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矩阵论
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《矩阵论》研究生PPT课件,矩阵论,矩阵,研究生,PPT,课件
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矩 阵 理 论 (供 09-10 第二学期之用)刘 西 奎Email: liuxikui山东科技大学 信息科学与工程学院2013 年 9 月 9 日刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日1 / 871矩阵应用举例2线性空间3线性空间的基本概念及其性质4线性空间的基与坐标5线性子空间线性子空间线性子空间子空间的交与和子空间的基与维数6线性映射与线性变换7线性变换的运算8线性变换的矩阵表示刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日2 / 87说明先前，为了上课方便，本人制作了讲义，并经由同学复印。然而导致了大量的盗版，直接影响了将来本讲义的出版。不得不考虑到版权的问题, 因为制作这样一份文档实在是花费了大量的时间精力。制作本课件纯粹为了上课方便，请不要随意传播和上传互联网！本幻灯片使用 beamer 宏包作出. 关于 beamer 的讨论 (安装、更新) 可参考: /forums/index.php?showtopic=27695本文的图形主要是用 pgf 宏包作出的, 另有个别的 MetaPost 图形.本幻灯片的源文件仅供学习 beamer, pgf 参考之用. 使用请注明出处.Copyrightc 2009. 保留所有权利.LIU XI-KUI刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日2 / 87说明先前，为了上课方便，本人制作了讲义，并经由同学复印。然而导致了大量的盗版，直接影响了将来本讲义的出版。不得不考虑到版权的问题, 因为制作这样一份文档实在是花费了大量的时间精力。制作本课件纯粹为了上课方便，请不要随意传播和上传互联网！本幻灯片使用 beamer 宏包作出. 关于 beamer 的讨论 (安装、更新) 可参考: /forums/index.php?showtopic=27695本文的图形主要是用 pgf 宏包作出的, 另有个别的 MetaPost 图形.本幻灯片的源文件仅供学习 beamer, pgf 参考之用. 使用请注明出处.Copyrightc 2009. 保留所有权利.LIU XI-KUI刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日2 / 87现代工程中的一些问题, 如果用矩阵表示, 不但形式简洁, 更重要的是具有适合计算机处理的特点. 由于计算机的发展和普及, 矩阵分析显得越来越重要. 向量、矩阵及其运算法则是描述、分析、处理线性系统的有力工具其“有力”具体表现在这种工具的普适性和简便性上.线性空间与线性变换的概念是矩阵理论的基础, 本教程从此讲起,当然假定读者已经具备了线性代数有关的基础知识. 本章首先从一个矩阵的应用开始.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日3 / 871矩阵应用举例2线性空间3线性空间的基本概念及其性质4线性空间的基与坐标5线性子空间6线性映射与线性变换7线性变换的运算8线性变换的矩阵表示刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日4 / 87例 1.1几乎所有花, 其花瓣数都是一种有规律的级数: 百合花的花瓣有 3 瓣; 毛茛属的植物有 5 瓣花; 许多翠雀属的植物有 8 瓣花; 万寿菊的花瓣有 13 瓣;紫菀属的植物有 21 瓣花; 大多数的雏菊有 34, 55, 89 瓣花. 另外, 在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也可以发现类似的排列模式, 同时植物的叶序中也存在此种现象. 这就是著名的 Fibonacci 级数模式. 我们称数列0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,.为 Fibonacci 数列.Fibonacci 数列满足递推公式: +2= + +1, = 0,1,2,. 以及初始条件: 0= 0,1= 1. 试求该数列的通项式, 并且求出极限 lim+1.斐波那契是中世纪占主导地位的数学家之一, 在算术、代数和几何等方面多有贡献是在丢番图之后费尔马之前这2000年间欧洲最杰出的数论学家.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日4 / 87例 1.1几乎所有花, 其花瓣数都是一种有规律的级数: 百合花的花瓣有 3 瓣; 毛茛属的植物有 5 瓣花; 许多翠雀属的植物有 8 瓣花; 万寿菊的花瓣有 13 瓣;紫菀属的植物有 21 瓣花; 大多数的雏菊有 34, 55, 89 瓣花. 另外, 在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也可以发现类似的排列模式, 同时植物的叶序中也存在此种现象. 这就是著名的 Fibonacci 级数模式. 我们称数列0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,.为 Fibonacci 数列.Fibonacci 数列满足递推公式: +2= + +1, = 0,1,2,. 以及初始条件: 0= 0,1= 1. 试求该数列的通项式, 并且求出极限 lim+1.斐波那契是中世纪占主导地位的数学家之一, 在算术、代数和几何等方面多有贡献是在丢番图之后费尔马之前这2000年间欧洲最杰出的数论学家.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日4 / 87解解解 设 =+1, = 0,1,2,. 由于 +2= + +1, 所以有+2+1=1 11 0+1令 =1 11 0, 则有 +1= = 0, 于是我们只要求出 即可求出 Fibonacci 数列的通项. 为此, 利用矩阵的相似标准型来化简 的计算. 的特征多项式为: | | = 2 1, 它的两个特征根为1=12(1 +5) 和 2=12(1 5), 即 可以对角化.求解齐次线性方程 (12(1 +5) ) = 0, 可以得到一个基础解:1=12(1 +5)1=11.同理可以得到 (12(1 5) ) = 0 的一个基础解1=12(1 5)1=21.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日5 / 87解解解 设 =+1, = 0,1,2,. 由于 +2= + +1, 所以有+2+1=1 11 0+1令 =1 11 0, 则有 +1= = 0, 于是我们只要求出 即可求出 Fibonacci 数列的通项. 为此, 利用矩阵的相似标准型来化简 的计算. 的特征多项式为: | | = 2 1, 它的两个特征根为1=12(1 +5) 和 2=12(1 5), 即 可以对角化.求解齐次线性方程 (12(1 +5) ) = 0, 可以得到一个基础解:1=12(1 +5)1=11.同理可以得到 (12(1 5) ) = 0 的一个基础解1=12(1 5)1=21.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日5 / 87解解解 设 =+1, = 0,1,2,. 由于 +2= + +1, 所以有+2+1=1 11 0+1令 =1 11 0, 则有 +1= = 0, 于是我们只要求出 即可求出 Fibonacci 数列的通项. 为此, 利用矩阵的相似标准型来化简 的计算. 的特征多项式为: | | = 2 1, 它的两个特征根为1=12(1 +5) 和 2=12(1 5), 即 可以对角化.求解齐次线性方程 (12(1 +5) ) = 0, 可以得到一个基础解:1=12(1 +5)1=11.同理可以得到 (12(1 5) ) = 0 的一个基础解1=12(1 5)1=21.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日5 / 87解解解 设 =+1, = 0,1,2,. 由于 +2= + +1, 所以有+2+1=1 11 0+1令 =1 11 0, 则有 +1= = 0, 于是我们只要求出 即可求出 Fibonacci 数列的通项. 为此, 利用矩阵的相似标准型来化简 的计算. 的特征多项式为: | | = 2 1, 它的两个特征根为1=12(1 +5) 和 2=12(1 5), 即 可以对角化.求解齐次线性方程 (12(1 +5) ) = 0, 可以得到一个基础解:1=12(1 +5)1=11.同理可以得到 (12(1 5) ) = 0 的一个基础解1=12(1 5)1=21.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日5 / 87解解解 设 =+1, = 0,1,2,. 由于 +2= + +1, 所以有+2+1=1 11 0+1令 =1 11 0, 则有 +1= = 0, 于是我们只要求出 即可求出 Fibonacci 数列的通项. 为此, 利用矩阵的相似标准型来化简 的计算. 的特征多项式为: | | = 2 1, 它的两个特征根为1=12(1 +5) 和 2=12(1 5), 即 可以对角化.求解齐次线性方程 (12(1 +5) ) = 0, 可以得到一个基础解:1=12(1 +5)1=11.同理可以得到 (12(1 5) ) = 0 的一个基础解1=12(1 5)1=21.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日5 / 87令 =1211, 则 1 =100 2, 从而有= 100 21=15+11+12121 21 1由+1= 10,比较上式得到 =15(1 2), 这就是著名的 Fibonacci 数列的通项公式, 容易证明 lim+1=11=(15)2 0.618.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日6 / 87令 =1211, 则 1 =100 2, 从而有= 100 21=15+11+12121 21 1由+1= 10,比较上式得到 =15(1 2), 这就是著名的 Fibonacci 数列的通项公式, 容易证明 lim+1=11=(15)2 0.618.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日6 / 870.618斐波纳契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用, 为此, 美国数学会从1960年代起出版了斐波纳契数列季刊, 专门刊载这方面的研究成果.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日7 / 870.618刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日8 / 87刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日9 / 871矩阵应用举例2线性空间3线性空间的基本概念及其性质4线性空间的基与坐标5线性子空间6线性映射与线性变换7线性变换的运算8线性变换的矩阵表示刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日10 / 87线性空间在线性代数里, 我们知道 维向量对向量的加法、向量的数乘这两种线性运算保持封闭, 并且 维向量的线性运算满足 8 条规则.事实上对于矩阵, 一元多项式等等也都具有加法和数乘的线性运算, 并且这种线性运算也满足 8 条规则, 把这里的基本东西抽象出来, 就得出线性空间的概念. 线性空间是线性代数最基本的概念之一, 也是学习矩阵理论的重要基础. 线性空间的概念是对各种具体线性系统的一种统一的抽象.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日10 / 87定义 2.1设 是一数域, 是一非空集合, 如果对任意两个元素 , , 总有惟一的一个元素 与之对应, 称 为 与 的和, 记为 = + ; 又对于任一数 及任一元素 , 有惟一的一个元素 与之对应, 称 为 与 的数量乘积, 记为 = (称为对加法与数乘运算封闭) ; 并且这两种运算满足以下 8 条规则 (设 , ; , ) :(l) + = + ;(2) ( + ) + = + ( + );(3) 在 中存在零元素 , 对任意 , 都有 + = ;(4) 在 中存在负元素, 即对任意 , 存在 , 使 + = , 称为 的负元素;(5) 1 = ;(6) () = ();(7) ( + ) = + ;(8) ( + ) = + .那么, 称 为数域 上的线性空间, 记为 ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日11 / 87注 2.1定义中, 没有涉及非空集合 是由什么元素组成的, 对加法与数乘如何进行都没有具体规定, 这样就使线性空间具有丰富的内涵. 考虑到线性空间与 维向量空间 R在本质上十分相似, 人们称线性空间为“向量空间”, 其元素统称为向量.注 2.2当 为实数域 R 时, 称 () 为实线性空间; 当 为复数域 时, 称 ()为复线性 (酉) 空间.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日12 / 87注 2.1定义中, 没有涉及非空集合 是由什么元素组成的, 对加法与数乘如何进行都没有具体规定, 这样就使线性空间具有丰富的内涵. 考虑到线性空间与 维向量空间 R在本质上十分相似, 人们称线性空间为“向量空间”, 其元素统称为向量.注 2.2当 为实数域 R 时, 称 () 为实线性空间; 当 为复数域 时, 称 ()为复线性 (酉) 空间.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日12 / 87线性空间的运算除上面的 8 条规则外, 还具有如下列性质:(1) 零元唯一;(2) 负元唯一; , 用 表示 的负元;(3) = ; 特别地有 0 = , (1) = ;(4) = = 0 或 = ;(5) 消去律成立, 即若 + = + , 则 = .例 2.1所有 实矩阵的全体构成的集合, 关于矩阵的加法与数乘构成实数域 R 上的一个实线性空间, 称之为矩阵空间, 记为 R.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日13 / 87线性空间的运算除上面的 8 条规则外, 还具有如下列性质:(1) 零元唯一;(2) 负元唯一; , 用 表示 的负元;(3) = ; 特别地有 0 = , (1) = ;(4) = = 0 或 = ;(5) 消去律成立, 即若 + = + , 则 = .例 2.1所有 实矩阵的全体构成的集合, 关于矩阵的加法与数乘构成实数域 R 上的一个实线性空间, 称之为矩阵空间, 记为 R.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日13 / 87例 2.2次数小于 的实多项式的全体与零多项式组成的集合()= () = 11+ 1 + 0| R = 1,2,., 1关于多项式的加法及数与多项式的乘法构成实线性空间: 多项式函数空间, 用()表示此线性空间.例 2.3区间 (,) 的上全体连续实函数构成的集合, 按函数的加法和数与函数的数量乘法构成实数域 R 上的线性空间, 记为 (,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日14 / 87例 2.2次数小于 的实多项式的全体与零多项式组成的集合()= () = 11+ 1 + 0| R = 1,2,., 1关于多项式的加法及数与多项式的乘法构成实线性空间: 多项式函数空间, 用()表示此线性空间.例 2.3区间 (,) 的上全体连续实函数构成的集合, 按函数的加法和数与函数的数量乘法构成实数域 R 上的线性空间, 记为 (,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日14 / 87下面介绍一个较复杂的例子.例 2.4设 = | = (1,2),1,2 R, 若 = (1,2), = (1,2), 定义加法与数乘运算为: .= (1+ 1,2+ 2+ 11), .= (1,2+(1)22), R.则按照所定义的加法与乘法运算, 构成 R 的线性空间.证: 显然, 在定义下, 对加法与乘法封闭. 以下逐一检验线性空间定义中的 8条规则成立.(1) = ;(2) 另设 = (1,2), 则( ) = (1+ 1,2+ 2+ 11) (1,2)= (1+ 1+ 1,2+ 2+ 11+ 2+ 11+ 1) ( ) = (1,2) (1+ 1,2+ 2+ 11)= (1+ 1+ 1,2+ 2+ 11+ 2+ 11+ 1)故 ( ) = ( ).(3) 中存在零元 = (0,0), 使 = ;(4) = (1,2+ 21)即为 的负元;(5) 1 = ;刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日15 / 87下面介绍一个较复杂的例子.例 2.4设 = | = (1,2),1,2 R, 若 = (1,2), = (1,2), 定义加法与数乘运算为: .= (1+ 1,2+ 2+ 11), .= (1,2+(1)22), R.则按照所定义的加法与乘法运算, 构成 R 的线性空间.证: 显然, 在定义下, 对加法与乘法封闭. 以下逐一检验线性空间定义中的 8条规则成立.(1) = ;(2) 另设 = (1,2), 则( ) = (1+ 1,2+ 2+ 11) (1,2)= (1+ 1+ 1,2+ 2+ 11+ 2+ 11+ 1) ( ) = (1,2) (1+ 1,2+ 2+ 11)= (1+ 1+ 1,2+ 2+ 11+ 2+ 11+ 1)故 ( ) = ( ).(3) 中存在零元 = (0,0), 使 = ;(4) = (1,2+ 21)即为 的负元;(5) 1 = ;刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日15 / 87证: (6)()=(1,2+(1)2(1)2)=(1,2,(1)221)=()(1,2)=()(7)(+)=(+)1,(+)2+12(+)(+1)21)=(1+1,2+(1)221+2+(1)221+(1)(1)=(1,2+(1)221)(1,2+(1)221)=(8)()=(1+1,2+2+11)=(1+1),(2+2+11)+(1)2(1+1)2)=(1+1,(2+(1)221)+(2+(1)221)+211)=(1,2+(1)221)(1,2+(1)221)=(+)可见 构成 R 上的线性空间, 记为 R(,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日16 / 871矩阵应用举例2线性空间3线性空间的基本概念及其性质4线性空间的基与坐标5线性子空间6线性映射与线性变换7线性变换的运算8线性变换的矩阵表示刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日17 / 87线性空间的基本概念及其性质同 维线性空间 R中向量组的线性相关性一样, 如果 1,2,.,为线性空间 () 中的 个向量, 且在数域 中存在一组数 1,2,.,使得 = 11+ 22+ + (3-1)则称 是向量组 1,2,.,的线性组合, 也称向量 可以由向量组1,2,.,线性表示.如果存在不全为零的数 1,2,.,使得11+ 22+ + = (3-2)则称 1,2,.,线性相关, 否则称为线性无关.注 3.1式 3-1 和 3-2 所述概念仅与向量的运算有关, 而与向量自身的属性无关, 所以在R中所讨论的向量相应的结论可以不加改变地移到线性空间 () 中来.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日17 / 87线性空间的基本概念及其性质同 维线性空间 R中向量组的线性相关性一样, 如果 1,2,.,为线性空间 () 中的 个向量, 且在数域 中存在一组数 1,2,.,使得 = 11+ 22+ + (3-1)则称 是向量组 1,2,.,的线性组合, 也称向量 可以由向量组1,2,.,线性表示.如果存在不全为零的数 1,2,.,使得11+ 22+ + = (3-2)则称 1,2,.,线性相关, 否则称为线性无关.注 3.1式 3-1 和 3-2 所述概念仅与向量的运算有关, 而与向量自身的属性无关, 所以在R中所讨论的向量相应的结论可以不加改变地移到线性空间 () 中来.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日17 / 87线性空间的基本概念及其性质同 维线性空间 R中向量组的线性相关性一样, 如果 1,2,.,为线性空间 () 中的 个向量, 且在数域 中存在一组数 1,2,.,使得 = 11+ 22+ + (3-1)则称 是向量组 1,2,.,的线性组合, 也称向量 可以由向量组1,2,.,线性表示.如果存在不全为零的数 1,2,.,使得11+ 22+ + = (3-2)则称 1,2,.,线性相关, 否则称为线性无关.注 3.1式 3-1 和 3-2 所述概念仅与向量的运算有关, 而与向量自身的属性无关, 所以在R中所讨论的向量相应的结论可以不加改变地移到线性空间 () 中来.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日17 / 87设线性空间 () 中的两个向量组 1, 2, ., 和 1, 2,., , 如果1, 2, ., 中的每个向量都可以由向量组 1, 2,., 线性表示, 则称向量组 1, 2, ., 可以由向量组 1, 2,., 线性表示. 若向量组 1, 2,., 和 1, 2,., 可以互相线性表示, 则称两个向量组 1, 2, ., 和1, 2,., 是等价的.注 3.2向量组之间的等价满足自反性、对称性、传递性.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日18 / 87设线性空间 () 中的两个向量组 1, 2, ., 和 1, 2,., , 如果1, 2, ., 中的每个向量都可以由向量组 1, 2,., 线性表示, 则称向量组 1, 2, ., 可以由向量组 1, 2,., 线性表示. 若向量组 1, 2,., 和 1, 2,., 可以互相线性表示, 则称两个向量组 1, 2, ., 和1, 2,., 是等价的.注 3.2向量组之间的等价满足自反性、对称性、传递性.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日18 / 87例 3.1在线性空间 R, 其中 =1 = , = 0 其他即 是这样的一个矩阵, 它的第 行第 列元素是 1, 其余元素为 0, 则 , = 1,2,.,; = 1,2,.,线性无关.证: 事实上, 设1111+ 1212+ + + + = 0.则有1112 12122 2.12 = 所以, = 0, 证毕.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日19 / 87例 3.1在线性空间 R, 其中 =1 = , = 0 其他即 是这样的一个矩阵, 它的第 行第 列元素是 1, 其余元素为 0, 则 , = 1,2,.,; = 1,2,.,线性无关.证: 事实上, 设1111+ 1212+ + + + = 0.则有1112 12122 2.12 = 所以, = 0, 证毕.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日19 / 87定理 3.1Steinitz 定理 设 是 上的线性空间, 如果 中向量组 1, 2, ., 线性无关, 并且可以由向量组 1, 2,., 线性表示, 则 .证: 由 1, 2, ., 可由 1, 2,., 线性表示, 因此存在常数, = 1,2,., = 1,2,., 使1= 111+ 212+ + 12= 211+ 222+ + 2.= 11+ 22+ + 于是有(1,2,.,) = (1,2,.,)1112 12122 2.12 (3-3)刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日20 / 87定理 3.1Steinitz 定理 设 是 上的线性空间, 如果 中向量组 1, 2, ., 线性无关, 并且可以由向量组 1, 2,., 线性表示, 则 .证: 由 1, 2, ., 可由 1, 2,., 线性表示, 因此存在常数, = 1,2,., = 1,2,., 使1= 111+ 212+ + 12= 211+ 222+ + 2.= 11+ 22+ + 于是有(1,2,.,) = (1,2,.,)1112 12122 2.12 (3-3)刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日20 / 87证: 若 , 则线性方程组1112 12122 2.12 12.=00.0必有非零解 (1,2,.,).将非零解 (1,2,.,)右乘 3-3 的两端, 得11+ 22+ + = 0, 因此 1, 2, ., 线性相关, 矛盾！故 .推论 3.1定理 3.1 中, 若 1, 2,., 线性无关, 并且与 1, 2, ., 等价, 则有 = .即两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.证: 设 1,2, , 与 1,2, , 是两个等价的线性无关向量组, 由定理 3.1, 有 , 且 , = 刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日21 / 87证: 若 , 则线性方程组1112 12122 2.12 12.=00.0必有非零解 (1,2,.,).将非零解 (1,2,.,)右乘 3-3 的两端, 得11+ 22+ + = 0, 因此 1, 2, ., 线性相关, 矛盾！故 .推论 3.1定理 3.1 中, 若 1, 2,., 线性无关, 并且与 1, 2, ., 等价, 则有 = .即两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.证: 设 1,2, , 与 1,2, , 是两个等价的线性无关向量组, 由定理 3.1, 有 , 且 , = 刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日21 / 87证: 若 , 则线性方程组1112 12122 2.12 12.=00.0必有非零解 (1,2,.,).将非零解 (1,2,.,)右乘 3-3 的两端, 得11+ 22+ + = 0, 因此 1, 2, ., 线性相关, 矛盾！故 .推论 3.1定理 3.1 中, 若 1, 2,., 线性无关, 并且与 1, 2, ., 等价, 则有 = .即两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.证: 设 1,2, , 与 1,2, , 是两个等价的线性无关向量组, 由定理 3.1, 有 , 且 , = 刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日21 / 87证: 若 , 则线性方程组1112 12122 2.12 12.=00.0必有非零解 (1,2,.,).将非零解 (1,2,.,)右乘 3-3 的两端, 得11+ 22+ + = 0, 因此 1, 2, ., 线性相关, 矛盾！故 .推论 3.1定理 3.1 中, 若 1, 2,., 线性无关, 并且与 1, 2, ., 等价, 则有 = .即两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.证: 设 1,2, , 与 1,2, , 是两个等价的线性无关向量组, 由定理 3.1, 有 , 且 , = 刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日21 / 871矩阵应用举例2线性空间3线性空间的基本概念及其性质4线性空间的基与坐标5线性子空间6线性映射与线性变换7线性变换的运算8线性变换的矩阵表示刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日22 / 87线性空间的基与坐标与线性代数里的 维向量组一样, 我们可以引入线性无关组与秩的概念.若线性空间 的线性无关向量组所含向量最多的个数为 , , 则称 是 维的; 若 = , 则称 是无限维的. 利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间. 本讲义只讨论有限维的线性空间.定义 4.1线性空间 () 中的向量组 1, 2, ., 称为 () 的一个基, 若它满足:1) 1, 2, ., 线性无关;2) () 中任意的一个向量都可以表示成 1, 2, ., 的线性组合.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日22 / 87线性空间的基与坐标与线性代数里的 维向量组一样, 我们可以引入线性无关组与秩的概念.若线性空间 的线性无关向量组所含向量最多的个数为 , , 则称 是 维的; 若 = , 则称 是无限维的. 利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间. 本讲义只讨论有限维的线性空间.定义 4.1线性空间 () 中的向量组 1, 2, ., 称为 () 的一个基, 若它满足:1) 1, 2, ., 线性无关;2) () 中任意的一个向量都可以表示成 1, 2, ., 的线性组合.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日22 / 87注 4.1定义 4.1 中, 线性空间的基所含向量的个数即为 () 的维数, 记为 () =, 也称 () 为 维线性空间, 并记为 ().由此可知, 如果 1,2, ,是 () 的一个基, 则 中元素的全体可以表示为:= | = 11+ 22+ + , 1,2, , 也就是说 中的向量 与有序数组 1,2, ,之间构成一一对应关系.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日23 / 87定义 4.2设 1, 2, ., 为 () 的基, 对任意的 (), 在此基下有唯一的线性表示式 =1, , = 1,2,., 则称 1,2,.,为向量 在基1, 2, ., 的坐标.注 4.2定义 4.2 中的唯一表示式是指: 若 还有另一表示式 =1, 则 = , = 1,2,.,. (只要两式子相减, 则有 =1(), 由 1, 2, ., 线性无关, 得到 = 0, = 1,2,.,) .注 4.3为了方便, 一般将坐标写成 R中的行向量或者列向量的形式. 由注记 4.2, 一个向量在同一基下的坐标是唯一的.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日24 / 87定义 4.2设 1, 2, ., 为 () 的基, 对任意的 (), 在此基下有唯一的线性表示式 =1, , = 1,2,., 则称 1,2,.,为向量 在基1, 2, ., 的坐标.注 4.2定义 4.2 中的唯一表示式是指: 若 还有另一表示式 =1, 则 = , = 1,2,.,. (只要两式子相减, 则有 =1(), 由 1, 2, ., 线性无关, 得到 = 0, = 1,2,.,) .注 4.3为了方便, 一般将坐标写成 R中的行向量或者列向量的形式. 由注记 4.2, 一个向量在同一基下的坐标是唯一的.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日24 / 87定义 4.2设 1, 2, ., 为 () 的基, 对任意的 (), 在此基下有唯一的线性表示式 =1, , = 1,2,., 则称 1,2,.,为向量 在基1, 2, ., 的坐标.注 4.2定义 4.2 中的唯一表示式是指: 若 还有另一表示式 =1, 则 = , = 1,2,.,. (只要两式子相减, 则有 =1(), 由 1, 2, ., 线性无关, 得到 = 0, = 1,2,.,) .注 4.3为了方便, 一般将坐标写成 R中的行向量或者列向量的形式. 由注记 4.2, 一个向量在同一基下的坐标是唯一的.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日24 / 87定理 4.1设 1,2,3, ,是数域 上的线性空间 () 的一个基, 则 () 中的每一个向量可以唯一的被表示为基向量 1,2,3, ,的线性组合.证: 设 (), = 11+ 22+ + = 11+ 22+ + .两式相减有 (1 1)1+ (2 2)2+ + ( )= 0, 故1,2, ,线性无关, 1= 1,2= 2, ,= .反之, 若 () 中的每一个向量可以唯一的被表示为基向量1,2,3, ,的线性组合, 则 可以唯一地表示为 = 11+ 22+ + , 于是 1,2,3, ,线性无关.例 4.1在线性空间 R中, (1 ;1 ) 是此空间的基, 若 =(), 则 在基 (1 ;1 ) 下的坐标为 (1 ;1 ) .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日25 / 87定理 4.1设 1,2,3, ,是数域 上的线性空间 () 的一个基, 则 () 中的每一个向量可以唯一的被表示为基向量 1,2,3, ,的线性组合.证: 设 (), = 11+ 22+ + = 11+ 22+ + .两式相减有 (1 1)1+ (2 2)2+ + ( )= 0, 故1,2, ,线性无关, 1= 1,2= 2, ,= .反之, 若 () 中的每一个向量可以唯一的被表示为基向量1,2,3, ,的线性组合, 则 可以唯一地表示为 = 11+ 22+ + , 于是 1,2,3, ,线性无关.例 4.1在线性空间 R中, (1 ;1 ) 是此空间的基, 若 =(), 则 在基 (1 ;1 ) 下的坐标为 (1 ;1 ) .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日25 / 87定理 4.1设 1,2,3, ,是数域 上的线性空间 () 的一个基, 则 () 中的每一个向量可以唯一的被表示为基向量 1,2,3, ,的线性组合.证: 设 (), = 11+ 22+ + = 11+ 22+ + .两式相减有 (1 1)1+ (2 2)2+ + ( )= 0, 故1,2, ,线性无关, 1= 1,2= 2, ,= .反之, 若 () 中的每一个向量可以唯一的被表示为基向量1,2,3, ,的线性组合, 则 可以唯一地表示为 = 11+ 22+ + , 于是 1,2,3, ,线性无关.例 4.1在线性空间 R中, (1 ;1 ) 是此空间的基, 若 =(), 则 在基 (1 ;1 ) 下的坐标为 (1 ;1 ) .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日25 / 87同一个向量在不同的基下的坐标可以是不同的.设 1, 2, ., 和 1, 2, ., 是线性空间的两个基, 且1= 111+ 212 + 12= 121+ 222 + 2.= 11+ 22 + 上式写成(1,2,.,) = (1,2,.,)(4-4), 其中 = ()称式 (4-4) 为基变换公式, 为基 1, 2, ., 到基 1, 2, ., 的过渡矩阵.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日26 / 87过渡矩阵反映了线性空间的不同的基之间的关系, 这是一个很重要的概念.现在进一步讨论过渡矩阵的一些性质.如果由基 1,2, , 到基 1,2, , 的过渡矩阵为 ,则有 (1,2, ,) = (1,2, ,);再设基 1,2, , 到基 1,2, , 的过渡矩阵为 ,则有 (1,2, ,) = (1,2, ,);比较上面两式有(1,2, ,) = (1,2, ,);(1,2, ,) = (1,2, ,).1,2, , 1,2, , 都是基, = = , 矩阵 可逆,并且 = 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日27 / 87过渡矩阵反映了线性空间的不同的基之间的关系, 这是一个很重要的概念.现在进一步讨论过渡矩阵的一些性质.如果由基 1,2, , 到基 1,2, , 的过渡矩阵为 ,则有 (1,2, ,) = (1,2, ,);再设基 1,2, , 到基 1,2, , 的过渡矩阵为 ,则有 (1,2, ,) = (1,2, ,);比较上面两式有(1,2, ,) = (1,2, ,);(1,2, ,) = (1,2, ,).1,2, , 1,2, , 都是基, = = , 矩阵 可逆,并且 = 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日27 / 87反之, 设 = () 为任意一个可逆矩阵, 任意取定 的一个基1,2, , 并取 =1( = 1,2, ,)则有 (1,2, ,) = (1,2, ,)(1,2, ,) = (1,2, ,)1.所以, 1,2, , 也是 的一个基.因此有以下的定理:定理 4.2设 是 维线性空间 中由基 1,2, , 到基 1,2, , 的过渡矩阵, 那么 是一个可逆矩阵; 反之, 任意一个 阶可逆矩阵 都可以作为 中一个基到另一个基的过渡矩阵. 如果由基 1,2, ,到基 1,2, , 的过渡矩阵为 , 那么, 由基 1,2, , 到基1,2, , 的过渡矩阵就是 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日28 / 87反之, 设 = () 为任意一个可逆矩阵, 任意取定 的一个基1,2, , 并取 =1( = 1,2, ,)则有 (1,2, ,) = (1,2, ,)(1,2, ,) = (1,2, ,)1.所以, 1,2, , 也是 的一个基.因此有以下的定理:定理 4.2设 是 维线性空间 中由基 1,2, , 到基 1,2, , 的过渡矩阵, 那么 是一个可逆矩阵; 反之, 任意一个 阶可逆矩阵 都可以作为 中一个基到另一个基的过渡矩阵. 如果由基 1,2, ,到基 1,2, , 的过渡矩阵为 , 那么, 由基 1,2, , 到基1,2, , 的过渡矩阵就是 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日28 / 87定理 4.3 为基 1, 2, ., 到基 1, 2, ., 的过渡矩阵, () 的元素 在基 1, 2, ., 和 1, 2, ., 下的坐标分别是 (1,2,.,)和(1,2,.,), 则有12.= 12.或12.= 112.(4-5)证: = (1,2,.,)12.又 = (1,2,.,)12.=(1,2,.,)12.由 在基 1, 2, ., 下的坐标的唯一性, 得证.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日29 / 87定理 4.3 为基 1, 2, ., 到基 1, 2, ., 的过渡矩阵, () 的元素 在基 1, 2, ., 和 1, 2, ., 下的坐标分别是 (1,2,.,)和(1,2,.,), 则有12.= 12.或12.= 112.(4-5)证: = (1,2,.,)12.又 = (1,2,.,)12.=(1,2,.,)12.由 在基 1, 2, ., 下的坐标的唯一性, 得证.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日29 / 87例 4.2设 1=10.0, 2=01.0,=00.1,1=11.1, 2=01.1,=00.1则 1, 2, ., 和 1, 2, ., 是 R中得两个基, 若 R在两组基下的分别是 (1,2,.,)和 (1,2,.,), 求由 1, 2, ., 到基 1,2, ., 的过渡矩阵 以及 的两个坐标的变换公式.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日30 / 87例 4.2设 1=10.0, 2=01.0,=00.1,1=11.1, 2=01.1,=00.1则 1, 2, ., 和 1, 2, ., 是 R中得两个基, 若 R在两组基下的分别是 (1,2,.,)和 (1,2,.,), 求由 1, 2, ., 到基 1,2, ., 的过渡矩阵 以及 的两个坐标的变换公式.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日30 / 87解解解 由 (1,2,.,) = (1,2,.,)1 0 01 1. 0. 01 1 1故 =1 0 01 1.0. 01 1 1坐标变换公式为12.= 12.或12.= 112.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日31 / 87解解解 由 (1,2,.,) = (1,2,.,)1 0 01 1. 0. 01 1 1故 =1 0 01 1.0. 01 1 1坐标变换公式为12.= 12.或12.= 112.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日31 / 87设 维线性空间 () 的向量 , 关于 1,2, ,的坐标分别为(1,2, ,)和 (1,2, ,), = 11+ 22+ + , = 11+ 22+ + ,那么 + = (1+ 1)1+ (2+ 2)2+ + (+ ).设 , 那么 = (1)1+ (2)2+ + ().定理 4.4设 () 是数域 上的一个 维线性空间, 1, 2, , 是 () 的一个基, , , 它们关于基 1, 2, , 的坐标分别是 (1,2, ,)和(1,2, ,), 那么, + 关于这个基的坐标就是 (1+1, 2+2, , +). 又设 , 那么, 关于这个基的坐标就是 (1,2, ,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日32 / 87设 维线性空间 () 的向量 , 关于 1,2, ,的坐标分别为(1,2, ,)和 (1,2, ,), = 11+ 22+ + , = 11+ 22+ + ,那么 + = (1+ 1)1+ (2+ 2)2+ + (+ ).设 , 那么 = (1)1+ (2)2+ + ().定理 4.4设 () 是数域 上的一个 维线性空间, 1, 2, , 是 () 的一个基, , , 它们关于基 1, 2, , 的坐标分别是 (1,2, ,)和(1,2, ,), 那么, + 关于这个基的坐标就是 (1+1, 2+2, , +). 又设 , 那么, 关于这个基的坐标就是 (1,2, ,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日32 / 87设 维线性空间 () 的向量 , 关于 1,2, ,的坐标分别为(1,2, ,)和 (1,2, ,), = 11+ 22+ + , = 11+ 22+ + ,那么 + = (1+ 1)1+ (2+ 2)2+ + (+ ).设 , 那么 = (1)1+ (2)2+ + ().定理 4.4设 () 是数域 上的一个 维线性空间, 1, 2, , 是 () 的一个基, , , 它们关于基 1, 2, , 的坐标分别是 (1,2, ,)和(1,2, ,), 那么, + 关于这个基的坐标就是 (1+1, 2+2, , +). 又设 , 那么, 关于这个基的坐标就是 (1,2, ,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日32 / 87设 维线性空间 () 的向量 , 关于 1,2, ,的坐标分别为(1,2, ,)和 (1,2, ,), = 11+ 22+ + , = 11+ 22+ + ,那么 + = (1+ 1)1+ (2+ 2)2+ + (+ ).设 , 那么 = (1)1+ (2)2+ + ().定理 4.4设 () 是数域 上的一个 维线性空间, 1, 2, , 是 () 的一个基, , , 它们关于基 1, 2, , 的坐标分别是 (1,2, ,)和(1,2, ,), 那么, + 关于这个基的坐标就是 (1+1, 2+2, , +). 又设 , 那么, 关于这个基的坐标就是 (1,2, ,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日32 / 871,2, , 1,2, , 1,2, , 是线性空间 的基,设基 1,2, , 到基 1,2, , 的过渡矩阵为 = (); 基1,2, , 到基 1,2, , 的过渡矩阵为 = ().定理 4.5基 1,2, , 到基 1,2, , 的过渡矩阵为 = (), 则 = .证: (1,2, ,) = (1,2, ,)(1,2, ,) = (1,2, ,)(1,2, ,) =(1,2, ,) = (1,2, ,).由此可见, 我们所熟悉的矩阵乘法的定义正反映了这种线性代入过程.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日33 / 871,2, , 1,2, , 1,2, , 是线性空间 的基,设基 1,2, , 到基 1,2, , 的过渡矩阵为 = (); 基1,2, , 到基 1,2, , 的过渡矩阵为 = ().定理 4.5基 1,2, , 到基 1,2, , 的过渡矩阵为 = (), 则 = .证: (1,2, ,) = (1,2, ,)(1,2, ,) = (1,2, ,)(1,2, ,) =(1,2, ,) = (1,2, ,).由此可见, 我们所熟悉的矩阵乘法的定义正反映了这种线性代入过程.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日33 / 87例 4.3在 3中, 1= (3,2,1), 2= (0,1,2), 3= (1,2,1),试证明 1,2,3 是 3的一个基, 并求出 = (3,12,7) 关于此基的坐标.解解解 取 3中的标准基 1= (1,0,0), 2= (0,1,0), 3= (0,0,1);令 =3 0 12 1 21 2 1, (1,2,3) = (1,2,3)det = 4 = 0, 可逆, 1,2,3 是 3的一个基, 且 为标准基到基1,2,3 的过渡矩阵.又 = (3,12,7) 是 关于标准基 1,2,3 的坐标,设 关于基 1,2,3 的坐标为 (1,2,3),3127= 123, 13127=123,123= 13127=20346317.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日34 / 87例 4.3在 3中, 1= (3,2,1), 2= (0,1,2), 3= (1,2,1),试证明 1,2,3 是 3的一个基, 并求出 = (3,12,7) 关于此基的坐标.解解解 取 3中的标准基 1= (1,0,0), 2= (0,1,0), 3= (0,0,1);令 =3 0 12 1 21 2 1, (1,2,3) = (1,2,3)det = 4 = 0, 可逆, 1,2,3 是 3的一个基, 且 为标准基到基1,2,3 的过渡矩阵.又 = (3,12,7) 是 关于标准基 1,2,3 的坐标,设 关于基 1,2,3 的坐标为 (1,2,3),3127= 123, 13127=123,123= 13127=20346317.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日34 / 87例 4.3在 3中, 1= (3,2,1), 2= (0,1,2), 3= (1,2,1),试证明 1,2,3 是 3的一个基, 并求出 = (3,12,7) 关于此基的坐标.解解解 取 3中的标准基 1= (1,0,0), 2= (0,1,0), 3= (0,0,1);令 =3 0 12 1 21 2 1, (1,2,3) = (1,2,3)det = 4 = 0, 可逆, 1,2,3 是 3的一个基, 且 为标准基到基1,2,3 的过渡矩阵.又 = (3,12,7) 是 关于标准基 1,2,3 的坐标,设 关于基 1,2,3 的坐标为 (1,2,3),3127= 123, 13127=123,123= 13127=20346317.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日34 / 87例 4.3在 3中, 1= (3,2,1), 2= (0,1,2), 3= (1,2,1),试证明 1,2,3 是 3的一个基, 并求出 = (3,12,7) 关于此基的坐标.解解解 取 3中的标准基 1= (1,0,0), 2= (0,1,0), 3= (0,0,1);令 =3 0 12 1 21 2 1, (1,2,3) = (1,2,3)det = 4 = 0, 可逆, 1,2,3 是 3的一个基, 且 为标准基到基1,2,3 的过渡矩阵.又 = (3,12,7) 是 关于标准基 1,2,3 的坐标,设 关于基 1,2,3 的坐标为 (1,2,3),3127= 123, 13127=123,123= 13127=20346317.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日34 / 871矩阵应用举例2线性空间3线性空间的基本概念及其性质4线性空间的基与坐标5线性子空间线性子空间线性子空间子空间的交与和子空间的基与维数6线性映射与线性变换刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日34 / 877线性变换的运算8线性变换的矩阵表示刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日35 / 87线性子空间前面我们讨论了线性空间的定义及其基、维数、坐标. 本节将对线性空间的子空间做一些介绍.在几何空间 R3内, 考虑过原点的直线, 对于几何向量的加法和数乘运算封闭, 构成一维线性空间, 于是引出以下定义:定义 5.1设 () 为数域 上的一个 维线性空间, 1为 () 的一个非空子集合, 如果对于 () 的运算满足: 1) 任意 , 1, 有 + 1; 2) 任意 1和 , 有 1. 则称 1为 () 的一个子空间.注 5.1若 1是 () 的子空间, 则 1对于 () 的线性运算具有封闭性, 也是一个线性空间, 且 dim1 dim ().单独一个零元素作成的子集 0 与子集 称为线性空间 的平凡子空间, 规定 dim0 = 0.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日35 / 87线性子空间前面我们讨论了线性空间的定义及其基、维数、坐标. 本节将对线性空间的子空间做一些介绍.在几何空间 R3内, 考虑过原点的直线, 对于几何向量的加法和数乘运算封闭, 构成一维线性空间, 于是引出以下定义:定义 5.1设 () 为数域 上的一个 维线性空间, 1为 () 的一个非空子集合, 如果对于 () 的运算满足: 1) 任意 , 1, 有 + 1; 2) 任意 1和 , 有 1. 则称 1为 () 的一个子空间.注 5.1若 1是 () 的子空间, 则 1对于 () 的线性运算具有封闭性, 也是一个线性空间, 且 dim1 dim ().单独一个零元素作成的子集 0 与子集 称为线性空间 的平凡子空间, 规定 dim0 = 0.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日35 / 87如果 是数域 上的一个线性空间, 1,2, , , 我们考虑由1,2, ,的一切线性组合所构成的集合 , 显然此集合非空.又设 = 11+ 22+ + , = 11+ 22+ + .则对于任意的 , , + =1(+ ) .定义 5.21,2, ,的一切线性组合作成线性空间 的一个子空间 . 我们称这个子空间为由 1,2, ,所生成的子空间, 记作 = 1,2, ,也记作其中 = 1,2, , 1,2, ,称为子空间 的一组生成元.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日36 / 87如果 是数域 上的一个线性空间, 1,2, , , 我们考虑由1,2, ,的一切线性组合所构成的集合 , 显然此集合非空.又设 = 11+ 22+ + , = 11+ 22+ + .则对于任意的 , , + =1(+ ) .定义 5.21,2, ,的一切线性组合作成线性空间 的一个子空间 . 我们称这个子空间为由 1,2, ,所生成的子空间, 记作 = 1,2, ,也记作其中 = 1,2, , 1,2, ,称为子空间 的一组生成元.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日36 / 87例 5.1考虑 中如下 个向量: = (0, ,0, 1(),0, ,0),( = 1,2, ,) . 对任意的 = (1,2, ,) , 有 = 11+ 22+ + ,所以 = 1,2, , 由此可知 1,2, ,是 的一组生成元.显然, 的任何一组基均可生成 .例 5.2齐次线性方程组 = 0 的全体解向量构成一个子空间, 我们称这个子空间为该方程组的解空间, 记为 (), 其基是该方程组的基解, 维数为 , 其中 为系数矩阵 的秩.例 5.3给 定,记()= | = , ,()=| = 0, , 按 中的加法和数乘运算, (), () 都是 上的线性空间. () 称为 的列空间, 也称 的值域. 特别地, 称 | = 0为 的核空间 (零空间) .显然, 矩阵 的核空间是 (), 称 的核空间得维数为 的零度.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日37 / 87例 5.1考虑 中如下 个向量: = (0, ,0, 1(),0, ,0),( = 1,2, ,) . 对任意的 = (1,2, ,) , 有 = 11+ 22+ + ,所以 = 1,2, , 由此可知 1,2, ,是 的一组生成元.显然, 的任何一组基均可生成 .例 5.2齐次线性方程组 = 0 的全体解向量构成一个子空间, 我们称这个子空间为该方程组的解空间, 记为 (), 其基是该方程组的基解, 维数为 , 其中 为系数矩阵 的秩.例 5.3给 定,记()= | = , ,()=| = 0, , 按 中的加法和数乘运算, (), () 都是 上的线性空间. () 称为 的列空间, 也称 的值域. 特别地, 称 | = 0为 的核空间 (零空间) .显然, 矩阵 的核空间是 (), 称 的核空间得维数为 的零度.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日37 / 87例 5.1考虑 中如下 个向量: = (0, ,0, 1(),0, ,0),( = 1,2, ,) . 对任意的 = (1,2, ,) , 有 = 11+ 22+ + ,所以 = 1,2, , 由此可知 1,2, ,是 的一组生成元.显然, 的任何一组基均可生成 .例 5.2齐次线性方程组 = 0 的全体解向量构成一个子空间, 我们称这个子空间为该方程组的解空间, 记为 (), 其基是该方程组的基解, 维数为 , 其中 为系数矩阵 的秩.例 5.3给 定,记()= | = , ,()=| = 0, , 按 中的加法和数乘运算, (), () 都是 上的线性空间. () 称为 的列空间, 也称 的值域. 特别地, 称 | = 0为 的核空间 (零空间) .显然, 矩阵 的核空间是 (), 称 的核空间得维数为 的零度.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日37 / 87子空间的交与和定理 5.1设 1,2是线性空间 的子空间, 用 1 2表示 1与 2中公共元素的集合, 则 1 2也是 的子空间, 称这个子空间为 1与 2的交.证: 因为 1,2是线性空间 的子空间, 所以 0 1,0 2, 因此0 1 2, 1 2= .对任意的 , 1 2, 有 , 1且 , 2, + 1, 1; + 2, 2. + 1 2, 1 2, 所以 1 2是 的子空间.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日38 / 87子空间的交与和定理 5.1设 1,2是线性空间 的子空间, 用 1 2表示 1与 2中公共元素的集合, 则 1 2也是 的子空间, 称这个子空间为 1与 2的交.证: 因为 1,2是线性空间 的子空间, 所以 0 1,0 2, 因此0 1 2, 1 2= .对任意的 , 1 2, 有 , 1且 , 2, + 1, 1; + 2, 2. + 1 2, 1 2, 所以 1 2是 的子空间.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日38 / 87如果线性空间 1与 2分别由 1,2, ,与 1,2, ,所生成, 那么1+ 2= 1,2, , + 1,2, , =1,2, ,1,2, ,1 2= 1,2, , 1,2, , =1,2, , 其中 1,2, , 1 2, ,.以上运算可以推广到 个子空间 1,2, ,.例 5.4设 1= (1,2,1,0), 2= (1,1,1,1), 1= (2,1,0,1), 2= (1,1,3,7), 求1= 1,2 与 2= 1,2 的和与交的维数以及它们的基.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日39 / 87解解解1+ 2= 1,2 + 1,2 = 1,2,1,2.向量组 1, 2, 1, 2的秩为 3, 并且 1,2,1为其一个极大线性无关组.dim(1+ 2) = 3, 并且 1+ 2的一个基为1,2,1, 即1+ 2= 1,2,1对 1 2而言, 对于任意的 1 2, 有 1,2,1,2 , 使 = 11+ 22= 11+ 22,所以 11+ 22 11 22= 0.(1,21,1,0) + (2,2,2,2) (21,1,0,1) (2,232,72) =(0,0,0,0)1 2 21 2= 021+ 2+ 1+ 2= 01+ 2 32= 02 1 72= 0其基础解为: (1,4,3,1).又因为 = 1 42= 31 2= (5,2,3,4), 所以 1 2中的任意元素均可由 表示, dim(1 2) = 1, = (5,2,3,4) 是 1 2的一个基, 即 1 2= . 解毕.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日40 / 87解解解1+ 2= 1,2 + 1,2 = 1,2,1,2.向量组 1, 2, 1, 2的秩为 3, 并且 1,2,1为其一个极大线性无关组.dim(1+ 2) = 3, 并且 1+ 2的一个基为1,2,1, 即1+ 2= 1,2,1对 1 2而言, 对于任意的 1 2, 有 1,2,1,2 , 使 = 11+ 22= 11+ 22,所以 11+ 22 11 22= 0.(1,21,1,0) + (2,2,2,2) (21,1,0,1) (2,232,72) =(0,0,0,0)1 2 21 2= 021+ 2+ 1+ 2= 01+ 2 32= 02 1 72= 0其基础解为: (1,4,3,1).又因为 = 1 42= 31 2= (5,2,3,4), 所以 1 2中的任意元素均可由 表示, dim(1 2) = 1, = (5,2,3,4) 是 1 2的一个基, 即 1 2= . 解毕.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日40 / 87前面给出了子空间的定义, 并讨论了子空间的交与和, 为了对子空间有进一步的了解, 我们将深入讨论子空间的基和维数.定理 5.2两向量组 1,2, , 与 1,2, , 生成子空间相同的充分且必要条件为 1,2, , 与 1,2, , 等价.证: 必要性 若 1,2, , = 1,2, , 则 1,2, , 并且 1,2, , 即向量组1,2, , 与 1,2, , 可以互相表示, 所以这两个向量组等价.充充充分分分性性性 若向量组 1,2, , 与 1,2, , 等价, 则 1,2, , 均有 =1=1 1,2, ,;同理 1,2, , 均有 =1=1 1,2, , 所以1,2, , = 1,2, ,.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日41 / 87前面给出了子空间的定义, 并讨论了子空间的交与和, 为了对子空间有进一步的了解, 我们将深入讨论子空间的基和维数.定理 5.2两向量组 1,2, , 与 1,2, , 生成子空间相同的充分且必要条件为 1,2, , 与 1,2, , 等价.证: 必要性 若 1,2, , = 1,2, , 则 1,2, , 并且 1,2, , 即向量组1,2, , 与 1,2, , 可以互相表示, 所以这两个向量组等价.充充充分分分性性性 若向量组 1,2, , 与 1,2, , 等价, 则 1,2, , 均有 =1=1 1,2, ,;同理 1,2, , 均有 =1=1 1,2, , 所以1,2, , = 1,2, ,.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日41 / 87前面给出了子空间的定义, 并讨论了子空间的交与和, 为了对子空间有进一步的了解, 我们将深入讨论子空间的基和维数.定理 5.2两向量组 1,2, , 与 1,2, , 生成子空间相同的充分且必要条件为 1,2, , 与 1,2, , 等价.证: 必要性 若 1,2, , = 1,2, , 则 1,2, , 并且 1,2, , 即向量组1,2, , 与 1,2, , 可以互相表示, 所以这两个向量组等价.充充充分分分性性性 若向量组 1,2, , 与 1,2, , 等价, 则 1,2, , 均有 =1=1 1,2, ,;同理 1,2, , 均有 =1=1 1,2, , 所以1,2, , = 1,2, ,.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日41 / 87定理 5.3线 性 空 间=1,2, ,的 维 数dim等 于 向 量 组1,2, , 的秩.证: 设 1,2, ,秩为 且 1,2, ,是它的一个极大线性无关向量组, 则 1,2, ,与 1,2, ,等价, 则 1,2, ,有 = 11+ 22+ + , dim = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日42 / 87定理 5.3线 性 空 间=1,2, ,的 维 数dim等 于 向 量 组1,2, , 的秩.证: 设 1,2, ,秩为 且 1,2, ,是它的一个极大线性无关向量组, 则 1,2, ,与 1,2, ,等价, 则 1,2, ,有 = 11+ 22+ + , dim = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日42 / 87定理 5.4设向量组 1, 2, , 线性无关, 且每个 都可以由向量组 1, 2, , 线性表示, 那么必有 , 且在必要时可以对 1, 2, , 中的向量重新编号, 使得用 1, 2, , 替换 1, 2, , 后, 所得的向量组 1, 2, , +1, +2, , 与 1, 2, , 等价.证: 对 1,2, ,中的向量的个数 应用数学归纳法.当 = 0 时, 论断显然正确.假设 0, 并且对向量组 1,2, ,中含有 1 个向量的情形, 结论成立.当向量组 1,2, ,中含有 个向量时, 1, 2, , 线性无关,1,2, ,1也线性无关.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日43 / 87定理 5.4设向量组 1, 2, , 线性无关, 且每个 都可以由向量组 1, 2, , 线性表示, 那么必有 , 且在必要时可以对 1, 2, , 中的向量重新编号, 使得用 1, 2, , 替换 1, 2, , 后, 所得的向量组 1, 2, , +1, +2, , 与 1, 2, , 等价.证: 对 1,2, ,中的向量的个数 应用数学归纳法.当 = 0 时, 论断显然正确.假设 0, 并且对向量组 1,2, ,中含有 1 个向量的情形, 结论成立.当向量组 1,2, ,中含有 个向量时, 1, 2, , 线性无关,1,2, ,1也线性无关.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日43 / 87定理 5.4设向量组 1, 2, , 线性无关, 且每个 都可以由向量组 1, 2, , 线性表示, 那么必有 , 且在必要时可以对 1, 2, , 中的向量重新编号, 使得用 1, 2, , 替换 1, 2, , 后, 所得的向量组 1, 2, , +1, +2, , 与 1, 2, , 等价.证: 对 1,2, ,中的向量的个数 应用数学归纳法.当 = 0 时, 论断显然正确.假设 0, 并且对向量组 1,2, ,中含有 1 个向量的情形, 结论成立.当向量组 1,2, ,中含有 个向量时, 1, 2, , 线性无关,1,2, ,1也线性无关.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日43 / 87定理 5.4设向量组 1, 2, , 线性无关, 且每个 都可以由向量组 1, 2, , 线性表示, 那么必有 , 且在必要时可以对 1, 2, , 中的向量重新编号, 使得用 1, 2, , 替换 1, 2, , 后, 所得的向量组 1, 2, , +1, +2, , 与 1, 2, , 等价.证: 对 1,2, ,中的向量的个数 应用数学归纳法.当 = 0 时, 论断显然正确.假设 0, 并且对向量组 1,2, ,中含有 1 个向量的情形, 结论成立.当向量组 1,2, ,中含有 个向量时, 1, 2, , 线性无关,1,2, ,1也线性无关.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日43 / 87由归纳假设 1 , 并且以 1,2, ,1替换 1,2, , 中的前 1 个向量, 得到一个与 1,2, , 等价的向量组1,2, ,1,+1, ,由于 可以由 1,2, , 线性表示, 所以它也可以由与1,2, , 等价的向量组1,2, ,1, ,+1, ,线性表示,= 11+ 22+ 11+ + +1+1+ + 如果所有的 都为零, 则上式变为 = 11+ 22+ 11, 即可以由 1,2, ,1线性表示, 而这与 1,2, , 线性无关的前提矛盾. 因此, 至少有一个 = 0, 1 , .适当的对 ,+1, ,编号, 不妨设 = 0, 则有=1=1()+=+1(),刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日44 / 87由归纳假设 1 , 并且以 1,2, ,1替换 1,2, , 中的前 1 个向量, 得到一个与 1,2, , 等价的向量组1,2, ,1,+1, ,由于 可以由 1,2, , 线性表示, 所以它也可以由与1,2, , 等价的向量组1,2, ,1, ,+1, ,线性表示,= 11+ 22+ 11+ + +1+1+ + 如果所有的 都为零, 则上式变为 = 11+ 22+ 11, 即可以由 1,2, ,1线性表示, 而这与 1,2, , 线性无关的前提矛盾. 因此, 至少有一个 = 0, 1 , .适当的对 ,+1, ,编号, 不妨设 = 0, 则有=1=1()+=+1(),刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日44 / 87由归纳假设 1 , 并且以 1,2, ,1替换 1,2, , 中的前 1 个向量, 得到一个与 1,2, , 等价的向量组1,2, ,1,+1, ,由于 可以由 1,2, , 线性表示, 所以它也可以由与1,2, , 等价的向量组1,2, ,1, ,+1, ,线性表示,= 11+ 22+ 11+ + +1+1+ + 如果所有的 都为零, 则上式变为 = 11+ 22+ 11, 即可以由 1,2, ,1线性表示, 而这与 1,2, , 线性无关的前提矛盾. 因此, 至少有一个 = 0, 1 ,则必存在 = 0, 且 1 2.证: 因为 1,2是 的子空间, 所以dim(1+ 2) = dim1+ dim2 dim(1 2),dim(1 2) = dim1+ dim2 dim(1+ 2).由 dim1+ dim2 , 得dim1+ dim2 dim(1+ 2) dim(1+ 2).因为 (1+ 2) 是 的子空间, 所以 dim(1+ 2) dim= ,dim(1 2) = dim1+ dim2 dim(1+ 2) dim(1+ 2) 0dim(1 2) 0,所以 1 2为非零子空间, 必含有非零向量.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日50 / 87推论 5.1若 1,2是线性空间 的两个子空间, dim= , 并且 dim1+dim2 ,则必存在 = 0, 且 1 2.证: 因为 1,2是 的子空间, 所以dim(1+ 2) = dim1+ dim2 dim(1 2),dim(1 2) = dim1+ dim2 dim(1+ 2).由 dim1+ dim2 , 得dim1+ dim2 dim(1+ 2) dim(1+ 2).因为 (1+ 2) 是 的子空间, 所以 dim(1+ 2) dim= ,dim(1 2) = dim1+ dim2 dim(1+ 2) dim(1+ 2) 0dim(1 2) 0,所以 1 2为非零子空间, 必含有非零向量.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日50 / 87推论 5.1若 1,2是线性空间 的两个子空间, dim= , 并且 dim1+dim2 ,则必存在 = 0, 且 1 2.证: 因为 1,2是 的子空间, 所以dim(1+ 2) = dim1+ dim2 dim(1 2),dim(1 2) = dim1+ dim2 dim(1+ 2).由 dim1+ dim2 , 得dim1+ dim2 dim(1+ 2) dim(1+ 2).因为 (1+ 2) 是 的子空间, 所以 dim(1+ 2) dim= ,dim(1 2) = dim1+ dim2 dim(1+ 2) dim(1+ 2) 0dim(1 2) 0,所以 1 2为非零子空间, 必含有非零向量.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日50 / 87定义 5.3设 1,2是线性空间 的两个子空间, 若其和 1+ 2中每个向量的分解式 = 1+ 2(1 1,2 2) 是唯一的, 则称 1+ 2为直和, 记作 1 2.定理 5.71+ 2是直和的充分与必要条件是 1 2= 0.证: 必要性: 设 1+ 2是直和, 0 0 且 0 1 2, 0 1 2, 又 12, 1且 2, 而 0 = +() 12, 由定义 5.7 分解式的唯一性有 = = 0, 1 2 0, 1 2= 0.充分性: 设 1 2= 0, 1+ 2, 若有 = 1+ 2= 1+ 2(1,1 1,2,2 2), 则必有(1 1) = (2 2), 即 (1 1) + (2 2) = 0, 若 2= 2, 则(1 1) = (2 2) = 0, 并且 1 1,2 2 1 2, 这与假设矛盾.1= 1,2= 2, 由此可知 的分解式唯一, 所以 1+ 2是直和.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日51 / 87定义 5.3设 1,2是线性空间 的两个子空间, 若其和 1+ 2中每个向量的分解式 = 1+ 2(1 1,2 2) 是唯一的, 则称 1+ 2为直和, 记作 1 2.定理 5.71+ 2是直和的充分与必要条件是 1 2= 0.证: 必要性: 设 1+ 2是直和, 0 0 且 0 1 2, 0 1 2, 又 12, 1且 2, 而 0 = +() 12, 由定义 5.7 分解式的唯一性有 = = 0, 1 2 0, 1 2= 0.充分性: 设 1 2= 0, 1+ 2, 若有 = 1+ 2= 1+ 2(1,1 1,2,2 2), 则必有(1 1) = (2 2), 即 (1 1) + (2 2) = 0, 若 2= 2, 则(1 1) = (2 2) = 0, 并且 1 1,2 2 1 2, 这与假设矛盾.1= 1,2= 2, 由此可知 的分解式唯一, 所以 1+ 2是直和.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日51 / 87定义 5.3设 1,2是线性空间 的两个子空间, 若其和 1+ 2中每个向量的分解式 = 1+ 2(1 1,2 2) 是唯一的, 则称 1+ 2为直和, 记作 1 2.定理 5.71+ 2是直和的充分与必要条件是 1 2= 0.证: 必要性: 设 1+ 2是直和, 0 0 且 0 1 2, 0 1 2, 又 12, 1且 2, 而 0 = +() 12, 由定义 5.7 分解式的唯一性有 = = 0, 1 2 0, 1 2= 0.充分性: 设 1 2= 0, 1+ 2, 若有 = 1+ 2= 1+ 2(1,1 1,2,2 2), 则必有(1 1) = (2 2), 即 (1 1) + (2 2) = 0, 若 2= 2, 则(1 1) = (2 2) = 0, 并且 1 1,2 2 1 2, 这与假设矛盾.1= 1,2= 2, 由此可知 的分解式唯一, 所以 1+ 2是直和.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日51 / 87定义 5.3设 1,2是线性空间 的两个子空间, 若其和 1+ 2中每个向量的分解式 = 1+ 2(1 1,2 2) 是唯一的, 则称 1+ 2为直和, 记作 1 2.定理 5.71+ 2是直和的充分与必要条件是 1 2= 0.证: 必要性: 设 1+ 2是直和, 0 0 且 0 1 2, 0 1 2, 又 12, 1且 2, 而 0 = +() 12, 由定义 5.7 分解式的唯一性有 = = 0, 1 2 0, 1 2= 0.充分性: 设 1 2= 0, 1+ 2, 若有 = 1+ 2= 1+ 2(1,1 1,2,2 2), 则必有(1 1) = (2 2), 即 (1 1) + (2 2) = 0, 若 2= 2, 则(1 1) = (2 2) = 0, 并且 1 1,2 2 1 2, 这与假设矛盾.1= 1,2= 2, 由此可知 的分解式唯一, 所以 1+ 2是直和.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日51 / 87推论 5.21+ 2是直和的充分与必要条件是 dim(1+ 2) = dim1+ dim2.由此可知, 在 1,2中分别取一个基 1,2, ,1与 1,2, ,2组成的向量组1,2, ,1,1,2, ,2即为 1 2的一个基.定理 5.8设 1是线性空间 的一个子空间, 则一定存在着 的另一个子空间 2, 使得 = 1 2.证: 取 1的一个基 1,2, , 将其扩充为 的一个基1, ,+1, , 令 2= +1, , 则 2即为所求.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日52 / 87推论 5.21+ 2是直和的充分与必要条件是 dim(1+ 2) = dim1+ dim2.由此可知, 在 1,2中分别取一个基 1,2, ,1与 1,2, ,2组成的向量组1,2, ,1,1,2, ,2即为 1 2的一个基.定理 5.8设 1是线性空间 的一个子空间, 则一定存在着 的另一个子空间 2, 使得 = 1 2.证: 取 1的一个基 1,2, , 将其扩充为 的一个基1, ,+1, , 令 2= +1, , 则 2即为所求.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日52 / 87推论 5.21+ 2是直和的充分与必要条件是 dim(1+ 2) = dim1+ dim2.由此可知, 在 1,2中分别取一个基 1,2, ,1与 1,2, ,2组成的向量组1,2, ,1,1,2, ,2即为 1 2的一个基.定理 5.8设 1是线性空间 的一个子空间, 则一定存在着 的另一个子空间 2, 使得 = 1 2.证: 取 1的一个基 1,2, , 将其扩充为 的一个基1, ,+1, , 令 2= +1, , 则 2即为所求.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日52 / 87推论 5.21+ 2是直和的充分与必要条件是 dim(1+ 2) = dim1+ dim2.由此可知, 在 1,2中分别取一个基 1,2, ,1与 1,2, ,2组成的向量组1,2, ,1,1,2, ,2即为 1 2的一个基.定理 5.8设 1是线性空间 的一个子空间, 则一定存在着 的另一个子空间 2, 使得 = 1 2.证: 取 1的一个基 1,2, , 将其扩充为 的一个基1, ,+1, , 令 2= +1, , 则 2即为所求.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日52 / 87定义 5.4若 = 1 2, 则称 1与 2互补, 1与 2分别称为 2与 1的补空间,并且称 = 1 2为直和分解, 也称为空间分解.直和的分解可以推广到有限多个子空间的情形:= 1 2 , 其中= (0, ,0, 1(),0, ,0), ( = 1,2, ,)以下我们将这一部分做一个小结,定理 5.9设 1,2是线性空间 的任意两个子空间, 1+ 2是直和的充分与必要条件是:1) 1 2=0;2) 1+ 2, = 1+ 2(1 1,2 2) 是唯一确定的;3) 零 向 量 的 分 解 式 唯 一, 即 若 1+ 2=0, 则 必 有 1=2=0(1 1,2 2);4) 的基由 1与 2的基合并而成;5) dim(1+ 2) = dim1+ dim2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日53 / 87定义 5.4若 = 1 2, 则称 1与 2互补, 1与 2分别称为 2与 1的补空间,并且称 = 1 2为直和分解, 也称为空间分解.直和的分解可以推广到有限多个子空间的情形:= 1 2 , 其中= (0, ,0, 1(),0, ,0), ( = 1,2, ,)以下我们将这一部分做一个小结,定理 5.9设 1,2是线性空间 的任意两个子空间, 1+ 2是直和的充分与必要条件是:1) 1 2=0;2) 1+ 2, = 1+ 2(1 1,2 2) 是唯一确定的;3) 零 向 量 的 分 解 式 唯 一, 即 若 1+ 2=0, 则 必 有 1=2=0(1 1,2 2);4) 的基由 1与 2的基合并而成;5) dim(1+ 2) = dim1+ dim2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日53 / 87定义 5.4若 = 1 2, 则称 1与 2互补, 1与 2分别称为 2与 1的补空间,并且称 = 1 2为直和分解, 也称为空间分解.直和的分解可以推广到有限多个子空间的情形:= 1 2 , 其中= (0, ,0, 1(),0, ,0), ( = 1,2, ,)以下我们将这一部分做一个小结,定理 5.9设 1,2是线性空间 的任意两个子空间, 1+ 2是直和的充分与必要条件是:1) 1 2=0;2) 1+ 2, = 1+ 2(1 1,2 2) 是唯一确定的;3) 零 向 量 的 分 解 式 唯 一, 即 若 1+ 2=0, 则 必 有 1=2=0(1 1,2 2);4) 的基由 1与 2的基合并而成;5) dim(1+ 2) = dim1+ dim2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日53 / 871矩阵应用举例2线性空间3线性空间的基本概念及其性质4线性空间的基与坐标5线性子空间6线性映射与线性变换7线性变换的运算8线性变换的矩阵表示刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日54 / 87线性映射与线性变换映射的概念是函数的推广. 线性映射是一种重要的映射, 自身映射即是变换. 变换的概念是数学的一个基本概念, 在解析几何与微积分学中曾多次学习和使用不同的变换. 现在我们主要研究线性空间到自身的变换, 即所谓线性变换.它实质上就是线性空间到自身的一个特殊的映射, 因此线性变换表示了线性空间中的元素之间的关系. 如果所研究的线性空间是有限维线性空间的话, 使用矩阵来研究线性变换是十分方便的, 本节中我们将使用矩阵这一工具来研究线性变换. 如无特殊说明, 以下仅讨论有限维线性空间.定义 6.1设 A, B 是两个非空集合, 如果存在某个对应关系 , 使 , 在 中一定存在确定的元素 与之对应. 则称 是 A 到 B 的一个映射, 记为 : 或者() = . 叫做元素 在 下的像, 叫做 在 下的原像.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日54 / 87线性映射与线性变换映射的概念是函数的推广. 线性映射是一种重要的映射, 自身映射即是变换. 变换的概念是数学的一个基本概念, 在解析几何与微积分学中曾多次学习和使用不同的变换. 现在我们主要研究线性空间到自身的变换, 即所谓线性变换.它实质上就是线性空间到自身的一个特殊的映射, 因此线性变换表示了线性空间中的元素之间的关系. 如果所研究的线性空间是有限维线性空间的话, 使用矩阵来研究线性变换是十分方便的, 本节中我们将使用矩阵这一工具来研究线性变换. 如无特殊说明, 以下仅讨论有限维线性空间.定义 6.1设 A, B 是两个非空集合, 如果存在某个对应关系 , 使 , 在 中一定存在确定的元素 与之对应. 则称 是 A 到 B 的一个映射, 记为 : 或者() = . 叫做元素 在 下的像, 叫做 在 下的原像.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日54 / 87例 6.1设 A 是任意一个集合, , 令 () = 与之对应: : . 显然这是 到 的一个映射, 这个映射称为 的恒等映射, 记作 .注 6.1某个集合 A 到自身的映射也称为 A 的一个变换. A 在 下的象的集合记作() = ()| .由此可见, 关于两个集合间的映射有以下几点需要注意:1) 、 可以是相同的集合, 也可以是不同的集合;2) 对于 中的每一个元素 , 中必有一个唯一确定的元素与之对应;3) 一般说来, 中的元素不一定都是 中元素的象;4) 中不同元素的象可能相同.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日55 / 87例 6.1设 A 是任意一个集合, , 令 () = 与之对应: : . 显然这是 到 的一个映射, 这个映射称为 的恒等映射, 记作 .注 6.1某个集合 A 到自身的映射也称为 A 的一个变换. A 在 下的象的集合记作() = ()| .由此可见, 关于两个集合间的映射有以下几点需要注意:1) 、 可以是相同的集合, 也可以是不同的集合;2) 对于 中的每一个元素 , 中必有一个唯一确定的元素与之对应;3) 一般说来, 中的元素不一定都是 中元素的象;4) 中不同元素的象可能相同.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日55 / 87例 6.1设 A 是任意一个集合, , 令 () = 与之对应: : . 显然这是 到 的一个映射, 这个映射称为 的恒等映射, 记作 .注 6.1某个集合 A 到自身的映射也称为 A 的一个变换. A 在 下的象的集合记作() = ()| .由此可见, 关于两个集合间的映射有以下几点需要注意:1) 、 可以是相同的集合, 也可以是不同的集合;2) 对于 中的每一个元素 , 中必有一个唯一确定的元素与之对应;3) 一般说来, 中的元素不一定都是 中元素的象;4) 中不同元素的象可能相同.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日55 / 87定义 6.2设 , 都是 A 到 B 的映射, 如果 , 都有 () = (), 则称映射 与 是相等的, 记作 = .定义 6.3设 是 A 到 B 的一个映射. 如果 () = , 则称 是 A 到 B 上的一个映射,也称 是一个满射.定义 6.4设 是 A 到 B 的一个映射. 如果对于 A 中的任意两个元素 1和 2, 当1= 2时, 有 (1) = (2), 则称 是 A 到 B 的一个单射.定义 6.5设 是 A 到 B 的一个映射, 是 B 到 C 的一个映射, 若对于每一个 , 有C 中的一个唯一确定的元素 () 与之对应, 则得到一个由 A 到 C 的映射, 称其为 与 的合成 (或称为映射的积) .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日56 / 87注 6.2设给定映射 : , : , : , 则合成映射 () 与 () 都是 A 到 D 的映射. 并且有 () = ().证: 由定义 6.1 易见 () 与 () 都是 A 到 D 的映射. 设 = , = ,则 有 () = () = (),() = () = (), = , () = ().一般地, 映射的合成不满足交换律, 即 = .定义 6.6如果映射 : 既是满射又是单射, 即 满足以下条件:1) () = ;2) 1,2 , (1) = (2) 1= 2;则称 是 A 到 B 的一个 1-1 映射. 特别地, 一个有限集合 A 到自身的 1-1 映射称为 A 的一个置换. 显然, 如果 A 是有限集合, 则恒等映射 是一个置换,这个置换也称为恒等置换.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日57 / 87注 6.2设给定映射 : , : , : , 则合成映射 () 与 () 都是 A 到 D 的映射. 并且有 () = ().证: 由定义 6.1 易见 () 与 () 都是 A 到 D 的映射. 设 = , = ,则 有 () = () = (),() = () = (), = , () = ().一般地, 映射的合成不满足交换律, 即 = .定义 6.6如果映射 : 既是满射又是单射, 即 满足以下条件:1) () = ;2) 1,2 , (1) = (2) 1= 2;则称 是 A 到 B 的一个 1-1 映射. 特别地, 一个有限集合 A 到自身的 1-1 映射称为 A 的一个置换. 显然, 如果 A 是有限集合, 则恒等映射 是一个置换,这个置换也称为恒等置换.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日57 / 87注 6.2设给定映射 : , : , : , 则合成映射 () 与 () 都是 A 到 D 的映射. 并且有 () = ().证: 由定义 6.1 易见 () 与 () 都是 A 到 D 的映射. 设 = , = ,则 有 () = () = (),() = () = (), = , () = ().一般地, 映射的合成不满足交换律, 即 = .定义 6.6如果映射 : 既是满射又是单射, 即 满足以下条件:1) () = ;2) 1,2 , (1) = (2) 1= 2;则称 是 A 到 B 的一个 1-1 映射. 特别地, 一个有限集合 A 到自身的 1-1 映射称为 A 的一个置换. 显然, 如果 A 是有限集合, 则恒等映射 是一个置换,这个置换也称为恒等置换.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日57 / 87定义 6.7设 是数域 上的线性空间 到自身的一个映射, 如果下列条件被满足, 则称 是线性空间 的一个线性变换:1) 对于任意的 , , ( + ) = () + ();2) 对于任意的 , ,() = ().例 6.2定义在闭区间 , 上的所有连续实函数的集合 ,是实数域 上一个线性空间, 在 ,上定义变换 : () =0(),() , 则 是,的一个线性变换.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日58 / 87定义 6.7设 是数域 上的线性空间 到自身的一个映射, 如果下列条件被满足, 则称 是线性空间 的一个线性变换:1) 对于任意的 , , ( + ) = () + ();2) 对于任意的 , ,() = ().例 6.2定义在闭区间 , 上的所有连续实函数的集合 ,是实数域 上一个线性空间, 在 ,上定义变换 : () =0(),() , 则 是,的一个线性变换.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日58 / 87定理 6.1 是数域 上的线性空间 = () 到线性空间 = () 的一个线性变换,则 有如下的性质:1) () = , 其中 和 分别是 和 的零元;() = ();2) 若 = 11+22+, 则 () = 1(1)+2(2)+(),3) 若 1,2, ,线性相关, 则 (1),(2), ,() 也线性相关, 但反之不然. 其中 , , , = 1,2, ,.证: 1) () = () + (), 两边消去 () 得到 () = ;由 () = 得到 ( + ) = () + () = , 故() = ().2) 、3) 显然.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日59 / 87定理 6.1 是数域 上的线性空间 = () 到线性空间 = () 的一个线性变换,则 有如下的性质:1) () = , 其中 和 分别是 和 的零元;() = ();2) 若 = 11+22+, 则 () = 1(1)+2(2)+(),3) 若 1,2, ,线性相关, 则 (1),(2), ,() 也线性相关, 但反之不然. 其中 , , , = 1,2, ,.证: 1) () = () + (), 两边消去 () 得到 () = ;由 () = 得到 ( + ) = () + () = , 故() = ().2) 、3) 显然.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日59 / 87注 6.33) 的反例: 设 是零映射 (将 的元素映射为零元) .定义 6.8如果对于任意的 , 恒有 () = 0, 则 称为零变换, 记作 ; 如果对于任意的 , 恒有 () = , 则 称为恒等变换, 记作 .定义 6.9设 是数域 上的线性空间 的一个线性变换, 中所有向量在 下的象() 的集合称为 的值值值域域域, 记作 (), 即: () = ()| , ()也被称作 的象象象子子子空空空间间间;定义 6.10在线性空间 中, 所有被 变为零向量的元素所构成的集合称为 的核核核, 记作() 或 1(0), () 也被称作 的零零零空空空间间间或核核核子子子空空空间间间, 记作 (), 即:() = () = |() = 0, .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日60 / 87注 6.33) 的反例: 设 是零映射 (将 的元素映射为零元) .定义 6.8如果对于任意的 , 恒有 () = 0, 则 称为零变换, 记作 ; 如果对于任意的 , 恒有 () = , 则 称为恒等变换, 记作 .定义 6.9设 是数域 上的线性空间 的一个线性变换, 中所有向量在 下的象() 的集合称为 的值值值域域域, 记作 (), 即: () = ()| , ()也被称作 的象象象子子子空空空间间间;定义 6.10在线性空间 中, 所有被 变为零向量的元素所构成的集合称为 的核核核, 记作() 或 1(0), () 也被称作 的零零零空空空间间间或核核核子子子空空空间间间, 记作 (), 即:() = () = |() = 0, .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日60 / 87定理 6.2线性空间 的线性变换 的值域与核都是 的线性子空间.证: 因为 非空, 所以 () 也非空. 又因为 () + () = ( + ),() = (), 即 () 对于线性运算封闭, 所以 () 是 的线性子空间;再由 () = 0,() = 0 可知 ( + ) = 0,() = 0, 即 () 对于线性运算封闭, 因为 (0) = 0, 所以 0 (), 即 () 非空, 所以 () 是 的线性子空间.定义 6.11象子空间的维数 dim() 叫做 的秩, 记为 (); 核子空间的维数 dim()叫做 的亏度或零度, 记为 ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日61 / 87定理 6.2线性空间 的线性变换 的值域与核都是 的线性子空间.证: 因为 非空, 所以 () 也非空. 又因为 () + () = ( + ),() = (), 即 () 对于线性运算封闭, 所以 () 是 的线性子空间;再由 () = 0,() = 0 可知 ( + ) = 0,() = 0, 即 () 对于线性运算封闭, 因为 (0) = 0, 所以 0 (), 即 () 非空, 所以 () 是 的线性子空间.定义 6.11象子空间的维数 dim() 叫做 的秩, 记为 (); 核子空间的维数 dim()叫做 的亏度或零度, 记为 ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日61 / 87定理 6.2线性空间 的线性变换 的值域与核都是 的线性子空间.证: 因为 非空, 所以 () 也非空. 又因为 () + () = ( + ),() = (), 即 () 对于线性运算封闭, 所以 () 是 的线性子空间;再由 () = 0,() = 0 可知 ( + ) = 0,() = 0, 即 () 对于线性运算封闭, 因为 (0) = 0, 所以 0 (), 即 () 非空, 所以 () 是 的线性子空间.定义 6.11象子空间的维数 dim() 叫做 的秩, 记为 (); 核子空间的维数 dim()叫做 的亏度或零度, 记为 ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日61 / 87定理 6.3设 是线性空间 上的一个线性变换, 1,2, ,是 的一个基, 在此基下的矩阵为 , 则有:1) () = (1),(2), ,();2) () = ().证: 1) 设 , 并且 = 11+ 22+ + , 则() = 1(1) + 2(2) + + ()(*)所以 () (1),(2), ,(),() (1),(2), ,().而式 (*) 说明基象的线性组合仍是一个象,() (1),(2), ,(),所以 () = (1),(2), ,();2) 由 (*) 可知 的秩等于基象组 (1),(2), ,() 的秩, 另一方面, 矩阵 是由基象组坐标按列排列而成的, 因为 与 同构, 所以() = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日62 / 87定理 6.3设 是线性空间 上的一个线性变换, 1,2, ,是 的一个基, 在此基下的矩阵为 , 则有:1) () = (1),(2), ,();2) () = ().证: 1) 设 , 并且 = 11+ 22+ + , 则() = 1(1) + 2(2) + + ()(*)所以 () (1),(2), ,(),() (1),(2), ,().而式 (*) 说明基象的线性组合仍是一个象,() (1),(2), ,(),所以 () = (1),(2), ,();2) 由 (*) 可知 的秩等于基象组 (1),(2), ,() 的秩, 另一方面, 矩阵 是由基象组坐标按列排列而成的, 因为 与 同构, 所以() = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日62 / 87定理 6.3设 是线性空间 上的一个线性变换, 1,2, ,是 的一个基, 在此基下的矩阵为 , 则有:1) () = (1),(2), ,();2) () = ().证: 1) 设 , 并且 = 11+ 22+ + , 则() = 1(1) + 2(2) + + ()(*)所以 () (1),(2), ,(),() (1),(2), ,().而式 (*) 说明基象的线性组合仍是一个象,() (1),(2), ,(),所以 () = (1),(2), ,();2) 由 (*) 可知 的秩等于基象组 (1),(2), ,() 的秩, 另一方面, 矩阵 是由基象组坐标按列排列而成的, 因为 与 同构, 所以() = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日62 / 87定理 6.3设 是线性空间 上的一个线性变换, 1,2, ,是 的一个基, 在此基下的矩阵为 , 则有:1) () = (1),(2), ,();2) () = ().证: 1) 设 , 并且 = 11+ 22+ + , 则() = 1(1) + 2(2) + + ()(*)所以 () (1),(2), ,(),() (1),(2), ,().而式 (*) 说明基象的线性组合仍是一个象,() (1),(2), ,(),所以 () = (1),(2), ,();2) 由 (*) 可知 的秩等于基象组 (1),(2), ,() 的秩, 另一方面, 矩阵 是由基象组坐标按列排列而成的, 因为 与 同构, 所以() = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日62 / 87定理 6.3设 是线性空间 上的一个线性变换, 1,2, ,是 的一个基, 在此基下的矩阵为 , 则有:1) () = (1),(2), ,();2) () = ().证: 1) 设 , 并且 = 11+ 22+ + , 则() = 1(1) + 2(2) + + ()(*)所以 () (1),(2), ,(),() (1),(2), ,().而式 (*) 说明基象的线性组合仍是一个象,() (1),(2), ,(),所以 () = (1),(2), ,();2) 由 (*) 可知 的秩等于基象组 (1),(2), ,() 的秩, 另一方面, 矩阵 是由基象组坐标按列排列而成的, 因为 与 同构, 所以() = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日62 / 87定理 6.4设 是线性空间 上的一个线性变换, 则 () + () = dim , 亦即dim() + dim() = .证: 设 dim() = , 在 () 中取一个基 1,2, , 将其扩充为 的一个基:1,2, ,+1, ,. 由定理 6.3,() = (1),(2), ,(),但是当 = 1,2, , 时, () = 0, 所以() = (+1),(+2), ,();刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日63 / 87定理 6.4设 是线性空间 上的一个线性变换, 则 () + () = dim , 亦即dim() + dim() = .证: 设 dim() = , 在 () 中取一个基 1,2, , 将其扩充为 的一个基:1,2, ,+1, ,. 由定理 6.3,() = (1),(2), ,(),但是当 = 1,2, , 时, () = 0, 所以() = (+1),(+2), ,();刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日63 / 87定理 6.4设 是线性空间 上的一个线性变换, 则 () + () = dim , 亦即dim() + dim() = .证: 设 dim() = , 在 () 中取一个基 1,2, , 将其扩充为 的一个基:1,2, ,+1, ,. 由定理 6.3,() = (1),(2), ,(),但是当 = 1,2, , 时, () = 0, 所以() = (+1),(+2), ,();刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日63 / 87以下证明 (+1),(+2), ,() 是 () 的基.设 +1(+1) + +2(+2) + + () = 0, 则(+1+1+ +2+2+ + ) = 0, 所以+1+1+ +2+2+ + (),+1+1+ +2+2+ + = 11+ 22+ + 又因为 1,2, ,线性无关, 所以 = 0( = 1,2, , 由此可知(+1),(+2), ,() 也线性无关, 所以 () = , 所以() + () = dim .注 6.4虽然 dim() + dim() = dim = , 但是 () + () 并不一定等于 .例如: 在 中, 令 () = , 则 () = 1,() = , 显然() + () = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日64 / 87以下证明 (+1),(+2), ,() 是 () 的基.设 +1(+1) + +2(+2) + + () = 0, 则(+1+1+ +2+2+ + ) = 0, 所以+1+1+ +2+2+ + (),+1+1+ +2+2+ + = 11+ 22+ + 又因为 1,2, ,线性无关, 所以 = 0( = 1,2, , 由此可知(+1),(+2), ,() 也线性无关, 所以 () = , 所以() + () = dim .注 6.4虽然 dim() + dim() = dim = , 但是 () + () 并不一定等于 .例如: 在 中, 令 () = , 则 () = 1,() = , 显然() + () = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日64 / 87以下证明 (+1),(+2), ,() 是 () 的基.设 +1(+1) + +2(+2) + + () = 0, 则(+1+1+ +2+2+ + ) = 0, 所以+1+1+ +2+2+ + (),+1+1+ +2+2+ + = 11+ 22+ + 又因为 1,2, ,线性无关, 所以 = 0( = 1,2, , 由此可知(+1),(+2), ,() 也线性无关, 所以 () = , 所以() + () = dim .注 6.4虽然 dim() + dim() = dim = , 但是 () + () 并不一定等于 .例如: 在 中, 令 () = , 则 () = 1,() = , 显然() + () = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日64 / 87以下证明 (+1),(+2), ,() 是 () 的基.设 +1(+1) + +2(+2) + + () = 0, 则(+1+1+ +2+2+ + ) = 0, 所以+1+1+ +2+2+ + (),+1+1+ +2+2+ + = 11+ 22+ + 又因为 1,2, ,线性无关, 所以 = 0( = 1,2, , 由此可知(+1),(+2), ,() 也线性无关, 所以 () = , 所以() + () = dim .注 6.4虽然 dim() + dim() = dim = , 但是 () + () 并不一定等于 .例如: 在 中, 令 () = , 则 () = 1,() = , 显然() + () = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日64 / 87定义 6.12设 是线性空间 上的一个线性变换, 是 的一个子空间, 如果对任意的向量 , 有 () , 则称 是 的不不不变变变子子子空空空间间间, 简称 子子子空空空间间间.注 6.5线性空间 自身和零空间 0 在任何线性变换 之下显然不变.例 6.3设 是线性空间 的一个线性变换, 则 () 是 的不变子空间. 这是因为 (), 都有 () = 0 ().例 6.4(),() 均为 子空间. 因为 () = | 显然包含了 () 中向量的象; 而 () = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日65 / 87定义 6.12设 是线性空间 上的一个线性变换, 是 的一个子空间, 如果对任意的向量 , 有 () , 则称 是 的不不不变变变子子子空空空间间间, 简称 子子子空空空间间间.注 6.5线性空间 自身和零空间 0 在任何线性变换 之下显然不变.例 6.3设 是线性空间 的一个线性变换, 则 () 是 的不变子空间. 这是因为 (), 都有 () = 0 ().例 6.4(),() 均为 子空间. 因为 () = | 显然包含了 () 中向量的象; 而 () = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日65 / 87定义 6.12设 是线性空间 上的一个线性变换, 是 的一个子空间, 如果对任意的向量 , 有 () , 则称 是 的不不不变变变子子子空空空间间间, 简称 子子子空空空间间间.注 6.5线性空间 自身和零空间 0 在任何线性变换 之下显然不变.例 6.3设 是线性空间 的一个线性变换, 则 () 是 的不变子空间. 这是因为 (), 都有 () = 0 ().例 6.4(),() 均为 子空间. 因为 () = | 显然包含了 () 中向量的象; 而 () = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日65 / 87定义 6.12设 是线性空间 上的一个线性变换, 是 的一个子空间, 如果对任意的向量 , 有 () , 则称 是 的不不不变变变子子子空空空间间间, 简称 子子子空空空间间间.注 6.5线性空间 自身和零空间 0 在任何线性变换 之下显然不变.例 6.3设 是线性空间 的一个线性变换, 则 () 是 的不变子空间. 这是因为 (), 都有 () = 0 ().例 6.4(),() 均为 子空间. 因为 () = | 显然包含了 () 中向量的象; 而 () = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日65 / 87例 6.5设 , 是线性空间 的两个线性变换, 并且 = , 则 (),() 均为 子空间 .证: (), 有 () = () = () = (0) = 0, () (), 所以() 为 子空间;() () , 有 () = () () , () (), 所以 () 为 子空间.定理 6.5如果 的子空间 = 1,2, , 则 是 子空间的充分且必要条件是 (1),(2), ,() .证: (必要性) 显然成立;(充分性) 若 () , , 因为 =1, 所以() =1() , = 1,2, ,.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日66 / 87例 6.5设 , 是线性空间 的两个线性变换, 并且 = , 则 (),() 均为 子空间 .证: (), 有 () = () = () = (0) = 0, () (), 所以() 为 子空间;() () , 有 () = () () , () (), 所以 () 为 子空间.定理 6.5如果 的子空间 = 1,2, , 则 是 子空间的充分且必要条件是 (1),(2), ,() .证: (必要性) 显然成立;(充分性) 若 () , , 因为 =1, 所以() =1() , = 1,2, ,.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日66 / 87例 6.5设 , 是线性空间 的两个线性变换, 并且 = , 则 (),() 均为 子空间 .证: (), 有 () = () = () = (0) = 0, () (), 所以() 为 子空间;() () , 有 () = () () , () (), 所以 () 为 子空间.定理 6.5如果 的子空间 = 1,2, , 则 是 子空间的充分且必要条件是 (1),(2), ,() .证: (必要性) 显然成立;(充分性) 若 () , , 因为 =1, 所以() =1() , = 1,2, ,.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日66 / 87例 6.5设 , 是线性空间 的两个线性变换, 并且 = , 则 (),() 均为 子空间 .证: (), 有 () = () = () = (0) = 0, () (), 所以() 为 子空间;() () , 有 () = () () , () (), 所以 () 为 子空间.定理 6.5如果 的子空间 = 1,2, , 则 是 子空间的充分且必要条件是 (1),(2), ,() .证: (必要性) 显然成立;(充分性) 若 () , , 因为 =1, 所以() =1() , = 1,2, ,.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日66 / 871矩阵应用举例2线性空间3线性空间的基本概念及其性质4线性空间的基与坐标5线性子空间6线性映射与线性变换7线性变换的运算8线性变换的矩阵表示刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日67 / 87线性变换的运算设 ( ) 表示线性空间 的一切线性变换所组成的集合.对任意的 , , , , ( ), 有以下的定义:定义 7.11) 如果 () = (), 则称 与 相等, 记作 = ;2) () + () 称为 与 的和, 记作 + , 即: ( + )() = () + ();3) () 称为 与 的数乘法, 记作 , 即: ()() = ();4) () 称为 与 的积, 记作 , 即: ()() = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日67 / 87定理 7.1( ) 对于加法与数乘法作成数域 上的一个线性空间.证: 设 , , , , , ( ), 令 = + ,( + ) = ( + )+( + ) = ()+()+()+() =() + () + () + () = () + ()所以 = + 是 的一个线性变换.线性变换的加法满足交换律和结合律, 易证以下等式成立:1) + = + ;2) ( + ) + = + ( + );以 0 表示 的零变换, 显然有:3) 0 + = ; 的负变换 是指: : (), 显然有:4) + () = 0;由此可以定义线性变换的差: = + (), 因此在 ( ) 中, 加法的逆运算减法可以施行.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日68 / 87定理 7.1( ) 对于加法与数乘法作成数域 上的一个线性空间.证: 设 , , , , , ( ), 令 = + ,( + ) = ( + )+( + ) = ()+()+()+() =() + () + () + () = () + ()所以 = + 是 的一个线性变换.线性变换的加法满足交换律和结合律, 易证以下等式成立:1) + = + ;2) ( + ) + = + ( + );以 0 表示 的零变换, 显然有:3) 0 + = ; 的负变换 是指: : (), 显然有:4) + () = 0;由此可以定义线性变换的差: = + (), 因此在 ( ) 中, 加法的逆运算减法可以施行.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日68 / 87定理 7.1( ) 对于加法与数乘法作成数域 上的一个线性空间.证: 设 , , , , , ( ), 令 = + ,( + ) = ( + )+( + ) = ()+()+()+() =() + () + () + () = () + ()所以 = + 是 的一个线性变换.线性变换的加法满足交换律和结合律, 易证以下等式成立:1) + = + ;2) ( + ) + = + ( + );以 0 表示 的零变换, 显然有:3) 0 + = ; 的负变换 是指: : (), 显然有:4) + () = 0;由此可以定义线性变换的差: = + (), 因此在 ( ) 中, 加法的逆运算减法可以施行.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日68 / 87定理 7.1( ) 对于加法与数乘法作成数域 上的一个线性空间.证: 设 , , , , , ( ), 令 = + ,( + ) = ( + )+( + ) = ()+()+()+() =() + () + () + () = () + ()所以 = + 是 的一个线性变换.线性变换的加法满足交换律和结合律, 易证以下等式成立:1) + = + ;2) ( + ) + = + ( + );以 0 表示 的零变换, 显然有:3) 0 + = ; 的负变换 是指: : (), 显然有:4) + () = 0;由此可以定义线性变换的差: = + (), 因此在 ( ) 中, 加法的逆运算减法可以施行.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日68 / 87定理 7.1( ) 对于加法与数乘法作成数域 上的一个线性空间.证: 设 , , , , , ( ), 令 = + ,( + ) = ( + )+( + ) = ()+()+()+() =() + () + () + () = () + ()所以 = + 是 的一个线性变换.线性变换的加法满足交换律和结合律, 易证以下等式成立:1) + = + ;2) ( + ) + = + ( + );以 0 表示 的零变换, 显然有:3) 0 + = ; 的负变换 是指: : (), 显然有:4) + () = 0;由此可以定义线性变换的差: = + (), 因此在 ( ) 中, 加法的逆运算减法可以施行.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日68 / 87定理 7.1( ) 对于加法与数乘法作成数域 上的一个线性空间.证: 设 , , , , , ( ), 令 = + ,( + ) = ( + )+( + ) = ()+()+()+() =() + () + () + () = () + ()所以 = + 是 的一个线性变换.线性变换的加法满足交换律和结合律, 易证以下等式成立:1) + = + ;2) ( + ) + = + ( + );以 0 表示 的零变换, 显然有:3) 0 + = ; 的负变换 是指: : (), 显然有:4) + () = 0;由此可以定义线性变换的差: = + (), 因此在 ( ) 中, 加法的逆运算减法可以施行.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日68 / 87再设 , , ( ), , , , ,令 = , ( + ) = ( + ) = () + () =() + () = () + ();易证下列等式成立:5) ( + ) = + ;6) ( + ) = + ;7) () = ();8) 1 = .所以, 由线性空间的定义可知 ( ) 对于加法与数乘法作成数域 上的一个线性空间.对于线性变换积的运算, , ( ), 以下算律成立:9) ( + ) = + ;10) ( + ) = + ;11)() = () = ();12) () = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日69 / 87再设 , , ( ), , , , ,令 = , ( + ) = ( + ) = () + () =() + () = () + ();易证下列等式成立:5) ( + ) = + ;6) ( + ) = + ;7) () = ();8) 1 = .所以, 由线性空间的定义可知 ( ) 对于加法与数乘法作成数域 上的一个线性空间.对于线性变换积的运算, , ( ), 以下算律成立:9) ( + ) = + ;10) ( + ) = + ;11)() = () = ();12) () = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日69 / 87再设 , , ( ), , , , ,令 = , ( + ) = ( + ) = () + () =() + () = () + ();易证下列等式成立:5) ( + ) = + ;6) ( + ) = + ;7) () = ();8) 1 = .所以, 由线性空间的定义可知 ( ) 对于加法与数乘法作成数域 上的一个线性空间.对于线性变换积的运算, , ( ), 以下算律成立:9) ( + ) = + ;10) ( + ) = + ;11)() = () = ();12) () = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日69 / 87再设 , , ( ), , , , ,令 = , ( + ) = ( + ) = () + () =() + () = () + ();易证下列等式成立:5) ( + ) = + ;6) ( + ) = + ;7) () = ();8) 1 = .所以, 由线性空间的定义可知 ( ) 对于加法与数乘法作成数域 上的一个线性空间.对于线性变换积的运算, , ( ), 以下算律成立:9) ( + ) = + ;10) ( + ) = + ;11)() = () = ();12) () = ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日69 / 87由算律 12) 可以定义线性变换的幂运算, 即 的 次幂= , +.令 表示 的单位变换, 定义 0= ,由此可知, ( ), 的任意非负整数幂有意义.注 7.1, ( ), 一般地 = . 若 , ( ), 并且 = = , 则称 与 互为逆变换, 记为 1= ,1= .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日70 / 87由算律 12) 可以定义线性变换的幂运算, 即 的 次幂= , +.令 表示 的单位变换, 定义 0= ,由此可知, ( ), 的任意非负整数幂有意义.注 7.1, ( ), 一般地 = . 若 , ( ), 并且 = = , 则称 与 互为逆变换, 记为 1= ,1= .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日70 / 871矩阵应用举例2线性空间3线性空间的基本概念及其性质4线性空间的基与坐标5线性子空间6线性映射与线性变换7线性变换的运算8线性变换的矩阵表示刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日71 / 87线性变换的矩阵表示设 是数域 上 维线性空间 的一个线性变换, 取 的一个基1,2, ,. 设 是 中任意一个向量, 则 = 11+ 22+ + ,这个向量在 的作用下有 () = 11+ 22+ + .那么此时 () 在基 1,2, ,下的坐标 (1,2, ,)如何计算呢？它与 在同一个基下的坐标之间又有什么关系呢？我们先来看基向量 1,2, ,在 下的表示,不妨设 (1) = 111+ 212+ + 1(2) = 121+ 222+ + 2.() = 11+ 22+ + 其中 就是 () 在基 1,2, ,下的坐标, , = 1,2, ,.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日71 / 87线性变换的矩阵表示设 是数域 上 维线性空间 的一个线性变换, 取 的一个基1,2, ,. 设 是 中任意一个向量, 则 = 11+ 22+ + ,这个向量在 的作用下有 () = 11+ 22+ + .那么此时 () 在基 1,2, ,下的坐标 (1,2, ,)如何计算呢？它与 在同一个基下的坐标之间又有什么关系呢？我们先来看基向量 1,2, ,在 下的表示,不妨设 (1) = 111+ 212+ + 1(2) = 121+ 222+ + 2.() = 11+ 22+ + 其中 就是 () 在基 1,2, ,下的坐标, , = 1,2, ,.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日71 / 87线性变换的矩阵表示设 是数域 上 维线性空间 的一个线性变换, 取 的一个基1,2, ,. 设 是 中任意一个向量, 则 = 11+ 22+ + ,这个向量在 的作用下有 () = 11+ 22+ + .那么此时 () 在基 1,2, ,下的坐标 (1,2, ,)如何计算呢？它与 在同一个基下的坐标之间又有什么关系呢？我们先来看基向量 1,2, ,在 下的表示,不妨设 (1) = 111+ 212+ + 1(2) = 121+ 222+ + 2.() = 11+ 22+ + 其中 就是 () 在基 1,2, ,下的坐标, , = 1,2, ,.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日71 / 87令 =1112 12122 2 12 .这个矩阵称做线性变换 关于基 1,2, ,的矩阵, 其中第 列元素就是 () 在基 1,2, ,下的坐标.当取定数域 上的 维线性空间 的一个基后, 对于 的每一个线性变换, 数域 上都有一个唯一确定的矩阵与之对应, 因此, 我们在矩阵与线性变换之间建立了一一对应关系.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日72 / 87令 =1112 12122 2 12 .这个矩阵称做线性变换 关于基 1,2, ,的矩阵, 其中第 列元素就是 () 在基 1,2, ,下的坐标.当取定数域 上的 维线性空间 的一个基后, 对于 的每一个线性变换, 数域 上都有一个唯一确定的矩阵与之对应, 因此, 我们在矩阵与线性变换之间建立了一一对应关系.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日72 / 87令 =1112 12122 2 12 .这个矩阵称做线性变换 关于基 1,2, ,的矩阵, 其中第 列元素就是 () 在基 1,2, ,下的坐标.当取定数域 上的 维线性空间 的一个基后, 对于 的每一个线性变换, 数域 上都有一个唯一确定的矩阵与之对应, 因此, 我们在矩阵与线性变换之间建立了一一对应关系.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日72 / 87定理 8.1设 是 维线性空间 的一个线性变换, 关于基 1,2, ,的矩阵为 , 并且对任意的 , () , 有 = 11+ 22+ + 及() = 11+ 22+ + , 则 (1,2, ,)= (1,2, ,).证: 因为 () = (=1)=1 () =1=1=1(=1), 所以 =1, ( = 1,2, ,)所以 (1,2, ,)= (1,2, ,), 此式也叫做 的解析表示.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日73 / 87定理 8.1设 是 维线性空间 的一个线性变换, 关于基 1,2, ,的矩阵为 , 并且对任意的 , () , 有 = 11+ 22+ + 及() = 11+ 22+ + , 则 (1,2, ,)= (1,2, ,).证: 因为 () = (=1)=1 () =1=1=1(=1), 所以 =1, ( = 1,2, ,)所以 (1,2, ,)= (1,2, ,), 此式也叫做 的解析表示.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日73 / 87定理 8.2设在线性空间 中, 由基 1,2, ,到基 1,2, ,的过渡矩阵为 , 中的线性变换 在这两个基下的矩阵分别为 , 则 = 1.证: 因为 (1,2, ,) =(1,2, ,) , 并且 (1,2, ,)=(1,2, ,) , (1,2, ,) =(1,2, ,) .又因为 1,2, ,线性无关, 所以 可逆, 所以(1,2, ,) = (1,2, ,)1,因此 (1,2, ,) = (1,2, ,) = (1,2, ,) =(1,2, ,) = (1,2, ,) = (1,2, ,)1, 即: = 1.由上述定理可知 中的线性变换 在这两个不同的基下的矩阵相似, 即 .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日74 / 87定理 8.2设在线性空间 中, 由基 1,2, ,到基 1,2, ,的过渡矩阵为 , 中的线性变换 在这两个基下的矩阵分别为 , 则 = 1.证: 因为 (1,2, ,) =(1,2, ,) , 并且 (1,2, ,)=(1,2, ,) , (1,2, ,) =(1,2, ,) .又因为 1,2, ,线性无关, 所以 可逆, 所以(1,2, ,) = (1,2, ,)1,因此 (1,2, ,) = (1,2, ,) = (1,2, ,) =(1,2, ,) = (1,2, ,) = (1,2, ,)1, 即: = 1.由上述定理可知 中的线性变换 在这两个不同的基下的矩阵相似, 即 .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日74 / 87定理 8.2设在线性空间 中, 由基 1,2, ,到基 1,2, ,的过渡矩阵为 , 中的线性变换 在这两个基下的矩阵分别为 , 则 = 1.证: 因为 (1,2, ,) =(1,2, ,) , 并且 (1,2, ,)=(1,2, ,) , (1,2, ,) =(1,2, ,) .又因为 1,2, ,线性无关, 所以 可逆, 所以(1,2, ,) = (1,2, ,)1,因此 (1,2, ,) = (1,2, ,) = (1,2, ,) =(1,2, ,) = (1,2, ,) = (1,2, ,)1, 即: = 1.由上述定理可知 中的线性变换 在这两个不同的基下的矩阵相似, 即 .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日74 / 87定理 8.2设在线性空间 中, 由基 1,2, ,到基 1,2, ,的过渡矩阵为 , 中的线性变换 在这两个基下的矩阵分别为 , 则 = 1.证: 因为 (1,2, ,) =(1,2, ,) , 并且 (1,2, ,)=(1,2, ,) , (1,2, ,) =(1,2, ,) .又因为 1,2, ,线性无关, 所以 可逆, 所以(1,2, ,) = (1,2, ,)1,因此 (1,2, ,) = (1,2, ,) = (1,2, ,) =(1,2, ,) = (1,2, ,) = (1,2, ,)1, 即: = 1.由上述定理可知 中的线性变换 在这两个不同的基下的矩阵相似, 即 .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日74 / 87定理 8.3设 , 为线性变换 1,2在基 1,2, ,下的矩阵, 那么在此基下有:1) 1+ 2在基 1,2, ,下的矩阵为 + ;2) 1在基 1,2, ,下的矩阵为 ;3) 12在基 1,2, ,下的矩阵为 ;4) 若 1可逆, 那么 11在基 1,2, ,下的矩阵为 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日75 / 87例 8.11) 在三维空间 3中求下列各线性变换 在指定的基下的矩阵:已知 (1,2,3) = (21 2,2+ 3,1),求 在基 1= (1,0,0),2= (0,1,0),3= (0,0,1) 下的矩阵;2) 已知线性变换 在基 1= (1,1,1),2= (1,0,1),3= (0,1,1) 下的矩阵是1 0 11 1 01 2 1, 求 在基 1= (1,0,0),2= (0,1,0),3= (0,0,1) 下的矩阵;3) 已知 (1) = (5,0,3),(2) = (0,1,6),(3) = (5,1,9), 其中 1=(1,0,2),2= (0,1,1),3= (3,1,0) 是一个基, 求 在 1= (1,0,0),2=(0,1,0),3= (0,0,1) 下的矩阵以及在基 1= (1,0,2),2= (0,1,1),3=(3,1,0) 下的矩阵.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日76 / 87例 8.11) 在三维空间 3中求下列各线性变换 在指定的基下的矩阵:已知 (1,2,3) = (21 2,2+ 3,1),求 在基 1= (1,0,0),2= (0,1,0),3= (0,0,1) 下的矩阵;2) 已知线性变换 在基 1= (1,1,1),2= (1,0,1),3= (0,1,1) 下的矩阵是1 0 11 1 01 2 1, 求 在基 1= (1,0,0),2= (0,1,0),3= (0,0,1) 下的矩阵;3) 已知 (1) = (5,0,3),(2) = (0,1,6),(3) = (5,1,9), 其中 1=(1,0,2),2= (0,1,1),3= (3,1,0) 是一个基, 求 在 1= (1,0,0),2=(0,1,0),3= (0,0,1) 下的矩阵以及在基 1= (1,0,2),2= (0,1,1),3=(3,1,0) 下的矩阵.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日76 / 87例 8.11) 在三维空间 3中求下列各线性变换 在指定的基下的矩阵:已知 (1,2,3) = (21 2,2+ 3,1),求 在基 1= (1,0,0),2= (0,1,0),3= (0,0,1) 下的矩阵;2) 已知线性变换 在基 1= (1,1,1),2= (1,0,1),3= (0,1,1) 下的矩阵是1 0 11 1 01 2 1, 求 在基 1= (1,0,0),2= (0,1,0),3= (0,0,1) 下的矩阵;3) 已知 (1) = (5,0,3),(2) = (0,1,6),(3) = (5,1,9), 其中 1=(1,0,2),2= (0,1,1),3= (3,1,0) 是一个基, 求 在 1= (1,0,0),2=(0,1,0),3= (0,0,1) 下的矩阵以及在基 1= (1,0,2),2= (0,1,1),3=(3,1,0) 下的矩阵.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日76 / 87解解解 1) 因为 (1,2,3) = (21 2,2+ 3,1)所以 (1) = (1,0,0) = (2,0,1), (2) = (0,1,0) = (1,1,0), (3) = (0,0,1) = (0,1,0).由于三维向量在标准正交基 1,2,3下的坐标就是其分量,所以 (1,2,3) = (1,2,3)2 1 00 1 11 0 0,因此 在基 1,2,3下的矩阵为2 1 00 1 11 0 0.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2013 年 9 月 9 日77 / 87解解解 1) 因为 (1,2,3) = (21 2,2+ 3,1)所以 (1) = (1,0,0) = (2,0,1), (2) = (0
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