函数的连续性概念

1、关于函数的连续性概念现在学习的是第一页，共32页 设设)(xfy 在在),(0 xN内内有有定定义义， x),(0 xN，称称0 xxx 为为自自 变变x 量量在在0 x点点的的增增量量( (或或改改变变量量) )， )()()()(000 xfxxfxfxfy 为为函函数数)(xf在在0 x点点的的增增量量( (或或改改变变量量) ). . 函数的连续性概念函数的连续性概念连续函数的概念连续函数的概念 y xxx xyo)(xfy x 现在学习的是第二页，共32页x y xyo0 xxx 0)(xfy )(xy xyo0 xxx 0 x y MN.0 0 yx时时.0 0 yx时时现在学习的

2、是第三页，共32页000lim0,lim( )()xxxyf xf x 或000,0,(, ),( )()xU xf xf x 使得恒有现在学习的是第四页，共32页 若若)()(lim00 xfxfxx ，则则称称函函数数0 ) (xxfy在在点点 处处左左连连续续. 若若)()(lim00 xfxfxx ，则则称称函函数数0 ) (xxfy在在点点 处处右右连连续续. )(lim)()(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx : )( 0处处连连续续的的充充要要条条件件在在点点函函数数xxfy 现在学习的是第五页，共32页3 3. .函函数数)(xfy 在在某某区区

3、间间内内的的连连续续性性 现在学习的是第六页，共32页例例1 1证证明明 0 , 0 0 ,11)(xxxxxf在在点点 0 x处处连连续续. . , 0lim2121lim11lim)00(000 xxxxxfxxx )0(0)(lim0fxfx ， 0 ) ( xxf在在点点处处连连续续. . 现在学习的是第七页，共32页例例 2 2证证明明 函函数数xy sin 在在) ,( 内内连连续续. . ),2cos(2sin2sin)sin(000 xxxxxxy , 1)2cos( , 02sinlim 00 xxxx, 0)2cos(2sin2limlim 000 xxxyxx, sin

4、0处处连连续续在在点点故故xxy 现在学习的是第八页，共32页类类似似地地可可证证 xy cos 在在) ,( 内内连连续续. . 现在学习的是第九页，共32页 )(lim0 xfxx存存在在； )()(lim00 xfxfxx . . : )( 0连续必须满足三个条件连续必须满足三个条件在在函数函数xxf现在学习的是第十页，共32页 )()(lim00 xfxfxx . . : )( 0连续必须满足三个条件连续必须满足三个条件在在函数函数xxf 间断点分为两类：左右极限都存在的间断点称为第一类间断点；不是第一类的间断点，都称为第二类间断点.现在学习的是第十一页，共32页;2 tan ) 1

5、(处处在在 xxy., . 1 间间断断点点的的类类型型并并指指出出处处的的连连续续性性讨讨论论下下列列函函数数在在指指定定点点例例.2 是是间间断断点点 x,tanlim 2 xx 又又现在学习的是第十二页，共32页; 01sin ) 2 (处处在在 xxy;111arctan)1()( ) 3 (处处在在点点 xxxxf. 0 是是间间断断点点 x0011 lim sin lim sinxxxx又 及 都不存在. 1 是是间间断断点点 x现在学习的是第十三页，共32页0)1(lim1 xx，211arctan x， 则则若若补补充充定定义义 , 0)1( : f.1 1 , 0 1 ,11

6、arctan)1()(处处连连续续在在点点 xxxxxxf现在学习的是第十四页，共32页（4）.00 , 11sin0 , 0 0 , sin )(处处在在 xxxxxxxxxf 解解：1sinlim) 00(0 xxfx， 1) 11sin(lim) 00(0 xxfx， 1)(lim0 xfx， 但但0)0(1)(lim0 fxfx， 点点0 x是是第第一一类类间间断断点点，且且是是可可去去间间断断点点. . 若若改改变变定定义义：1)0( f，则则)(xf在在点点0 x处处连连续续. 现在学习的是第十五页，共32页例例2讨讨论论下下列列函函数数的的连连续续性性，并并指指出出间间断断点点的

7、的类类型型. （1）xxexf 111)( ) (1, ,1) , 0( ,0) ,( )( 在在xf内内连连续续. xxxxexf10011lim)(lim， 0 x为为第第二二类类间间断断点点，且且是是无无穷穷间间断断点点. . ,由由初初等等函函数数的的连连续续性性知知现在学习的是第十六页，共32页1 x为为第一类间断点第一类间断点，且是，且是跳跃间断点跳跃间断点. , 111lim)01(11 xxxef现在学习的是第十七页，共32页111lim)1)(1(lim)00(020 xxxxxxfxx， 111lim)1)(1(lim)00(020 xxxxxxfxx， 0 x为为第第一一

8、类类间间断断点点，且且是是跳跳跃跃间间断断点点. . 现在学习的是第十八页，共32页2111 lim) 1)(1(lim)(lim1211 xxxxxxxfxxx， 1 x为为第第一一类类间间断断点点，且且是是可可去去间间断断点点. . 故故)(xf在在) (1, 1), , 0( ,0) , 1( ,1) ,( 内内连连续续. , 0)1( f现在学习的是第十九页，共32页 由由定定理理 1 1 及及xsin，xcos的的连连续续性性可可知知xxxcossintan ， xxxsincoscot ，xxcos1sec ，xxsin1csc 在在其其定定义义域域内内 连连续续. . 5.2 5

9、.2 连续函数的运算性质与初等函数的连续性连续函数的运算性质与初等函数的连续性 现在学习的是第二十页，共32页 若若)(xgu 在在0 x点点处处连连续续，)(ufy 在在点点)(00 xgu 处处连连续续，则则复复合合函函数数)(xgfy 在在0 x点点处处也也连连续续. （证证明明从从略略） )(lim)()(lim000 xgfxgfxgfxxxx limf现在学习的是第二十一页，共32页) 10( aaayx且且在在) ,( 内内严严格格单单调调且且连连续续， ) 10(log aaxya且且在在) , 0( 内内也也严严格格单单调调且且连连续续. . 定理定理5.3 5.3 ( (反

10、函数的连续性反函数的连续性) )现在学习的是第二十二页，共32页例例 4证证明明函函数数 xy)(R 在在) , 0( 内内是是连连续续的的. 而而xuln 在在) , 0( 内内连连续续， uey 在在) ,( 内内连连续续， 由定理由定理 3 知知xeyln 在在) , 0( 内连续，内连续， 即即 xy在在) , 0( 内内连连续续. 现在学习的是第二十三页，共32页 1.6.3 1.6.3 初等函数的连续性初等函数的连续性1.1.基本初等函数在其定义域内都是连续的；基本初等函数在其定义域内都是连续的；2.2.一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内是连续的内是连续的.注注：初

11、初等等函函数数在在其其定定义义域域内内不不一一定定是是连连续续的的. 重要结论重要结论：现在学习的是第二十四页，共32页).( 1)1(lim ) 3 ();10( ln1lim ) 2 ();10( log)1(loglim ) 1 (: . 5 000Rxxaaaxaaaexxxxxaax 且且且且证明证明例例现在学习的是第二十五页，共32页, (0) )1 (lim)(lim 100fexxfxxx . 0 )( 处处连连续续在在点点 xxfxaxaxxxx100)1(loglim)1(loglim )(loglim0 xfax .log)(limlog0exfaxa 现在学习的是第二十

12、六页，共32页特特别别有有 . 1)1ln(lim0 xxx 当当0 x时时，0t， ),1(log , 1 ) 2 (txatax 则则令令,lnlog1)1(loglim1lim00aettxaaatxx . 11lim 0 xexx特特别别有有现在学习的是第二十七页，共32页（3 3）当当0 时时，结结论论显显然然成成立立. . 当当0 时时，xxxexxx)1ln()1ln(11)1()1ln( xxxexxxxxx)1ln(lim)1ln(1lim1)1(lim0)1ln(00 .11 现在学习的是第二十八页，共32页, 0 时时当当x : 论论结结要要重重, ln1 )1(logxaxa , )1ln(xx , 1xex ,ln1axax .1)1(xx 则则若若,)(lim, 0)(lim00BxvAxuxxxx ). ( )(lim0)(0 是是有有限限数数或或其其中中xAxuBxvxx现在学习的是第二十九页，共32页例例 7 7求求下下列列极极限限： （1 1）xxxxxln1lim1 ； （2 2）)41ln