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矩阵论
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《矩阵论》研究生PPT课件,矩阵论,矩阵,研究生,PPT,课件
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矩 阵 理 论 (供 09-10 第一学期之用)刘 西 奎Email: liuxikui山东科技大学 信息科学与工程学院2012 年 4 月 18 日刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日1 / 421矩阵序列的极限方阵幂收敛2矩阵级数3矩阵的 Kronecker 积4矩阵的微分和积分刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日2 / 42说明先前，为了上课方便，本人制作了讲义，并经由同学复印。然而导致了大量的盗版，直接影响了将来本讲义的出版。不得不考虑到版权的问题, 因为制作这样一份文档实在是花费了大量的时间精力。制作本课件纯粹为了上课方便，请不要随意传播和上传互联网！本幻灯片使用 beamer 宏包作出. 关于 beamer 的讨论 (安装、更新) 可参考: /forums/index.php?showtopic=27695本文的图形主要是用 pgf 宏包作出的, 另有个别的 MetaPost 图形.本幻灯片的源文件仅供学习 beamer, pgf 参考之用. 使用请注明出处.Copyrightc 2009. 保留所有权利.LIU XI-KUI刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日2 / 42说明先前，为了上课方便，本人制作了讲义，并经由同学复印。然而导致了大量的盗版，直接影响了将来本讲义的出版。不得不考虑到版权的问题, 因为制作这样一份文档实在是花费了大量的时间精力。制作本课件纯粹为了上课方便，请不要随意传播和上传互联网！本幻灯片使用 beamer 宏包作出. 关于 beamer 的讨论 (安装、更新) 可参考: /forums/index.php?showtopic=27695本文的图形主要是用 pgf 宏包作出的, 另有个别的 MetaPost 图形.本幻灯片的源文件仅供学习 beamer, pgf 参考之用. 使用请注明出处.Copyrightc 2009. 保留所有权利.LIU XI-KUI刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日2 / 42在线性代数中, 主要讨论了矩阵的代数运算, 没有涉及本章将要介绍的矩阵分析理论.矩阵分析理论的建立, 同数学分析一样, 也是以极限理论为基础. 它也是研究数值方法和其它数学分支以及许多工程问题的重要工具. 本章首先讨论矩阵序列的极限运算, 然后介绍矩阵级数的收敛定理、函数矩阵的微分和积分. 此外, 我们还将介绍矩阵的 Kronecker 积和拉直.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日3 / 421矩阵序列的极限方阵幂收敛2矩阵级数3矩阵的 Kronecker 积4矩阵的微分和积分刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日4 / 42定义 1.1设有矩阵序列 (), 其中 ()= () .若对所有 =1,2, ,; = 1,2, ,lim()存在, 且 lim()= , 则称 ()的极限存在, 并称矩阵 = ()为为为() 的极极极限限限, 或称 ()收收收敛敛敛于于于A, 记为lim()= , 或 () ( ). 不收敛的矩阵序列称为发散.定义 1.2设有矩阵序列 (), 其中 ()= () . 若存在 0, 使得对一切, 都有|()| 0, 使得对一切 , 对所有 = 1,2, ,; = 1,2, , 都有|() | 1.因此 |()| 0, 使得对一切 , 都有|()| 0, 当 时, 有min(), = 1,2, , 12min|, = 1,2, ,.因此, 存在 0, 使得对一切 有 |()1|2 .故|()1 |2=()1 ()1()2()12() 2 () 2所以lim|()1 |2= 0, 即 lim()1 = .由于 1唯一存在, 因此 lim()1= 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日9 / 42注 1.1定理 1.5 中条件是 (), 都是可逆矩阵, 因为即使所有 ()都是可逆矩阵也不能保证 是可逆矩阵.反反反例例例: ()=111 1 1, 则 ()都有逆矩阵()1=1 , 但是 lim()=111 1= , 然而 不是可逆矩阵.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日10 / 42在矩阵序列中, 较常见的是由一个方阵 的幂构成的矩阵序列1,2, , 记为 .定义 1.3设 . 对 , 若 lim= 0, 则称 是幂收敛的.定理 1.6 , 且 是幂收敛. 则幂收敛具有相似不变性.证: 设矩阵 = 1, 因为 是幂收敛, 则 lim= 0, 对于方阵的幂矩阵序列 1,2, , 有lim= lim(1)= lim(1) = 1( lim) = 10 = 0刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日11 / 42定义 1.4 , 的特征值的绝对值得最大者称为 的谱半径, 记为 ().定理 1.7设 . lim= 0 的充分必要条件是 () 1.证证证明明明:设 的 Jordan 标准型为 , 则存在可逆矩阵 , 使得 = 1, 于是= 1.注意到:= (1,2, ,)=11 1+111刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日12 / 42=112221+1011 31200 423100011000其中 是 的以 为特征值的 Jordan 块.因此lim= 0lim= 0lim= 0 对 = 1,2, , 都成立.| 1 对 = 1,2, , 都成立() 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日13 / 42定理 1.8设 . 若对某一范数 , 1, 则 lim= 0.证: 取任意范数, 对 , , 有 , 因此=11 若 1, 则 0= 0( 0)由定理 1.3 得 lim= 0.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日14 / 42下面的定理反映了矩阵特征值与矩阵范数的一个基本关系:定理 1.9 , 为 的任一特征值, 是 的任意一种范数. 则有 | .证: 做矩阵 =1+, 其中 是任意给定的正数.由矩阵范数定义得 =1 + 1由定理 1.8 得 lim = 0, 再由定理 1.7 得 () 1. 为 的任一特征值, 由 =1+ 得 的特征值为1+, 故1+| 1, 即 | + , 得证注 1.2讨论矩阵 的幂收敛时, 一般先考虑某一矩阵范数是否满足 1, 若不满足, 则考虑是否满足 () 1.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日15 / 42例 1.1讨论 =0.25 0.4 0.40.35 0.2 0.30.15 0.10是否幂收敛.解解解 由于 1= max(3=1|)( = 1,2,3) = 0.75 1, 因此lim= 0.例 1.2讨论矩阵 =0 0 0何时幂收敛.解解解 利用谱半径讨论. 求得 的特征值为 1= 2,2= 3= , 于是() = max|( = 1,2,3) = 2|则 | 12, 即 () 0, 使得对一切 , 都有=1|()| , = 1,2,; = 1,2,.故=0|()|=1(=1=1|()|2)12 .因此=0|()|收敛. 利用范数的等价性知,=0|()| 收敛.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日19 / 42(充分性) 对于任意一种矩阵范数 ,=0|()| 收敛. 特别地,=0|()|1. 因此=0|()| =0|()|1, 对所有 = 1,2,; = 1,2, 成立.故矩阵级数=0()绝对收敛.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日20 / 42定理 2.3若矩阵级数=0()收敛 (或绝对收敛), 其和为 , 则=0() 收敛 (或绝对收敛), 其和为 .证: 若矩阵级数=0()收敛 (或绝对收敛), 其和为 , 则有lim|=0() | = 0.因此 lim|=0() | | lim|=0() | = 0.故=0() 收敛, 其和为 .同理可证, 若矩阵级数=0()绝对收敛, 则=0() 绝对收敛.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日21 / 421矩阵序列的极限2矩阵级数3矩阵的 Kronecker 积4矩阵的微分和积分刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日22 / 42矩阵的 Kronecker 积 (直积) 是一种重要的矩阵乘积, 它不仅在矩阵理论的研究中有着广泛的应用, 而且在诸如信号处理与系统理论中的随机静态分析与随机向量过程分析等工程领域中也是一种基本的数学工具. 本节中, 我们将介绍 Kronecker 积的基本性质, 并应用它求解线性矩阵方程和矩阵微分方程.我们知道, 在线性代数中曾定义了两个矩阵 和 的乘积 , 它要求 的列数等于 的行数, 否则 没有意义. 下面我们引入一种新的矩阵乘积运算, 它对矩阵 和 没有要求.定义 3.1设 = () , = () 则称分块矩阵11 12 121 22 2 1 2 为矩阵 与 的Kronecker 积积积 (直直直积积积) , 记为 .刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日22 / 42例 3.1设 =(1 23 4), =(1 2 34 5 6), 则有 =1232464568 10 1236948 1212 15 18 16 20 24刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日23 / 42定理 3.1只要运算可行, 则有(1) ( ) = () = ();(2) (1+ 2) = 1 + 2 ;(3) (1+ 2) = 1+ 2;(4) (1 2) 3= 1 (2 3);(5) (1 1)(2 2) = (12) (12);(6) ( )1= 1 1;(7) ( )= .(8) 两个酉 (正交) 矩阵的 Kronecker 积仍是酉 (正交) 矩阵.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日24 / 42证:我们仅证明 (5), 其余的结论, 请读者自行证明.设 1= (),2= (), 1,2可乘, 则(1 1)(2 2) =111121 11211221 21 1121 1112122 12212222 22 1222 2=11112=11212 =1112=12112=12212 =1212 =1112=1212 =112=(12) (12)刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日25 / 42定理 3.2设 , , 则 ( ) = () ()证: 设 () = , 则存在非奇异阵 , 使得 = (00 0). 因此 = (00 0) () = ( )( 000)( ).由定理 3.1(6) 知, , 非奇异, 注意到 = (, ,), 因此( ) = ( 000) = () = () ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日26 / 42定理 3.3设 , , 则(1) | | = |;(2) ( ) = () ().证: 设 1,2,是 的特征值, 是 的约当标准型. 则存在非奇异阵, 使得 = 1. = 1 () = ( )( )(1 ).因此| | = | |, ( ) = ( ).注意到 是分块下三角阵, 其对角线上的矩阵是 1,2, ,因此(1) | | = |1|2| | = (12 )|= |. 故| | = |.(2) ( ) = 1() + 2() + + () = () (). 故( ) = () ().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日27 / 42定义 3.2设 , , 称 + 为矩阵 与 的Kronecker和和和.定理 3.4设 , . 记 ?() = |是 的特征值. 则有(1) ?( ) = | ?(), ?().(2) ?( + ) = + | ?(), ?()刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日28 / 42证: (1) 设 1,2,是 的特征值, 是 的约当标准型,1,2,是 的特征值, 是 的约当标准型. 则存在非奇异阵 , , 使得 = 1, = 1.因此 = 1 (1) =( )( )(1 1) = ( )( )( )1.因此?( ) = ?( ) = | = 1,2,; = 1,2,.(2) 设 是 的约当标准型, 1,2,是 的特征值,1,2,是 的特征值, 是 的约当标准型. 则存在非奇异阵 , , 使得 = 1,= 1. 因此+= (1)(1)+(1)(1)= ( )( + )(1 1)= ( )( + )( )1.因此 + 与 + 有相同的特征值.注意到 与 有相同的特征值, + 是对角线的下方全为零的矩阵, 对角线上的元素为 + , = 1,2,; = 1,2,.由此有: ?( + ) = + | ?(), ?().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日29 / 42证: (1) 设 1,2,是 的特征值, 是 的约当标准型,1,2,是 的特征值, 是 的约当标准型. 则存在非奇异阵 , , 使得 = 1, = 1.因此 = 1 (1) =( )( )(1 1) = ( )( )( )1.因此?( ) = ?( ) = | = 1,2,; = 1,2,.(2) 设 是 的约当标准型, 1,2,是 的特征值,1,2,是 的特征值, 是 的约当标准型. 则存在非奇异阵 , , 使得 = 1,= 1. 因此+= (1)(1)+(1)(1)= ( )( + )(1 1)= ( )( + )( )1.因此 + 与 + 有相同的特征值.注意到 与 有相同的特征值, + 是对角线的下方全为零的矩阵, 对角线上的元素为 + , = 1,2,; = 1,2,.由此有: ?( + ) = + | ?(), ?().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日29 / 42证: (1) 设 1,2,是 的特征值, 是 的约当标准型,1,2,是 的特征值, 是 的约当标准型. 则存在非奇异阵 , , 使得 = 1, = 1.因此 = 1 (1) =( )( )(1 1) = ( )( )( )1.因此?( ) = ?( ) = | = 1,2,; = 1,2,.(2) 设 是 的约当标准型, 1,2,是 的特征值,1,2,是 的特征值, 是 的约当标准型. 则存在非奇异阵 , , 使得 = 1,= 1. 因此+= (1)(1)+(1)(1)= ( )( + )(1 1)= ( )( + )( )1.因此 + 与 + 有相同的特征值.注意到 与 有相同的特征值, + 是对角线的下方全为零的矩阵, 对角线上的元素为 + , = 1,2,; = 1,2,.由此有: ?( + ) = + | ?(), ?().刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日29 / 42推论 3.1设 是 对应于特征值 特征向量, 是 对应于特征值 特征向量, 则 是 对应于特征值 特征向量.证: 因为 是 对应于特征值 特征向量, 是 对应于特征值 特征向量,故 = , = .因此 ( )( ) = () () = () () = ()( ).注意到 = 0, 因此 是 对应于特征值 特征向量.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日30 / 42定理 3.5设 , , 则存在 阶置换阵 , 使得 () = .定义 3.3设 , 称 个为 的关于Kronecker 积积积的的的次次次幂幂幂, 记为.定理 3.6设 , . 则 ()= .利用数学归纳法容易验证.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日31 / 42定义 3.4设 = () , 称 = (11,12,1,21,22,2, ,1,2,)为 的 (按行) 拉拉拉直直直.例 3.2设 =(1 2 34 5 6), 则 = (1,2,3,4,5,6).定理 3.7设 , , , 则 = ( ).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日32 / 42证证证明明明: 设 = (), 将 按列分块, 即 = (1,2, ,), 则有 =(111+ + 1)(11+ + ), =1.从而 =(111+ + 1), ,(11+ + )=(111+ + 1)(111+ + 1)=11 11 1=( ).推论 3.2设 , , . 则(1) = ( ), = ( )(2) + = ( + ).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日33 / 42下面我们来讨论线性矩阵方程的求解问题.在系统控制等工程领域中, 经常遇到矩阵方程 + = 的求解问题, 其中 , , , 是己知矩阵.由推论 3.2(2), 有 ( + ) =.因此矩阵方程 + = 有解的充分必要条件( + ) = 有解. 这样, 我们就将矩阵方程转化为通常的线性方程组的求解问题. 由线性代数的知识, 可得如下结论.定理 3.8设 , , . 矩阵方程 + = 有解的充分必要条件是 ( + )刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日34 / 42由定理 3.8、定理 3.4(2), 可得:定理 3.9设 , , . 矩阵方程 + = 有唯一解的充分必要条件是 和 没有相反的特征值.例 3.3解矩阵方程 + = , 其中(1) =(1 22 5), =(2 42 0), =(1 04 1);(2) =(1 10 2), =(3 40 1), =(0 52 9).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日35 / 42解解解 (1) 由于 的特征值为 1= 2= 3, 的特征值为 1= 2,2= 4,由定理3.9 知, 矩阵方程 + = 有唯一解. 设 =(1234), 可将矩阵方程 + = 转化为32 2 041 0 22 0 7 20 2 4 51234 =1041.解得 1= 1,2= 2,3= 0,4= 1, 因此矩阵方程 + = 的唯一解为 =(1 20 1).刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日36 / 42(2) 由于 的特征值为 1= 1,2= 2, 的特征值为 1= 3,2= 1.设 =(1234), 可将矩阵方程 + = 转化为2 0 1 04 0 0 10 0 1 00 0 411234 =0529.该方程组的通解是1234 =1021 + 0100, 其中 是任意常数.因此矩阵方程 + = 的通解为 =(102 1)+ (0 10 0), 其中 是任意常数.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日37 / 42一般的线性矩阵方程为=1= 其中 , , ,( = 1,2, ,). 将上方程拉直, 利用拉直与直积的关系, 可得它的等价线性方程组: (=1( ) = 求解该方程组就可求得原方程的解.刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日38 / 421矩阵序列的极限2矩阵级数3矩阵的 Kronecker 积4矩阵的微分和积分刘西奎 (山东科技大学)矩 阵 理 论2012 年 4 月 18 日39 / 42在研究微分方程组时, 为简化对问题的表达及求解过程, 需要考虑以函数为元素的矩阵的微分和积分. 在研究优化等问题时, 则要遇到数量函数对向量变量或矩阵变量的导数, 以及向量值或矩阵值函数对向量变量或矩阵变量的导数. 本节简单介绍这些内容.定义 4.1以变量 的函数为元素的矩阵 ()
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