小学数学教学的困惑与思考

1、小学数学教学的困惑小学数学教学的困惑与思考与思考20152015年年景洪市景洪市项目导师培训项目导师培训朱维宗朱维宗云南师范大学云南师范大学 教师们要重视教师们要重视“课外课外”功夫的积累，时时功夫的积累，时时注意自己知识的注意自己知识的“厚积厚积” 。 著名特级教师著名特级教师 杨一青杨一青 自我反思是教学过程的一个必要环节，是自我反思是教学过程的一个必要环节，是提高教学效益的重要途径，又是教师积累教学提高教学效益的重要途径，又是教师积累教学经验的有效方法。不断进行教学反思，努力做经验的有效方法。不断进行教学反思，努力做一个反思型教师，可以获得宝贵的经验、教训，一个反思型教师，可以获得宝贵的

2、经验、教训，及时发现新问题，激发教师把教学实践提升到及时发现新问题，激发教师把教学实践提升到新的高度，实现教师的自我超越。新的高度，实现教师的自我超越。 著名特级教师著名特级教师 王海平王海平 研研 修修 提提 纲纲一、引言一、引言二、小学数学二、小学数学1010个知识点的解析个知识点的解析三、思考与建议三、思考与建议 随着随着课程改革课程改革的不断深入，的不断深入，新课程理念新课程理念已已为越来越多的一线为越来越多的一线数学教师数学教师所接受。对处于所接受。对处于微观知识层面微观知识层面的一些的一些现实性现实性“诘问诘问”，诸如，诸如“最小的一位数是最小的一位数是0还是还是1？”、“4000

3、07000怎么读怎么读？”、“最大的分数单最大的分数单位是多少位是多少？”、“计算出勤率可不可以不乘计算出勤率可不可以不乘100%？”等等，看似等等，看似“细节细节”的问题，的问题，却是彰显却是彰显数学教学数学教学“科学性科学性”、“严谨性严谨性”不可或缺的一环，处理不好可能直接影响到不可或缺的一环，处理不好可能直接影响到教学评估教学评估和和考试命题考试命题。一、一、引引 言言 但是也应该指出，小学但是也应该指出，小学一线教师一线教师大部分的大部分的教学困惑教学困惑来自来自教辅资料教辅资料或或考试、测验试题考试、测验试题。关于关于前者前者，要善于运用，要善于运用教辅资料教辅资料，合则用，合则用

4、，不合则弃不合则弃；关于；关于后者后者，要能，要能合理地理解合理地理解考试考试评价评价的的理念理念。 下面简要介绍下面简要介绍考试学考试学的基本理论。的基本理论。一、一、引引 言言（一）考试的历史发展）考试的历史发展 随着随着教育的发展教育的发展，特别是，特别是学校教育学校教育的的出现出现和和发展发展，为了，为了更准确，更精细、更客观更准确，更精细、更客观地地评价教评价教育效果育效果，比较，比较受教育者受教育者之间的之间的学习差异学习差异，以便，以便决定何时转入决定何时转入下一阶段的教学下一阶段的教学，决定在转变，决定在转变教教学内容学内容时每个时每个受教育者受教育者的的升留取舍升留取舍，就要

5、求采，就要求采取类似取类似物件测量物件测量那样一种方法，以得出那样一种方法，以得出教育效教育效果果的的数量化数量化或或等级化等级化的的反映反映。 一、一、引引 言言 但是，但是，教育效果教育效果人的人的内部素质内部素质的提高，的提高，毕竟不同于毕竟不同于物件外部特征物件外部特征的变化，的变化，测量测量起来起来是很是很困难困难的。人们在的。人们在实践实践中逐步摸索出了这中逐步摸索出了这样的样的“测量测量”方法：从要求方法：从要求教育对象教育对象掌握的掌握的教学内容教学内容中选取出中选取出部分内容部分内容（在统计学中叫在统计学中叫作作“抽样抽样”），再），再编制编制成便于回答的成便于回答的问题问题

6、，待待教育对象教育对象按要求回答后，再对按要求回答后，再对回答的结果回答的结果进行进行评等评等或或判分判分。这就是。这就是考试考试。一、一、引引 言言 考试考试的出现，是的出现，是教育发展教育发展中的一件大事，对中的一件大事，对于于教育评价、比较、反馈教育评价、比较、反馈，具有难以估量的，具有难以估量的意意义义。教育评价教育评价和和考试考试有着十分密切的有着十分密切的关系关系，考考试试产生于产生于教育评价教育评价，并大大推动了，并大大推动了教育评价教育评价的的发展发展。一、一、引引 言言（一）考试的历史发展）考试的历史发展 (二)考试学的任务和内容体系考试学的任务和内容体系 考试学考试学是以是

7、以考试考试为为研究对象研究对象的科学。它的的科学。它的任务是揭示任务是揭示考试考试的的客观规律客观规律，探究科学、准探究科学、准确确地地考查人考查人的的知识和能力水平知识和能力水平的方法，以指的方法，以指导导考试实践考试实践。 考试学考试学的的体系体系和和内容内容目前尚在目前尚在建立建立和和探索探索之中。之中。一、一、引引 言言 中国在中国在古代学校古代学校中建立了中建立了定期定期对学生进行对学生进行考核的制度考核的制度, ,并在并在实践中实践中采用了今天仍在应采用了今天仍在应用的用的考试方法考试方法。例如。例如“口试口试”、“策试策试”、“笔试笔试”等。等。 由于由于现代学校教育现代学校教育

8、同时具有培养同时具有培养接班人接班人和和现代劳动者现代劳动者这两种这两种职能职能，现代考试现代考试就着重考就着重考查人的查人的知识知识、智力智力和和技能技能。人类人类不同的个体不同的个体在在知识、智力知识、智力和和技能技能方面是有差别的，方面是有差别的，考试考试正是对这种正是对这种差别差别的的测量测量。 知识知识是人们在实践中获得的对客观的认识是人们在实践中获得的对客观的认识（包括感性的经验和理性的理论包括感性的经验和理性的理论）。）。 智力智力是人的一种能力，是人的能力中与获是人的一种能力，是人的能力中与获得知识（得知识（认识世界认识世界）和运用知识（）和运用知识（能动地改造能动地改造世界世

9、界）相关联的那一部分。这种能力有时也称）相关联的那一部分。这种能力有时也称为智能。为智能。 技能技能是人们通过练习而形成，完成某种任是人们通过练习而形成，完成某种任务的活动方式，是通过反复练习后而获得整个务的活动方式，是通过反复练习后而获得整个活动中近乎自动化的那部分动作。活动中近乎自动化的那部分动作。技能可以分技能可以分为智力技能（如运算技能、写作技能等）和操为智力技能（如运算技能、写作技能等）和操作技能（如打字技能、游泳技能等）作技能（如打字技能、游泳技能等）。 考试考试是一种是一种抽样测量抽样测量。命题，编制试题命题，编制试题和和制作试卷制作试卷，既是选取，既是选取测量样本测量样本的过程

10、，又是的过程，又是制造、选取测量工具制造、选取测量工具的过程，它是确保的过程，它是确保测试测试质量质量的关键的的关键的工作环节工作环节。 考试测量考试测量的的有效性有效性，是以，是以被测人被测人的积极配的积极配合为合为前提前提的，并且的，并且考试过程考试过程所提供的所提供的资料资料具具有有多方面的价值。多方面的价值。 下面看几个有特点的小学数学试题。下面看几个有特点的小学数学试题。（二）考试学的任务和内容体系考试学的任务和内容体系 看图编一道用乘法计算的问题，并列算看图编一道用乘法计算的问题，并列算式计算。式计算。4312（只）（只） 或或 34 12（只）（只） 如果三个平台上的物品和数量是

11、一样的，猜一猜可能是什么？有几个？再编一道用乘法计算的问题。一号门一号门二号门二号门大人都走大人都走1号门，小孩走号门，小孩走2号门，这样最省钱号门，这样最省钱一号门一号门 或或 二号门二号门二号家庭二号家庭一律一律6 6元元成人成人8 8元元小孩小孩4 4元元一号门一号门二号门二号门三号家庭三号家庭一号家庭一号家庭 小刚的妈妈参观展销会买了一件衬衣，小刚的妈妈参观展销会买了一件衬衣，用了用了25.9225.92元元。一条裤子要。一条裤子要34.5034.50元元，一件，一件外套要外套要75.8075.80元元。还需要什么数据，才可。还需要什么数据，才可以算出售货员找给小刚妈妈的钱？以算出售货

12、员找给小刚妈妈的钱？（1）这件衬衣的原价是多少。（2）小刚妈妈参观展销会的日期是哪天。（3）小刚妈妈给售货员付了多少钱。（4）买这件衬衣节约了多少钱。（5）小刚妈妈带了多少钱去参观展销会。 有一个质数，是两个数字组有一个质数，是两个数字组成的两位数，两个数字之成的两位数，两个数字之和是和是8 8，两个数字之两个数字之差是差是2 2，请问这个质数，请问这个质数是几？是几？ 数一数数一数, ,有几条线段有几条线段? ?几个角几个角? ? 一个一个无盖无盖的正方体纸盒，盒底的正方体纸盒，盒底有个洞，沿着图中有个洞，沿着图中红线红线剪开后得到的剪开后得到的是是( )( ) 已知正方形边长已知正方形边长

13、1010厘米，求厘米，求正方形中的正方形中的4 4个半圆所围成的个半圆所围成的4 4个个“花瓣花瓣”的面积。的面积。 1010厘米厘米1010厘米厘米 两个圆面积两个圆面积1010厘米厘米1010厘米厘米两个圆面积两个圆面积 减去正方形面积减去正方形面积1010厘米厘米1010厘米厘米 0.25 4 74137726 = ( 1 )73772641 = ( 1 )76341 = 1041 = 2 .5 = 1 741377264141 六年级三个班派出六年级三个班派出运动员组成年级代表队。运动员组成年级代表队。我们六三班派我们六三班派出了出了1515人人。六年级代表队共有六年级代表队共有多少人

14、？多少人？我们我们六一六一班派班派出的人数是出的人数是你你们两个班们两个班派出派出总数的总数的 。2 21 1我们六二班派我们六二班派出的人数是出的人数是你你们两个班们两个班派出派出总数的总数的 。1 13 3我们我们六一六一班派班派出的人数是出的人数是你你们两个班们两个班派出派出总数的总数的 。2 21 1是是你们两个班你们两个班派出总数的派出总数的 。1 1就是就是三个班三个班派出总数的派出总数的 。1 1 六年级三个班派出六年级三个班派出运动员组成年级代表队。运动员组成年级代表队。我们六三班派我们六三班派出了出了1515人人。我们六年级代表队我们六年级代表队共有多少人？共有多少人？六一六

15、一班是你们班是你们两个班总数的两个班总数的 ，就是三个，就是三个班总数的班总数的 。1 12 23 31 1六二六二班是你们班是你们两个班总数的两个班总数的 ，就是三个，就是三个班总数的班总数的 。1 14 43 31 1六一六一班是三个班是三个班班总数总数的的 。3 31 1六二六二班是三个班是三个班班总数总数的的 1 14 4一一班班 3 31 1二二班班 4 41 1三三班班1515人人？人人 15 （1 ）=36（人） 3 31 14 41 1 六年级代表队共有六年级代表队共有36人？人？ 小明小明1 14 4 小丽小丽？小云小云 ，。 4545 =135 1 14 413545=13

16、6 13545=136 45 3 1=136 45 3 =135 汶川发生地震，师生们积极捐款汶川发生地震，师生们积极捐款 献爱心。全校捐款情况如下统计图。献爱心。全校捐款情况如下统计图。高中高中小学小学5 5 初三初三1818 初一初一2121 初二初二2020 教师教师2020 （2 2）初一学生捐款多少元？补全统计图。）初一学生捐款多少元？补全统计图。（3 3）高中捐款数在统计图的圆心角是多少度？）高中捐款数在统计图的圆心角是多少度？单位：元单位：元 63000初一初一2121 下面对在下面对在 “国培计划国培计划”项目实施过程中所项目实施过程中所收集到的小学一线教师的收集到的小学一线教

17、师的教学困惑教学困惑作一番作一番梳梳理，分为理，分为10个个问题问题，逐一给出，逐一给出分析分析或或思考思考，供各位老师供各位老师参考参考。不妥之处，敬请提出。不妥之处，敬请提出批评、批评、改正改正意见。意见。二、二、小学数学小学数学10个知识点的解析个知识点的解析 “数位数位”是指一个（是指一个（非零非零）自然数自然数的每个的每个数字数字所占所占的的位置位置。 “位数位数”是指一个是指一个自然数自然数中含有中含有数位数位的的个数个数。 区别：区别： “数位数位”无法无法比较大小比较大小。数位顺序表数位顺序表从右从右端算起，第一位是端算起，第一位是“个位个位”，第二位是，第二位是“十位十位”，

18、第三位是第三位是“百位百位”，第四位是，第四位是“千位千位”，第五位是，第五位是“万位万位”，等等。平时只说，等等。平时只说个位数的数是几，十位个位数的数是几，十位上的数是几上的数是几。只有数和数可以比较大小。只有数和数可以比较大小。 请看下面的例子：请看下面的例子：1.1.关于关于“数位数位”与与“位数位数” 例例1.1. 数位多的数一定大（数位多的数一定大（ ） 。 分析：分析：本题选本题选. 理由是：理由是：数位不能比较大小数位不能比较大小。如如将题目的条件改为：将题目的条件改为：位数多的数一定大位数多的数一定大。则。则题目题目是是对的。例如，三位数比两位数多一位，五位数比三对的。例如，

19、三位数比两位数多一位，五位数比三位数多两位，所以位数多两位，所以前者前者比比后者后者大。大。 例例2.2. 最小的一位数是最小的一位数是0还是还是1？ 分析：分析：所谓所谓最大最大的的几位数几位数，最小最小的的几位数几位数，通常是通常是在非零自然数的范围研究。在非零自然数的范围研究。所以所以一位数一位数共有九个，共有九个，即：、。即：、。不不是最小的一位数。是最小的一位数。 1.1.关于关于“数位数位”与与“位数位数”【注注1】在日常的在日常的教学教学中，中，一部分老师会对诸部分老师会对诸如，如，400007000怎么读，产生怎么读，产生疑问疑问。 其实，这个其实，这个数数读作：读作：4亿零亿

20、零7千千。零在亿级零在亿级和千中间，每级中间的零要读，但连续的几和千中间，每级中间的零要读，但连续的几个零只读一个。个零只读一个。 又如，又如，1580150015 中的中的 15是是读十五还是读十五还是读一十五？读一十五？ 这个数这个数一般读作一般读作：15亿亿8千零千零15万零万零15. 再如，再如，108000读作读作10万万8千千还是还是10万零万零8千千？ 这个数这个数一般读作一般读作10万万8千千.【注注2】2014年后的小学数学年后的小学数学教材教材中，中， 十五十五亿八千零十五万零十五亿八千零十五万零十五写作写作： 15亿亿8千零千零15万零万零15. 课程标准课程标准下的下的

21、教材教材对对“也是自然数也是自然数”的规定，颠覆了人们对的规定，颠覆了人们对自然数自然数的传统认识。的传统认识。 中央教科所教材编写组中央教科所教材编写组主编主编陈昌铸陈昌铸如是说如是说：“国际上对自然数的定义一直都有不同的说国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从从0 0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为的说法，认为0 0不是自然数。不是自然数。20002000年教育部主年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将持召开教材改编会议时，已明确提出将0 0归为归为自然数。

22、这次改版也是与国际惯例接轨。自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。”2. 2. 0为什么也是自然数为什么也是自然数? 从从教学实践层面教学实践层面来说，将来说，将“”规定为规定为“自然数自然数”也有着积极的也有着积极的现实意义现实意义。例如，。例如，集合论集合论中，有一个中，有一个集合，集合，叫做叫做空集空集： ，它不含，它不含元素元素，因此，因此，空集的空集的基数基数为为0. 如果不把如果不把0作为作为自然数自然数，那么，那么空集空集的的元素元素的个数就无法用的个数就无法用自然数自然数来表示。如果把来表示。如果把“0”作为一作为一个个自然数自然数，那么，那么自然数自然数就可以完成刻画就可以完成

23、刻画“有限集合有限集合元素个数元素个数”的任务了。因此，从的任务了。因此，从“自然数的基数性自然数的基数性”这个角度，我们看到了把这个角度，我们看到了把“0”作为作为自然数自然数的好处。的好处。 其次，其次，“0”加入加入自然数集合自然数集合，所有的，所有的自然数自然数的的“运算规则运算规则” (交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律)依旧依旧保持保持 。2. 2. 0为什么也是自然数为什么也是自然数? “0”加盟到加盟到自然数集合自然数集合实属实属数学发展数学发展的需要，的需要，而不仅仅是人为的而不仅仅是人为的“规定规定”。 它可以让我们更好地理解它可以让我们更好地理解自然数自然数和它

24、的和它的功能功能，同时也让我们意识到，同时也让我们意识到教学教学时不仅要时不仅要知知道道和和记住记住数学的数学的“定义定义”和和“规定规定”，还应，还应该该思考思考“规定规定”背后的背后的数学涵义数学涵义。2. 2. 0为什么也是自然数为什么也是自然数? 有效数字有效数字是对一个数的是对一个数的近似值近似值的的精确程度精确程度而提出而提出的。同一个的。同一个近似数近似数如果在取舍时，保留的如果在取舍时，保留的有效数字有效数字多，就比保留的多，就比保留的有效数字有效数字少更精确。少更精确。 一般说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说一般说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这

25、个近似数精确到哪一位。这时，从左边这时，从左边第一个非第一个非零的数字零的数字起，到那一位上的起，到那一位上的所有数字所有数字（包含包含0）都都叫做这个数的叫做这个数的有效数字有效数字。如近似数。如近似数0.00309有三个有三个有效数字有效数字：3、0、9；0.520也有三个也有三个有效数字有效数字：5、2、0。而。而0.00309中左边的三个中左边的三个0，0.520中左边的中左边的一个一个0，都叫做，都叫做无效数字无效数字。3. 3. 什么是有效数字、什么是无效数字？什么是有效数字、什么是无效数字？ （1 1）加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？）加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？

26、 “加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算运算”这似乎成了许多老师的这似乎成了许多老师的口头禅口头禅，这样说对吗？，这样说对吗？ 这其实是一种这其实是一种误解误解。例如：。例如： 加法加法“”，其，其逆运算逆运算为为“”，“”。故此，。故此，加法的逆运算只有加法的逆运算只有减法；减法；减法减法“”，其，其逆运算逆运算有有 “”， “”。故此，。故此，减法的逆运算有减法的逆运算有减法和加法两种运算。减法和加法两种运算。4. 4. 关于四则运算关于四则运算（1 1）加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？）加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？ 综上可知，只

27、能说综上可知，只能说减法是加法的逆运算减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为逆运算。而不能说加法与减法互为逆运算。 同理，也只能说同理，也只能说除法是乘法的逆运算，除法是乘法的逆运算，而而不能说不能说乘法与除法互为逆运算。乘法与除法互为逆运算。4. 4. 关于四则运算关于四则运算 （2 2）为什么不写）为什么不写“倍倍”？ 在学习在学习“求一个数是另一个数的几倍求一个数是另一个数的几倍”应用题时，应用题时，很多很多小学生小学生会自然提出这样的会自然提出这样的疑问疑问，如，如：“饲养小饲养小组养了组养了12只小鸡，只小鸡，3只小鸭，小鸡的只数是小鸭的只小鸭，小鸡的只数是小鸭的几倍？几倍？”

28、为什么为什么“1234”的后面不写的后面不写“倍倍”呢？呢？ 分析：分析：在解答在解答应用题应用题时，时，得数得数后面一般要写上后面一般要写上单位单位名称名称。如：。如：12只只的的“只只”；8克克的的“克克”。一个数一个数只有带上单位名称，才能准确地表示出一个物体的只有带上单位名称，才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重多少、大小、长短、轻重等等。等等。 4. 4. 关于四则运算关于四则运算 （2 2）为什么不写）为什么不写“倍倍”？ 分析：分析：但是，但是，“倍倍”不是不是单位名称单位名称，它表示它表示两个数量之间的一种关系两个数量之间的一种关系。例如，上面的计。例如，上面的计算

29、结果算结果“4”，表示，表示12里面有里面有4个个3，也就是，也就是12只小鸡是只小鸡是3只小鸭的只小鸭的4倍倍。所以，在。所以，在算式算式里不里不写写“倍倍”，以免，以免“倍倍”与与单位名称单位名称发生发生混淆混淆。4. 4. 关于四则运算关于四则运算 （3 3）“倍倍”和和“倍数倍数”的区别的区别 在在第一学段第一学段学生学习了学生学习了“倍的初步认倍的初步认识识”，认识了，认识了概念概念“倍倍”，而在，而在第二学段第二学段，学生又学习到学生又学习到“倍数倍数”这个这个概念概念。那么。那么，“倍倍”和和“倍数倍数”这两个这两个词词到底是不是到底是不是一回一回事呢事呢？这两个？这两个词词之间

30、有什么之间有什么区别区别呢？呢？4. 4. 关于四则运算关于四则运算 （3 3）“倍倍”和和“倍数倍数”的区别的区别 “倍倍”指的是指的是数量关系数量关系，它建立在，它建立在乘除法乘除法概念概念的基础上。例如：男生有的基础上。例如：男生有10人，女生有人，女生有30人，因为人，因为“103=30”或者或者“3010=3”，我们就说，我们就说，女生人数女生人数（30）是男生人数是男生人数（10）的的3倍倍，也可以说，也可以说，男生人数男生人数（10）的的3倍等倍等于女生人数于女生人数（30）。所以，）。所以，“倍倍”其实表示其实表示的是两个数的商的是两个数的商（这个商可以是整数、小数、这个商可以

31、是整数、小数、分数等各种表现形式分数等各种表现形式）。）。4. 4. 关于四则运算关于四则运算 （3 3）“倍倍”和和“倍数倍数”的区别的区别 “倍数倍数”指的是指的是数与数之间的联系数与数之间的联系，它建立在，它建立在整除概念整除概念的基础上。例如，的基础上。例如，30能被能被6整除整除，30就是就是6的的倍数倍数。可见，。可见，“倍数倍数”是不能是不能独立存在独立存在的（的（具有具有特定的指向性特定的指向性），而且），而且对数的形式有特别的要求对数的形式有特别的要求（必须为整数必须为整数）。）。 同时又应该看到，同时又应该看到，30也是也是6的的5倍，因为倍，因为6530，“65”表示表示

32、6的的5倍。所以，从这个角度来说倍。所以，从这个角度来说，“倍倍”的的涵义涵义应宽泛于应宽泛于“倍数倍数”，后者可以视为前后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。者在特定情形下的一种表现。4. 4. 关于四则运算关于四则运算（4 4）分数乘法的意义和整数乘法的意义相同吗？）分数乘法的意义和整数乘法的意义相同吗？ 分数乘法分两种情况：分数乘法分两种情况： 分数乘（以）整数的意义与整数乘法的意分数乘（以）整数的意义与整数乘法的意义完全相同。义完全相同。一个数乘（以）分数，表示求这个数的几一个数乘（以）分数，表示求这个数的几分之几是多少。与整数乘法的意义不同。分之几是多少。与整数乘法的意义不同。4.

33、 4. 关于四则运算关于四则运算（5 5）一个因数的末尾有）一个因数的末尾有0 0，积一定有，积一定有0. 0. 分析：分析：针对针对不同年级不同年级的学生有不同的的学生有不同的答案答案： 三年级上册：三年级上册：一个因数末尾有零乘法。一个因数末尾有零乘法。这时一个因数的末尾有这时一个因数的末尾有0，积一定有，积一定有0. . 六年级上册：六年级上册：分数乘整数。这时一个因数分数乘整数。这时一个因数的末尾有的末尾有0，积不一定有积不一定有0. 如：如：101/2=5.4. 4. 关于四则运算关于四则运算（6 6）被除数和除数同时扩大，商就不变？）被除数和除数同时扩大，商就不变？ 分析：分析：该

34、该问题问题考察对考察对除法基本性质除法基本性质的掌握。的掌握。例如，例如，4. 4. 关于四则运算关于四则运算 11 2.1010 3 只有只有被除数被除数和和除数除数同时扩大相同的倍数同时扩大相同的倍数，商才不变商才不变。 （7 7）0.40.4 0.50.5的积应该有几位小数？的积应该有几位小数？ 分析：分析：人教版四年级教材人教版四年级教材有有规定：规定：小数乘法小数乘法的结果，如果小数点后面有的结果，如果小数点后面有0 0，一般要把末尾，一般要把末尾的的0 0去掉。去掉。 对于这样的对于这样的问题问题，如果做题要求是，如果做题要求是保留保留两位小数两位小数，那就必须写成，那就必须写成0

35、.20. 如果没有如果没有具具体要求体要求保留保留小数数位小数数位，那么答案是，那么答案是0.2. 答案：答案： 0.40.40.50.5的的积积是是一位小数一位小数。4. 4. 关于四则运算关于四则运算例：例：用用8、6、4、1、0组成最大的组成最大的两位小数两位小数，这个这个数数是多少？是多少？ 分析：分析：不同的不同的教学参考书教学参考书，答案答案不同。有两不同。有两个不同的个不同的答案答案：864.10 和和 864.01. 这让老师这让老师们很们很头疼头疼！ 按上面的按上面的分析分析，答案答案应为：应为： 864.01. 个人认为，做类似这样的个人认为，做类似这样的题目题目没有意义没

36、有意义。4. 4. 关于四则运算关于四则运算【注注3】 乘法乘法是是加法加法的简便运算。如的简便运算。如, 5+5+5=53，那么，那么，除法除法和和减法减法的的关系关系是什么？是什么？ 除法除法可以是看作是可以是看作是连续减去相同数的简便运连续减去相同数的简便运算算，被除数被除数就是就是被减数被减数，除数除数就是相同的就是相同的减数减数，连减连减的最多次数就是的最多次数就是商商。如，。如，205=20-5-5-5-5=0. 如果如果连续减去连续减去若干次后，刚好减完，若干次后，刚好减完，说明说明余数余数为为0；如果；如果连续减去连续减去若干次后最后的若干次后最后的差差不是不是0，但比，但比除

37、数除数小，那么最后的小，那么最后的差差是是余数余数。（8 8）关于整除、除尽、除不尽。）关于整除、除尽、除不尽。 “整除整除”是是整数范围整数范围内的内的除法除法。对于任意对于任意两个整数两个整数a和和b（b0），如果存在一个整数），如果存在一个整数q，使使bq=a成立，则称成立，则称a能被能被b整除。整除。而而“除尽除尽”则不限于则不限于整数范围整数范围，只要求，只要求余数余数为零为零。“整除整除”与与“除尽除尽”的的区别区别和和联系联系在于：在于：“整除整除”也可也可以称作以称作“除尽除尽”，但是，但是“除尽除尽”不一定是不一定是“整整除除”。“除尽除尽”中包括了中包括了“整除整除”，“整

38、除整除”只是只是“除尽除尽”的一种特殊情况。的一种特殊情况。 4. 4. 关于四则运算关于四则运算（8 8）关于整除、除尽、除不尽。）关于整除、除尽、除不尽。 “除不尽除不尽”，就是两个数，就是两个数相除相除，不用，不用余余数数表示，表示，商商是是无限小数无限小数，这样的两个，这样的两个数数叫做叫做“除不尽除不尽”。 “除不尽除不尽”又分为两种又分为两种情形情形：商是无限商是无限循环小数，循环小数，如：如：86=1.333；和和商是无商是无限不循环小数限不循环小数，如：，如：圆的周长圆的周长圆的直径圆的直径= =.（小学阶段不学习无理数，约定小学阶段不学习无理数，约定=3.14 ）4. 4.

39、关于四则运算关于四则运算 （1 1）最大的分数单位是）最大的分数单位是1/21/2还是还是1/11/1？ 先看先看分数单位分数单位的含义：的含义：把单位把单位“1”平均分成若干平均分成若干份，表示这样一份的数。份，表示这样一份的数。 在在分数意义分数意义中，关键是中，关键是“分分”，没有，没有“分分”，就，就没有没有“份份”。因为。因为把单位把单位“1”平均分成的最少份数平均分成的最少份数是是2份份（如果是如果是1份，也就无所谓份，也就无所谓“分分”），），由此得由此得到的分数单位是到的分数单位是1/2，所以所以1/2是最大的分数单位是最大的分数单位。 尽管就尽管就广义的分数广义的分数来说，来

40、说，1/1也可视作分数也可视作分数，但它，但它已不是我们通常意义上认识的与已不是我们通常意义上认识的与整数整数对立的那种对立的那种分分数数（在平均分的基础上所产生在平均分的基础上所产生），故此，），故此，最大的分最大的分数单位应以数单位应以1/2为宜。为宜。5. 5. 关于分数、百分数关于分数、百分数 （2 2）长方形对角线把其分成四部分，那么每部分长方形对角线把其分成四部分，那么每部分都是都是1/4吗？（三年级）吗？（三年级） 分析：分析：不对。不对。长方形长方形用两条用两条对角线对角线将其分成将其分成四份四份，四份不完全相等四份不完全相等。把一个。把一个长方形长方形沿沿对对角线角线撕开变成

41、四个撕开变成四个三角形三角形，它们不完全相等它们不完全相等。5. 5. 关于分数、百分数关于分数、百分数（3 3）像）像 0/30/3、0.2/30.2/3、3/0.23/0.2这样的数是不是分数这样的数是不是分数? ? 小学小学教科书教科书中中分数分数的定义明确指出：的定义明确指出：把把单位单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫分数。几份的数，叫分数。其中，分成的其中，分成的份数份数叫做叫做分数分数的的分母分母，要表示的，要表示的份数份数叫做叫做分子分子。由此。由此可知，可知，分数的分子和分母都应该是非零自然分数的分子和分母都应该是非零自然数数。从

42、这个意义来说，以上这几个。从这个意义来说，以上这几个数数徒具徒具分分数数的的形式形式，而不具，而不具分数分数的的实质实质，因此，因此都不应都不应该视为分数该视为分数。5. 5. 关于分数、百分数关于分数、百分数（3 3）像）像 0/30/3、0.2/30.2/3、3/0.23/0.2这样的数是不是分数这样的数是不是分数? ? 进而，在考查学生对进而，在考查学生对“分数分数”涵义的理涵义的理解时，应着眼于通常意义上的解时，应着眼于通常意义上的分数分数，将上述，将上述这些这些变异形式变异形式纳入纳入思考思考的范围，其本身对的范围，其本身对训训练练学生的学生的思维思维并无多大并无多大实际意义实际意义

43、，而且会令，而且会令诸如诸如“分数都大于分数都大于0”等等命题命题的的真与假真与假陷入尴陷入尴尬。尬。5. 5. 关于分数、百分数关于分数、百分数（4 4）比）比6 6多多1/21/2的数的数”应该是应该是“6+1/26+1/2”还是还是“6 6 (1+1/2)(1+1/2)” 要弄清这个问题，先得弄清要弄清这个问题，先得弄清“6”的性质。显然，的性质。显然，此处的此处的“6”其实质是一个其实质是一个“数数”，而非一个，而非一个“量量”，求求“比比6多多1/2的数的数”应属于应属于“求比一个数多几的数求比一个数多几的数”的范畴，问题中的的范畴，问题中的“多几多几”都是确定的都是确定的具体数具体

44、数，这，这里的里的“几几”既可以是既可以是整数整数，也可以是，也可以是小数小数或或分数分数。所以，这里的所以，这里的“1/2”是指在是指在6的基础上的基础上“多多1/2”这个这个“1/2”数的本身，而非数的本身，而非“6的的1/2”。所以。所以，“比比6多多1/2的数的数”应该是应该是“6+1/2”。 当然，如果当然，如果题目题目为：为：“比比6多它的多它的1/2的数的数”，那，那答答案则属于后者。案则属于后者。 5. 5. 关于分数、百分数关于分数、百分数 把把 平均平均分给两个小朋友，分给两个小朋友，每人得到一个分每人得到一个分数，谁会分？数，谁会分？ （5 5）计算出勤率可不可以不乘）计

45、算出勤率可不可以不乘100%100%？ 同一同一课程标准课程标准下，不同的下，不同的课本课本对此给出了对此给出了不同的理解，这给教师带来了困惑：不同的理解，这给教师带来了困惑：到底可不可以不到底可不可以不乘乘100% %呢？呢？个人以为个人以为，求，求“率率”其结果必定为其结果必定为百分率百分率。以。以出勤率出勤率为例，就是求为例，就是求实际出勤人数占应出实际出勤人数占应出勤人数的百分之几。勤人数的百分之几。如果公式只写成：如果公式只写成：出勤率出勤率=实际实际出勤人数应出勤人数，出勤人数应出勤人数，这只是这只是分数形式分数形式（也即是求也即是求实际出勤人数占应出勤人数的实际出勤人数占应出勤人

46、数的“几分之几几分之几”），并不），并不是是百分数百分数。因此，在公式后面乘上。因此，在公式后面乘上“100”，既可，既可以使以使计算数值计算数值大小不变，又能保证大小不变，又能保证结果形式结果形式满足满足百分百分数数的要求。因此，的要求。因此，计算出勤率、发芽率、出粉率、合计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率格率的公式中，都应乘的公式中，都应乘“100”。 5. 5. 关于分数、百分数关于分数、百分数（1）足球比赛记分牌上的足球比赛记分牌上的“:”是数学中的是数学中的“比比”吗？吗？ 至少可以从两个方面来理解它们的至少可以从两个方面来理解它们的差别差别。 第一，第一， 球类比赛球类比赛中的中的

47、“3:2”表示的是比赛双方表示的是比赛双方的得分情况，是的得分情况，是“差差”比，即表示比，即表示相差关系相差关系，一方，一方得得3分，另一方得分，另一方得2分，双方相差分，双方相差1分；分；数学数学中的中的“3:2”表示的是表示的是“32”，是，是“倍倍”比，比，商商为为1.5. 有鉴于此，有鉴于此，球类比赛球类比赛中的中的“比比”（其实是比分其实是比分），），其其后数后数可以为可以为0的，而的，而数学数学中的中的“比比”，其，其后数后数（相当于除数相当于除数）在）在小学阶段小学阶段是不可以为是不可以为0的。的。6. 6. 关于比例关于比例（1）足球比赛记分牌上的足球比赛记分牌上的“:”是数

48、学是数学中的中的“比比”吗？吗？ 至少可以从两个方面来理解它们的至少可以从两个方面来理解它们的差别差别。 第二，数学中的第二，数学中的“比比”是可以是可以化简化简的，如的，如“4:22:1”；同样的；同样的“4:2”放在放在球类比赛球类比赛中，中，却不可以却不可以化简化简，如果，如果化简化简就不能反映双方在就不能反映双方在比赛中的比赛中的实际得分实际得分了。了。6. 6. 关于比例关于比例（2）小学阶段解答比例应用题的完整步骤是什么？小学阶段解答比例应用题的完整步骤是什么？ 分析：分析：解答解答比例应用题比例应用题的完整的完整步骤步骤为：为： 先先判断判断题中的题中的量量成什么成什么比例比例，

49、再按，再按比例比例的方法的方法列出列出比例量比例量，然后，然后解答解答和和检验检验。一般一般，小学阶段应将小学阶段应将比例问题比例问题的答案化到不能的答案化到不能约分约分为止。例如，为止。例如，“8a=6b（b0），那么那么， a:b=3:4”，而不写成，而不写成“a:b=6:8”.6. 6. 关于比例关于比例 估算估算是在是在计算、测量计算、测量时无法也没有必要进时无法也没有必要进行行精确计算精确计算或或测量测量，对，对数量关系数量关系做做合理合理的的大大概推断概推断。 在小学在小学课堂教学课堂教学中，何时中，何时“估算估算”、何时、何时“精确计算精确计算”？可以参考下面的？可以参考下面的建

50、议建议。7.7.关于估算关于估算用计算器问题情境用笔算需要计算需要近似答案估算估算需要精确答案用心算“估算估算”教学的策略教学的策略教学生估算的方法教学生估算的方法 1. 凑整凑整。 取整十数、四舍五入取整十数、四舍五入 3. 利用利用特殊数据特殊数据特点特点估数估数。1272673=1272621130625=81250 2. 取中间数。取中间数。 672+678+673+6796754=2700 4.寻找区间，看首位。寻找区间，看首位。首位首位-1：至少；首位都：至少；首位都+1：最多。例如，最多。例如，4.33.7 至少至少：43=12 最多最多： 54=20 5. 都往都往大估大估，或

51、都往或都往小估小估；一个一个估大估大，一个一个估小估小；或或一个估，一个不估一个估，一个不估（视具体情境而定视具体情境而定）先估后调先估后调。“估算估算”教学的策略教学的策略教学生估算的方法教学生估算的方法例：例：妈妈用妈妈用100100元钱元钱买下列物品，够吗？买下列物品，够吗？24元元33元元44元元6.6.利用乘法口诀估算。利用乘法口诀估算。 “两位数除以一位数的估算两位数除以一位数的估算” （三下）（三下） 教科书教科书中设计了如下一些估算题目：中设计了如下一些估算题目： 593 883 912 414 6247. 利用估算进行判断。利用估算进行判断。61232412883=79942

52、9229=10128“估算估算”教学的策略教学的策略教学生估算的方法教学生估算的方法 A 少于少于200 B. 400500 C. 300400 D. 200300备选答案不是一个具体数值，而是一个数值备选答案不是一个具体数值，而是一个数值区间。可以利用乘法估算来解决这样的问题。区间。可以利用乘法估算来解决这样的问题。 公园平均每小时有公园平均每小时有3645人乘坐碰碰车，人乘坐碰碰车，估计估计6小时中，乘坐碰碰车的人数是：（小时中，乘坐碰碰车的人数是：（ ） D教学案例教学案例 估估 算算 （北京教科院北京教科院 吴正宪吴正宪）青青和母亲去购物青青和母亲去购物买了这么多物品，要多少钱呢？买了

53、这么多物品，要多少钱呢？我带了我带了200200元钱，元钱，够不够呢？够不够呢？ 在下列哪种情况下使用估算在下列哪种情况下使用估算比精确计算有意义比精确计算有意义？A.A.当青青想确认当青青想确认200200元钱是不是够用时；元钱是不是够用时；C.C.当青青被告知应付多少钱时。当青青被告知应付多少钱时。B.B.当销售员将每种食品的价钱输入收银机时；当销售员将每种食品的价钱输入收银机时；吴老师用这个情景说明：吴老师用这个情景说明：“估算估算”适适用的范围。用的范围。曹冲称象曹冲称象吴老师创设这个情景，目的是吴老师创设这个情景，目的是让学生体验让学生体验“估算估算”的方法。的方法。 这么多的石头和

54、大象一样重这么多的石头和大象一样重六次六次称石头的质量如下（单位：千克）称石头的质量如下（单位：千克）次数次数123456质量质量328 346 307 377 398 352 你能估计出这头你能估计出这头 大象多重吗？大象多重吗？ 这里可以有多种这里可以有多种“估算估算”的方法，方法的选择：的方法，方法的选择：“快快”；“误差尽可误差尽可能小能小”。 2108 2108千克千克 2010820108千克千克哪个答案对？哪个答案对？ 350350名同学要外出参观，名同学要外出参观， 有有7 7辆车，每辆车辆车，每辆车5656个座位，个座位， 估一估够不够坐？估一估够不够坐？ 756350（个）

55、（个） 350个个=350个个 看作看作5050756420（个）（个） 420个个350个个 看作看作6060“估算估算”意识的渗透意识的渗透 车重车重986986千克，这辆车可以过桥吗？千克，这辆车可以过桥吗？ 共共6 6箱箱限重限重3 3吨吨每箱重每箱重285285千克千克3t2084= 哪个答案可能是正确的？哪个答案可能是正确的？A 8032 B 823C 832 832 本案例完本案例完 总之，总之，估算估算的方法有多种，要让学生在日的方法有多种，要让学生在日常生活中多常生活中多观察，鼓励学生用不同的方法解观察，鼓励学生用不同的方法解决问题，通过不失时机的估算训练，使学生决问题，通过

56、不失时机的估算训练，使学生感受到感受到估算估算是解决问题的一种策略是解决问题的一种策略。用它可。用它可以简洁并迅速地解决某些以简洁并迅速地解决某些问题问题，从而在培养，从而在培养学生学生估算技能估算技能的同时逐步向学生的同时逐步向学生渗透渗透估算的估算的意识意识和和理念理念。 7.7.关于估算关于估算 首先应该明确的是，首先应该明确的是，小小时时并非并非国际时间单位国际时间单位。在在1984年国务院发布的年国务院发布的关于我国统一法定计量单关于我国统一法定计量单位的命令位的命令中，把中，把秒秒作为作为时间的基本单位时间的基本单位，把，把非国非国际单位制的时间单位天（日）、际单位制的时间单位天（

57、日）、小小时、分作为时、分作为辅助单位辅助单位。【注注】 里的字，在不致里的字，在不致混淆混淆的情况下，可以的情况下，可以省略省略。这样，在。这样，在我国范围我国范围内使用的内使用的法定时间单位法定时间单位就就有：有：天（日）、天（日）、小小时、分、秒。时、分、秒。 8. “8. “时时”和和“小时小时”有什么不同？怎样使用有什么不同？怎样使用“时时”和和“小时小时”？ 由此，由此，“时时”既可以表示既可以表示时间时间，又可以表示，又可以表示时刻时刻。由于由于“时间时间”和和“时刻时刻”这两个不同的这两个不同的概念概念，容易容易产生产生混淆混淆，在实际应用，在实际应用时间单位时间单位“时时”时

58、，现行时，现行课课本本作了如下处理：作了如下处理：当当列式计算列式计算出出时间的长短时间的长短时，在时，在得数得数的括号里写的括号里写上时间的单位上时间的单位“时时”。例如：。例如：超市营业时间：超市营业时间：21-9=12（时时）。）。（此处可省略此处可省略“小小”字字）8. “8. “时时”和和“小时小时”有什么不同？怎样使用有什么不同？怎样使用“时时”和和“小时小时”？ 在用在用语言表述语言表述时间的长短时间的长短时，为避免时，为避免“时时间间”和和“时刻时刻”这两个概念产生这两个概念产生混淆混淆，则在，则在“时时”的前面加上一个的前面加上一个“小小”字。例如：字。例如：超超市营业时间市

59、营业时间12小时小时。在用在用语言表示语言表示时刻时刻时，一律不得出现时，一律不得出现“小小时时”字样。例如：公园每天早上字样。例如：公园每天早上7时时30分开园分开园（而非而非7小时小时30分分）。）。8. “8. “时时”和和“小时小时”有什么不同？怎样使用有什么不同？怎样使用“时时”和和“小时小时”？ 总之：总之：表示表示经过的时段经过的时段（时间时间）一般用一般用“小时小时”表表示，表示示，表示某一段瞬间某一段瞬间（时刻时刻）则用则用“时时”来表示。来表示。“小时小时”是计量时间长短的一个是计量时间长短的一个辅助单位名称辅助单位名称，但，但如果在不至于与表示时间的某一瞬间的如果在不至于

60、与表示时间的某一瞬间的“时时”发生发生混淆混淆时，时，这个这个“小小”字可以省略。因为字可以省略。因为只有表示经只有表示经过多少时间的量才能参加运算或换算过多少时间的量才能参加运算或换算，所以在，所以在算式算式中可以将中可以将“小时小时”省略为省略为“时时”。如：。如：9-8=1（时时），而在），而在文字叙述文字叙述中，这个中，这个“小小”字一般字一般不省不省略略。8. “8. “时时”和和“小时小时”有什么不同？怎样使用有什么不同？怎样使用“时时”和和“小时小时”？ （1 1）x=0 x=0是方程还是方程的解是方程还是方程的解? ? 分析：分析：方程方程指含有指含有未知数未知数的的等式等式。