恒成立问题与有解问题的区别(2)

1、含参数的含参数的不等式的恒成立不等式的恒成立问题问题与与含参数的含参数的不等式有解问题不等式有解问题的区别的区别练习练习1. (1)如函数如函数y=f(x+2)是奇函数，则函数是奇函数，则函数y=f(x)的图象的对称中心是的图象的对称中心是 。(1)如函数如函数y=f(x-1)是偶函数，则函数是偶函数，则函数y=f(x)的图象的图象的对称轴是的对称轴是 。(2，0)x=-121xx(1)0(2)0ff2f(x)=x +mx+4,设函数由题意 有0,1,2xmaxf(x)解得解得:m-5所以，所以，m的取值范围是（的取值范围是（-，-5。224x +mx+4()01xmx ，解变形得： 由注意注

2、意:要把含变量要把含变量x的所有的项要移到一的所有的项要移到一边边,另一边只能是常数另一边只能是常数,才能把才能把不等式的不等式的恒成立问题恒成立问题转化为转化为求函数最值求函数最值问题。问题。1、分离参数法：、分离参数法：即把不等式首先变形为如下形式：即把不等式首先变形为如下形式：(1)g()f(x)恒恒成立的充要条件是：成立的充要条件是：_ _ _;(2)g()f(x)恒恒成立的充要条件是：成立的充要条件是：_ _。 分离参数后，达到变量和参数各在不等式一边分离参数后，达到变量和参数各在不等式一边，进，进而转化为求一个函数的最值问题，要注意端点能否取一定而转化为求一个函数的最值问题，要注意

3、端点能否取一定要慎重，要结合不等号和定义域来取舍。要慎重，要结合不等号和定义域来取舍。g() f (x) maxg() f (x) min2f(x)=x +mx+4,(2)2解 ：设函数由题意 有m mi in nm m- - 1 1或或2 2f f( (x x) ) = =f f( (1 1) ) 0 0 m mi in nm m1 1 - - 2 22 2或或m mf f( (x x) ) = =f f( (- -) ) 0 02 2 m mi in nm m2 2f f( (x x) ) = =f f( (2 2) ) 4m 解得：例例2、对于不等式、对于不等式(1-m)x2+3(1-m

4、)x . . ( (* *) ) (1)当当| x | 2,( (* *) )式恒成立式恒成立, ,求实数求实数m m的取值范围的取值范围 ；(2)当当| m | 2,( (* *) )式恒成立式恒成立, ,求实数求实数x x的取值范围的取值范围 . 当当1-m1, ( (* *) )式在式在x x -2,2-2,2时恒成立时恒成立的的条件为：条件为：(1)当当1-m=0即即m=1时时,( (* *) )式恒成立式恒成立, ,故故m=1适合适合( (* *) ); f(-2) 0当当1-m0时，即时，即m1 ,( (* *) )式在式在x x -2,2-2,2时恒成立时恒成立的的条件为：条件为

5、： 解得解得: -11m1；解得解得: 1m23综上可知综上可知:适合条件的适合条件的m的范围是的范围是: -11m 0f( )0 2112则则 g(m)0恒成立恒成立g(-2)=3x2-3x+30g(2)=-x2+x+30解解(2) : 设设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m -2,2）即即x R21312131 x (1-m)x . . ( (* *) ) (1)当当| x | 2,( (* *) )式恒成立式恒成立, ,求实数求实数m m的取值范围的取值范围 ；(2)当当| m | 2,( (* *) )式恒成立式恒成立, ,求实数求实数x x的取值范围的取值范围 .实数

6、实数x的取值范围的取值范围(,)113 11322不等式的恒成立和有解的不等式的恒成立和有解的解法解法：解法解法1、分离变量法：、分离变量法：即把不等式变形为即把不等式变形为只有一边含有变量只有一边含有变量,另另一边不能有变量一边不能有变量,就可以转化为求函数的就可以转化为求函数的最值问题。最值问题。解法解法2、分离参数法：、分离参数法：即把不等式首先变形为一边只含有变量即把不等式首先变形为一边只含有变量,而另一边只含有参数。而另一边只含有参数。分离参数后分离参数后,变量变量和参数各在不等式一边和参数各在不等式一边,进而转化为求一进而转化为求一个函数的最值问题个函数的最值问题,要注意端点能否取

7、一要注意端点能否取一定要慎重定要慎重,要结合不等号和定义域来取舍。要结合不等号和定义域来取舍。例例3、当、当x (1,2)时，不等式时，不等式(x-1)2g(x)或或f(x)g(x)在区间在区间x D上恒成立上恒成立(2)不等式不等式f(x)g(x)在区间在区间x D上恒成立上恒成立在区间在区间D上函数上函数y=f(x)的图象在函数的图象在函数y=g(x)的图象的图象下方下方在区间在区间D上函数上函数y=f(x)的图象在函数的图象在函数y=g(x)的图象的图象上方上方例例3、当、当x(1,2)时，不等式时，不等式(x1)2logax恒成恒成立，求立，求a的取值范围的取值范围解解:设设f1(x)

8、(x1)2,f2(x)logax，要使当要使当x(1,2)时时,不等式不等式(x-1)2logax恒成立恒成立,只需只需f1(x)(x-1)2在在(1,2)上的图像在上的图像在f2(x)logax的下方即可的下方即可当当0a1时时,由图像知显然由图像知显然不成立不成立当当a1时时,如图如图,要使在要使在(1,2)上上,f1(x)(x1)2的图像在的图像在f2(x)logax的下方的下方,只需只需f1(2)f2(2)即即(21)2loga2，loga21，1a2. 12y1=(x-1)2y2=logaxxyo 1y2=logax例例4、若不等式若不等式x x2 2 log0,-kx+20,对对x

9、 x -3,3 -3,3恒成立，恒成立，则实数则实数k k的取值范围是的取值范围是 。2110 xy21y=x2y=log log x x16141 在同一坐标系下作它们在同一坐标系下作它们的图象如右图的图象如右图:解：解：设设 y1= x x2 2 (x (x (0, )(0, ) ) y2= logloga ax x21由图易得由图易得: a 1161 a1161 -2 k0,注意到若将等号两边看成是二次函数注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20 x及一次函数及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数，则只需考虑这两个函数的图象在的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。轴上方恒

10、有唯一交点即可。 xoyl2-20l1l解答：xoyl2-20l1l解：令y1= x2+20 x=（x+10）2-100,y2=8x-6a-3,则如图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a= 163/6当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a= 1/2a的范围为163/6，1/2）。 练习练习1: 对于一切对于一切 |p| 2，pR，不等式，不等式x2+px+12x+p恒成

11、立，则实数恒成立，则实数x的取值范围是：的取值范围是： 。x3小结：小结：1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。题，分类讨论。小结小结: 3、对于、对于f(x)g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数型问题，利用数形结合思想转化为函数 图象的关系再处理。图象的关系再处理。练习练习2、 若若 kx-1 对对x 1,+ ) 恒成立，则实数恒成立，则实数k的取值范的取值范围是：围是：_。xk2小结：小结： 4、 通过分离参数，将问题转

12、化为通过分离参数，将问题转化为f(x)（或（或f(x)）恒）恒成立，再运用不等式知识或求成立，再运用不等式知识或求 函数最值的方法，使函数最值的方法，使 问题获解。问题获解。例、已知例、已知a0，函数，函数f (x)=ax-bx2，（1）当）当b1，证明对任意的，证明对任意的x 0,1，|f(x)|1充要条件是充要条件是: b-1a2 ；（2）当）当01 bx+ 2 (x= 时取等号时取等号 )bb1x1bx - a +bxx1x1解解:(1) b1时时,对对x (0,1,|f(x)|1 -1ax-bx21bx2-1 ax 1+bx2 故故 x (0,1时原式恒成立的充要条件为时原式恒成立的充

13、要条件为: b-1a2b ( bx- )max=b-1 (x=1时取得时取得 )x1 又又 bx - 在在(0,1上递增上递增 x1又又 x=0时，时，|f(x)|1恒成立恒成立 x 0,1时原式恒成立的充要条件为时原式恒成立的充要条件为: b-1a2b故故 ( bx+ )min =b+1 (x=1时取得时取得) x1(2) 00三、课时小结：三、课时小结：2、二次函数型二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，题，分类讨论分类讨论。3、对于、对于f(x)f(x)g(x)g(x)型型问题，利用问题，利用数形结合数形结合思想转化为函数图思想转化为函数图

14、象的关系再处理。象的关系再处理。 4、通过、通过分离参数分离参数，将问题转化为，将问题转化为f(x)（或（或f(x)）恒恒 成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。问题获解。1、一次函数型一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。问题，利用一次函数的图像特征求解。4 、已知已知f(x)= (x R) 在区间在区间 -1，1上是增函数。上是增函数。（1）求实数）求实数 a 的值所组成的集合的值所组成的集合A；（2）设关于）设关于x 的方程的方程f(x)= 的两根为的两根为x1、x2，试问：是否存试问：是否存在实数在实数m，使得不等式，

15、使得不等式 m2 + t m + 1| x1 - x2| 对任意对任意a A及及t -1，1 恒成立？若存在，求出恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，的取值范围；若不存在，请说明理由。请说明理由。更多资源更多资源 1、当当x (0,1)时，不等式时，不等式x20 对对x (1,4)恒成立，求实数恒成立，求实数a的取的取值范围。值范围。2、若不等式、若不等式|x-a|+|x-1|2 对对x R恒成立，恒成立，则实数则实数a的取值的取值范围是范围是_。2xax22四、课后练习：四、课后练习：x1例例4、当、当x(1,2)时，不等式时，不等式(x1)2logax恒成恒成立，求立，求a的取值范

16、围的取值范围解解:设设y1(x1)2,2logax，要使当要使当x(1,2)时时,不等式不等式(x-1)2logax恒成立恒成立,只需只需f1(x)(x-1)2在在(1,2)上的图像在上的图像在f2(x)logax的下方即可的下方即可当当0a1时时,由图像知显然由图像知显然不成立不成立当当a1时时,如图如图,要使在要使在(1,2)上上,f1(x)(x1)2的图像在的图像在f2(x)logax的下方的下方,只需只需f1(2)f2(2)即即(21)2loga2，loga21，1a2. 12y1=(x-1)2y2=logaxxyo 1y2=logax例例5、当、当x (1,2)时，不等式时，不等式(

17、x-1)2logax恒成立，求恒成立，求a的取值范围。的取值范围。 分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。 yox12y1=(x-1)2y2=logax解解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x (1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。 故故loga21且且a1,解得；解得；1m(x -1)对满足 m2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围。2解：原不等式为（x -1)m-(2x-1)0时,a的范围是_22(1)00220(0)

18、01110faaaafaaa 或或21aa 或21220例7、当时，不等式恒成立，求a的取值范围。xxax a (1)0(2)0ff4,3a的取值范围。都成立的求对于所有的则是不等式且、已知xaaxaxaRa, 024)4(, 1|12解解1：044)2(xxax原不等式可化为44)2()(2xxaxag令恒成立，对则1 ,10)(aag0)1(0)1(gg所以13xx或解得：), 3()1 ,(的取值范围是故xxaxa2 2( (4 4) )4 42 20 0, ,解解2 2 ：构构造造二二次次方方程程31,1 , 1,2, 2221xaaxx则其根为的一切实数恒成立，对满足因为不等式11024)4(2aaax), 3() 1 ,(x所以方法二：构造方程，利用方程的性质求解方法二：构造方程，利用方程的性质求解2)2()2(:xxa解：原不等式可化为)(),2(,)2(221如图并做出它们的图象令xayxy0- 1 , 1)0 , 2(2的直线系，且斜率在是过定点其中y32)2() 1()2(1) 1 (xxxxa或得：时，由当32xxx或的范围是的由图象可知：满足条件21)2(1)2(1)2(2xxxxa或得：时，由当), 2() 1，的范围是（此时x), 3()