东北大学 高等数学习题7

1、三三、设设曲曲线线上上点点),(yxP处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为Q, ,且且线线段段PQ被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空题填空题: : 1 1、022 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_阶微分方程；阶微分方程；3 3、 2sin dd是是_阶微分方程；阶微分方程；4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数 . .二、确定函数关系式二、确定函数关系式)sin(21CxCy 所含的参数所含的参数, ,使使 其满足初始条

2、件其满足初始条件1 xy, ,0 xy. .第一节第一节 练练 习习 题题五、是非题五、是非题1、函数、函数 是微分方程是微分方程 的解的解2、函数、函数 是微分方程是微分方程 的解的解3、函数、函数 是微分方程是微分方程 的解的解3yx30dyxydx3yCx30dyxydxxye0yy六、选择题：微分方程的通解是（六、选择题：微分方程的通解是（ ）arcsin222222arctan221.2.arctanln.lnarctan.yxyxAxyCeyBxyCxyCxyCxDxyCe七、填空题七、填空题1、微分方程、微分方程 的自变量为的自变量为 未知函数为未知函数为 方程的阶数为方程的阶数

3、为444d sssdt2、微分方程、微分方程 的自变量为的自变量为 未知函数为未知函数为 方程的阶数为方程的阶数为220 x yy练习题答案练习题答案一、一、1 1、3 3； 2 2、2 2； 3 3、1 1； 4 4、2.2.二、二、.2, 121 CC三、三、02 xyy. .四、四、xyy 1. .五、五、1、对；、对； 2、对；、对； 3、错、错.六、六、B.七、七、1、t为自变量，为自变量，s为函数，方程为为函数，方程为4阶阶 2、 为自变量，为自变量，y为函数，方程为为函数，方程为1阶阶x一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22

4、 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .第二节第二节 练练 习习 题题三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在10 t秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘

5、米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘米厘米克克 , ,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系系数数为为).).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .五、是非题五、是非题 微分方程微分方程 不是可不是可分离变量的微分方程分离变量

6、的微分方程六、选择题六、选择题 微分方程微分方程 的解是（的解是（ ）dyyydxx1021yy2222.1.1.1.1A yxB yxC xyD xy七、填空题七、填空题1、微分方程、微分方程 的通解是的通解是2、微分方程、微分方程 满足满足 的解为的解为10dyydxx0dxdyyx 34y3、微分方程、微分方程 的通解为的通解为 ，满足满足 的特解为的特解为4、微分方程、微分方程满足满足 的特解为的特解为20dyxdx00 xylnln0yxdxxydy1212x eye八、解答题八、解答题1、求微分方程、求微分方程 的通解的通解2、求微分方程、求微分方程 的通解，并求满足的通解，并求满

7、足初始条件初始条件 的特解的特解3、求微分方程、求微分方程 的通解的通解2211ydxxdy dyxdxy 24yyxdye dx4、求微分方程、求微分方程 的的通解，并求满足初始条件通解，并求满足初始条件 的特解的特解5、求微分方程、求微分方程的通解的通解sincoscos sinxydxxydy 04y0 x yxx yyeedxeedy练习题答案练习题答案一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二、二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三、三、3 .269 v厘米厘米/ /秒秒. .四

8、、取四、取 0 0 为原点为原点, ,河岸朝顺水方向为河岸朝顺水方向为轴轴x, ,轴轴y指向对指向对 岸岸, ,则所求航线为则所求航线为)312(32yyhakx . .五、对五、对.六、六、D.七、七、1、 ； 2、 3、所求通解为、所求通解为 ；特解为；特解为 4、特解为、特解为2225xyyCx2yxC2yx221lnln2xy八、八、1、 2、通解为、通解为 ，特解为，特解为 3、通解为、通解为4、通解为、通解为 特解为特解为5、通解为、通解为arctanarctanyCx222xyC2220 xylnyxeC coscosxCycos2cosxy11xyeeC第三节第三节 练习题练习

9、题一、是非题一、是非题 微分方程微分方程 是一阶是一阶线性微分方程线性微分方程二、选择题二、选择题1、下列微分方程中为一阶线性方程的是（、下列微分方程中为一阶线性方程的是（ ）sindyyxdx22.sin.0A xyyxB yxyxC yyxD yxy2、微分方程、微分方程 的通解的通解是（是（ ）211yyxx x1.arctan.arctan1.arctan.arctanAxCBxCxCCxCDxxx三、解答题三、解答题1、求微分方程、求微分方程 的通解的通解2、求微分方程、求微分方程 的通解的通解3、求微分方程、求微分方程 的通解的通解4、求微分方程、求微分方程 的通解的通解232xy

10、yxxyyxx22xdyxyxedx122xxx yyx e5、求微分方程、求微分方程 的通解的通解6、求微分方程、求微分方程 的通解的通解7、求微分方程、求微分方程 满足初始满足初始条件条件 的解的解222121xyxyx2xyyysintan0 xy dyydx 16y练习题答案练习题答案一、错一、错.二、二、1、B; 2、B.三、三、1、 2、 3、213232Cyxxx313xyCx22212xxyx eCe4、5、6、7、11xxxyeCe21yxCx2xyCy232 sinsin4xyy一一、求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2

11、、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二二、 求求下下列列微微分分方方程程满满足足所所给给初初始始条条件件的的特特解解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy第四节第四节 练练 习习 题题练习题答案练习题答案第七节第七节 练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、 验证验证21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并写出该方程的通并写出该方程的通解解 . .二、二、 证明下列函数是相应的微分方程的通解证明下列函数是相应的微分方程的通解:

12、:1 1、),(ln212221是任意常数是任意常数ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常数是任意常数cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .第八节第八节 练练 习习 题题 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程满足所给初始条件的特解下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy；

13、 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 设圆柱形浮筒设圆柱形浮筒, ,直径为直径为m5 . 0, ,铅直放在水中铅直放在水中, ,当稍当稍向下压后突 然放开向下压后突 然放开, ,浮筒 在水中上 下振动的浮筒 在水中上 下振动的s2周周期期为为, ,求浮筒的质量求浮筒的质量 . .第九节第九节 练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、xeCCy421 ； 2 2、tetCCx2521)( ； 3 3、)2sin2c

14、os(213xCxCeyx ； 4 4、xCxCeCeCyxx3sin3cos432221 . .二、二、1 1、)2(2xeyx ； 2 2、xeyx3sin2 . .三、三、0 yy. (. (提示提示: :为为两两个个xe, 1线性无关的解线性无关的解) )四、四、195 Mkg.kg.一、一、 选择题选择题: :1 1、 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy 的通的通解是解是( ).( ). (A) (A) )()()(CdxexQeydxxPdxxP； (B) (B) dxexQeydxxPdxxP)()()(； (C)(C) )()()(CdxexQey

15、dxxPdxxP； (D) (D) dxxPcey)(. .2 2、方程、方程yyxyx 22是是( ).( ). (A) (A)齐次方程；齐次方程； (B) (B)一阶线性方程；一阶线性方程； (C) (C)伯努利方程；伯努利方程； (D) (D)可分离变量方程可分离变量方程 . .第七章第七章 测测 验验 题题3 3、2)1(,022 yxdxydy的的特特解解是是( ( ) ). . ( (A A) )222 yx； ( (B B) )933 yx； ( (C C) )133 yx； ( (D D) )13333 yx. .4 4、方方程程xysin 的的通通解解是是( ( ) ). .

16、 ( (A A) )322121cosCxCxCxy ； ( (B B) )322121sinCxCxCxy ； ( (C C) )1cosCxy ； ( (D D) )xy2sin2 . .5 5、方程、方程0 yy的通解是的通解是( ).( ).(A)(A)1cossinCxxy ；(B)(B)321cossinCxCxCy ；(C)(C)1cossinCxxy ；(D)(D)1sinCxy . .6 6、若、若1y和和2y是二阶齐次线性方程是二阶齐次线性方程 0)()( yxQyxPy的两个特解的两个特解, ,则则 2211yCyCy ( (其中其中21,CC为任意常数为任意常数)( )( )(A)(A)是该方程的通解；是该方程的通解； (B) (B)是该方程的解；是该方程的解； (C) (C)是该方程的特解；是该方程的特解； (D) (D)不一定是