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矩阵论
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《矩阵论》研究生PPT课件,矩阵论,矩阵,研究生,PPT,课件
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矩 阵 理 论 (供 09-10 第一学期之用)刘 西 奎Email: liuxikui山东科技大学 信息科学与工程学院2012 年 4 月 18 日刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日1 / 98说明先前，为了上课方便，本人制作了讲义，并经由同学复印。然而导致了大量的盗版，直接影响了将来本讲义的出版。不得不考虑到版权的问题, 因为制作这样一份文档实在是花费了大量的时间精力。制作本课件纯粹为了上课方便，请不要随意传播和上传互联网！本幻灯片使用 beamer 宏包作出. 关于 beamer 的讨论 (安装、更新) 可参考: /forums/index.php?showtopic=27695本文的图形主要是用 pgf 宏包作出的, 另有个别的 MetaPost 图形.本幻灯片的源文件仅供学习 beamer, pgf 参考之用. 使用请注明出处.Copyrightc 2009. 保留所有权利.LIU XI-KUI刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日2 / 98说明先前，为了上课方便，本人制作了讲义，并经由同学复印。然而导致了大量的盗版，直接影响了将来本讲义的出版。不得不考虑到版权的问题, 因为制作这样一份文档实在是花费了大量的时间精力。制作本课件纯粹为了上课方便，请不要随意传播和上传互联网！本幻灯片使用 beamer 宏包作出. 关于 beamer 的讨论 (安装、更新) 可参考: /forums/index.php?showtopic=27695本文的图形主要是用 pgf 宏包作出的, 另有个别的 MetaPost 图形.本幻灯片的源文件仅供学习 beamer, pgf 参考之用. 使用请注明出处.Copyrightc 2009. 保留所有权利.LIU XI-KUI刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日2 / 981特征值与特征向量2矩阵3不变因子与初等因子4Jordan 标准形求可逆矩阵 , 使得 1 = 5Cayley-Hamilton 定理最小多项式刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日2 / 981特征值与特征向量2矩阵3不变因子与初等因子4Jordan 标准形5Cayley-Hamilton 定理最小多项式刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日3 / 98 阶矩阵 和 间的关系有：等价 ( = )、合同 ( = )、相似 ( = 1), 其中 、 为可逆矩阵.数域 上的 阶方阵不一定都相似于一个对角矩阵. 对于这样的方针, 我们希望找到它所能相似的矩阵的最简形式, 即相似标准型, 从而便于了解该类矩阵的性质和进行计算. 矩阵的 Jordan 标准形及矩阵分解不但在矩阵计算中起着十分重要的作用, 而且在控制理论、系统分析领域中有广泛的应用.在有限维线性空间 中, 取定一个基 1,2, ,后, 线性变换 与矩阵 之间存在着一一对应关系. 因此, 利用矩阵来研究线性变换十分方便.对于每一个给定的线性变换, 适当选择 的一个基, 使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单, 这是本节结尾要讨论的问题. 为此, 我们引入特征值与特征向量的概念.特征值与特征向量的概念在实践中也有着广泛的应用, 大型建筑物与机械的振动, 机翼的颤振以及调节系统的自振等都是常见的例子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日3 / 98 阶矩阵 和 间的关系有：等价 ( = )、合同 ( = )、相似 ( = 1), 其中 、 为可逆矩阵.数域 上的 阶方阵不一定都相似于一个对角矩阵. 对于这样的方针, 我们希望找到它所能相似的矩阵的最简形式, 即相似标准型, 从而便于了解该类矩阵的性质和进行计算. 矩阵的 Jordan 标准形及矩阵分解不但在矩阵计算中起着十分重要的作用, 而且在控制理论、系统分析领域中有广泛的应用.在有限维线性空间 中, 取定一个基 1,2, ,后, 线性变换 与矩阵 之间存在着一一对应关系. 因此, 利用矩阵来研究线性变换十分方便.对于每一个给定的线性变换, 适当选择 的一个基, 使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单, 这是本节结尾要讨论的问题. 为此, 我们引入特征值与特征向量的概念.特征值与特征向量的概念在实践中也有着广泛的应用, 大型建筑物与机械的振动, 机翼的颤振以及调节系统的自振等都是常见的例子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日3 / 98 阶矩阵 和 间的关系有：等价 ( = )、合同 ( = )、相似 ( = 1), 其中 、 为可逆矩阵.数域 上的 阶方阵不一定都相似于一个对角矩阵. 对于这样的方针, 我们希望找到它所能相似的矩阵的最简形式, 即相似标准型, 从而便于了解该类矩阵的性质和进行计算. 矩阵的 Jordan 标准形及矩阵分解不但在矩阵计算中起着十分重要的作用, 而且在控制理论、系统分析领域中有广泛的应用.在有限维线性空间 中, 取定一个基 1,2, ,后, 线性变换 与矩阵 之间存在着一一对应关系. 因此, 利用矩阵来研究线性变换十分方便.对于每一个给定的线性变换, 适当选择 的一个基, 使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单, 这是本节结尾要讨论的问题. 为此, 我们引入特征值与特征向量的概念.特征值与特征向量的概念在实践中也有着广泛的应用, 大型建筑物与机械的振动, 机翼的颤振以及调节系统的自振等都是常见的例子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日3 / 98 阶矩阵 和 间的关系有：等价 ( = )、合同 ( = )、相似 ( = 1), 其中 、 为可逆矩阵.数域 上的 阶方阵不一定都相似于一个对角矩阵. 对于这样的方针, 我们希望找到它所能相似的矩阵的最简形式, 即相似标准型, 从而便于了解该类矩阵的性质和进行计算. 矩阵的 Jordan 标准形及矩阵分解不但在矩阵计算中起着十分重要的作用, 而且在控制理论、系统分析领域中有广泛的应用.在有限维线性空间 中, 取定一个基 1,2, ,后, 线性变换 与矩阵 之间存在着一一对应关系. 因此, 利用矩阵来研究线性变换十分方便.对于每一个给定的线性变换, 适当选择 的一个基, 使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单, 这是本节结尾要讨论的问题. 为此, 我们引入特征值与特征向量的概念.特征值与特征向量的概念在实践中也有着广泛的应用, 大型建筑物与机械的振动, 机翼的颤振以及调节系统的自振等都是常见的例子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日3 / 98定义 1.1设 是数域 上 维线性空间 的线性变换, 即 ( ). 如果对于数域 中的某一个数 0, 存在非零向量 , 使得 () = 0 成立, 则称 0为线性变换 的特征值, 称为线性变换 的属于特征值 0的特征向量.显然, 如果 是 的属于特征值 0的一个特征向量, 则对于任意的数 , 都有： () = () = 0 = 0()(1-1)因此, 如果 是 的一个特征向量, 则由 所生成的一维子空间 = | = 在 之下不变；反之如果 的一个一维子空间 在 之下不变, 则 中每一个非零向量都是 的属于同一特征值的特征向量. 所以一维不变子空间与特征值之间有着密切的关系.而且, 由式 1-1 可见, 如果 是 的属于特征值 0的特征向量, = 0, 那么 也是属于特征值 0的特征向量, 即 () = 0(), . 即特征向量 并非由特征值 0唯一确定；但是特征值却被特征向量唯一确定.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日4 / 98定义 1.1设 是数域 上 维线性空间 的线性变换, 即 ( ). 如果对于数域 中的某一个数 0, 存在非零向量 , 使得 () = 0 成立, 则称 0为线性变换 的特征值, 称为线性变换 的属于特征值 0的特征向量.显然, 如果 是 的属于特征值 0的一个特征向量, 则对于任意的数 , 都有： () = () = 0 = 0()(1-1)因此, 如果 是 的一个特征向量, 则由 所生成的一维子空间 = | = 在 之下不变；反之如果 的一个一维子空间 在 之下不变, 则 中每一个非零向量都是 的属于同一特征值的特征向量. 所以一维不变子空间与特征值之间有着密切的关系.而且, 由式 1-1 可见, 如果 是 的属于特征值 0的特征向量, = 0, 那么 也是属于特征值 0的特征向量, 即 () = 0(), . 即特征向量 并非由特征值 0唯一确定；但是特征值却被特征向量唯一确定.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日4 / 98定义 1.1设 是数域 上 维线性空间 的线性变换, 即 ( ). 如果对于数域 中的某一个数 0, 存在非零向量 , 使得 () = 0 成立, 则称 0为线性变换 的特征值, 称为线性变换 的属于特征值 0的特征向量.显然, 如果 是 的属于特征值 0的一个特征向量, 则对于任意的数 , 都有： () = () = 0 = 0()(1-1)因此, 如果 是 的一个特征向量, 则由 所生成的一维子空间 = | = 在 之下不变；反之如果 的一个一维子空间 在 之下不变, 则 中每一个非零向量都是 的属于同一特征值的特征向量. 所以一维不变子空间与特征值之间有着密切的关系.而且, 由式 1-1 可见, 如果 是 的属于特征值 0的特征向量, = 0, 那么 也是属于特征值 0的特征向量, 即 () = 0(), . 即特征向量 并非由特征值 0唯一确定；但是特征值却被特征向量唯一确定.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日4 / 98例 1.1令 表示定义在实数域 上的可微分任意次的实函数所构成的线性空间, : () () 为求导数的运算, 是 的一个线性变换.对每一个 , 有 ()= , 所以对任意的 , 都是 的特征根, 而 是属于 的一个特征向量.例 1.2设 是数域 上一切一元多项式所构成的线性空间, : () (), 易证明 是 的一个线性变换.比较变换前后的多项式的次数可知, 对任意的 , 均不存在非零多项式 (), 使得 () = (), 所以 无特征值.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日5 / 98例 1.1令 表示定义在实数域 上的可微分任意次的实函数所构成的线性空间, : () () 为求导数的运算, 是 的一个线性变换.对每一个 , 有 ()= , 所以对任意的 , 都是 的特征根, 而 是属于 的一个特征向量.例 1.2设 是数域 上一切一元多项式所构成的线性空间, : () (), 易证明 是 的一个线性变换.比较变换前后的多项式的次数可知, 对任意的 , 均不存在非零多项式 (), 使得 () = (), 所以 无特征值.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日5 / 98例 1.1令 表示定义在实数域 上的可微分任意次的实函数所构成的线性空间, : () () 为求导数的运算, 是 的一个线性变换.对每一个 , 有 ()= , 所以对任意的 , 都是 的特征根, 而 是属于 的一个特征向量.例 1.2设 是数域 上一切一元多项式所构成的线性空间, : () (), 易证明 是 的一个线性变换.比较变换前后的多项式的次数可知, 对任意的 , 均不存在非零多项式 (), 使得 () = (), 所以 无特征值.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日5 / 98例 1.1令 表示定义在实数域 上的可微分任意次的实函数所构成的线性空间, : () () 为求导数的运算, 是 的一个线性变换.对每一个 , 有 ()= , 所以对任意的 , 都是 的特征根, 而 是属于 的一个特征向量.例 1.2设 是数域 上一切一元多项式所构成的线性空间, : () (), 易证明 是 的一个线性变换.比较变换前后的多项式的次数可知, 对任意的 , 均不存在非零多项式 (), 使得 () = (), 所以 无特征值.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日5 / 98现在我们来讨论线性变换 的特征值与其所对应的矩阵的特征值之间的关系.设 是数域 上 维线性空间, 取定 一个基 1,2, , 令 的线性变换 关于这个基的矩阵为 = ().如果 = 11+ 22+ + 是 的属于特征值 的一个特征向量, 由定义 1.1 有：12.= 12.或( )12.=00.0(1-2)因为 = 0, 所以方程组 1-2 有非零解, 所以| | = 1112121 22212 = 0(1-3)刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日6 / 98现在我们来讨论线性变换 的特征值与其所对应的矩阵的特征值之间的关系.设 是数域 上 维线性空间, 取定 一个基 1,2, , 令 的线性变换 关于这个基的矩阵为 = ().如果 = 11+ 22+ + 是 的属于特征值 的一个特征向量, 由定义 1.1 有：12.= 12.或( )12.=00.0(1-2)因为 = 0, 所以方程组 1-2 有非零解, 所以| | = 1112121 22212 = 0(1-3)刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日6 / 98现在我们来讨论线性变换 的特征值与其所对应的矩阵的特征值之间的关系.设 是数域 上 维线性空间, 取定 一个基 1,2, , 令 的线性变换 关于这个基的矩阵为 = ().如果 = 11+ 22+ + 是 的属于特征值 的一个特征向量, 由定义 1.1 有：12.= 12.或( )12.=00.0(1-2)因为 = 0, 所以方程组 1-2 有非零解, 所以| | = 1112121 22212 = 0(1-3)刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日6 / 98现在我们来讨论线性变换 的特征值与其所对应的矩阵的特征值之间的关系.设 是数域 上 维线性空间, 取定 一个基 1,2, , 令 的线性变换 关于这个基的矩阵为 = ().如果 = 11+ 22+ + 是 的属于特征值 的一个特征向量, 由定义 1.1 有：12.= 12.或( )12.=00.0(1-2)因为 = 0, 所以方程组 1-2 有非零解, 所以| | = 1112121 22212 = 0(1-3)刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日6 / 98现在我们来讨论线性变换 的特征值与其所对应的矩阵的特征值之间的关系.设 是数域 上 维线性空间, 取定 一个基 1,2, , 令 的线性变换 关于这个基的矩阵为 = ().如果 = 11+ 22+ + 是 的属于特征值 的一个特征向量, 由定义 1.1 有：12.= 12.或( )12.=00.0(1-2)因为 = 0, 所以方程组 1-2 有非零解, 所以| | = 1112121 22212 = 0(1-3)刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日6 / 98反之, 如果 满足式 1-3, 则式 1-2 有非零解 1,2, ,.则 = 11+ 22+ + 满足定义式 () = 因此 是 的一个特征值.式 1-3 中的行列式十分重要, 引入以下的定义：定义 1.2设矩阵 = (), , 矩阵 为 的特征矩阵, det( ) 为 的特征多项式, det( ) = 0 为 的特征方程, 其根称为 的特征值 (或特征根).det( ) 的展开式为 的 次多项式, 记作() = + 11+ + 1 + .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日7 / 98反之, 如果 满足式 1-3, 则式 1-2 有非零解 1,2, ,.则 = 11+ 22+ + 满足定义式 () = 因此 是 的一个特征值.式 1-3 中的行列式十分重要, 引入以下的定义：定义 1.2设矩阵 = (), , 矩阵 为 的特征矩阵, det( ) 为 的特征多项式, det( ) = 0 为 的特征方程, 其根称为 的特征值 (或特征根).det( ) 的展开式为 的 次多项式, 记作() = + 11+ + 1 + .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日7 / 98对于 的特征多项式,() = 1112121 22212 将这个行列式展开, 得到 中的一个多项式, 这个多项式的最高次项为, 它出现在行列式主对角线上的元素的乘积中, 即( 11)( 22)( )(1-4)而行列式的其余各项至多含有 2 个主对角线上的元素.因此, () 是式 1-4 和一个至多是 的 2 次多项式的和, 所以() 中次数大于 2 的项只出现在式 1-4 中.所以, () = (11+ 22+ + )1+ , 其中(11+ 22+ + ) 乘以 (1) 就是矩阵 的主对角线上的元素之和, 我们称之为矩阵 的迹迹迹, 记作 (), 即 () = (11+ 22+ + ).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日8 / 98对于 的特征多项式,() = 1112121 22212 将这个行列式展开, 得到 中的一个多项式, 这个多项式的最高次项为, 它出现在行列式主对角线上的元素的乘积中, 即( 11)( 22)( )(1-4)而行列式的其余各项至多含有 2 个主对角线上的元素.因此, () 是式 1-4 和一个至多是 的 2 次多项式的和, 所以() 中次数大于 2 的项只出现在式 1-4 中.所以, () = (11+ 22+ + )1+ , 其中(11+ 22+ + ) 乘以 (1) 就是矩阵 的主对角线上的元素之和, 我们称之为矩阵 的迹迹迹, 记作 (), 即 () = (11+ 22+ + ).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日8 / 98对于 的特征多项式,() = 1112121 22212 将这个行列式展开, 得到 中的一个多项式, 这个多项式的最高次项为, 它出现在行列式主对角线上的元素的乘积中, 即( 11)( 22)( )(1-4)而行列式的其余各项至多含有 2 个主对角线上的元素.因此, () 是式 1-4 和一个至多是 的 2 次多项式的和, 所以() 中次数大于 2 的项只出现在式 1-4 中.所以, () = (11+ 22+ + )1+ , 其中(11+ 22+ + ) 乘以 (1) 就是矩阵 的主对角线上的元素之和, 我们称之为矩阵 的迹迹迹, 记作 (), 即 () = (11+ 22+ + ).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日8 / 98定义 1.3在 阶方阵 = () 中, 任意选取行与列次相同的 行与 列 (1 ), 位于这 行与 列交叉处的 2个元素按原有位置组成的 阶行列式之和, 叫做矩阵 的 阶阶阶迹迹迹, 记作 (), 即 () =11211 11 ,其中 (1 , ;, = 1,2, ,;1 2 ) 是位于矩阵 中第 行、列交叉处的元素； 阶方阵 的 阶迹 () 为 个 阶行列式之和.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日9 / 98根据这个定义, 显然有：1() = () = (11+ 22+ + )；2() =1=11122122+11133133+ +1111+ +1111.() = |.又因为, (0) = (1)|； 所以, () 的常数项为 (1)|.定理 1.1 阶方阵 的特征多项式 () = | | 可以写成如下形式：() =0(1)()(1-5)其中 0() = 1, () =11211 11 .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日10 / 98根据这个定义, 显然有：1() = () = (11+ 22+ + )；2() =1=11122122+11133133+ +1111+ +1111.() = |.又因为, (0) = (1)|； 所以, () 的常数项为 (1)|.定理 1.1 阶方阵 的特征多项式 () = | | 可以写成如下形式：() =0(1)()(1-5)其中 0() = 1, () =11211 11 .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日10 / 98根据这个定义, 显然有：1() = () = (11+ 22+ + )；2() =1=11122122+11133133+ +1111+ +1111.() = |.又因为, (0) = (1)|； 所以, () 的常数项为 (1)|.定理 1.1 阶方阵 的特征多项式 () = | | 可以写成如下形式：() =0(1)()(1-5)其中 0() = 1, () =112 0.将其扩充为 的一个基 1,2, ,+1, ,.则有 (1) = 01； (2) = 02； ； () = 0； (+1) = 1,+11+ + ,+1+ +1,+1+1+ + ,+1； () = 11+ + + +1,+1+ + 所以在基 1,2, ,下, 线性变换 的矩阵为： =0 01,+11.0 0,+10 0 +1,+1 +1,.0.0 0,+1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日19 / 98定理 1.2设线性变换 (), 则 的任意特征值的几何重数不大于它的代数重数.证证证明明明： 取特征子空间 0的一个基 1,2, ,；则 dim0= 0.将其扩充为 的一个基 1,2, ,+1, ,.则有 (1) = 01； (2) = 02； ； () = 0； (+1) = 1,+11+ + ,+1+ +1,+1+1+ + ,+1； () = 11+ + + +1,+1+ + 所以在基 1,2, ,下, 线性变换 的矩阵为： =0 01,+11.0 0,+10 0 +1,+1 +1,.0.0 0,+1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日19 / 98定理 1.2设线性变换 (), 则 的任意特征值的几何重数不大于它的代数重数.证证证明明明： 取特征子空间 0的一个基 1,2, ,；则 dim0= 0.将其扩充为 的一个基 1,2, ,+1, ,.则有 (1) = 01； (2) = 02； ； () = 0； (+1) = 1,+11+ + ,+1+ +1,+1+1+ + ,+1； () = 11+ + + +1,+1+ + 所以在基 1,2, ,下, 线性变换 的矩阵为： =0 01,+11.0 0,+10 0 +1,+1 +1,.0.0 0,+1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日19 / 98定理 1.2设线性变换 (), 则 的任意特征值的几何重数不大于它的代数重数.证证证明明明： 取特征子空间 0的一个基 1,2, ,；则 dim0= 0.将其扩充为 的一个基 1,2, ,+1, ,.则有 (1) = 01； (2) = 02； ； () = 0； (+1) = 1,+11+ + ,+1+ +1,+1+1+ + ,+1； () = 11+ + + +1,+1+ + 所以在基 1,2, ,下, 线性变换 的矩阵为： =0 01,+11.0 0,+10 0 +1,+1 +1,.0.0 0,+1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日19 / 98定理 1.2设线性变换 (), 则 的任意特征值的几何重数不大于它的代数重数.证证证明明明： 取特征子空间 0的一个基 1,2, ,；则 dim0= 0.将其扩充为 的一个基 1,2, ,+1, ,.则有 (1) = 01； (2) = 02； ； () = 0； (+1) = 1,+11+ + ,+1+ +1,+1+1+ + ,+1； () = 11+ + + +1,+1+ + 所以在基 1,2, ,下, 线性变换 的矩阵为： =0 01,+11.0 0,+10 0 +1,+1 +1,.0.0 0,+1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日19 / 98证: (续) 由于 的特征多项式 () = | | = ( 0)| 0|,记 () = | 0|, 这是一个 次的多项式, 因此 () = ( 0)(),所以特征值 0在多项式 () 中的重数（即 的代数重数）不小于（即 的几何重数）；考虑到 0无特殊性, 去掉足标, 有 的任意特征值的几何重数不大于它的代数重数.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日20 / 98证: (续) 由于 的特征多项式 () = | | = ( 0)| 0|,记 () = | 0|, 这是一个 次的多项式, 因此 () = ( 0)(),所以特征值 0在多项式 () 中的重数（即 的代数重数）不小于（即 的几何重数）；考虑到 0无特殊性, 去掉足标, 有 的任意特征值的几何重数不大于它的代数重数.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日20 / 98定理 1.3对于矩阵 , 下列结论成立：1. 设 , 则 与 有相同的特征多项式和相同的特征值；2. 若 为 的一个特征值, 为其所对应的特征向量, 则 与 分别为 与 的特征值, 仍为其所对应的特征向量 ( = 常数, +)；3. 若 为可逆矩阵 的某个特征值, 为其所对应的特征向量, 则1( = 0)为 1的特征值, 仍为其所对应的特征向量；4. 如果 , 则 () = ().在有限维线性空间中不同的基下, 同一个线性变换具有不同的矩阵. 但是由于这些矩阵是相似的, 因此其特征多项式相同. 换言之, 特征多项式 () 与基无关, 它仅由线性变换 决定.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日21 / 98定理 1.3对于矩阵 , 下列结论成立：1. 设 , 则 与 有相同的特征多项式和相同的特征值；2. 若 为 的一个特征值, 为其所对应的特征向量, 则 与 分别为 与 的特征值, 仍为其所对应的特征向量 ( = 常数, +)；3. 若 为可逆矩阵 的某个特征值, 为其所对应的特征向量, 则1( = 0)为 1的特征值, 仍为其所对应的特征向量；4. 如果 , 则 () = ().在有限维线性空间中不同的基下, 同一个线性变换具有不同的矩阵. 但是由于这些矩阵是相似的, 因此其特征多项式相同. 换言之, 特征多项式 () 与基无关, 它仅由线性变换 决定.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日21 / 98定理 1.4矩阵 的相异的特征值所对应的特征向量线性无关. 也就是说, 如果1,2, ,是线性变换 的属于不同的特征值 1,2, ,的特征向量, 则向量组 1,2, ,线性无关.证证证明明明：（对 应用数学归纳法）当 = 1 时, 由于特征向量不为零, 因此结论成立；设 1 且对 1 时结论正确；对于 , 设 1,2, ,是 的两两相异的特征值, 是属于 的特征向量, 即 () = ( = 1,2, ,). 如果11+ 22+ + = 0( , = 1,2, ,)(1-7)刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日22 / 98定理 1.4矩阵 的相异的特征值所对应的特征向量线性无关. 也就是说, 如果1,2, ,是线性变换 的属于不同的特征值 1,2, ,的特征向量, 则向量组 1,2, ,线性无关.证证证明明明：（对 应用数学归纳法）当 = 1 时, 由于特征向量不为零, 因此结论成立；设 1 且对 1 时结论正确；对于 , 设 1,2, ,是 的两两相异的特征值, 是属于 的特征向量, 即 () = ( = 1,2, ,). 如果11+ 22+ + = 0( , = 1,2, ,)(1-7)刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日22 / 98定理 1.4矩阵 的相异的特征值所对应的特征向量线性无关. 也就是说, 如果1,2, ,是线性变换 的属于不同的特征值 1,2, ,的特征向量, 则向量组 1,2, ,线性无关.证证证明明明：（对 应用数学归纳法）当 = 1 时, 由于特征向量不为零, 因此结论成立；设 1 且对 1 时结论正确；对于 , 设 1,2, ,是 的两两相异的特征值, 是属于 的特征向量, 即 () = ( = 1,2, ,). 如果11+ 22+ + = 0( , = 1,2, ,)(1-7)刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日22 / 98以 乘以式 1-7 得 11+ 22+ + = 0,对式 1-7 实施线性变换 , 由 () = , 有111+ 222+ + = 0(1-8)式 1-8 减式 1-7 得到1(1 )1+ 2(2 )2+ + 1(1 )1= 0因为 1,2, ,1线性无关, 所以( ) = 0( = 1,2, , 1),但 1,2, ,两两相异, 因此 1= 2= = 1= 0, 代入式 1-7,且知 = 0, 所以 = 0,即 1,2, ,线性无关.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日23 / 98以 乘以式 1-7 得 11+ 22+ + = 0,对式 1-7 实施线性变换 , 由 () = , 有111+ 222+ + = 0(1-8)式 1-8 减式 1-7 得到1(1 )1+ 2(2 )2+ + 1(1 )1= 0因为 1,2, ,1线性无关, 所以( ) = 0( = 1,2, , 1),但 1,2, ,两两相异, 因此 1= 2= = 1= 0, 代入式 1-7,且知 = 0, 所以 = 0,即 1,2, ,线性无关.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日23 / 98以 乘以式 1-7 得 11+ 22+ + = 0,对式 1-7 实施线性变换 , 由 () = , 有111+ 222+ + = 0(1-8)式 1-8 减式 1-7 得到1(1 )1+ 2(2 )2+ + 1(1 )1= 0因为 1,2, ,1线性无关, 所以( ) = 0( = 1,2, , 1),但 1,2, ,两两相异, 因此 1= 2= = 1= 0, 代入式 1-7,且知 = 0, 所以 = 0,即 1,2, ,线性无关.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日23 / 98以 乘以式 1-7 得 11+ 22+ + = 0,对式 1-7 实施线性变换 , 由 () = , 有111+ 222+ + = 0(1-8)式 1-8 减式 1-7 得到1(1 )1+ 2(2 )2+ + 1(1 )1= 0因为 1,2, ,1线性无关, 所以( ) = 0( = 1,2, , 1),但 1,2, ,两两相异, 因此 1= 2= = 1= 0, 代入式 1-7,且知 = 0, 所以 = 0,即 1,2, ,线性无关.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日23 / 98以 乘以式 1-7 得 11+ 22+ + = 0,对式 1-7 实施线性变换 , 由 () = , 有111+ 222+ + = 0(1-8)式 1-8 减式 1-7 得到1(1 )1+ 2(2 )2+ + 1(1 )1= 0因为 1,2, ,1线性无关, 所以( ) = 0( = 1,2, , 1),但 1,2, ,两两相异, 因此 1= 2= = 1= 0, 代入式 1-7,且知 = 0, 所以 = 0,即 1,2, ,线性无关.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日23 / 98以 乘以式 1-7 得 11+ 22+ + = 0,对式 1-7 实施线性变换 , 由 () = , 有111+ 222+ + = 0(1-8)式 1-8 减式 1-7 得到1(1 )1+ 2(2 )2+ + 1(1 )1= 0因为 1,2, ,1线性无关, 所以( ) = 0( = 1,2, , 1),但 1,2, ,两两相异, 因此 1= 2= = 1= 0, 代入式 1-7,且知 = 0, 所以 = 0,即 1,2, ,线性无关.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日23 / 98推论 1.1设线性变换 (), 如果 的特征多项式 () 在数域 内有 个单根, 则存在着一个阶可逆矩阵 , 使得 1 =10.0 = (1,2, ,). 其中 为 在某一个基下的矩阵.证证证明明明： 设 () = ( 1)( 2)( ), 对任意的 , 选取一个, ( = 1,2, ,).由定理 1.4 可知 1,2, ,线性无关, 并且 1,2, ,构成 的一个基,刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日24 / 98推论 1.1设线性变换 (), 如果 的特征多项式 () 在数域 内有 个单根, 则存在着一个阶可逆矩阵 , 使得 1 =10.0 = (1,2, ,). 其中 为 在某一个基下的矩阵.证证证明明明： 设 () = ( 1)( 2)( ), 对任意的 , 选取一个, ( = 1,2, ,).由定理 1.4 可知 1,2, ,线性无关, 并且 1,2, ,构成 的一个基,刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日24 / 98推论 1.1设线性变换 (), 如果 的特征多项式 () 在数域 内有 个单根, 则存在着一个阶可逆矩阵 , 使得 1 =10.0 = (1,2, ,). 其中 为 在某一个基下的矩阵.证证证明明明： 设 () = ( 1)( 2)( ), 对任意的 , 选取一个, ( = 1,2, ,).由定理 1.4 可知 1,2, ,线性无关, 并且 1,2, ,构成 的一个基,刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日24 / 98而 关于此基的矩阵为10.0；又因为 在不同的基下的矩阵之间的相似关系, 则对于 的任意一个矩阵, 存在着可逆矩阵 , 使得 1 =10.0 = (1,2, ,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日25 / 98注 1.2请读者注意, 这个推论仅为 阶矩阵可以对角化的充分条件, 而非必要条件. 例如单位矩阵 是对角矩阵, 但它却只有 重特征值 1.我们知道, 在一般情况下, 阶矩阵未必有 个互异的特征值.定义 1.5设线性变换 (), 有 个相异的特征值 1,2, , 而 ,1,2, ,为相应的特征子空间, dim= ( = 1,2, ,) , 其基为1,2, ,( = 1,2, ,), 则向量组 1,2, ,( = 1,2, ,) 叫做线性变换 的一个特特特征征征向向向量量量系系系.并且有:1）特征向量系线性无关；2）当特征向量系所含的向量个数为 时, 称为完完完全全全特特特征征征向向向量量量系系系.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日26 / 98注 1.2请读者注意, 这个推论仅为 阶矩阵可以对角化的充分条件, 而非必要条件. 例如单位矩阵 是对角矩阵, 但它却只有 重特征值 1.我们知道, 在一般情况下, 阶矩阵未必有 个互异的特征值.定义 1.5设线性变换 (), 有 个相异的特征值 1,2, , 而 ,1,2, ,为相应的特征子空间, dim= ( = 1,2, ,) , 其基为1,2, ,( = 1,2, ,), 则向量组 1,2, ,( = 1,2, ,) 叫做线性变换 的一个特特特征征征向向向量量量系系系.并且有:1）特征向量系线性无关；2）当特征向量系所含的向量个数为 时, 称为完完完全全全特特特征征征向向向量量量系系系.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日26 / 98注 1.2请读者注意, 这个推论仅为 阶矩阵可以对角化的充分条件, 而非必要条件. 例如单位矩阵 是对角矩阵, 但它却只有 重特征值 1.我们知道, 在一般情况下, 阶矩阵未必有 个互异的特征值.定义 1.5设线性变换 (), 有 个相异的特征值 1,2, , 而 ,1,2, ,为相应的特征子空间, dim= ( = 1,2, ,) , 其基为1,2, ,( = 1,2, ,), 则向量组 1,2, ,( = 1,2, ,) 叫做线性变换 的一个特特特征征征向向向量量量系系系.并且有:1）特征向量系线性无关；2）当特征向量系所含的向量个数为 时, 称为完完完全全全特特特征征征向向向量量量系系系.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日26 / 98显然, 如果 有完全特征向量系, 以此向量系为基, 则 在此基下的矩阵 是对角形矩阵, 此时称 的矩阵 为单单单纯纯纯矩矩矩阵阵阵, 并且 的所有特征值的几何重数与代数重数相等；如果 的特征向量系中向量的个数小于线性空间的维数 , 则 在任意一个基下的矩阵 都不能成为对角形矩阵, 此时称 的矩阵 为非非非单单单纯纯纯矩矩矩阵阵阵（或或或亏亏亏损损损矩矩矩阵阵阵）.定理 1.5线性变换 的矩阵在某一个基下是对角形矩阵的充分且必要条件为 有完全特征向量系. 即=1dim= dim= .定理 1.6矩阵 可以对角化的充分必要条件是 的所有特征值的几何重数与代数重数相等.由前面的讨论可以看出, 将一个矩阵化为对角形矩阵是不太容易做到的.但是, 将一个矩阵化为三角形矩阵是较为容易的, 我们将在本章中详细讨论这一问题（当然这些讨论是对 阶方阵进行的）.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日27 / 98显然, 如果 有完全特征向量系, 以此向量系为基, 则 在此基下的矩阵 是对角形矩阵, 此时称 的矩阵 为单单单纯纯纯矩矩矩阵阵阵, 并且 的所有特征值的几何重数与代数重数相等；如果 的特征向量系中向量的个数小于线性空间的维数 , 则 在任意一个基下的矩阵 都不能成为对角形矩阵, 此时称 的矩阵 为非非非单单单纯纯纯矩矩矩阵阵阵（或或或亏亏亏损损损矩矩矩阵阵阵）.定理 1.5线性变换 的矩阵在某一个基下是对角形矩阵的充分且必要条件为 有完全特征向量系. 即=1dim= dim= .定理 1.6矩阵 可以对角化的充分必要条件是 的所有特征值的几何重数与代数重数相等.由前面的讨论可以看出, 将一个矩阵化为对角形矩阵是不太容易做到的.但是, 将一个矩阵化为三角形矩阵是较为容易的, 我们将在本章中详细讨论这一问题（当然这些讨论是对 阶方阵进行的）.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日27 / 98显然, 如果 有完全特征向量系, 以此向量系为基, 则 在此基下的矩阵 是对角形矩阵, 此时称 的矩阵 为单单单纯纯纯矩矩矩阵阵阵, 并且 的所有特征值的几何重数与代数重数相等；如果 的特征向量系中向量的个数小于线性空间的维数 , 则 在任意一个基下的矩阵 都不能成为对角形矩阵, 此时称 的矩阵 为非非非单单单纯纯纯矩矩矩阵阵阵（或或或亏亏亏损损损矩矩矩阵阵阵）.定理 1.5线性变换 的矩阵在某一个基下是对角形矩阵的充分且必要条件为 有完全特征向量系. 即=1dim= dim= .定理 1.6矩阵 可以对角化的充分必要条件是 的所有特征值的几何重数与代数重数相等.由前面的讨论可以看出, 将一个矩阵化为对角形矩阵是不太容易做到的.但是, 将一个矩阵化为三角形矩阵是较为容易的, 我们将在本章中详细讨论这一问题（当然这些讨论是对 阶方阵进行的）.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日27 / 981特征值与特征向量2矩阵3不变因子与初等因子4Jordan 标准形5Cayley-Hamilton 定理最小多项式刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日28 / 98定义 2.1以 的复系数多项式为元素的矩阵, 叫做 矩阵. 记作 (), (),.例如 就是一个 矩阵. 此外, 一般的数字矩阵也可以视为 矩阵, 此时 是常数.定义 2.2 矩阵 () 中行列式不为零的子式的最高阶数 称为 () 的秩, 记为rank() = , 简写为 () = . 零矩阵的秩规定为零. 阶 矩阵的秩为 时, 称该 矩阵满秩或非奇异.例如, () = 10 的秩为 2, () = 10 0的秩为 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日28 / 98定义 2.1以 的复系数多项式为元素的矩阵, 叫做 矩阵. 记作 (), (),.例如 就是一个 矩阵. 此外, 一般的数字矩阵也可以视为 矩阵, 此时 是常数.定义 2.2 矩阵 () 中行列式不为零的子式的最高阶数 称为 () 的秩, 记为rank() = , 简写为 () = . 零矩阵的秩规定为零. 阶 矩阵的秩为 时, 称该 矩阵满秩或非奇异.例如, () = 10 的秩为 2, () = 10 0的秩为 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日28 / 98定义 2.1以 的复系数多项式为元素的矩阵, 叫做 矩阵. 记作 (), (),.例如 就是一个 矩阵. 此外, 一般的数字矩阵也可以视为 矩阵, 此时 是常数.定义 2.2 矩阵 () 中行列式不为零的子式的最高阶数 称为 () 的秩, 记为rank() = , 简写为 () = . 零矩阵的秩规定为零. 阶 矩阵的秩为 时, 称该 矩阵满秩或非奇异.例如, () = 10 的秩为 2, () = 10 0的秩为 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日28 / 98定义 2.1以 的复系数多项式为元素的矩阵, 叫做 矩阵. 记作 (), (),.例如 就是一个 矩阵. 此外, 一般的数字矩阵也可以视为 矩阵, 此时 是常数.定义 2.2 矩阵 () 中行列式不为零的子式的最高阶数 称为 () 的秩, 记为rank() = , 简写为 () = . 零矩阵的秩规定为零. 阶 矩阵的秩为 时, 称该 矩阵满秩或非奇异.例如, () = 10 的秩为 2, () = 10 0的秩为 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日28 / 98定义 2.3对 阶 阵 (), 若存在 阶 阵 (), 使得() () = ()() = 则称 () 为可逆 阵, 并称 () 为 () 的逆矩阵.与数字矩阵类似, 可以证明可逆 阵 () 的逆矩阵惟一, 故可记1() = ().对数字方阵, 满秩的充要条件为可逆；对 阵, 满秩不一定可逆.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日29 / 98定义 2.3对 阶 阵 (), 若存在 阶 阵 (), 使得() () = ()() = 则称 () 为可逆 阵, 并称 () 为 () 的逆矩阵.与数字矩阵类似, 可以证明可逆 阵 () 的逆矩阵惟一, 故可记1() = ().对数字方阵, 满秩的充要条件为可逆；对 阵, 满秩不一定可逆.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日29 / 98定理 2.1 阶 阵 () 可逆的充要条件是 |()| = , 其中 为非零常数.证: 必要性：若 () 可逆, 则 ()1() = , 即|()|1()| = | = 1,而 |()| 与 |1()| 都是关于 的多项式, 故只能为零次多项式, 即|()| = .充分性：若 |()| = = 0, 设 *() 是 () 的伴随矩阵, 此时()1*() = , 故 () 可逆.例 2.1() = 00 , () = 2 满秩, 但由于 |()| = 2不是非零常数, 因此() 不可逆.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日30 / 98定理 2.1 阶 阵 () 可逆的充要条件是 |()| = , 其中 为非零常数.证: 必要性：若 () 可逆, 则 ()1() = , 即|()|1()| = | = 1,而 |()| 与 |1()| 都是关于 的多项式, 故只能为零次多项式, 即|()| = .充分性：若 |()| = = 0, 设 *() 是 () 的伴随矩阵, 此时()1*() = , 故 () 可逆.例 2.1() = 00 , () = 2 满秩, 但由于 |()| = 2不是非零常数, 因此() 不可逆.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日30 / 98定理 2.1 阶 阵 () 可逆的充要条件是 |()| = , 其中 为非零常数.证: 必要性：若 () 可逆, 则 ()1() = , 即|()|1()| = | = 1,而 |()| 与 |1()| 都是关于 的多项式, 故只能为零次多项式, 即|()| = .充分性：若 |()| = = 0, 设 *() 是 () 的伴随矩阵, 此时()1*() = , 故 () 可逆.例 2.1() = 00 , () = 2 满秩, 但由于 |()| = 2不是非零常数, 因此() 不可逆.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日30 / 98定理 2.1 阶 阵 () 可逆的充要条件是 |()| = , 其中 为非零常数.证: 必要性：若 () 可逆, 则 ()1() = , 即|()|1()| = | = 1,而 |()| 与 |1()| 都是关于 的多项式, 故只能为零次多项式, 即|()| = .充分性：若 |()| = = 0, 设 *() 是 () 的伴随矩阵, 此时()1*() = , 故 () 可逆.例 2.1() = 00 , () = 2 满秩, 但由于 |()| = 2不是非零常数, 因此() 不可逆.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日30 / 98我们现在来讨论如何将 矩阵化为标准形.定义 2.4以下三类变换称为 矩阵的初等变换：1) 互换两行（列）；2) 某行（列）乘非零常数 ；3) 某行（列）乘多项式后加到另一行（列）.如果 矩阵 () 经过有限次初等变换后可变成 (), 则称 () 与() 等价. () 与 () 等价, 则记 () (). 矩阵的等价关系与一般的等价关系一样, 满足自反律、对称律、传递律.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日31 / 98我们现在来讨论如何将 矩阵化为标准形.定义 2.4以下三类变换称为 矩阵的初等变换：1) 互换两行（列）；2) 某行（列）乘非零常数 ；3) 某行（列）乘多项式后加到另一行（列）.如果 矩阵 () 经过有限次初等变换后可变成 (), 则称 () 与() 等价. () 与 () 等价, 则记 () (). 矩阵的等价关系与一般的等价关系一样, 满足自反律、对称律、传递律.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日31 / 98我们现在来讨论如何将 矩阵化为标准形.定义 2.4以下三类变换称为 矩阵的初等变换：1) 互换两行（列）；2) 某行（列）乘非零常数 ；3) 某行（列）乘多项式后加到另一行（列）.如果 矩阵 () 经过有限次初等变换后可变成 (), 则称 () 与() 等价. () 与 () 等价, 则记 () (). 矩阵的等价关系与一般的等价关系一样, 满足自反律、对称律、传递律.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日31 / 98定理 2.2如果 矩阵 () 与 () 等价, 则 () = (), 但反之不然.例如：设 () = 10 , () =1 1 , 因为 det() = 0,det () = 0； 并且 () = () = 2.由矩阵的初等变换可知, 如果 () 与 () 等价, 则 det() 与det () 之间只能相差一个不为零的常数因子, 而 () 与 () 不满足这一条件, 所以 () 与 () 不等价.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日32 / 98定理 2.2如果 矩阵 () 与 () 等价, 则 () = (), 但反之不然.例如：设 () = 10 , () =1 1 , 因为 det() = 0,det () = 0； 并且 () = () = 2.由矩阵的初等变换可知, 如果 () 与 () 等价, 则 det() 与det () 之间只能相差一个不为零的常数因子, 而 () 与 () 不满足这一条件, 所以 () 与 () 不等价.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日32 / 98定理 2.2如果 矩阵 () 与 () 等价, 则 () = (), 但反之不然.例如：设 () = 10 , () =1 1 , 因为 det() = 0,det () = 0； 并且 () = () = 2.由矩阵的初等变换可知, 如果 () 与 () 等价, 则 det() 与det () 之间只能相差一个不为零的常数因子, 而 () 与 () 不满足这一条件, 所以 () 与 () 不等价.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日32 / 98引理 2.1如果 矩阵 () 中的元素 11() = 0, 并且 () 中至少有一个元素不能被其整除, 则必存在一个与 () 等价的 矩阵 (), 并且 () 中的元素11() = 0, 同时多项式 11() 的次数小于 11() 的次数.证: 不妨设 () 中第 1 行上有元素 1() 不能被 11() 整除, 则1() = 11()() + 11(), 11() = 0并且 11() 的次数小于 11() 的次数；将 () 中第 1 列的元素乘以 () 后, 加道第 列上, 并将第 1 列与第 列互换, 得到 () =11() * * * * *,并且 () 与 () 等价, 在 () 中 11() = 0, 11() 的次数小于 11()的次数；同理, 若 () 中第 1 列上有元素 1() 不能被 11() 整除, 亦可得到1() 满足引理.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日33 / 98引理 2.1如果 矩阵 () 中的元素 11() = 0, 并且 () 中至少有一个元素不能被其整除, 则必存在一个与 () 等价的 矩阵 (), 并且 () 中的元素11() = 0, 同时多项式 11() 的次数小于 11() 的次数.证: 不妨设 () 中第 1 行上有元素 1() 不能被 11() 整除, 则1() = 11()() + 11(), 11() = 0并且 11() 的次数小于 11() 的次数；将 () 中第 1 列的元素乘以 () 后, 加道第 列上, 并将第 1 列与第 列互换, 得到 () =11() * * * * *,并且 () 与 () 等价, 在 () 中 11() = 0, 11() 的次数小于 11()的次数；同理, 若 () 中第 1 列上有元素 1() 不能被 11() 整除, 亦可得到1() 满足引理.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日33 / 98引理 2.1如果 矩阵 () 中的元素 11() = 0, 并且 () 中至少有一个元素不能被其整除, 则必存在一个与 () 等价的 矩阵 (), 并且 () 中的元素11() = 0, 同时多项式 11() 的次数小于 11() 的次数.证: 不妨设 () 中第 1 行上有元素 1() 不能被 11() 整除, 则1() = 11()() + 11(), 11() = 0并且 11() 的次数小于 11() 的次数；将 () 中第 1 列的元素乘以 () 后, 加道第 列上, 并将第 1 列与第 列互换, 得到 () =11() * * * * *,并且 () 与 () 等价, 在 () 中 11() = 0, 11() 的次数小于 11()的次数；同理, 若 () 中第 1 列上有元素 1() 不能被 11() 整除, 亦可得到1() 满足引理.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日33 / 98引理 2.1如果 矩阵 () 中的元素 11() = 0, 并且 () 中至少有一个元素不能被其整除, 则必存在一个与 () 等价的 矩阵 (), 并且 () 中的元素11() = 0, 同时多项式 11() 的次数小于 11() 的次数.证: 不妨设 () 中第 1 行上有元素 1() 不能被 11() 整除, 则1() = 11()() + 11(), 11() = 0并且 11() 的次数小于 11() 的次数；将 () 中第 1 列的元素乘以 () 后, 加道第 列上, 并将第 1 列与第 列互换, 得到 () =11() * * * * *,并且 () 与 () 等价, 在 () 中 11() = 0, 11() 的次数小于 11()的次数；同理, 若 () 中第 1 列上有元素 1() 不能被 11() 整除, 亦可得到1() 满足引理.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日33 / 98证: 如果 () 中第 1 行或第 1 列上的所有元素 1() 都能被 11() 整除,根据定理的条件可知, 至少有一个元素 () 不能被 11() 整除, 并且, = 1. 则有 1() = 11()(), 将 () 中第 1 行乘以 () 后, 加到第 行上, 得到 (), 其中 1() = 0, () = () 1()(), 所以11() 不能整除 ()；再将第 行加道第 1 行上, 此时 11() 没有变化, 而第 1 行、第 列上的元素变为 1 ()1() + () 也不能被 11() 整除, 这就回到了 ()中第 1 行上有元素 1() 不能被 11() 整除的情形.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日34 / 98证: 如果 () 中第 1 行或第 1 列上的所有元素 1() 都能被 11() 整除,根据定理的条件可知, 至少有一个元素 () 不能被 11() 整除, 并且, = 1. 则有 1() = 11()(), 将 () 中第 1 行乘以 () 后, 加到第 行上, 得到 (), 其中 1() = 0, () = () 1()(), 所以11() 不能整除 ()；再将第 行加道第 1 行上, 此时 11() 没有变化, 而第 1 行、第 列上的元素变为 1 ()1() + () 也不能被 11() 整除, 这就回到了 ()中第 1 行上有元素 1() 不能被 11() 整除的情形.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日34 / 98定理 2.3如果 矩阵 () , 并且 () = , 那么 () 与矩阵() =1()000 002() 00 0.00 () 0 00000 0.0000 0等价. 其中 () 是首项系数为 1 的多项式, 并且 () 能够整除 +1()（ = 1,2, , 1）；我们称矩阵 () 是 矩阵 () 的Smith 标标标准准准形形形.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日35 / 98证: 如果 () = 0, 则 () 为零矩阵, 结论成立；设 () = 0, 并且 11() = 0（如若不然, 可以将矩阵 () 适当调换行或列, 使得调换后的矩阵中左上角的元素不为零, 并以此元素作为新的11()）, 如果矩阵 () 中的元素不是全部能被 11() 整除, 则由引理 2.3,必然存在着一个矩阵 (1)() (), 并且多项式 (1)11() 的次数小于 11()的次数.如果 (1)11() 仍然不能整除 (1)() 中的所有元素, 可再次应用引理 2.3,逐步降低矩阵 ()() 中左上角元素 ()11() 的次数 ( = 1,2,), 直到求得一个矩阵 ()() ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日36 / 98证: 如果 () = 0, 则 () 为零矩阵, 结论成立；设 () = 0, 并且 11() = 0（如若不然, 可以将矩阵 () 适当调换行或列, 使得调换后的矩阵中左上角的元素不为零, 并以此元素作为新的11()）, 如果矩阵 () 中的元素不是全部能被 11() 整除, 则由引理 2.3,必然存在着一个矩阵 (1)() (), 并且多项式 (1)11() 的次数小于 11()的次数.如果 (1)11() 仍然不能整除 (1)() 中的所有元素, 可再次应用引理 2.3,逐步降低矩阵 ()() 中左上角元素 ()11() 的次数 ( = 1,2,), 直到求得一个矩阵 ()() ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日36 / 98证: 如果 () = 0, 则 () 为零矩阵, 结论成立；设 () = 0, 并且 11() = 0（如若不然, 可以将矩阵 () 适当调换行或列, 使得调换后的矩阵中左上角的元素不为零, 并以此元素作为新的11()）, 如果矩阵 () 中的元素不是全部能被 11() 整除, 则由引理 2.3,必然存在着一个矩阵 (1)() (), 并且多项式 (1)11() 的次数小于 11()的次数.如果 (1)11() 仍然不能整除 (1)() 中的所有元素, 可再次应用引理 2.3,逐步降低矩阵 ()() 中左上角元素 ()11() 的次数 ( = 1,2,), 直到求得一个矩阵 ()() ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日36 / 98证: 令矩阵 () = ()(), 则多项式 11() 可以整除 () 中的所有元素,并且 11() 是一个首项系数为一的多项式. 然后将 () 中的第一行元素乘以适当的多项式加到其它各行上, 使得第一列的元素中除去 11() 外, 其余的元素均为零；再将 () 中的第一行的元素, 除去 11() = 0 外, 其余的元素消为零.则得到一个与矩阵 () 等价的矩阵1()000022() 23() 2()032() 33() 3()02() 3() (),其中 1() = 11() 可整除 (), ( = 2,3, ,; = 2,3, ,)；刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日37 / 98证: 令矩阵 () = ()(), 则多项式 11() 可以整除 () 中的所有元素,并且 11() 是一个首项系数为一的多项式. 然后将 () 中的第一行元素乘以适当的多项式加到其它各行上, 使得第一列的元素中除去 11() 外, 其余的元素均为零；再将 () 中的第一行的元素, 除去 11() = 0 外, 其余的元素消为零.则得到一个与矩阵 () 等价的矩阵1()000022() 23() 2()032() 33() 3()02() 3() (),其中 1() = 11() 可整除 (), ( = 2,3, ,; = 2,3, ,)；刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日37 / 98证: 同理, 再对子矩阵22() 23() 2()32() 33() 3()2() 3() () 做类似变换,得矩阵1()00002()000033() 3()003() (),其中 1() 可整除 2(), 2() 可整除 (), ( = 3,4, ,; = 3,4, ,)；以此类推, 最后得到矩阵1).()0.0, 其中 () 整除+1() ( = 1,2, , 1).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日38 / 98证: 同理, 再对子矩阵22() 23() 2()32() 33() 3()2() 3() () 做类似变换, 得矩阵1()00002()000033() 3()003() (),其中 1() 可整除 2(), 2() 可整除 (), ( = 3,4, ,; = 3,4, ,)；以此类推, 最后得到矩阵1).()0.0, 其中 () 整除+1() ( = 1,2, , 1).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日38 / 98证: 同理, 再对子矩阵22() 23() 2()32() 33() 3()2() 3() () 做类似变换, 得矩阵1()00002()000033() 3()003() (),其中 1() 可整除 2(), 2() 可整除 (), ( = 3,4, ,; = 3,4, ,)；以此类推, 最后得到矩阵1).()0.0, 其中 () 整除+1() ( = 1,2, , 1).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日38 / 98例 2.2将 - 矩阵 ) =0002002 00( 1)2002 000化为 Smith 标准形.解解解 对矩阵 () 进行初等变换, 得到() 10000 ( 1)0000( 1)00002( 1)2.其中 1() = 1,2() = 3() = ( 1),4() = 2( 1)2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日39 / 98例 2.2将 - 矩阵 ) =0002002 00( 1)2002 000化为 Smith 标准形.解解解 对矩阵 () 进行初等变换, 得到() 10000 ( 1)0000( 1)00002( 1)2.其中 1() = 1,2() = 3() = ( 1),4() = 2( 1)2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日39 / 981特征值与特征向量2矩阵3不变因子与初等因子4Jordan 标准形5Cayley-Hamilton 定理最小多项式刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日40 / 98定义 3.1设 矩阵 () 的秩为 , 对于 +, 1 , () 中必存在着非零的 阶子式. () 中全部 阶子式的最大公因式 () 叫做 ()的 阶行列式因子.对于秩为 的 矩阵 (), 其非零主子式共有 个, 并且其非零行列式因子也有 个.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日40 / 98定义 3.1设 矩阵 () 的秩为 , 对于 +, 1 , () 中必存在着非零的 阶子式. () 中全部 阶子式的最大公因式 () 叫做 ()的 阶行列式因子.对于秩为 的 矩阵 (), 其非零主子式共有 个, 并且其非零行列式因子也有 个.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日40 / 98定理 3.1等价的 矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子.证: 要证明这一定理, 只要能证明 矩阵 () 经过一次初等变换, 它的秩与行列式因子不变即可.设 矩阵 () 经过一次初等变换变成 (), () 与 () 分别是() 与 () 的 阶行列式因子, 现在证明 () = ().情形一：() 经过交换两行或两列的初等变换变成 (), 此时, () 的每个 阶子式或等于 () 的某个 阶子式, 或与 () 的某一个 阶子式反号, 因此 () 是 () 的 阶子式的公因式, 所以 () 可以整除 ()；刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日41 / 98定理 3.1等价的 矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子.证: 要证明这一定理, 只要能证明 矩阵 () 经过一次初等变换, 它的秩与行列式因子不变即可.设 矩阵 () 经过一次初等变换变成 (), () 与 () 分别是() 与 () 的 阶行列式因子, 现在证明 () = ().情形一：() 经过交换两行或两列的初等变换变成 (), 此时, () 的每个 阶子式或等于 () 的某个 阶子式, 或与 () 的某一个 阶子式反号, 因此 () 是 () 的 阶子式的公因式, 所以 () 可以整除 ()；刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日41 / 98定理 3.1等价的 矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子.证: 要证明这一定理, 只要能证明 矩阵 () 经过一次初等变换, 它的秩与行列式因子不变即可.设 矩阵 () 经过一次初等变换变成 (), () 与 () 分别是() 与 () 的 阶行列式因子, 现在证明 () = ().情形一：() 经过交换两行或两列的初等变换变成 (), 此时, () 的每个 阶子式或等于 () 的某个 阶子式, 或与 () 的某一个 阶子式反号, 因此 () 是 () 的 阶子式的公因式, 所以 () 可以整除 ()；刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日41 / 98定理 3.1等价的 矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子.证: 要证明这一定理, 只要能证明 矩阵 () 经过一次初等变换, 它的秩与行列式因子不变即可.设 矩阵 () 经过一次初等变换变成 (), () 与 () 分别是() 与 () 的 阶行列式因子, 现在证明 () = ().情形一：() 经过交换两行或两列的初等变换变成 (), 此时, () 的每个 阶子式或等于 () 的某个 阶子式, 或与 () 的某一个 阶子式反号, 因此 () 是 () 的 阶子式的公因式, 所以 () 可以整除 ()；刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日41 / 98证: 情形二、() 经过以一个不为零的常数 乘某行或某列的初等变换变成 (), 此时, () 的每个 阶子式或等于 () 的某个 阶子式, 或等于() 的某个 阶子式的 倍, 因此 () 是 () 的 阶子式的公因式, 所以 () 可以整除 ()；情形三、() 经过以其第 行（或第 列）乘以多项式 () 后加到第 行（或第 列）上的初等变换变成 (), 此时, () 中那些包含 行与 行（或 列与 列）的 阶子式和那些不包含 行（或 列）的 阶子式等于() 中对应的 阶子式； () 中那些包含 行（或 列）但不包含 行（或 列）的 阶子式, 按 行（或 列）分成两部分, 等于 () 的一个 阶子式与另一个的 阶子式的 () 倍的和, 即 () 的两个 阶子式的组合, 因此 () 是 () 的 阶子式的公因式, 所以 () 可以整除 ()；由初等变换的可逆性, () 也可以经过一次初等变换变成 (), 由相同的讨论可得 () 可以整除 (). 所以 () = ().如果 () 的全部 阶子式都为零, 有 ()= 0, 所以 ()= 0, 则 ()的全部 阶子式等于零；反之亦然, 所以 () 和 () 有相同的秩和相同的各阶行列式因子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日42 / 98证: 情形二、() 经过以一个不为零的常数 乘某行或某列的初等变换变成 (), 此时, () 的每个 阶子式或等于 () 的某个 阶子式, 或等于() 的某个 阶子式的 倍, 因此 () 是 () 的 阶子式的公因式, 所以 () 可以整除 ()；情形三、() 经过以其第 行（或第 列）乘以多项式 () 后加到第 行（或第 列）上的初等变换变成 (), 此时, () 中那些包含 行与 行（或 列与 列）的 阶子式和那些不包含 行（或 列）的 阶子式等于() 中对应的 阶子式； () 中那些包含 行（或 列）但不包含 行（或 列）的 阶子式, 按 行（或 列）分成两部分, 等于 () 的一个 阶子式与另一个的 阶子式的 () 倍的和, 即 () 的两个 阶子式的组合, 因此 () 是 () 的 阶子式的公因式, 所以 () 可以整除 ()；由初等变换的可逆性, () 也可以经过一次初等变换变成 (), 由相同的讨论可得 () 可以整除 (). 所以 () = ().如果 () 的全部 阶子式都为零, 有 ()= 0, 所以 ()= 0, 则 ()的全部 阶子式等于零；反之亦然, 所以 () 和 () 有相同的秩和相同的各阶行列式因子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日42 / 98证: 情形二、() 经过以一个不为零的常数 乘某行或某列的初等变换变成 (), 此时, () 的每个 阶子式或等于 () 的某个 阶子式, 或等于() 的某个 阶子式的 倍, 因此 () 是 () 的 阶子式的公因式, 所以 () 可以整除 ()；情形三、() 经过以其第 行（或第 列）乘以多项式 () 后加到第 行（或第 列）上的初等变换变成 (), 此时, () 中那些包含 行与 行（或 列与 列）的 阶子式和那些不包含 行（或 列）的 阶子式等于() 中对应的 阶子式； () 中那些包含 行（或 列）但不包含 行（或 列）的 阶子式, 按 行（或 列）分成两部分, 等于 () 的一个 阶子式与另一个的 阶子式的 () 倍的和, 即 () 的两个 阶子式的组合, 因此 () 是 () 的 阶子式的公因式, 所以 () 可以整除 ()；由初等变换的可逆性, () 也可以经过一次初等变换变成 (), 由相同的讨论可得 () 可以整除 (). 所以 () = ().如果 () 的全部 阶子式都为零, 有 ()= 0, 所以 ()= 0, 则 ()的全部 阶子式等于零；反之亦然, 所以 () 和 () 有相同的秩和相同的各阶行列式因子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日42 / 98证: 情形二、() 经过以一个不为零的常数 乘某行或某列的初等变换变成 (), 此时, () 的每个 阶子式或等于 () 的某个 阶子式, 或等于() 的某个 阶子式的 倍, 因此 () 是 () 的 阶子式的公因式, 所以 () 可以整除 ()；情形三、() 经过以其第 行（或第 列）乘以多项式 () 后加到第 行（或第 列）上的初等变换变成 (), 此时, () 中那些包含 行与 行（或 列与 列）的 阶子式和那些不包含 行（或 列）的 阶子式等于() 中对应的 阶子式； () 中那些包含 行（或 列）但不包含 行（或 列）的 阶子式, 按 行（或 列）分成两部分, 等于 () 的一个 阶子式与另一个的 阶子式的 () 倍的和, 即 () 的两个 阶子式的组合, 因此 () 是 () 的 阶子式的公因式, 所以 () 可以整除 ()；由初等变换的可逆性, () 也可以经过一次初等变换变成 (), 由相同的讨论可得 () 可以整除 (). 所以 () = ().如果 () 的全部 阶子式都为零, 有 ()= 0, 所以 ()= 0, 则 ()的全部 阶子式等于零；反之亦然, 所以 () 和 () 有相同的秩和相同的各阶行列式因子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日42 / 98设 矩阵 () 的 Smith 标准形为1().()0.0,其中 () 是首项系数为 1 的多项式, 且 () 能够整除 +1()（ = 1,2, , 1）.在这种形式的矩阵中, 如果一个的 阶子式包含的行与列的标号不完全相同, 那么这个 阶子式必为零, 因此, 由 1,2, ,行与 1,2, ,列（1 1 2 ）组成的 阶子式 1(),2(), ,() 就是矩阵 () 的 阶行列式因子；而 1()2()() 即为这种 阶子式的最大公因式. 因此 () 的 阶行列式因子 = 1()2()().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日43 / 98设 矩阵 () 的 Smith 标准形为1().()0.0,其中 () 是首项系数为 1 的多项式, 且 () 能够整除 +1()（ = 1,2, , 1）.在这种形式的矩阵中, 如果一个的 阶子式包含的行与列的标号不完全相同, 那么这个 阶子式必为零, 因此, 由 1,2, ,行与 1,2, ,列（1 1 2 0）叫做 () 的初等因子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日47 / 98定理 3.4若 矩阵 () 的不变因子 () 确定, 则 () 的初等因子 ( )就被唯一确定；反之, 若所有的初等因子 ( )与 () 的秩确定, 则不变因子 () 也就被唯一确定.证: 将 () 的所有初等因子按不同的一次因子分类, 并按各因子的幂从小到大排列有下表：( 1)11,( 1)21, ,( 1)1( 2)12,( 2)22, ,( 2)2( )1,( )2, ,( )(11 21 1)(12 22 2)(1 2 )此表中共有 列, 每列中的因子个数可能不同, 空白处可以以数 1 补上. 这样,在第 列上的各式之积 ( 1)1( 2)2( )就是 () 的第 个不变因子 (), 所以, 当 () 的秩确定后, 求 () 不变因子等于求它的初等因子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日48 / 98定理 3.4若 矩阵 () 的不变因子 () 确定, 则 () 的初等因子 ( )就被唯一确定；反之, 若所有的初等因子 ( )与 () 的秩确定, 则不变因子 () 也就被唯一确定.证: 将 () 的所有初等因子按不同的一次因子分类, 并按各因子的幂从小到大排列有下表：( 1)11,( 1)21, ,( 1)1( 2)12,( 2)22, ,( 2)2( )1,( )2, ,( )(11 21 1)(12 22 2)(1 2 )此表中共有 列, 每列中的因子个数可能不同, 空白处可以以数 1 补上. 这样,在第 列上的各式之积 ( 1)1( 2)2( )就是 () 的第 个不变因子 (), 所以, 当 () 的秩确定后, 求 () 不变因子等于求它的初等因子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日48 / 98定理 3.5设 矩阵 () = ()00 ()为分块对角形矩阵, 则 () 与 () 的初等因子的全体构成 () 的全体初等因子.证: 首先将 () 与 () 化为与之等价的 Smith 标准形： () =1().1()0.0, () =1().2()0.0,刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日49 / 98定理 3.5设 矩阵 () = ()00 ()为分块对角形矩阵, 则 () 与 () 的初等因子的全体构成 () 的全体初等因子.证: 首先将 () 与 () 化为与之等价的 Smith 标准形： () =1().1()0.0, () =1().2()0.0,刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日49 / 98证: 显然 () = = () + () = 1+ 2.再将 () 与 () 分解为因式之积：() = ( 1)1( 2)2( )( = 1,2, ,1)() = ( 1)1( 2)2( )( = 1,2, ,2)以下证明 () 与 () 的初等因子就是 () 的全部初等因子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日50 / 98证: 显然 () = = () + () = 1+ 2.再将 () 与 () 分解为因式之积：() = ( 1)1( 2)2( )( = 1,2, ,1)() = ( 1)1( 2)2( )( = 1,2, ,2)以下证明 () 与 () 的初等因子就是 () 的全部初等因子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日50 / 98证: 不失一般性, 考虑 () 与 () 中只含因子 ( 1) 的那些初等因子,将因子 ( 1) 的指数 11,21, ,11,11,21, ,21按大小排列, 记为1,2, , 满足 0 1 2 .对 () = ()00 ()作初等变换, 得到() 1().1()1().2()0 0.0 0刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日51 / 98证: 不失一般性, 考虑 () 与 () 中只含因子 ( 1) 的那些初等因子,将因子 ( 1) 的指数 11,21, ,11,11,21, ,21按大小排列, 记为1,2, , 满足 0 1 2 .对 () = ()00 ()作初等变换, 得到() 1().1()1().2()0 0.0 0刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日51 / 98证:( 1)11()( 1)22().( 1)()0 0.0 0其中 1(),2(), ,() 中均不含因子 ( 1).所以在 () 的 阶行列式因子 1(),2(), ,() 中, ( 1)的幂指数分别为 1,2, ,；即 () 中含有因子 ( 1) 的初等因子为( 1)(= 0; = 1,2, ,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日52 / 98证:( 1)11()( 1)22().( 1)()0 0.0 0其中 1(),2(), ,() 中均不含因子 ( 1).所以在 () 的 阶行列式因子 1(),2(), ,() 中, ( 1)的幂指数分别为 1,2, ,；即 () 中含有因子 ( 1) 的初等因子为( 1)(= 0; = 1,2, ,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日52 / 98证: 对于因子 ( 2), ( 3), , ( ) 可以类似地进行讨论.最后证明, 除去 () 与 () 的初等因子之外, () 没有其它的初等因子, 因为 () = , 所以 () = 1()1()1()2() 为() 的全部初等因子之积, 如果 ( )是 () 的一个初等因子, 则它必然包含在某个 () 或 () 之中. 因此, () 与 () 的初等因子的全体构成() 的全体初等因子.一般的, 如果 () =1()2().()0, 则()( = 1,2, ,) 的初等因子的全体构成 () 的全体初等因子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日53 / 98证: 对于因子 ( 2), ( 3), , ( ) 可以类似地进行讨论.最后证明, 除去 () 与 () 的初等因子之外, () 没有其它的初等因子, 因为 () = , 所以 () = 1()1()1()2() 为() 的全部初等因子之积, 如果 ( )是 () 的一个初等因子, 则它必然包含在某个 () 或 () 之中. 因此, () 与 () 的初等因子的全体构成() 的全体初等因子.一般的, 如果 () =1()2().()0, 则()( = 1,2, ,) 的初等因子的全体构成 () 的全体初等因子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日53 / 98证: 对于因子 ( 2), ( 3), , ( ) 可以类似地进行讨论.最后证明, 除去 () 与 () 的初等因子之外, () 没有其它的初等因子, 因为 () = , 所以 () = 1()1()1()2() 为() 的全部初等因子之积, 如果 ( )是 () 的一个初等因子, 则它必然包含在某个 () 或 () 之中. 因此, () 与 () 的初等因子的全体构成() 的全体初等因子.一般的, 如果 () =1()2().()0, 则()( = 1,2, ,) 的初等因子的全体构成 () 的全体初等因子.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日53 / 98例 3.1将 - 矩阵 () =0002002 00( 1)2002 000化为 Smith 标准形.解解解 解法一：因 () 的各阶行列式因子为：1() =1、2() = ( 1)、3() = 2( 1)2、4() =4( 1)4,所以 () 的不变因子为：1() = 1、2() =2()1()= ( 1)、3() =3()2()= ( 1)、4() =4()3()= 2( 1)2,因此, () 的 Smith 标准形为10000 ( 1)0000( 1)00002( 1)2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日54 / 98例 3.1将 - 矩阵 () =0002002 00( 1)2002 000化为 Smith 标准形.解解解 解法一：因 () 的各阶行列式因子为：1() =1、2() = ( 1)、3() = 2( 1)2、4() =4( 1)4,所以 () 的不变因子为：1() = 1、2() =2()1()= ( 1)、3() =3()2()= ( 1)、4() =4()3()= 2( 1)2,因此, () 的 Smith 标准形为10000 ( 1)0000( 1)00002( 1)2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日54 / 98例 3.1将 - 矩阵 () =0002002 00( 1)2002 000化为 Smith 标准形.解解解 解法一：因 () 的各阶行列式因子为：1() =1、2() = ( 1)、3() = 2( 1)2、4() =4( 1)4,所以 () 的不变因子为：1() = 1、2() =2()1()= ( 1)、3() =3()2()= ( 1)、4() =4()3()= 2( 1)2,因此, () 的 Smith 标准形为10000 ( 1)0000( 1)00002( 1)2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日54 / 98例 3.1将 - 矩阵 () =0002002 00( 1)2002 000化为 Smith 标准形.解解解 解法一：因 () 的各阶行列式因子为：1() =1、2() = ( 1)、3() = 2( 1)2、4() =4( 1)4,所以 () 的不变因子为：1() = 1、2() =2()1()= ( 1)、3() =3()2()= ( 1)、4() =4()3()= 2( 1)2,因此, () 的 Smith 标准形为10000 ( 1)0000( 1)00002( 1)2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日54 / 98解法二：由次对角线上的元素可得 () 的初等因子为：2, 1,( 1)2, 1.所以 () 的不变因子为：4() = 2( 1)2、3() = ( 1)、2() = ( 1)、1() =1,因此, () 的 Smith 标准形为10000 ( 1)0000( 1)00002( 1)2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日55 / 98解法二：由次对角线上的元素可得 () 的初等因子为：2, 1,( 1)2, 1.所以 () 的不变因子为：4() = 2( 1)2、3() = ( 1)、2() = ( 1)、1() =1,因此, () 的 Smith 标准形为10000 ( 1)0000( 1)00002( 1)2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日55 / 98解法二：由次对角线上的元素可得 () 的初等因子为：2, 1,( 1)2, 1.所以 () 的不变因子为：4() = 2( 1)2、3() = ( 1)、2() = ( 1)、1() =1,因此, () 的 Smith 标准形为10000 ( 1)0000( 1)00002( 1)2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日55 / 98例 3.2求 - 矩阵 () =( + 1)( + 1)2的初等因子和不变因子.解解解法法法一一一：利用行列式因子.因 与 ( + 1)2的最大公因式为 1, 所以 1() =1；又 2() = ( + 1), 3() = 2( + 1)3,故 () 的不变因子 1、( + 1)、( + 1)2；初等因子：, + 1,( + 1)2.解法二：因 () 是一个对角形矩阵, 对角线上各元素的初等因子就是() 的初等因子, 即 , + 1,( + 1)2；不变因子为：3() = ( + 1)2、2() = ( + 1)、1() =1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日56 / 98例 3.2求 - 矩阵 () =( + 1)( + 1)2的初等因子和不变因子.解解解法法法一一一：利用行列式因子.因 与 ( + 1)2的最大公因式为 1, 所以 1() =1；又 2() = ( + 1), 3() = 2( + 1)3,故 () 的不变因子 1、( + 1)、( + 1)2；初等因子：, + 1,( + 1)2.解法二：因 () 是一个对角形矩阵, 对角线上各元素的初等因子就是() 的初等因子, 即 , + 1,( + 1)2；不变因子为：3() = ( + 1)2、2() = ( + 1)、1() =1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日56 / 98例 3.2求 - 矩阵 () =( + 1)( + 1)2的初等因子和不变因子.解解解法法法一一一：利用行列式因子.因 与 ( + 1)2的最大公因式为 1, 所以 1() =1；又 2() = ( + 1), 3() = 2( + 1)3,故 () 的不变因子 1、( + 1)、( + 1)2；初等因子：, + 1,( + 1)2.解法二：因 () 是一个对角形矩阵, 对角线上各元素的初等因子就是() 的初等因子, 即 , + 1,( + 1)2；不变因子为：3() = ( + 1)2、2() = ( + 1)、1() =1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日56 / 98例 3.2求 - 矩阵 () =( + 1)( + 1)2的初等因子和不变因子.解解解法法法一一一：利用行列式因子.因 与 ( + 1)2的最大公因式为 1, 所以 1() =1；又 2() = ( + 1), 3() = 2( + 1)3,故 () 的不变因子 1、( + 1)、( + 1)2；初等因子：, + 1,( + 1)2.解法二：因 () 是一个对角形矩阵, 对角线上各元素的初等因子就是() 的初等因子, 即 , + 1,( + 1)2；不变因子为：3() = ( + 1)2、2() = ( + 1)、1() =1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日56 / 98例 3.2求 - 矩阵 () =( + 1)( + 1)2的初等因子和不变因子.解解解法法法一一一：利用行列式因子.因 与 ( + 1)2的最大公因式为 1, 所以 1() =1；又 2() = ( + 1), 3() = 2( + 1)3,故 () 的不变因子 1、( + 1)、( + 1)2；初等因子：, + 1,( + 1)2.解法二：因 () 是一个对角形矩阵, 对角线上各元素的初等因子就是() 的初等因子, 即 , + 1,( + 1)2；不变因子为：3() = ( + 1)2、2() = ( + 1)、1() =1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日56 / 98例 3.3求矩阵 () =01000010 000112 1的特征矩阵的不变因子, 并将其化为 Smith 标准形.解解解 因为 () 的特征矩阵是 () =100010000112 + 1,刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日57 / 98经初等变换得到 () 01000100001 () 12 + 1= (),其中： () = + 11+ + 1 + , 并且,det() = det () = (1)+1 ()(1)1= (),即 () = (), 将 () 的第一列、第 行去掉, 余下的 1 阶子式为 (1)1,所以, 1() = 2() = = 1() = 1,1() = 2() = = 1() = 1, () = (),因此, () 的 Smith 标准形为：1.1 ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日58 / 98经初等变换得到 () 01000100001 () 12 + 1= (),其中： () = + 11+ + 1 + , 并且,det() = det () = (1)+1 ()(1)1= (),即 () = (), 将 () 的第一列、第 行去掉, 余下的 1 阶子式为 (1)1,所以, 1() = 2() = = 1() = 1,1() = 2() = = 1() = 1, () = (),因此, () 的 Smith 标准形为：1.1 ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日58 / 98经初等变换得到 () 01000100001 () 12 + 1= (),其中： () = + 11+ + 1 + , 并且,det() = det () = (1)+1 ()(1)1= (),即 () = (), 将 () 的第一列、第 行去掉, 余下的 1 阶子式为 (1)1,所以, 1() = 2() = = 1() = 1,1() = 2() = = 1() = 1, () = (),因此, () 的 Smith 标准形为：1.1 ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日58 / 98经初等变换得到 () 01000100001 () 12 + 1= (),其中： () = + 11+ + 1 + , 并且,det() = det () = (1)+1 ()(1)1= (),即 () = (), 将 () 的第一列、第 行去掉, 余下的 1 阶子式为 (1)1,所以, 1() = 2() = = 1() = 1,1() = 2() = = 1() = 1, () = (),因此, () 的 Smith 标准形为：1.1 ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日58 / 98例 3.4求 ()= 1 2. 1 的 不 变 因 子 与 初 等 因 子,1,2, ,1为非零常数.解解解 因为 () 为 阶方阵, 所以 () = ( ). 去掉第 行与第 1列后, 余下的 1 阶子式为 121, 所以 1() = 1, 所以1() = 2() = = 1() = 1,因此 () 的不变因子为 1() = 2() = = 1() = 1,() = ( ), () 的初等因子为 ( ).定义 3.4若矩阵 () 的特征矩阵的不变因子为 1, 1, ., (), 则矩阵 叫做 () 的友矩阵.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日59 / 98例 3.4求 ()= 1 2. 1 的 不 变 因 子 与 初 等 因 子,1,2, ,1为非零常数.解解解 因为 () 为 阶方阵, 所以 () = ( ). 去掉第 行与第 1列后, 余下的 1 阶子式为 121, 所以 1() = 1, 所以1() = 2() = = 1() = 1,因此 () 的不变因子为 1() = 2() = = 1() = 1,() = ( ), () 的初等因子为 ( ).定义 3.4若矩阵 () 的特征矩阵的不变因子为 1, 1, ., (), 则矩阵 叫做 () 的友矩阵.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日59 / 98例 3.4求 ()= 1 2. 1 的 不 变 因 子 与 初 等 因 子,1,2, ,1为非零常数.解解解 因为 () 为 阶方阵, 所以 () = ( ). 去掉第 行与第 1列后, 余下的 1 阶子式为 121, 所以 1() = 1, 所以1() = 2() = = 1() = 1,因此 () 的不变因子为 1() = 2() = = 1() = 1,() = ( ), () 的初等因子为 ( ).定义 3.4若矩阵 () 的特征矩阵的不变因子为 1, 1, ., (), 则矩阵 叫做 () 的友矩阵.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日59 / 98例 3.4求 ()= 1 2. 1 的 不 变 因 子 与 初 等 因 子,1,2, ,1为非零常数.解解解 因为 () 为 阶方阵, 所以 () = ( ). 去掉第 行与第 1列后, 余下的 1 阶子式为 121, 所以 1() = 1, 所以1() = 2() = = 1() = 1,因此 () 的不变因子为 1() = 2() = = 1() = 1,() = ( ), () 的初等因子为 ( ).定义 3.4若矩阵 () 的特征矩阵的不变因子为 1, 1, ., (), 则矩阵 叫做 () 的友矩阵.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日59 / 981特征值与特征向量2矩阵3不变因子与初等因子4Jordan 标准形求可逆矩阵 , 使得 1 = 5Cayley-Hamilton 定理最小多项式刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日60 / 98 阶矩阵可以分为许多相似类, 我们希望在与某个 阶矩阵相似的全体矩阵中, 找到一个比较简单的矩阵, 作为这一类矩阵的代表, 从而简化这一类矩阵的讨论. 当然对角形矩阵最为简单, 但是并不是任意的 阶矩阵都能与对角矩阵相似的, 例如非单纯矩阵就不与任意对角矩阵相似, 但是却相似于一个我们称之为 Jordan 标准形的矩阵, 这是一个相对简单的矩阵.定义 4.1形如 =11. 1的方阵叫做 阶 Jordan 块. ( 或 ), 特别地, 一阶方阵叫做一阶 Jordan 块.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日60 / 98 阶矩阵可以分为许多相似类, 我们希望在与某个 阶矩阵相似的全体矩阵中, 找到一个比较简单的矩阵, 作为这一类矩阵的代表, 从而简化这一类矩阵的讨论. 当然对角形矩阵最为简单, 但是并不是任意的 阶矩阵都能与对角矩阵相似的, 例如非单纯矩阵就不与任意对角矩阵相似, 但是却相似于一个我们称之为 Jordan 标准形的矩阵, 这是一个相对简单的矩阵.定义 4.1形如 =11. 1的方阵叫做 阶 Jordan 块. ( 或 ), 特别地, 一阶方阵叫做一阶 Jordan 块.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日60 / 98定义 4.2由 若 干 个Jordan块 组 成 的 分 块 对 角 矩 阵12.其 中( = 1,2, ,) 为 阶 Jordan 块, 当=1= 时, 这个矩阵叫做 阶 Jordan 标准形, 记为 （或 ）.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日61 / 98由例 3.4 可知 阶 Jordan 块 的特征矩阵 的初等因子是( ),所以, Jordan 标准形12.的特征矩阵 的初等因子是由各个 Jordan 块的初等因子合在一起构成的, 即( )1, ( )2, ,( ), 并且=1= .因此, 如果不计 中的 Jordan 块的排列顺序, 那么 Jordan 标准形就由它的全部初等因子所决定.定理 4.1如果 阶矩阵 与一个 Jordan 标准形 相似, 则这个矩阵的特征矩阵 也与 的特征矩阵 相似, 反之亦然.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日62 / 98由例 3.4 可知 阶 Jordan 块 的特征矩阵 的初等因子是( ),所以, Jordan 标准形12.的特征矩阵 的初等因子是由各个 Jordan 块的初等因子合在一起构成的, 即( )1, ( )2, ,( ), 并且=1= .因此, 如果不计 中的 Jordan 块的排列顺序, 那么 Jordan 标准形就由它的全部初等因子所决定.定理 4.1如果 阶矩阵 与一个 Jordan 标准形 相似, 则这个矩阵的特征矩阵 也与 的特征矩阵 相似, 反之亦然.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日62 / 98由例 3.4 可知 阶 Jordan 块 的特征矩阵 的初等因子是( ),所以, Jordan 标准形12.的特征矩阵 的初等因子是由各个 Jordan 块的初等因子合在一起构成的, 即( )1, ( )2, ,( ), 并且=1= .因此, 如果不计 中的 Jordan 块的排列顺序, 那么 Jordan 标准形就由它的全部初等因子所决定.定理 4.1如果 阶矩阵 与一个 Jordan 标准形 相似, 则这个矩阵的特征矩阵 也与 的特征矩阵 相似, 反之亦然.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日62 / 98定理 4.2任意一个 阶复矩阵 都与一个 Jordan 标准形 相似, 若不计 中的 Jordan块的排列顺序, 则 由 唯一确定.证证证：设 的特征矩阵 的初等因子为 ( )1, ( )2, ,( ), 当然这也是 的初等因子. 其中 1,2, ,中可能有相同的值, 1,2, ,中也可能有相同的值, 并且=1= .每一个 ( )对应着一个 Jordan 块 , 其阶数为 , 主对角线上的元素为 , 所有的 构成 . 所以, 的全部初等因子就是 ( )1,( )2, ,( ).又因为 与 有相同的初等因子, 所以 与 也有相同的初等因子, 因此 与 相似, 由定理 4.1, 与 也相似.若存在 , , 均与 相似, 则 与 有相同的初等因子, 如果不计 与中的 Jordan 块的排列顺序, 则有 = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日63 / 98定理 4.2任意一个 阶复矩阵 都与一个 Jordan 标准形 相似, 若不计 中的 Jordan块的排列顺序, 则 由 唯一确定.证证证：设 的特征矩阵 的初等因子为 ( )1, ( )2, ,( ), 当然这也是 的初等因子. 其中 1,2, ,中可能有相同的值, 1,2, ,中也可能有相同的值, 并且=1= .每一个 ( )对应着一个 Jordan 块 , 其阶数为 , 主对角线上的元素为 , 所有的 构成 . 所以, 的全部初等因子就是 ( )1,( )2, ,( ).又因为 与 有相同的初等因子, 所以 与 也有相同的初等因子, 因此 与 相似, 由定理 4.1, 与 也相似.若存在 , , 均与 相似, 则 与 有相同的初等因子, 如果不计 与中的 Jordan 块的排列顺序, 则有 = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日63 / 98定理 4.2任意一个 阶复矩阵 都与一个 Jordan 标准形 相似, 若不计 中的 Jordan块的排列顺序, 则 由 唯一确定.证证证：设 的特征矩阵 的初等因子为 ( )1, ( )2, ,( ), 当然这也是 的初等因子. 其中 1,2, ,中可能有相同的值, 1,2, ,中也可能有相同的值, 并且=1= .每一个 ( )对应着一个 Jordan 块 , 其阶数为 , 主对角线上的元素为 , 所有的 构成 . 所以, 的全部初等因子就是 ( )1,( )2, ,( ).又因为 与 有相同的初等因子, 所以 与 也有相同的初等因子, 因此 与 相似, 由定理 4.1, 与 也相似.若存在 , , 均与 相似, 则 与 有相同的初等因子, 如果不计 与中的 Jordan 块的排列顺序, 则有 = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日63 / 98定理 4.2任意一个 阶复矩阵 都与一个 Jordan 标准形 相似, 若不计 中的 Jordan块的排列顺序, 则 由 唯一确定.证证证：设 的特征矩阵 的初等因子为 ( )1, ( )2, ,( ), 当然这也是 的初等因子. 其中 1,2, ,中可能有相同的值, 1,2, ,中也可能有相同的值, 并且=1= .每一个 ( )对应着一个 Jordan 块 , 其阶数为 , 主对角线上的元素为 , 所有的 构成 . 所以, 的全部初等因子就是 ( )1,( )2, ,( ).又因为 与 有相同的初等因子, 所以 与 也有相同的初等因子, 因此 与 相似, 由定理 4.1, 与 也相似.若存在 , , 均与 相似, 则 与 有相同的初等因子, 如果不计 与中的 Jordan 块的排列顺序, 则有 = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日63 / 98推论 4.1任意一个 阶复矩阵 可对角化的充分且必要条件是 的特征矩阵 的初等因子全是一次的.例 4.1在复数域上求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 因为 = 3083 + 1620 + 51 + 1( + 1)2,因此, 初等因子为 + 1,( + 1)2, 所以, 的 Jordan 标准形 =1 000 1 100 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日64 / 98推论 4.1任意一个 阶复矩阵 可对角化的充分且必要条件是 的特征矩阵 的初等因子全是一次的.例 4.1在复数域上求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 因为 = 3083 + 1620 + 51 + 1( + 1)2,因此, 初等因子为 + 1,( + 1)2, 所以, 的 Jordan 标准形 =1 000 1 100 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日64 / 98推论 4.1任意一个 阶复矩阵 可对角化的充分且必要条件是 的特征矩阵 的初等因子全是一次的.例 4.1在复数域上求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 因为 = 3083 + 1620 + 51 + 1( + 1)2,因此, 初等因子为 + 1,( + 1)2, 所以, 的 Jordan 标准形 =1 000 1 100 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日64 / 98推论 4.1任意一个 阶复矩阵 可对角化的充分且必要条件是 的特征矩阵 的初等因子全是一次的.例 4.1在复数域上求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 因为 = 3083 + 1620 + 51 + 1( + 1)2,因此, 初等因子为 + 1,( + 1)2, 所以, 的 Jordan 标准形 =1 000 1 100 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日64 / 98例 4.2在复数域上求矩阵 =310 04 1 0 0002 100 1 0 的 Jordan 标准形 .解解解 将矩阵 分块为矩阵 =100 2, 其中 1=314 1,2=2 11 0, 然后分别求出 1,2的 Jordan 标准形, 再组合成 的 Jordan标准形. （请读者自己完成）刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日65 / 98例 4.2在复数域上求矩阵 =310 04 1 0 0002 100 1 0 的 Jordan 标准形 .解解解 将矩阵 分块为矩阵 =100 2, 其中 1=314 1,2=2 11 0, 然后分别求出 1,2的 Jordan 标准形, 再组合成 的 Jordan标准形. （请读者自己完成）刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日65 / 98对 = 1 1 .1 其秩有如下结论:( ) = , = , 0, = , , = 刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日66 / 98因此, 若以 为特征值的 阶 Jordan 块的个数是 , = 1,2,., 则1() = ( ) = 1 2 2() = ( )2) = 1 22 23() = ( )3) = 1 22 33 3.() = ( ) = 1 22 +() = ( )+) = 1 22 , = 1,2,.因为 1( ) = ( ), 所以( ) = ( ).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日67 / 98因此, 若以 为特征值的 阶 Jordan 块的个数是 , = 1,2,., 则1() = ( ) = 1 2 2() = ( )2) = 1 22 23() = ( )3) = 1 22 33 3.() = ( ) = 1 22 +() = ( )+) = 1 22 , = 1,2,.因为 1( ) = ( ), 所以( ) = ( ).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日67 / 98由此, 我们可得求矩阵 的 Jordan 标准形的如下波波波尔尔尔曼曼曼算算算法法法：A）求 A 的全部特征值；B）对每个相异的特征根 和每个 , ( = 1, ,), 求 ( )的秩() = ( );在计算秩时, 若发现对某个 j*, 有 *() = *+1(), 则*+() = *(), = 1,2,., * ( 1);C）对每个 , 求：1() = 21() + 2(),() = +1() 2() + 1()( 1)；D）写出与 相似的标准型, 它是由 () 个关于 的 i 阶约当块的直和组成.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日68 / 98由此, 我们可得求矩阵 的 Jordan 标准形的如下波波波尔尔尔曼曼曼算算算法法法：A）求 A 的全部特征值；B）对每个相异的特征根 和每个 , ( = 1, ,), 求 ( )的秩() = ( );在计算秩时, 若发现对某个 j*, 有 *() = *+1(), 则*+() = *(), = 1,2,., * ( 1);C）对每个 , 求：1() = 21() + 2(),() = +1() 2() + 1()( 1)；D）写出与 相似的标准型, 它是由 () 个关于 的 i 阶约当块的直和组成.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日68 / 98由此, 我们可得求矩阵 的 Jordan 标准形的如下波波波尔尔尔曼曼曼算算算法法法：A）求 A 的全部特征值；B）对每个相异的特征根 和每个 , ( = 1, ,), 求 ( )的秩() = ( );在计算秩时, 若发现对某个 j*, 有 *() = *+1(), 则*+() = *(), = 1,2,., * ( 1);C）对每个 , 求：1() = 21() + 2(),() = +1() 2() + 1()( 1)；D）写出与 相似的标准型, 它是由 () 个关于 的 i 阶约当块的直和组成.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日68 / 98由此, 我们可得求矩阵 的 Jordan 标准形的如下波波波尔尔尔曼曼曼算算算法法法：A）求 A 的全部特征值；B）对每个相异的特征根 和每个 , ( = 1, ,), 求 ( )的秩() = ( );在计算秩时, 若发现对某个 j*, 有 *() = *+1(), 则*+() = *(), = 1,2,., * ( 1);C）对每个 , 求：1() = 21() + 2(),() = +1() 2() + 1()( 1)；D）写出与 相似的标准型, 它是由 () 个关于 的 i 阶约当块的直和组成.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日68 / 98例 4.3在复数域上用波尔曼算法求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 由于 | | = 3083 + 1620 + 5= ( + 1)3, 因此 的特征值是 1= 2= 3= 1. =4 0 83 0 62 0 4=4321 0 2,( )2= 0因此 1(1) = ( ) = 1,2(1) = ( )2) = 0 从而3(1) = 0.以 1 为特征值的一阶约当块的个数是 321(1)+2(1) = 32+0 = 1,以 1 为特征值的二阶约当块的个数是1(1)22(1)+3(1) = 120+0 = 1. 因此 的 Jordan 标准形 为 =1 000 1 100 1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日69 / 98例 4.3在复数域上用波尔曼算法求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 由于 | | = 3083 + 1620 + 5= ( + 1)3, 因此 的特征值是 1= 2= 3= 1. =4 0 83 0 62 0 4=4321 0 2,( )2= 0因此 1(1) = ( ) = 1,2(1) = ( )2) = 0 从而3(1) = 0.以 1 为特征值的一阶约当块的个数是 321(1)+2(1) = 32+0 = 1,以 1 为特征值的二阶约当块的个数是1(1)22(1)+3(1) = 120+0 = 1. 因此 的 Jordan 标准形 为 =1 000 1 100 1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日69 / 98例 4.3在复数域上用波尔曼算法求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 由于 | | = 3083 + 1620 + 5= ( + 1)3, 因此 的特征值是 1= 2= 3= 1. =4 0 83 0 62 0 4=4321 0 2,( )2= 0因此 1(1) = ( ) = 1,2(1) = ( )2) = 0 从而3(1) = 0.以 1 为特征值的一阶约当块的个数是 321(1)+2(1) = 32+0 = 1,以 1 为特征值的二阶约当块的个数是1(1)22(1)+3(1) = 120+0 = 1. 因此 的 Jordan 标准形 为 =1 000 1 100 1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日69 / 98例 4.3在复数域上用波尔曼算法求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 由于 | | = 3083 + 1620 + 5= ( + 1)3, 因此 的特征值是 1= 2= 3= 1. =4 0 83 0 62 0 4=4321 0 2,( )2= 0因此 1(1) = ( ) = 1,2(1) = ( )2) = 0 从而3(1) = 0.以 1 为特征值的一阶约当块的个数是 321(1)+2(1) = 32+0 = 1,以 1 为特征值的二阶约当块的个数是1(1)22(1)+3(1) = 120+0 = 1. 因此 的 Jordan 标准形 为 =1 000 1 100 1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日69 / 98例 4.3在复数域上用波尔曼算法求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 由于 | | = 3083 + 1620 + 5= ( + 1)3, 因此 的特征值是 1= 2= 3= 1. =4 0 83 0 62 0 4=4321 0 2,( )2= 0因此 1(1) = ( ) = 1,2(1) = ( )2) = 0 从而3(1) = 0.以 1 为特征值的一阶约当块的个数是 321(1)+2(1) = 32+0 = 1,以 1 为特征值的二阶约当块的个数是1(1)22(1)+3(1) = 120+0 = 1. 因此 的 Jordan 标准形 为 =1 000 1 100 1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日69 / 98例 4.3在复数域上用波尔曼算法求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 由于 | | = 3083 + 1620 + 5= ( + 1)3, 因此 的特征值是 1= 2= 3= 1. =4 0 83 0 62 0 4=4321 0 2,( )2= 0因此 1(1) = ( ) = 1,2(1) = ( )2) = 0 从而3(1) = 0.以 1 为特征值的一阶约当块的个数是 321(1)+2(1) = 32+0 = 1,以 1 为特征值的二阶约当块的个数是1(1)22(1)+3(1) = 120+0 = 1. 因此 的 Jordan 标准形 为 =1 000 1 100 1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日69 / 98例 4.4在复数域上求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 由于 | | = 3083 + 1620 + 5= ( + 1)3, 因此 的特征值是 1= 2= 3= 1. =4 0 83 0 62 0 4, ( ) = 1 .因此, 以 1 为特征值的约当块有 ( ) = 2 个, 即有一个一阶块, 一个二阶块, 故 =1 000 1 100 1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日70 / 98例 4.4在复数域上求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 由于 | | = 3083 + 1620 + 5= ( + 1)3, 因此 的特征值是 1= 2= 3= 1. =4 0 83 0 62 0 4, ( ) = 1 .因此, 以 1 为特征值的约当块有 ( ) = 2 个, 即有一个一阶块, 一个二阶块, 故 =1 000 1 100 1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日70 / 98例 4.4在复数域上求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 由于 | | = 3083 + 1620 + 5= ( + 1)3, 因此 的特征值是 1= 2= 3= 1. =4 0 83 0 62 0 4, ( ) = 1 .因此, 以 1 为特征值的约当块有 ( ) = 2 个, 即有一个一阶块, 一个二阶块, 故 =1 000 1 100 1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日70 / 98例 4.4在复数域上求矩阵 =3083 1 62 0 5的 Jordan 标准形 .解解解 由于 | | = 3083 + 1620 + 5= ( + 1)3, 因此 的特征值是 1= 2= 3= 1. =4 0 83 0 62 0 4, ( ) = 1 .因此, 以 1 为特征值的约当块有 ( ) = 2 个, 即有一个一阶块, 一个二阶块, 故 =1 000 1 100 1刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日70 / 98例 4.5在复数域上求矩阵 =4 2 104 3 73 1 7的 Jordan 标准形 .解解解 1.由于 = + 42104 3731 71 000 100 0 ( 2)3,因此 的 Jordan 标准形为 =2 1 00 2 10 0 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日71 / 98例 4.5在复数域上求矩阵 =4 2 104 3 73 1 7的 Jordan 标准形 .解解解 1.由于 = + 42104 3731 71 000 100 0 ( 2)3,因此 的 Jordan 标准形为 =2 1 00 2 10 0 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日71 / 98解解解 2. = + 42104 3731 7, | | = ( 2)32 =6 2 104 1 73 1 5,1(2) = (2 ) = 2(2 )2=2 0 41 0 21 0 2,2(2) = (2 )2) = 1(2 )3= 03(2) = (2 )3) = 0, 因此 4(2) = 0.以 2 为特征值的一阶约当块的个数是 3 21(2) + 2(2) = 3 4 + 1 = 0,以 2 为特征值的二阶约当块的个数是1(2) 22(2) + 3(2) = 2 2 1 + 0 = 0以 2 为特征值的三阶约当块的个数是2(2) 23(2) + 4(2) = 1 2 0 + 0 = 1. 因此 的 Jordan 标准形 为 =2 1 00 2 10 0 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日72 / 98解解解 2. = + 42104 3731 7, | | = ( 2)32 =6 2 104 1 73 1 5,1(2) = (2 ) = 2(2 )2=2 0 41 0 21 0 2,2(2) = (2 )2) = 1(2 )3= 03(2) = (2 )3) = 0, 因此 4(2) = 0.以 2 为特征值的一阶约当块的个数是 3 21(2) + 2(2) = 3 4 + 1 = 0,以 2 为特征值的二阶约当块的个数是1(2) 22(2) + 3(2) = 2 2 1 + 0 = 0以 2 为特征值的三阶约当块的个数是2(2) 23(2) + 4(2) = 1 2 0 + 0 = 1. 因此 的 Jordan 标准形 为 =2 1 00 2 10 0 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日72 / 98解解解 2. = + 42104 3731 7, | | = ( 2)32 =6 2 104 1 73 1 5,1(2) = (2 ) = 2(2 )2=2 0 41 0 21 0 2,2(2) = (2 )2) = 1(2 )3= 03(2) = (2 )3) = 0, 因此 4(2) = 0.以 2 为特征值的一阶约当块的个数是 3 21(2) + 2(2) = 3 4 + 1 = 0,以 2 为特征值的二阶约当块的个数是1(2) 22(2) + 3(2) = 2 2 1 + 0 = 0以 2 为特征值的三阶约当块的个数是2(2) 23(2) + 4(2) = 1 2 0 + 0 = 1. 因此 的 Jordan 标准形 为 =2 1 00 2 10 0 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日72 / 98解解解 2. = + 42104 3731 7, | | = ( 2)32 =6 2 104 1 73 1 5,1(2) = (2 ) = 2(2 )2=2 0 41 0 21 0 2,2(2) = (2 )2) = 1(2 )3= 03(2) = (2 )3) = 0, 因此 4(2) = 0.以 2 为特征值的一阶约当块的个数是 3 21(2) + 2(2) = 3 4 + 1 = 0,以 2 为特征值的二阶约当块的个数是1(2) 22(2) + 3(2) = 2 2 1 + 0 = 0以 2 为特征值的三阶约当块的个数是2(2) 23(2) + 4(2) = 1 2 0 + 0 = 1. 因此 的 Jordan 标准形 为 =2 1 00 2 10 0 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日72 / 98解解解 2. = + 42104 3731 7, | | = ( 2)32 =6 2 104 1 73 1 5,1(2) = (2 ) = 2(2 )2=2 0 41 0 21 0 2,2(2) = (2 )2) = 1(2 )3= 03(2) = (2 )3) = 0, 因此 4(2) = 0.以 2 为特征值的一阶约当块的个数是 3 21(2) + 2(2) = 3 4 + 1 = 0,以 2 为特征值的二阶约当块的个数是1(2) 22(2) + 3(2) = 2 2 1 + 0 = 0以 2 为特征值的三阶约当块的个数是2(2) 23(2) + 4(2) = 1 2 0 + 0 = 1. 因此 的 Jordan 标准形 为 =2 1 00 2 10 0 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日72 / 98解解解 2. = + 42104 3731 7, | | = ( 2)32 =6 2 104 1 73 1 5,1(2) = (2 ) = 2(2 )2=2 0 41 0 21 0 2,2(2) = (2 )2) = 1(2 )3= 03(2) = (2 )3) = 0, 因此 4(2) = 0.以 2 为特征值的一阶约当块的个数是 3 21(2) + 2(2) = 3 4 + 1 = 0,以 2 为特征值的二阶约当块的个数是1(2) 22(2) + 3(2) = 2 2 1 + 0 = 0以 2 为特征值的三阶约当块的个数是2(2) 23(2) + 4(2) = 1 2 0 + 0 = 1. 因此 的 Jordan 标准形 为 =2 1 00 2 10 0 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日72 / 98解解解 2. = + 42104 3731 7, | | = ( 2)32 =6 2 104 1 73 1 5,1(2) = (2 ) = 2(2 )2=2 0 41 0 21 0 2,2(2) = (2 )2) = 1(2 )3= 03(2) = (2 )3) = 0, 因此 4(2) = 0.以 2 为特征值的一阶约当块的个数是 3 21(2) + 2(2) = 3 4 + 1 = 0,以 2 为特征值的二阶约当块的个数是1(2) 22(2) + 3(2) = 2 2 1 + 0 = 0以 2 为特征值的三阶约当块的个数是2(2) 23(2) + 4(2) = 1 2 0 + 0 = 1. 因此 的 Jordan 标准形 为 =2 1 00 2 10 0 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日72 / 98解解解 3.由于 = + 42104 3731 7, | | = ( 2)3,因此 的 Jordan 标准只可能是如下三个矩阵中的一个：1=2 1 00 2 10 0 2, 2=2 1 00 2 10 0 2, 3=2 1 00 2 10 0 2；而 2 =6 2 104 1 73 1 5,(2 ) = 2,由于 (2 ) = (2 ) = 2, 因此 =2 1 00 2 10 0 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日73 / 98解解解 3.由于 = + 42104 3731 7, | | = ( 2)3,因此 的 Jordan 标准只可能是如下三个矩阵中的一个：1=2 1 00 2 10 0 2, 2=2 1 00 2 10 0 2, 3=2 1 00 2 10 0 2；而 2 =6 2 104 1 73 1 5,(2 ) = 2,由于 (2 ) = (2 ) = 2, 因此 =2 1 00 2 10 0 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日73 / 98解解解 4.由于 = + 42104 3731 7,| | = ( 2)3；2 =6 2 104 1 73 1 5,(2 ) = 2.由于 (2 ) = (2 ) = 2, 因此以 2 为特征值的约当块只有一个, 故 =2 1 00 2 10 0 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日74 / 98解解解 4.由于 = + 42104 3731 7,| | = ( 2)3；2 =6 2 104 1 73 1 5,(2 ) = 2.由于 (2 ) = (2 ) = 2, 因此以 2 为特征值的约当块只有一个, 故 =2 1 00 2 10 0 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日74 / 98例 4.6设 阶矩阵 满足 2= 0 , 且 () = , 求 的 Jordan 标准型 .解解解 因为矩阵 满足 2= 0, 所以 的特征值全是零, 且 2= 0, 因此的 Jordan 块至多是二阶的. 即 的 Jordan 是二阶块或一阶块.由于 的二阶 Jordan 块的秩是一, 的一阶 Jordan 块的秩是零, 而() = , 因此 的 Jordan 标准式: = (2,.,2,0,.,0)其中 2=0 10 0的个数是 , 0 的个数是 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日75 / 98例 4.6设 阶矩阵 满足 2= 0 , 且 () = , 求 的 Jordan 标准型 .解解解 因为矩阵 满足 2= 0, 所以 的特征值全是零, 且 2= 0, 因此的 Jordan 块至多是二阶的. 即 的 Jordan 是二阶块或一阶块.由于 的二阶 Jordan 块的秩是一, 的一阶 Jordan 块的秩是零, 而() = , 因此 的 Jordan 标准式: = (2,.,2,0,.,0)其中 2=0 10 0的个数是 , 0 的个数是 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日75 / 98例 4.6设 阶矩阵 满足 2= 0 , 且 () = , 求 的 Jordan 标准型 .解解解 因为矩阵 满足 2= 0, 所以 的特征值全是零, 且 2= 0, 因此的 Jordan 块至多是二阶的. 即 的 Jordan 是二阶块或一阶块.由于 的二阶 Jordan 块的秩是一, 的一阶 Jordan 块的秩是零, 而() = , 因此 的 Jordan 标准式: = (2,.,2,0,.,0)其中 2=0 10 0的个数是 , 0 的个数是 2.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日75 / 98以上介绍了当矩阵 给定后, 如何求其 Jordan 标准形的方法. 在定理 4.1中如果 阶矩阵 与一个 Jordan 标准形 相似, 则必然存在着一个可逆矩阵, 使得 1 = . 而这个矩阵 在讨论微分方程的求解问题时十分重要,以下我们来看看如何求这个可逆矩阵 . 的某个 Jordan 块 , 其阶数为 , 主对角线上的元素为 , 它们在 中的行数和列数分别为：1+ 2+ + 1+ 1, 1+ 2+ + 1+ 2, ,1+ 2+ + 1+ .记 的列向量为 1,2, , 则 =(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,),因为 1 = , 所以 = , 即：(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,)=(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,),刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日76 / 98以上介绍了当矩阵 给定后, 如何求其 Jordan 标准形的方法. 在定理 4.1中如果 阶矩阵 与一个 Jordan 标准形 相似, 则必然存在着一个可逆矩阵, 使得 1 = . 而这个矩阵 在讨论微分方程的求解问题时十分重要,以下我们来看看如何求这个可逆矩阵 . 的某个 Jordan 块 , 其阶数为 , 主对角线上的元素为 , 它们在 中的行数和列数分别为：1+ 2+ + 1+ 1, 1+ 2+ + 1+ 2, ,1+ 2+ + 1+ .记 的列向量为 1,2, , 则 =(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,),因为 1 = , 所以 = , 即：(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,)=(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,),刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日76 / 98以上介绍了当矩阵 给定后, 如何求其 Jordan 标准形的方法. 在定理 4.1中如果 阶矩阵 与一个 Jordan 标准形 相似, 则必然存在着一个可逆矩阵, 使得 1 = . 而这个矩阵 在讨论微分方程的求解问题时十分重要,以下我们来看看如何求这个可逆矩阵 . 的某个 Jordan 块 , 其阶数为 , 主对角线上的元素为 , 它们在 中的行数和列数分别为：1+ 2+ + 1+ 1, 1+ 2+ + 1+ 2, ,1+ 2+ + 1+ .记 的列向量为 1,2, , 则 =(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,),因为 1 = , 所以 = , 即：(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,)=(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,),刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日76 / 98以上介绍了当矩阵 给定后, 如何求其 Jordan 标准形的方法. 在定理 4.1中如果 阶矩阵 与一个 Jordan 标准形 相似, 则必然存在着一个可逆矩阵, 使得 1 = . 而这个矩阵 在讨论微分方程的求解问题时十分重要,以下我们来看看如何求这个可逆矩阵 . 的某个 Jordan 块 , 其阶数为 , 主对角线上的元素为 , 它们在 中的行数和列数分别为：1+ 2+ + 1+ 1, 1+ 2+ + 1+ 2, ,1+ 2+ + 1+ .记 的列向量为 1,2, , 则 =(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,),因为 1 = , 所以 = , 即：(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,)=(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,),刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日76 / 98为方便起见, 将 1+2+1+1, 1+2+1+2, ,1+ 2+ + 1+ 中的编号记为 1,2, ,.那么, 1= 1, 2= 1+ 2, , = 1+ , 即( )1= 0, ( )2= 1, , ( )= 1记 = , 并设 () 为由 的列向量所张成的线性空间, 因为1 () 是 2= 1有解的充要条件, 而 1 () 的充要条件是 1与 ()中的一切向量正交, 也就是与 ()的一个基正交.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日77 / 98为方便起见, 将 1+2+1+1, 1+2+1+2, ,1+ 2+ + 1+ 中的编号记为 1,2, ,.那么, 1= 1, 2= 1+ 2, , = 1+ , 即( )1= 0, ( )2= 1, , ( )= 1记 = , 并设 () 为由 的列向量所张成的线性空间, 因为1 () 是 2= 1有解的充要条件, 而 1 () 的充要条件是 1与 ()中的一切向量正交, 也就是与 ()的一个基正交.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日77 / 98为方便起见, 将 1+2+1+1, 1+2+1+2, ,1+ 2+ + 1+ 中的编号记为 1,2, ,.那么, 1= 1, 2= 1+ 2, , = 1+ , 即( )1= 0, ( )2= 1, , ( )= 1记 = , 并设 () 为由 的列向量所张成的线性空间, 因为1 () 是 2= 1有解的充要条件, 而 1 () 的充要条件是 1与 ()中的一切向量正交, 也就是与 ()的一个基正交.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日77 / 98同时, ()的一个基即为方程 = 0 的一个基础解系, 为使2= 1对 2有解, 求 1如下：1）求方程 = 0 的一个基础解系 1,2, , 并以 1,2, ,作为行向量构成矩阵 ；2）以方程组 = 0 的一个非零解作为 1；3）同理得到 ( = 1,2, ,1), 作为 =10的一个非零解；4）为 = 1的非零解；由此解出 =(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日78 / 98同时, ()的一个基即为方程 = 0 的一个基础解系, 为使2= 1对 2有解, 求 1如下：1）求方程 = 0 的一个基础解系 1,2, , 并以 1,2, ,作为行向量构成矩阵 ；2）以方程组 = 0 的一个非零解作为 1；3）同理得到 ( = 1,2, ,1), 作为 =10的一个非零解；4）为 = 1的非零解；由此解出 =(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日78 / 98同时, ()的一个基即为方程 = 0 的一个基础解系, 为使2= 1对 2有解, 求 1如下：1）求方程 = 0 的一个基础解系 1,2, , 并以 1,2, ,作为行向量构成矩阵 ；2）以方程组 = 0 的一个非零解作为 1；3）同理得到 ( = 1,2, ,1), 作为 =10的一个非零解；4）为 = 1的非零解；由此解出 =(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日78 / 98同时, ()的一个基即为方程 = 0 的一个基础解系, 为使2= 1对 2有解, 求 1如下：1）求方程 = 0 的一个基础解系 1,2, , 并以 1,2, ,作为行向量构成矩阵 ；2）以方程组 = 0 的一个非零解作为 1；3）同理得到 ( = 1,2, ,1), 作为 =10的一个非零解；4）为 = 1的非零解；由此解出 =(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日78 / 98同时, ()的一个基即为方程 = 0 的一个基础解系, 为使2= 1对 2有解, 求 1如下：1）求方程 = 0 的一个基础解系 1,2, , 并以 1,2, ,作为行向量构成矩阵 ；2）以方程组 = 0 的一个非零解作为 1；3）同理得到 ( = 1,2, ,1), 作为 =10的一个非零解；4）为 = 1的非零解；由此解出 =(1, ,1+2+1+1, ,1+2+1+, ,).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日78 / 98例 4.7在复数域上求矩阵 =4 2 104 3 73 1 7的 Jordan 标准形 , 并求出可逆矩阵 ,使得 1 = .解解解 由初等变换可得 =4 2 104 3 73 1 71 000 100 0 ( 2)3,所以, 与 Jordan 标准形 =2 1 00 2 10 0 2相似. 令 = 2 =6 2 104 1 73 1 5,刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日79 / 98例 4.7在复数域上求矩阵 =4 2 104 3 73 1 7的 Jordan 标准形 , 并求出可逆矩阵 ,使得 1 = .解解解 由初等变换可得 =4 2 104 3 73 1 71 000 100 0 ( 2)3,所以, 与 Jordan 标准形 =2 1 00 2 10 0 2相似. 令 = 2 =6 2 104 1 73 1 5,刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日79 / 98例 4.7在复数域上求矩阵 =4 2 104 3 73 1 7的 Jordan 标准形 , 并求出可逆矩阵 ,使得 1 = .解解解 由初等变换可得 =4 2 104 3 73 1 71 000 100 0 ( 2)3,所以, 与 Jordan 标准形 =2 1 00 2 10 0 2相似. 令 = 2 =6 2 104 1 73 1 5,刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日79 / 981) 求解方程组 = 0, 得到 = 102, 取 = (0,1,2)；2）由 = 0, 得到 = 211, 取 1=211；3）由 =10, 得到 = 010, 取 2=010；4）由 = 2, 得到 = 130, 取 3=130；所以, = (1,2,3) =2 0 11 1 31 0 0. 检验有 = =4 2 22 3 52 1 0, 即1 = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日80 / 981) 求解方程组 = 0, 得到 = 102, 取 = (0,1,2)；2）由 = 0, 得到 = 211, 取 1=211；3）由 =10, 得到 = 010, 取 2=010；4）由 = 2, 得到 = 130, 取 3=130；所以, = (1,2,3) =2 0 11 1 31 0 0. 检验有 = =4 2 22 3 52 1 0, 即1 = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日80 / 981) 求解方程组 = 0, 得到 = 102, 取 = (0,1,2)；2）由 = 0, 得到 = 211, 取 1=211；3）由 =10, 得到 = 010, 取 2=010；4）由 = 2, 得到 = 130, 取 3=130；所以, = (1,2,3) =2 0 11 1 31 0 0. 检验有 = =4 2 22 3 52 1 0, 即1 = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日80 / 981) 求解方程组 = 0, 得到 = 102, 取 = (0,1,2)；2）由 = 0, 得到 = 211, 取 1=211；3）由 =10, 得到 = 010, 取 2=010；4）由 = 2, 得到 = 130, 取 3=130；所以, = (1,2,3) =2 0 11 1 31 0 0. 检验有 = =4 2 22 3 52 1 0, 即1 = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日80 / 981) 求解方程组 = 0, 得到 = 102, 取 = (0,1,2)；2）由 = 0, 得到 = 211, 取 1=211；3）由 =10, 得到 = 010, 取 2=010；4）由 = 2, 得到 = 130, 取 3=130；所以, = (1,2,3) =2 0 11 1 31 0 0. 检验有 = =4 2 22 3 52 1 0, 即1 = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日80 / 98前面, 我们已经介绍, 如果 阶矩阵 与一个 Jordan 标准形 相似, 则必然存在着一个可逆矩阵 , 使得 1 = . 如果将 按列分块成 = (1,2,.,), 则有(1,2,.,) = (1,2,.,).由此可得如下形式的齐次或非齐次线性方程组:= 1+ , = 1,2,.,. 由这些方程组可求得 = (1,2,.,) .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日81 / 98前面, 我们已经介绍, 如果 阶矩阵 与一个 Jordan 标准形 相似, 则必然存在着一个可逆矩阵 , 使得 1 = . 如果将 按列分块成 = (1,2,.,), 则有(1,2,.,) = (1,2,.,).由此可得如下形式的齐次或非齐次线性方程组:= 1+ , = 1,2,.,. 由这些方程组可求得 = (1,2,.,) .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日81 / 98例 4.8在复数域上求矩阵 =4 2 104 3 73 1 7的 Jordan 标准形 , 并求出可逆矩阵 ,使得 1 = .解解解 由前例有, 与 Jordan 标准形 =2 1 00 2 10 0 2相似.令 = (1,2,3), 则有 1= 21,2= 1+ 22,3= 2+ 23.即：6 2 104 1 73 1 51=000,6 2 104 1 73 1 52= 1,6 2 104 1 73 1 53= 2解得：1= (2,1,1),2= (0,1,0),3= (1,2,1). 故 =2 0 11 1 21 0 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日82 / 98例 4.8在复数域上求矩阵 =4 2 104 3 73 1 7的 Jordan 标准形 , 并求出可逆矩阵 ,使得 1 = .解解解 由前例有, 与 Jordan 标准形 =2 1 00 2 10 0 2相似.令 = (1,2,3), 则有 1= 21,2= 1+ 22,3= 2+ 23.即：6 2 104 1 73 1 51=000,6 2 104 1 73 1 52= 1,6 2 104 1 73 1 53= 2解得：1= (2,1,1),2= (0,1,0),3= (1,2,1). 故 =2 0 11 1 21 0 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日82 / 98例 4.8在复数域上求矩阵 =4 2 104 3 73 1 7的 Jordan 标准形 , 并求出可逆矩阵 ,使得 1 = .解解解 由前例有, 与 Jordan 标准形 =2 1 00 2 10 0 2相似.令 = (1,2,3), 则有 1= 21,2= 1+ 22,3= 2+ 23.即：6 2 104 1 73 1 51=000,6 2 104 1 73 1 52= 1,6 2 104 1 73 1 53= 2解得：1= (2,1,1),2= (0,1,0),3= (1,2,1). 故 =2 0 11 1 21 0 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日82 / 98例 4.8在复数域上求矩阵 =4 2 104 3 73 1 7的 Jordan 标准形 , 并求出可逆矩阵 ,使得 1 = .解解解 由前例有, 与 Jordan 标准形 =2 1 00 2 10 0 2相似.令 = (1,2,3), 则有 1= 21,2= 1+ 22,3= 2+ 23.即：6 2 104 1 73 1 51=000,6 2 104 1 73 1 52= 1,6 2 104 1 73 1 53= 2解得：1= (2,1,1),2= (0,1,0),3= (1,2,1). 故 =2 0 11 1 21 0 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日82 / 981特征值与特征向量2矩阵3不变因子与初等因子4Jordan 标准形5Cayley-Hamilton 定理最小多项式刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日83 / 98根据多项式的形式表示法, 可以给出 矩阵的一个记法.例如：矩阵 () =4+ 2 + 13+ 1 2+ + 2, 可以记为() =4+ 03+ 02+ + 0 04+ 03+ 2 + 104+ 3+ 02+ 0 + 1 04+ 03+ 2+ + 2=1 00 04+0 01 03+0 10 12+1 10 1 +0 11 2一般的, 一个次数不大于 的 阶 矩阵 () 可以记为： () = 0+ 11+ + 1 + , 此式叫做 阶 矩阵 () 的多项式记法, 其中 ( = 0,1, ,) 为 阶常数矩阵.形如 () = 0+ 11+ + 1 + 的式子叫做矩阵 的多项式, 其中 , 是常数, +. 当然它也是一个 阶矩阵.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日83 / 98根据多项式的形式表示法, 可以给出 矩阵的一个记法.例如：矩阵 () =4+ 2 + 13+ 1 2+ + 2, 可以记为() =4+ 03+ 02+ + 0 04+ 03+ 2 + 104+ 3+ 02+ 0 + 1 04+ 03+ 2+ + 2=1 00 04+0 01 03+0 10 12+1 10 1 +0 11 2一般的, 一个次数不大于 的 阶 矩阵 () 可以记为： () = 0+ 11+ + 1 + , 此式叫做 阶 矩阵 () 的多项式记法, 其中 ( = 0,1, ,) 为 阶常数矩阵.形如 () = 0+ 11+ + 1 + 的式子叫做矩阵 的多项式, 其中 , 是常数, +. 当然它也是一个 阶矩阵.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日83 / 98根据多项式的形式表示法, 可以给出 矩阵的一个记法.例如：矩阵 () =4+ 2 + 13+ 1 2+ + 2, 可以记为() =4+ 03+ 02+ + 0 04+ 03+ 2 + 104+ 3+ 02+ 0 + 1 04+ 03+ 2+ + 2=1 00 04+0 01 03+0 10 12+1 10 1 +0 11 2一般的, 一个次数不大于 的 阶 矩阵 () 可以记为： () = 0+ 11+ + 1 + , 此式叫做 阶 矩阵 () 的多项式记法, 其中 ( = 0,1, ,) 为 阶常数矩阵.形如 () = 0+ 11+ + 1 + 的式子叫做矩阵 的多项式, 其中 , 是常数, +. 当然它也是一个 阶矩阵.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日83 / 98定理 5.1 (Cayley-Hamilton 定理)设 () = det( ) 为矩阵 的特征多项式, 则 () = 0.证: 设 为 的伴随矩阵, 则矩阵 中的元素均为 中各元素的代数余子式, 即 的次数不超过 1 的多项式, 为 1 阶的 矩阵.记 = 01+ 12+ + 2 + 1, 由伴随矩阵的性质有 ( ) = | | = (), 即(01+ 12+ + 2 + 1)( ) =(+ 11+ + 1 + ),比较等式两边的系数有：1 = 2 + 1= 1,0 + 1= 10= 依次以 ,2, ,右乘以上各式, 两边相加得：0 = + 1 + + 11+ , 即 () = 0.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日84 / 98定理 5.1 (Cayley-Hamilton 定理)设 () = det( ) 为矩阵 的特征多项式, 则 () = 0.证: 设 为 的伴随矩阵, 则矩阵 中的元素均为 中各元素的代数余子式, 即 的次数不超过 1 的多项式, 为 1 阶的 矩阵.记 = 01+ 12+ + 2 + 1, 由伴随矩阵的性质有 ( ) = | | = (), 即(01+ 12+ + 2 + 1)( ) =(+ 11+ + 1 + ),比较等式两边的系数有：1 = 2 + 1= 1,0 + 1= 10= 依次以 ,2, ,右乘以上各式, 两边相加得：0 = + 1 + + 11+ , 即 () = 0.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日84 / 98定理 5.1 (Cayley-Hamilton 定理)设 () = det( ) 为矩阵 的特征多项式, 则 () = 0.证: 设 为 的伴随矩阵, 则矩阵 中的元素均为 中各元素的代数余子式, 即 的次数不超过 1 的多项式, 为 1 阶的 矩阵.记 = 01+ 12+ + 2 + 1, 由伴随矩阵的性质有 ( ) = | | = (), 即(01+ 12+ + 2 + 1)( ) =(+ 11+ + 1 + ),比较等式两边的系数有：1 = 2 + 1= 1,0 + 1= 10= 依次以 ,2, ,右乘以上各式, 两边相加得：0 = + 1 + + 11+ , 即 () = 0.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日84 / 98定理 5.1 (Cayley-Hamilton 定理)设 () = det( ) 为矩阵 的特征多项式, 则 () = 0.证: 设 为 的伴随矩阵, 则矩阵 中的元素均为 中各元素的代数余子式, 即 的次数不超过 1 的多项式, 为 1 阶的 矩阵.记 = 01+ 12+ + 2 + 1, 由伴随矩阵的性质有 ( ) = | | = (), 即(01+ 12+ + 2 + 1)( ) =(+ 11+ + 1 + ),比较等式两边的系数有：1 = 2 + 1= 1,0 + 1= 10= 依次以 ,2, ,右乘以上各式, 两边相加得：0 = + 1 + + 11+ , 即 () = 0.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日84 / 98例 5.1设矩阵 =1 1 04 3 01 0 2, 试计算 () = 7 5 194+ 283+ 6 4.解解解 因为 的特征多项式 det( ) = () = 3 42+ 5 2,而 () = 7 5 194+ 283+ 6 4, 以 () 除 () 所得余式为：32+ 22 8,因此, () = () () + (32+ 22 8),所以, () = 32+ 22 8 =31 1 04 3 01 0 22+ 221 1 04 3 01 0 2+8 000 8 000 8=19 16 064 43 019 3 24.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日85 / 98例 5.1设矩阵 =1 1 04 3 01 0 2, 试计算 () = 7 5 194+ 283+ 6 4.解解解 因为 的特征多项式 det( ) = () = 3 42+ 5 2,而 () = 7 5 194+ 283+ 6 4, 以 () 除 () 所得余式为：32+ 22 8,因此, () = () () + (32+ 22 8),所以, () = 32+ 22 8 =31 1 04 3 01 0 22+ 221 1 04 3 01 0 2+8 000 8 000 8=19 16 064 43 019 3 24.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日85 / 98例 5.1设矩阵 =1 1 04 3 01 0 2, 试计算 () = 7 5 194+ 283+ 6 4.解解解 因为 的特征多项式 det( ) = () = 3 42+ 5 2,而 () = 7 5 194+ 283+ 6 4, 以 () 除 () 所得余式为：32+ 22 8,因此, () = () () + (32+ 22 8),所以, () = 32+ 22 8 =31 1 04 3 01 0 22+ 221 1 04 3 01 0 2+8 000 8 000 8=19 16 064 43 019 3 24.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日85 / 98例 5.1设矩阵 =1 1 04 3 01 0 2, 试计算 () = 7 5 194+ 283+ 6 4.解解解 因为 的特征多项式 det( ) = () = 3 42+ 5 2,而 () = 7 5 194+ 283+ 6 4, 以 () 除 () 所得余式为：32+ 22 8,因此, () = () () + (32+ 22 8),所以, () = 32+ 22 8 =31 1 04 3 01 0 22+ 221 1 04 3 01 0 2+8 000 8 000 8=19 16 064 43 019 3 24.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日85 / 98例 5.1设矩阵 =1 1 04 3 01 0 2, 试计算 () = 7 5 194+ 283+ 6 4.解解解 因为 的特征多项式 det( ) = () = 3 42+ 5 2,而 () = 7 5 194+ 283+ 6 4, 以 () 除 () 所得余式为：32+ 22 8,因此, () = () () + (32+ 22 8),所以, () = 32+ 22 8 =31 1 04 3 01 0 22+ 221 1 04 3 01 0 2+8 000 8 000 8=19 16 064 43 019 3 24.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日85 / 98例 5.2已知 =1 0 10 20 0 2, 其中 =1+32, 试计算 4.解解解 因为 det( ) = () = ( 1)( )( 2)= 3 1, 所以, () = 3 = 0, 即 3= , 所以 4= 3 = = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日86 / 98例 5.2已知 =1 0 10 20 0 2, 其中 =1+32, 试计算 4.解解解 因为 det( ) = () = ( 1)( )( 2)= 3 1, 所以, () = 3 = 0, 即 3= , 所以 4= 3 = = .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日86 / 98Cayley-Hamilton 定理说明, 对于任意一个 阶矩阵 , 一定存在着多项式(), 使得 () = 0.定义 5.1凡是能使 () = 0 的多项式 () 叫做矩阵 的化零多项式.注 5.1显然, 矩阵 的特征多项式 () = det( ) 是 的一个化零多项式.注 5.2如果 () = 0, 则对任意的多项式 () 而言, 均有 () = ()() = 0. 因此, 化零多项式不唯一. 同时, 的特征多项式也不一定是 的次数最低的化零多项式.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日87 / 98Cayley-Hamilton 定理说明, 对于任意一个 阶矩阵 , 一定存在着多项式(), 使得 () = 0.定义 5.1凡是能使 () = 0 的多项式 () 叫做矩阵 的化零多项式.注 5.1显然, 矩阵 的特征多项式 () = det( ) 是 的一个化零多项式.注 5.2如果 () = 0, 则对任意的多项式 () 而言, 均有 () = ()() = 0. 因此, 化零多项式不唯一. 同时, 的特征多项式也不一定是 的次数最低的化零多项式.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日87 / 98Cayley-Hamilton 定理说明, 对于任意一个 阶矩阵 , 一定存在着多项式(), 使得 () = 0.定义 5.1凡是能使 () = 0 的多项式 () 叫做矩阵 的化零多项式.注 5.1显然, 矩阵 的特征多项式 () = det( ) 是 的一个化零多项式.注 5.2如果 () = 0, 则对任意的多项式 () 而言, 均有 () = ()() = 0. 因此, 化零多项式不唯一. 同时, 的特征多项式也不一定是 的次数最低的化零多项式.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日87 / 98例： =5 000 3 20 2 3, () = det( ) = ( 1)( 5)2, 即 () = 0, () 是 的一个化零多项式；但是, 若 () = ( 1)( 5), 则 () = 0, 因此, () 也是 的一个化零多项式.定义 5.2矩阵 的所有化零多项式中, 次数最低且首项系数是 1 的化零多项式, 叫做 的最小多项式, 记作 ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日88 / 98例： =5 000 3 20 2 3, () = det( ) = ( 1)( 5)2, 即 () = 0, () 是 的一个化零多项式；但是, 若 () = ( 1)( 5), 则 () = 0, 因此, () 也是 的一个化零多项式.定义 5.2矩阵 的所有化零多项式中, 次数最低且首项系数是 1 的化零多项式, 叫做 的最小多项式, 记作 ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日88 / 98例： =5 000 3 20 2 3, () = det( ) = ( 1)( 5)2, 即 () = 0, () 是 的一个化零多项式；但是, 若 () = ( 1)( 5), 则 () = 0, 因此, () 也是 的一个化零多项式.定义 5.2矩阵 的所有化零多项式中, 次数最低且首项系数是 1 的化零多项式, 叫做 的最小多项式, 记作 ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日88 / 98定理 5.2多项式 () 是矩阵 的化零多项式的充分且必要条件是 () 整除 ().证: 设 () 是矩阵 的化零多项式, 所以, () 的次数必定大于或等于() 的次数,用 () 除 (), 有 () = () () + (), 其中余式 () 或者恒等于零, 或者其次数小于 () 的次数；因此, () = () () + ().又因为 () = 0, () = 0, 所以 () = 0. 即 () 0, 也就是 ()整除 ().反之, 如果 () 整除 (), 则 () = () (), 即() = () () = 0,所以, () 是矩阵 的化零多项式.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日89 / 98定理 5.2多项式 () 是矩阵 的化零多项式的充分且必要条件是 () 整除 ().证: 设 () 是矩阵 的化零多项式, 所以, () 的次数必定大于或等于() 的次数,用 () 除 (), 有 () = () () + (), 其中余式 () 或者恒等于零, 或者其次数小于 () 的次数；因此, () = () () + ().又因为 () = 0, () = 0, 所以 () = 0. 即 () 0, 也就是 ()整除 ().反之, 如果 () 整除 (), 则 () = () (), 即() = () () = 0,所以, () 是矩阵 的化零多项式.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日89 / 98定理 5.2多项式 () 是矩阵 的化零多项式的充分且必要条件是 () 整除 ().证: 设 () 是矩阵 的化零多项式, 所以, () 的次数必定大于或等于() 的次数,用 () 除 (), 有 () = () () + (), 其中余式 () 或者恒等于零, 或者其次数小于 () 的次数；因此, () = () () + ().又因为 () = 0, () = 0, 所以 () = 0. 即 () 0, 也就是 ()整除 ().反之, 如果 () 整除 (), 则 () = () (), 即() = () () = 0,所以, () 是矩阵 的化零多项式.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日89 / 98定理 5.2多项式 () 是矩阵 的化零多项式的充分且必要条件是 () 整除 ().证: 设 () 是矩阵 的化零多项式, 所以, () 的次数必定大于或等于() 的次数,用 () 除 (), 有 () = () () + (), 其中余式 () 或者恒等于零, 或者其次数小于 () 的次数；因此, () = () () + ().又因为 () = 0, () = 0, 所以 () = 0. 即 () 0, 也就是 ()整除 ().反之, 如果 () 整除 (), 则 () = () (), 即() = () () = 0,所以, () 是矩阵 的化零多项式.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日89 / 98定理 5.2多项式 () 是矩阵 的化零多项式的充分且必要条件是 () 整除 ().证: 设 () 是矩阵 的化零多项式, 所以, () 的次数必定大于或等于() 的次数,用 () 除 (), 有 () = () () + (), 其中余式 () 或者恒等于零, 或者其次数小于 () 的次数；因此, () = () () + ().又因为 () = 0, () = 0, 所以 () = 0. 即 () 0, 也就是 ()整除 ().反之, 如果 () 整除 (), 则 () = () (), 即() = () () = 0,所以, () 是矩阵 的化零多项式.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日89 / 98定理 5.2多项式 () 是矩阵 的化零多项式的充分且必要条件是 () 整除 ().证: 设 () 是矩阵 的化零多项式, 所以, () 的次数必定大于或等于() 的次数,用 () 除 (), 有 () = () () + (), 其中余式 () 或者恒等于零, 或者其次数小于 () 的次数；因此, () = () () + ().又因为 () = 0, () = 0, 所以 () = 0. 即 () 0, 也就是 ()整除 ().反之, 如果 () 整除 (), 则 () = () (), 即() = () () = 0,所以, () 是矩阵 的化零多项式.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日89 / 98定理 5.3相似矩阵有相同的最小多项式, 反之不然.证: 设矩阵 相似于矩阵 , 则存在可逆矩阵 , 使得 = 1,如果 () = 0, 那么 () = (1) = 1 () = 0.反之, 不妨设 =233, =223, 则 与 不相似,但是 det( ) = ( 2)( 3)2, det( ) = ( 3)( 2)2,所以 与 有相同的最小多项式 () = () = ( 2)( 3).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日90 / 98定理 5.3相似矩阵有相同的最小多项式, 反之不然.证: 设矩阵 相似于矩阵 , 则存在可逆矩阵 , 使得 = 1,如果 () = 0, 那么 () = (1) = 1 () = 0.反之, 不妨设 =233, =223, 则 与 不相似,但是 det( ) = ( 2)( 3)2, det( ) = ( 3)( 2)2,所以 与 有相同的最小多项式 () = () = ( 2)( 3).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日90 / 98定理 5.3相似矩阵有相同的最小多项式, 反之不然.证: 设矩阵 相似于矩阵 , 则存在可逆矩阵 , 使得 = 1,如果 () = 0, 那么 () = (1) = 1 () = 0.反之, 不妨设 =233, =223, 则 与 不相似,但是 det( ) = ( 2)( 3)2, det( ) = ( 3)( 2)2,所以 与 有相同的最小多项式 () = ()
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