《中国数学之》PPT课件

1、2021/4/21中世纪的中国数学中世纪的中国数学 之一之一周髀算经周髀算经和和 九章算术九章算术2021/4/222021/4/23希腊几何的演绎精神，随着希腊文明的衰微而在整个中世纪的欧洲湮没不彰。数学史上继希腊几何兴盛时期之后是一个漫长的东方时期。除了埃及外，河谷地区再次成为数学活跃的舞台。中世纪（公元5-17世纪）数学的主角，是中国、印度与阿拉伯地区的数学。2021/4/24p与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神强烈的算法精神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的数学着重算法的概括，不讲究命题的数学推导推导。p所谓所谓“算法算法”，不只是单纯的计算，而是，

2、不只是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带一般性的计算方法。来的、带一般性的计算方法。 2021/4/25p算法倾向本来是古代河谷文明的传统，但在中世纪却有了质的提高。这一时期中国与印度的数学家们创造的大量结构复杂、应用广泛的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则，它们是一种是一种归纳思维能力的产物归纳思维能力的产物。p这种能力与欧几里得几何的演绎风格迥然不同却又相辅相成。东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕孕育了近代数学的诞生。育了近代数学的诞生。 2021/4/26p本章介绍中世纪的中国数学史，

3、分三次课。p就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区是延续最长的。从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。国古典数学的顶峰。p本小节介绍本小节介绍1）先秦时期：中国古代数学的）先秦时期：中国古代数学的萌芽，萌芽，2）汉唐时期：中国传统数学体系的形成）汉唐时期：中国传统数学体系的形成（介绍（介绍周髀算经周髀算经和和九章算术九章算术）2021/4/27l数学是中国古代最为发达的学科之一，数学是中国古代最为发达的学科之一，通常称为通常称为“算术算术”即即“算数之术

4、算数之术”。l也就是说，古代中国的术语也就是说，古代中国的术语“算术算术”相相当于英文单词中的当于英文单词中的mathematics，而不，而不是是arithmetic，所研究的内容大体上是，所研究的内容大体上是今天数学教科书中的算术、代数、几何、今天数学教科书中的算术、代数、几何、三角等方面的内容。三角等方面的内容。l注：注： arithmetic （名词）（名词） 1. 算术算术2. 计算计算3. 算术算术运算；四则运算运算；四则运算2021/4/28l后来，算术又称为算学、算法，宋元后来，算术又称为算学、算法，宋元时期开始使用时期开始使用“数学数学”一词。此后算一词。此后算学、数学两词并

5、用。学、数学两词并用。l1939年年6月，经中国数学名词审查委员月，经中国数学名词审查委员会确定用会确定用“数学数学”而不再用而不再用“算学算学”。2021/4/29一、先秦时期一、先秦时期中国古代数学的萌芽中国古代数学的萌芽l数学作为中国文化的重要组成部分，它的数学作为中国文化的重要组成部分，它的起源可以追溯到遥远的古代。起源可以追溯到遥远的古代。l根据古籍记载、考古发现以及其他文字资根据古籍记载、考古发现以及其他文字资料推测，至少在公元前料推测，至少在公元前3000年左右，在中年左右，在中华古老的土地上就有了数学的萌芽。华古老的土地上就有了数学的萌芽。2021/4/210l一般认为，这一时

6、期的数学成就主要有以一般认为，这一时期的数学成就主要有以下几点：下几点： 结绳记事和规矩的使用结绳记事和规矩的使用 十进位值制记数法、分数的应用及筹算十进位值制记数法、分数的应用及筹算 精湛的几何思想精湛的几何思想 数学教育的开始数学教育的开始 2021/4/211结绳记事和规矩的使用结绳记事和规矩的使用 l中国古代记数方法的起源是很早的。中国古代记数方法的起源是很早的。l据据易易系辞传系辞传称：称：“上古结绳而治上古结绳而治。” l易易九家义九家义明确地解释了这种方法：明确地解释了这种方法：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡。之多少，随物众

7、寡。”这种结绳记事的方这种结绳记事的方法是很古老的。法是很古老的。2021/4/212l据据史记史记记载：记载：“伏羲始画八卦，造书伏羲始画八卦，造书契，以代结绳之治。契，以代结绳之治。”l这表明，在伏羲这一位中国神话中的人类这表明，在伏羲这一位中国神话中的人类始祖之前，结绳记事这种方法就已十分流始祖之前，结绳记事这种方法就已十分流行，并且在他的的时代已开始用行，并且在他的的时代已开始用“八卦八卦”和和“书契书契”等方法来代替等方法来代替“结绳记事结绳记事”了。了。注：书契，始指刻痕，后逐渐代以符号、文字。注：书契，始指刻痕，后逐渐代以符号、文字。2021/4/213l规矩规矩是中国传统的几何

8、工具。是中国传统的几何工具。l至于它的用途，至于它的用途，周礼周礼、荀子荀子、淮南子淮南子、庄子庄子等古籍都有明确的等古籍都有明确的记载：记载：“圆者中规，方者中矩圆者中规，方者中矩。”说明它说明它们分别用于圆和方的问题。们分别用于圆和方的问题。注：中注：中(zhng) ，符合一定的标准。，符合一定的标准。l它们的起源也是很早的，据它们的起源也是很早的，据史记史记记载，记载，夏禹在治水时就夏禹在治水时就“左准绳，右规矩左准绳，右规矩，载四，载四时，以开九州，通九道时，以开九州，通九道”。2021/4/214l汉武梁祠中有汉武梁祠中有“伏羲手执矩，女娲伏羲手执矩，女娲(wa)手执规手执规”的浮雕

9、像，将这两种工的浮雕像，将这两种工具的最早使用归功于传说中的伏羲和具的最早使用归功于传说中的伏羲和女娲。女娲。2021/4/2152021/4/216l规和矩的使用，对于后来几何学的产生规和矩的使用，对于后来几何学的产生和发展有着重要的意义，中国传统几何和发展有着重要的意义，中国传统几何学大部分内容都是围绕圆和勾股形展开学大部分内容都是围绕圆和勾股形展开的，这与古代中国人擅长使用规和矩的的，这与古代中国人擅长使用规和矩的关系是十分密切的。关系是十分密切的。2021/4/217十进位值制记数法、分数的应用十进位值制记数法、分数的应用及筹算及筹算 l商代，甲骨文已发展成熟。商代，甲骨文已发展成熟。

10、l河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古证明，中国当时已采用了证明，中国当时已采用了“十进位值制记数十进位值制记数法法”，并有十、百、千、万等专用的大数名称。，并有十、百、千、万等专用的大数名称。l除了整数以外，中国古代对分数概念的认识也除了整数以外，中国古代对分数概念的认识也很早，分数的概念及其应用，在很早，分数的概念及其应用，在管子管子、墨子墨子(mo)、商君书商君书、考工记考工记等春等春秋战国时代的书籍中都有明确的记载。秋战国时代的书籍中都有明确的记载。2021/4/218l到春秋战国时代，算术四则运算已经成熟。到春秋战国时代，算术四则运算已经成

11、熟。l据汉代燕人韩婴所撰的据汉代燕人韩婴所撰的韩诗外传韩诗外传介绍，介绍，标志着乘除法运算法则成熟的标志着乘除法运算法则成熟的“九九歌九九歌”在在春秋时代已相当普及。春秋时代已相当普及。2021/4/219吕氏春秋里的一则故事 l在春秋战国时代的齐国，齐桓公执政的时候，有一在春秋战国时代的齐国，齐桓公执政的时候，有一个人熟背个人熟背“九九歌九九歌”，便向齐桓公毛遂自荐，齐桓，便向齐桓公毛遂自荐，齐桓公问他：公问他：“难道仅仅因为你精通九九之术，我便要难道仅仅因为你精通九九之术，我便要重用你吗？重用你吗？”这个人答道：这个人答道：“如果君王对我这样一如果君王对我这样一个仅会九九歌的人都能礼遇重用

12、，还怕真正有才能个仅会九九歌的人都能礼遇重用，还怕真正有才能的人不来为君主效力吗？的人不来为君主效力吗？” 齐桓公是否厚待此人齐桓公是否厚待此人不得而知，但这至少从一个侧面说明了在当时九九不得而知，但这至少从一个侧面说明了在当时九九歌已被人们广泛地应用了。歌已被人们广泛地应用了。 2021/4/220l算筹是中国古代的计算工具。算筹是中国古代的计算工具。l筹，筹算。筹，筹算。l从春秋战国时期一直到元代末年，算从春秋战国时期一直到元代末年，算筹在我国沿用了两千多年。筹在我国沿用了两千多年。l1983年陕西出土的西汉象牙算筹年陕西出土的西汉象牙算筹2021/4/221运筹帷幄运筹帷幄l史记史记太史

13、公自序太史公自序：“运筹帷幄之中，制运筹帷幄之中，制胜于无形，子房胜于无形，子房(张良，刘邦的谋臣张良，刘邦的谋臣)计谋其事，计谋其事，无知名，无勇功，图难于易，为大于细。无知名，无勇功，图难于易，为大于细。”l史记史记留侯世家留侯世家、汉书汉书张良传张良传：刘邦：刘邦曾赞曾赞“运筹帷幄之中，决胜于千里之外，子房运筹帷幄之中，决胜于千里之外，子房功也。功也。”l张良坐在军帐中运用计谋，就能决定千里之外张良坐在军帐中运用计谋，就能决定千里之外战斗的胜利。这说明张良心计多，善用脑，善战斗的胜利。这说明张良心计多，善用脑，善用兵。后来人们就用用兵。后来人们就用“运筹帷幄运筹帷幄”表示善于策表示善于策

14、划用兵，指挥战争。划用兵，指挥战争。 2021/4/222l “凡算之法，先识其位。一凡算之法，先识其位。一(个个)纵十横，百纵十横，百立千僵。千十相望，百万相当。立千僵。千十相望，百万相当。”(孙子孙子算经算经)l用筹算表示数有纵横两种摆法：用筹算表示数有纵横两种摆法：2021/4/223l纵式用来表示个位、百位、万位纵式用来表示个位、百位、万位，横，横式用来表示十位、千位、十万位式用来表示十位、千位、十万位，纵，纵横交错，零则用空位。横交错，零则用空位。l记数时与十进位值制相配合，采用从左到记数时与十进位值制相配合，采用从左到右（或从上到下）纵横相间的摆法。右（或从上到下）纵横相间的摆法。

15、l如如6724表示为表示为 ；如遇零时则空出；如遇零时则空出一格，如一格，如76031，表示为，表示为 。2021/4/224精湛的几何思想精湛的几何思想 l战国时期的诸子百家，理论数学的萌芽。战国时期的诸子百家，理论数学的萌芽。l墨经墨经记载了许多几何概念，如记载了许多几何概念，如 “平，同高也平，同高也”； “中，同长也中，同长也”； “圆，一中同长也圆，一中同长也”；l这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定义几何概念的明证。义几何概念的明证。2021/4/225l在这部著作中甚至还涉及到有穷和无穷的在这部著作中甚至还涉及到有穷和无穷的概念，称

16、概念，称“或不容尺，有穷；莫不容尺，或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也。无穷也。”关于此条，注家的解释众说纷纭。一般认为钱宝琮(cong. 中国数学史研究的奠基人，校点算经十书等)的解释最为精当：“用尺来度量路程，如果量到前面只剩不到一尺的余地，那末，这路程是有穷的。如果继续量前面总是长于一尺，那末，这路程是无穷的” 。2021/4/226l名家名家先秦时期以辩论先秦时期以辩论名实名实问题为中心的一个思问题为中心的一个思想派别想派别,重视重视“名名”(概念概念)和和“实实”(事事)的关系的研的关系的研究究 以善辩著称，对无穷的概念有着更深刻的认以善辩著称，对无穷的概念有着更深刻的认识。识。l庄子

17、庄子，惠施：，惠施：“至大无外谓之大一，至小无内至大无外谓之大一，至小无内谓之小一谓之小一”。l“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”；l“飞鸟之影，未尝动也；镞矢之疾，而有不行不止飞鸟之影，未尝动也；镞矢之疾，而有不行不止时时”；l这些可以说与古希腊的这些可以说与古希腊的芝诺悖论芝诺悖论具有异曲同工之妙，具有异曲同工之妙，也是世界数学史早期最光辉的数学思想之一。也是世界数学史早期最光辉的数学思想之一。2021/4/227l春秋战国时代的人们还对数的起源问题春秋战国时代的人们还对数的起源问题提出了一些看法，事实上数与物质的关提出了一些看法，事实上数与物质的关系是涉及到数学

18、的一个重要哲学问题。系是涉及到数学的一个重要哲学问题。l老子老子：“道生一，一生二，二生三，道生一，一生二，二生三，三生万物三生万物”。l老子老子中所说的这种观点与古希腊的中所说的这种观点与古希腊的毕达哥拉斯学派所提倡的毕达哥拉斯学派所提倡的数为万物之源数为万物之源说，即把数看做是万物的本源，从本质说，即把数看做是万物的本源，从本质上来说倒是一致的。上来说倒是一致的。2021/4/228数学教育的开始数学教育的开始 l我国的甲骨文中早就有了关于教育的记载。我国的甲骨文中早就有了关于教育的记载。l而记载周代教育制度的古老典籍而记载周代教育制度的古老典籍周礼周礼地官地官中保中保氏一节称：氏一节称：

19、“保氏掌谏王恶保氏掌谏王恶(e)，而养国子以道。乃，而养国子以道。乃教之教之六艺六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数。御，五曰六书，六曰九数。”其中其中礼、乐、射、御为礼、乐、射、御为大艺，书、数为小艺大艺，书、数为小艺，前者为大学所授，后者为小学，前者为大学所授，后者为小学所习。并称：所习。并称：“六年教之数，十年学书记。六年教之数，十年学书记。”可见，可见，早在周代，国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺早在周代，国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一，从六岁或十岁就教数数及计算了。之一，从六岁或十岁就教数数及计算了。l对数

20、学教学如此重视，且以典籍的形式规定下来，这对数学教学如此重视，且以典籍的形式规定下来，这在世界上是罕见的。在世界上是罕见的。2021/4/229二、汉唐时期二、汉唐时期中国传统数学体系的形成中国传统数学体系的形成l从汉代开始，中国的经济文化有了进一步的发从汉代开始，中国的经济文化有了进一步的发展，经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础，展，经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础，特别是从秦代开始实施的文字和度量衡的统一，特别是从秦代开始实施的文字和度量衡的统一，铁器的使用以及大量兴修水利工程和水陆交通铁器的使用以及大量兴修水利工程和水陆交通的工程的工程，为人们探索大自然的奥秘增强了动力，为人们探索

21、大自然的奥秘增强了动力，数学也有了长足的发展，其数学也有了长足的发展，其主要标志是以主要标志是以九九章算术章算术为代表的中国传统数学体系的形成。为代表的中国传统数学体系的形成。2021/4/230l周髀算经周髀算经和勾股定理和勾股定理 l九章算术九章算术l刘徽的数学贡献刘徽的数学贡献 l祖氏父子的数学贡献祖氏父子的数学贡献 l算经十书算经十书后三部分下次课讲述后三部分下次课讲述2021/4/231周髀算经周髀算经和勾股定理和勾股定理 l汉书汉书艺文志艺文志所记载的所记载的杜忠算术杜忠算术与与许商算术许商算术大概是中国有记载可考的最早大概是中国有记载可考的最早的数学著作，可惜均已失传。的数学著作

22、，可惜均已失传。l1984年，湖北江陵张家山出土了一部汉简年，湖北江陵张家山出土了一部汉简算数书算数书，它也是中国目前所能见到的最，它也是中国目前所能见到的最早的数学专著。该书以问题集的体例编纂，早的数学专著。该书以问题集的体例编纂，全书共全书共90题，包括整数、分数的四则运算，题，包括整数、分数的四则运算，比例问题，面积与体积等，大部分内容与比例问题，面积与体积等，大部分内容与九章算术九章算术相似。相似。2021/4/232周髀算经周髀算经和勾股定理和勾股定理 l比比九章算术九章算术稍早且流稍早且流传下来的一部重要的著作传下来的一部重要的著作是是周髀算经周髀算经，该书原，该书原名名周髀周髀，

23、大约成书于，大约成书于公元前公元前2世纪的西汉时期，世纪的西汉时期，其许多内容甚至可以追溯其许多内容甚至可以追溯到西周。到西周。l唐代李淳风在为国子监明唐代李淳风在为国子监明算科选定教科书时将其列算科选定教科书时将其列入入算经十书算经十书，并改名，并改名为为周髀算经周髀算经。2021/4/233l严格地讲，严格地讲，周髀算经周髀算经并不是一本数学并不是一本数学专著，而是一部介绍专著，而是一部介绍“盖天说盖天说”宇宙模型宇宙模型的天文学著作，但它包含了相当深刻的数的天文学著作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括学内容，其主要成就包括分数运算、勾股分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用

24、。定理及其在天文测量中的应用。l天圆地方天圆地方2021/4/2342021/4/2352021/4/236l“昔者周公问于商高曰：昔者周公问于商高曰：古者包牺古者包牺(即即伏羲伏羲)立周天历度，夫天不可阶而升，地立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？商高曰：不可得尺寸而度，请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆数之法，出于圆方方，方，方出于矩出于矩，矩出，矩出于九九八十一于九九八十一。故折矩以为。故折矩以为勾广三，股修四，勾广三，股修四，径隅五。径隅五。故禹之所以治天下者，此数故禹之所以治天下者，此数之所生也。之所生也。”2021/4/237接着，在陈子与荣方的接着，在陈

25、子与荣方的“师生对话师生对话”中，借陈中，借陈子之口又给出了一般的子之口又给出了一般的勾股定理：勾股定理：“求邪至日求邪至日者，以日下为勾，日高者，以日下为勾，日高为股。为股。勾股各自乘，并勾股各自乘，并(和和)而开方除之，得邪至而开方除之，得邪至日。日。” 2021/4/238l中国关于勾股定理的证明最早是由三国时中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家期的数学家赵爽赵爽给出的。给出的。l赵爽是中国历史上首次对赵爽是中国历史上首次对周髀周髀进行认进行认真研究和注释的学者。真研究和注释的学者。l他的工作主要包括三个方面的内容：一为他的工作主要包括三个方面的内容：一为文字解释；二为较详细地

26、数学理论推演，文字解释；二为较详细地数学理论推演，三是补图。三是补图。2021/4/239l其中最为精彩的是其中最为精彩的是“勾股圆方图注勾股圆方图注”。在这。在这篇篇500多字的注文中，赵爽首先给出勾股定理多字的注文中，赵爽首先给出勾股定理的一般证明：的一般证明：“按弦图又可以勾、股相乘为按弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘，朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘，为中黄实。加差实，亦成弦实。为中黄实。加差实，亦成弦实。”说明：利用面积说明：利用面积设直角三角形两直角边的边长分别为a ,b ,斜边长为c .222222)2(2)(214bababaabbaabc20

27、21/4/240周髀算经周髀算经中的文字：既方之，外半其中的文字：既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五。一矩，环而共盘，得成三、四、五。 2021/4/241l宋刻宋刻周髀算经周髀算经2021/4/242九章算术九章算术 l标志着中国传统数学理论体系形成的是标志着中国传统数学理论体系形成的是九章九章算术算术的成书。的成书。l该书的作者和成书年代难以确切地考证，多数该书的作者和成书年代难以确切地考证，多数学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元1世纪初。世纪初。l中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内

28、容，但这些内容之间缺乏内在的联很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数学概念，但没有成功。学概念，但没有成功。2021/4/243l也许正是这种原也许正是这种原因，决定了因，决定了九九章算术章算术所所特有特有的处理方式的处理方式，并，并形成了中国传统形成了中国传统的数学体系。的数学体系。l宋刻宋刻九章算术九章算术书影书影2021/4/244l九章算术九章算术全书采用全书采用问题集问题集的形式。的形式。l书中每道题皆有书中每道题皆有问问有

29、有答答有有术术，其中，其中“术术”通常是解题的思想方法、公式和法则，通常是解题的思想方法、公式和法则，有的一题一术，有的多题一术，有的一有的一题一术，有的多题一术，有的一题多术。题多术。2021/4/245l全书共有全书共有246个应用题个应用题，基本上都是与生，基本上都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问产实践、日常生活有联系的实际应用问题。题。l这些问题分别隶属于方田、粟这些问题分别隶属于方田、粟(s )米、米、衰衰(cui )分、少广、商功、均输、盈不足、分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股方程和勾股九章九章。l对于每类问题，对于每类问题，九章算术九章算术中都给出中都给出了统一的

30、解法，它们相当于一些初等数了统一的解法，它们相当于一些初等数学定理和公式，但没有证明。学定理和公式，但没有证明。2021/4/246九章算术九章算术的主要内容的主要内容 2021/4/247l“方田方田”，主要论述了各种平面图形的地亩，主要论述了各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则。面积算法及分数的运算法则。l“粟米粟米”章主要论述了章主要论述了20种粮食及其成品如种粮食及其成品如稻、米、麦、面、饭等之间的兑换比率及四稻、米、麦、面、饭等之间的兑换比率及四项比例算法。项比例算法。l“今有术今有术”：所求数：所求数=（所有数（所有数所求率）所求率）/所有率。所有率。l“已知麦与米的比率是已

31、知麦与米的比率是3：2，现有麦子，现有麦子60斤，斤，问能兑换大米多少斤？问能兑换大米多少斤？”按公式，能兑换的按公式，能兑换的大米的斤数为（大米的斤数为（602）/3=40（斤）。（斤）。 2021/4/248l第三章第三章“衰分衰分”主要论述配分比例算法，主要论述配分比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度其中问题多与商业、手工业及社会制度有关。第一问有关。第一问“五人分五鹿五人分五鹿”。l第四章第四章“少广少广”主要成就包括开平方、主要成就包括开平方、开立方的算法。开立方的算法。l第五章第五章“商功商功”主要论述各种立体图形主要论述各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球的体积

32、算法，其中包括柱、锥、台、球体等，内容涉及筑城、修堤、开渠、粮体等，内容涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题。垛等施工方面的计算问题。 2021/4/249l第六章第六章“均输均输”章主要讨论较为复杂的配分比章主要讨论较为复杂的配分比例问题。例问题。l其中最引人注目的是其中最引人注目的是“均输术均输术”。这是我国古。这是我国古代实行的代实行的“均输制均输制”在数学上的反映，主要解在数学上的反映，主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，这很类平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，这很类似于条件极值问题。似于条件

33、极值问题。 2021/4/250l第七章第七章“盈不足盈不足”主要论述盈亏问题的解法。主要论述盈亏问题的解法。盈不足的典型问题是这样的：若干人共买一物，盈不足的典型问题是这样的：若干人共买一物，若每人出若每人出a1钱，则多出钱，则多出b1钱；若每人出钱；若每人出a2（a2a1）钱，则又不足）钱，则又不足b2钱，求人数与物价。钱，求人数与物价。l九章算术九章算术给出的方法相当于公式：给出的方法相当于公式： 人数人数= 物价物价=l这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，也为非线性问题提供了一个有效的近似解法。也为非线性问题提供了一个有效的近似解法。2021

34、/4/251l第八章第八章“方程方程”主要研究线性方程组的解主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元。法，其基本思想是消元。l在解方程组时，将方程组的系数（包括常在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过线性代数中的增广矩阵，然后通过“遍乘遍乘直除直除”（类似于矩阵初等变换的方法）消（类似于矩阵初等变换的方法）消元，这一思想方法在数学发展史上是非常元，这一思想方法在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为重要的，在西方被称为“高斯消元法高斯消元法”。2021/4/252l上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，

35、下等禾谷上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，共出粮三十九斗；上等禾谷二捆，一捆，共出粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，共出粮三中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，共出粮二十六斗。问上中下等禾谷三捆，共出粮二十六斗。问上中下等禾谷每捆出粮各多少？下等禾谷每捆出粮各多少？l设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为x,y,z斗，则有斗，则有2021/4/253l九章算术九章算术给出的表示方法相当给出的表示方法相当于下列矩阵于下列矩阵l 1 2 3 上禾上禾l 2 3

36、 2 中禾中禾l 3 1 1 下禾下禾l26 34 39 实实2021/4/254l其解法相当于下列图示方法：其解法相当于下列图示方法：2021/4/255l“方程方程”章的另一个重点就是对负数的概章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究。念、运算进行了研究。在解方程的过程在解方程的过程中，由于无法回避被减数小于减数的情中，由于无法回避被减数小于减数的情况出现，在况出现，在九章算术九章算术提出了提出了“以正以正负术入之负术入之”，即，即引入负数及其运算法则引入负数及其运算法则：“正负术曰：同名相除，异名相益，正正负术曰：同名相除，异名相益，正无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之；其

37、异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。无入正之，负无入负之。”2021/4/256l“正负术正负术”2021/4/257l第九章第九章“勾股勾股”主要讨论有关勾股问题主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量。的解法，并论及简单的勾股测量。l与欧几里得与欧几里得原本原本中将代数问题几何中将代数问题几何化做法相反，化做法相反，九章算术九章算术将几何问题将几何问题算术化和代数化。算术化和代数化。l“今有邑方不知大小，各中开门。出北今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几行一千七百七十五步见木。问

38、邑方几何？何？”2021/4/258l12. 折竹抵地（源自折竹抵地（源自九章九章算术算术）：今有竹高一丈，）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问折末折抵地，去本三尺问折者高几何者高几何?意即：意即： 一根竹子，一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处抵地，抵地处离原长竹子处3尺远问原处还有多高的尺远问原处还有多高的竹子竹子?2021/4/2592021/4/2602021/4/2612021/4/262九章算术九章算术之体积公式之体积公式 l刍童体积公式刍童体积公式2021/4/263l刍童体积公式刍童

39、体积公式2021/4/264l如将如将九章算术九章算术的的主要内容主要内容，按算术、，按算术、代数和几何三部分来概括，则有：代数和几何三部分来概括，则有：1.算术部分算术部分：分数，最大公约数与最小公倍：分数，最大公约数与最小公倍数，比例算法，盈亏问题；数，比例算法，盈亏问题；2.代数部分代数部分：开方和开立方，二次方程问题，：开方和开立方，二次方程问题，多元一次方程组及其解法，正负数；多元一次方程组及其解法，正负数；3.几何部分几何部分：面积计算，体积计算，勾股定：面积计算，体积计算，勾股定理及其应用。理及其应用。2021/4/265九章算术九章算术l九章算术九章算术注重实际问题和长于计算的

40、特点，注重实际问题和长于计算的特点，对中国传统数学的发展有着极其深刻的影响，对中国传统数学的发展有着极其深刻的影响，可以说，与西方数学的演绎推理相映生辉的可以说，与西方数学的演绎推理相映生辉的具具有中国特色的算法体系有中国特色的算法体系的形成即始于的形成即始于九章算九章算术术。l九章算术九章算术成书以后，便成为中国传统数学成书以后，便成为中国传统数学的经典，特别是唐代以来，经官方认定该书成的经典，特别是唐代以来，经官方认定该书成为为“算经十书算经十书”中最重要的一部，成为后来的中最重要的一部，成为后来的数学家们学习、研究和著述的依据。数学家们学习、研究和著述的依据。2021/4/266l把把九章算术九章算术与与几何原本几何原本相对照，就可相对照，就可以发现从形式到内容都各有特色和所长，形成以发现从形式到内容都各有特色和所长，形成东、西方数学的不同风格东、西方数学的不同风格。l几何原本几何原本以形式逻辑方法把全部内容贯穿以形式逻辑方法把全部内容贯穿起来，而起来，而九章算术九章算术则按问题的性质和解法则按问题的性质和解法把全部内容分类编排；把全部内容分类编排；l几何原本几何原本中极少提及应用问题，而中极少提及应用问