲线的代数空间曲线是两个曲面的交线，所以空间曲线的代数表示由两个曲面方程联立表示，称为表示由两个

48、曲面方程联立表示，称为曲线的一般方程曲线的一般方程。特例：考虑曲面与坐标平面交线的表示形式。特例：考虑曲面与坐标平面交线的表示形式。【例【例5-28】曲线】曲线： 表示球心在原表示球心在原点，半径为点，半径为2 2的球面与平面的球面与平面 z =1=1的交线，是一个在平面的交线，是一个在平面 z =1=1上的圆（图上的圆（图5-365-36） 14222zzyxzyx2212（图（图5-365-36）xyzaaM(x,y,z)t （图（图5-37）【例【例5-29】一动点】一动点M开始位于开始位于xOy面的面的(a,0,0)点，它以角速度点，它以角速度 绕绕 z 轴旋转，并且始终与轴旋转，并且

49、始终与 z 轴的距离轴的距离为为a，同时又以线速度，同时又以线速度 v 沿沿 z 轴正轴正方向上升（其中方向上升（其中 、v 均为常数），均为常数），试建立其轨迹曲线的方程试建立其轨迹曲线的方程 （iii）空间曲线的）空间曲线的参数表示（曲线的参数方程）参数表示（曲线的参数方程）下面是所谓下面是所谓螺旋线螺旋线的参数表示问题。的参数表示问题。cosxat sinyat zvt cossinxatyatzvt 即得曲线参数表示：即得曲线参数表示：注意到这里的角速度以及上升速度都是常数，所以注意到这里的角速度以及上升速度都是常数，所以做变换做变换,vt k ，则该曲线有另外的参数表示：，则该曲线有

50、另外的参数表示：cossinxayazk 注：空间曲线的参数表示可以用不同的参数选择。比注：空间曲线的参数表示可以用不同的参数选择。比如上例可以以时间如上例可以以时间t作为参数，也可以旋转的角度为作为参数，也可以旋转的角度为参数。但是这些表示形式是可以相互转化的。参数。但是这些表示形式是可以相互转化的。（2）几类典型的简单曲面）几类典型的简单曲面-柱面、旋转面、锥面。柱面、旋转面、锥面。（i）柱面柱面-柱面的几何描述柱面的几何描述-准线准线与与母线（直母线）母线（直母线）。 这里仅仅给出与某个坐标平面垂直的柱面方程的表这里仅仅给出与某个坐标平面垂直的柱面方程的表示形式，特别是准线在一个特定坐标

51、平面上的情况。示形式，特别是准线在一个特定坐标平面上的情况。例如椭圆柱面与抛物柱面的代数表示形式。例如椭圆柱面与抛物柱面的代数表示形式。（ii）旋转面旋转面-几何描述几何描述-对称轴对称轴与与母线母线（曲母线）。（曲母线）。旋转面方程的推导，旋转面方程的推导，这里仅仅考虑一个简单情况这里仅仅考虑一个简单情况-对称轴是一个坐标轴对称轴是一个坐标轴，比如说，比如说z轴，母线在轴，母线在yOz平面。平面。设母线方程（组）为：设母线方程（组）为：. 0, 0),( xzyF 在母线上取一点在母线上取一点 ，该点绕，该点绕z轴旋转，所以轴旋转，所以由这一点旋转所得到的曲面上的点，其由这一点旋转所得到的曲

52、面上的点，其z轴坐标是不轴坐标是不变化的。而该点旋转绕行的轨迹，应该是一个圆，即变化的。而该点旋转绕行的轨迹，应该是一个圆，即有有),(000zyxM2022yyx 于是可以验证所求旋转面的方程应为于是可以验证所求旋转面的方程应为0),(22 zyxF如果对称轴是其它坐标轴，可类似推导其方程。比如如果对称轴是其它坐标轴，可类似推导其方程。比如考虑如下两个方程，看看是怎样形成的旋转面，即讨论考虑如下两个方程，看看是怎样形成的旋转面，即讨论下列旋转曲面的对称轴与母线：下列旋转曲面的对称轴与母线：122222 byazxpzyx222 （旋转椭球面，图旋转椭球面，图5-41）（旋转抛物面，图旋转抛物

53、面，图5-42） （参考图（参考图5-40）【例【例5-30】求顶点在原点，准线为】求顶点在原点，准线为()xyabzc c 222222221 10 0的锥面方程的锥面方程（图（图5-445-44）cM1OzyxM（iii）锥面锥面-几何描述几何描述-准线准线与与顶点顶点。这里仅给出一两个具体例子。这里仅给出一两个具体例子。椭圆锥面椭圆锥面与作为特例的与作为特例的园锥面（半顶角）园锥面（半顶角）。所得解答为：所得解答为：222222czbyax 推导过程如下：推导过程如下：222222czbyax 22112211xyabzc 111xyzcxyzz，( , , )M x y z111(,)

54、M xy z 在锥面任意取一点在锥面任意取一点 ，过顶点与，过顶点与 作作直线交于准线一点直线交于准线一点 ，则该点满足方程组，则该点满足方程组( , , )M x y z因为这两点共线，应有因为这两点共线，应有11=,ccxxyyzz 2211221xyab将将 代入方程代入方程 ，即得：，即得： 讨论讨论 时的情况：时的情况：ba 2222()kxyzzkxzky这个锥面也可以看做以直线这个锥面也可以看做以直线 或或 为母线为母线绕绕z轴旋转得到的旋转面。轴旋转得到的旋转面。1arctan(0)kk 半顶角：半顶角：3. 二次曲面二次曲面 一次与二次曲面是最重要的曲面（以下指的都是一次与二

55、次曲面是最重要的曲面（以下指的都是光光滑曲面滑曲面-不光滑的曲面过于复杂，不讨论），因为对不光滑的曲面过于复杂，不讨论），因为对更高次、更复杂曲面的性质，特别是某些局部性质的更高次、更复杂曲面的性质，特别是某些局部性质的研究，主要借助一次与二次曲面。所以它们有十分广研究，主要借助一次与二次曲面。所以它们有十分广泛的应用。泛的应用。 相对一次曲面（也就是平面），二次曲面的分类工相对一次曲面（也就是平面），二次曲面的分类工作要稍微复杂一些。作要稍微复杂一些。 前面一节具体介绍的柱面、旋转面、锥面都是二次前面一节具体介绍的柱面、旋转面、锥面都是二次曲面（注：一般柱面、旋转面和锥面不必是二次的）。曲面

56、（注：一般柱面、旋转面和锥面不必是二次的）。 本节仅对二次曲面的某些标准形式做简略的介绍。本节仅对二次曲面的某些标准形式做简略的介绍。首先，对于二次曲面的分类理论做一个简单阐述。首先，对于二次曲面的分类理论做一个简单阐述。（0）前言（二次曲面理论对的一般说明）前言（二次曲面理论对的一般说明）2222220axbyczfzxgyzhxylxmynzp附录附录（1）二次曲面理论简述。一般二次曲面公式为：二次曲面理论简述。一般二次曲面公式为：222222axbyczfzxgyzhxy其中其中是典型的二次型。是典型的二次型。 根据二次型理论，可以经过适当的正交变换，使得根据二次型理论，可以经过适当的正

57、交变换，使得（1）式变换成标准型）式变换成标准型（1）222AuBvCw 注意一般式中一次项式部分，经正交变换，依然还是注意一般式中一次项式部分，经正交变换，依然还是 的一次式。于是经过配方（平移变换），可的一次式。于是经过配方（平移变换），可以将二次曲面一般式变为标准式（类型中的某一种）。以将二次曲面一般式变为标准式（类型中的某一种）。uvw、 、 、 （2）二次曲面的）二次曲面的基本分类基本分类：正交与平移变换后曲：正交与平移变换后曲面的几何性质不变，变换后的标准类型有下述几类面的几何性质不变，变换后的标准类型有下述几类 ：222222222222222222222110(0)00 xyz

58、abcxyzabcxyzabAxByccAxpyxa 椭球面；椭球面；单叶与双叶双曲面；单叶与双叶双曲面；椭圆抛物面椭圆抛物面与与双曲抛物面双曲抛物面；椭圆或双曲柱面；椭圆或双曲柱面；抛物柱面；抛物柱面；空集或双平面（空集或双平面（a非非0）。）。2222221,()xyhabczhhc 2222221 (0,0,0)xyzabcabc2222221,xyhabczh 平行于平行于XOY平面的平面的截痕：截痕：（2.）双曲面（）双曲面（i）单叶双曲面）单叶双曲面-标准方程标准方程先观察平行于先观察平行于XOY平面的平面的截痕：截痕：（图图5-47）（1） 椭球面椭球面- 标准方程标准方程)0,

59、 0, 0(1222222 cbaczbyax（图图5-46）再观察平行于再观察平行于XOZ平面的平面的截痕：截痕：2222221,xzkabcyk 是一双曲线（平行于是一双曲线（平行于YOZ平面的情况类似）。平面的情况类似）。（ii）双叶双曲面）双叶双曲面-标准方程标准方程2222221 (0,0,0)xyzabcabc （图图5-48）2222221 ,xyhabczh )(ch 只观察平行于只观察平行于XOY平面的平面的截痕：截痕： 注意当注意当|z|小于小于|c|时，没有时，没有曲面的点坐标。曲面被分成曲面的点坐标。曲面被分成上下两部分（所谓双叶）。上下两部分（所谓双叶）。 平行于另外两坐标平面的平行于另外两坐标平面的截痕与前面类似。截痕与前面类似。2222(0,0)xyzabab2222(0,0)xyzabab0 ,0 xyabz （3.）抛物面）抛物面（i）椭圆抛物面）椭圆抛物面-标准方程（截痕分别是椭圆和抛物线）标准方程（截痕分别是椭圆和抛物线）（图图5-49）（ii）双曲抛物面）双曲抛物面-标准方程（类似马鞍形）标准方程