二项式定理知识点总结

1、二项式定理知识点总结作者 : 日期：二项式定理 .一、二项式定理 :a bn Cn0an Cn1an 1bCnkan kbkCnnbn（n N ）等号右边的多项式叫做 a b n的二项展开式，其中各项的系数 Cnk （k 0,1,2,3 n） 叫做二项式系数。对二项式定理的理解 :（ 1）二项展开式有 n 1项（2）字母 a按降幂排列 ,从第一项开始，次数由 n逐项减 1到0;字母 b按升幂排列 ,从第一项开始，次数由 0逐项加 1到n（3）二项式定理表示一个恒等式 ,对于任意的实数 a, b ，等式都成立，通过对 a , b取不同的特殊值，可为某些问题 的解决带来方便。在定理中假设 a 1，

2、b x，则 1 x n Cn0xn Cn1xCnkxn kCnnxn（ n N ）4）要注意二项式定理的双向功能方面可将二项式 a b n展开 ,得到一个多项式 ;另一方面 ,也可将展开式合并成二项式 a、二项展开式的通项 :Tk 1Cnkankbkv二项展开式的通项 Tk 1 Cnkan kbk （k 0,1,2,3 n） 是二项展开式的第 k 1项,它体现了二项展开式的项数、 系数、 次数的变化规律 ,是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项 Tk 1 Cnkan kbk (k 0,1,2,3 n)

3、 的理解：1）字母 b 的次数和组合数的上标相同2） a 与 b 的次数之和为 n3）在通项公式中共含有 a,b,n,k,Tk 1这 5个元素,知道 4个元素便可求第个元素例 Cn1 3Cn2 9Cn33n 1Cnn 等于( )nnA 4B。 3 4C。4n.4n例 2（）求（1 2x）7 的展开式的第四项的系数1 9 3）求 （x ）9的展开式中 x3 的系数及二项式系数 x三、二项展开式系数的性质： 对称性：在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即0 n 1 CnCn ,Cnn 1 2 Cn ,Cnn2CnCnknkCn 增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先

4、增后减，且在中间取得最大值。n 如果二项式的幂指数是偶数 ,中间一项的二项式系数最大 ,即n偶数： Cnk max Cn2 ；n 1 n 1如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即Cnk max Cn2 Cn2二项展开式的各项二项数的和等于 2n ，令 a 1， b 1即 Cn0 Cn1Cnn （1 1）n 2n;奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令 a 1， b 1即Cn0 Cn2C1n Cn32n 1例题:写出 （x y）11 的展开式中： （1）二项式系数最大的项；（ 2）项的系数绝对值最大的项 ;（3）项的系数最大的项和系数最小的项；（ 4）二项式系数

5、的和 ;（5）各项系数的和四、多项式的展开式及展开式中的特定项1）求多项式 （a1 a2an ）n的展开式 , 可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。例题 : 求多项式 （x2 12 2） 3的展开式x2, 可以先写出各个二项式的通项再分析。2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项例题： 求 (1 x)2 (1 x) 5的展开式中 x3 的系数n1例题： (1)如果在x 1 的展开式中 ,前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。24 x31(2)求x 2 的展开式的常数项。x【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式,用待定系数法确定 k五、展开

6、式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值,赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题： 已知 (1 2x)7a02a1x a2xa7x7, 求。( 1) a1a2a7 ;(2)a1a3a5a7 ；( 3) |a0 |a1 |a7 |.六、二项式定理的应用 :1、二项式定理还应用与以下几方面：( )进行近似计算 (2 )证明某些整除性问题或求余数(3 )证明有关的等式和不等式。如证明：2n 2n n 3,n N 取2n 1 1 n的展开式中的四项即可。、各种问题的常用处理方法() 近似计算的处理方法当不是很大， x| 比较小时可以用展开式的前几项求(1 x)n 的近似值。?( )例题： (

7、1.05)6 的计算结果精确到 01 的近似值是 1.23B1.4 1 33D.1.34(2)整除性问题或求余数的处理方法 解决这类问题 , 必须构造一个与题目条件有关的二项式 用二项式定理处理整除问题 , 通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式， 再利用二项式定理展开，这里的 k通常为 1,若 k为其他数 ,则需对幂的底数 k再次构造和或差的形式再展开 , 只考虑后面(或者是某项) 二项就可以了 要注意余数 的范围,对给定的整数 a,b(b 0) ,有确定的一对整数 q和r ,满足 a bq r ,其中b为除数 , r 为余 数, r 0,b , 利用二项式定理展开变形后，若剩余

8、部分是负数 ,要注意转换成正数 例题:求201363除以 7所得的余数例题： 若n为奇数,则7n Cn17n1 Cn27n 2Cnn 1 7被9除得的余数是 ( )A.0 B。 2C。 7D 8例题:当n N且n,求证 2 (1 1)n 3n【思维点拨】 这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试、选择题 :本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的1在x3 10 的展开式中，x6的系数为 ? ?(2.34A27C160B27C140?.9C160D 9C140已知 aA4已知 ( aA.100,b 4a，?B.9

9、a b n 的展开式按a 的降幂排列，其中第 n 项与第n+1 项相等 ,那么正整数等于 ?C10D.1n)n 的展开式的第三项与第二项的系数的比为32a1 2,则 n 是D.35310被 8 除的余数是 ?A.1? 2C.3D.75. (1 05)的计算结果精确到 0.01 的近似值是?(A.1.23?B.1 4C.33.1.4n6. 二项式 2 x,则此展开式有理项的项数是41 (n N) 的展开式中 ,前三项的系数依次成等差数列 4x?( ).?B2C.3? .4117设(3x 3 +x 2 )n展开式的各项系数之和为 t，其二项式系数之和为 h，若 h 2 2，则展开式的 x 2项的系

10、数是 ? ( )A 1B.1C2?D.2.在 (1 x26x2)6的展开式中x5的系数为 ? ?()A?BC6 ?D7 (3 x1 5 1x)n 展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是?()A.30? 62?C 680 ? 7900( x 1)4(x 1)5的展开式中 , x 4的系数为 ?() .40B10C4D.45二项式( 1 i x)的展开式中 ,末尾两项的系数之和为 7,且系数最大的一项的值为,则 x 在 ,2 内的值2为?()?A 或B. 或5 ?C 或2D 或 56366333612.在(1+x)5+(1x)6+(1+x)7 的展开式中,含 x4 项的

11、系数是等差数列 =3n的 ()A第2项第 11 项?C第0项第24 项二、填空题：本大题满分 16 分,每小题 4 分，各题只要求直接写出结果 .13.(x2 1 )9展开式中 x 9的系数是.2x1若 2x3a0a1xa4x，则 a0a2a4a1a3的值为_ _若 (x3 x 2 )n的展开式中只有第 6 项的系数最大 ,则展开式中的常数项是.16对于二项式( 1-x)1999 ，有下列四个命题 :1000 999展开式中 T1000 -C1999 ;展开式中非常数项的系数和是1； 展开式中系数最大的项是第 000 项和第 101 项；?当 x=200时， （-x）1999除以 2000 的

12、余数是 1.?其中正确命题的序号是 _ .（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题 :本大题满分 74 分 .1 （1分）若 （6 x）n 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.6x（） 求 n 的值；（2）此展开式中是否有常数项 ,为什么？18.（12分）已知（ 1 2x ）的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式系数最大的项的系数49（1分）是否存在等差数列 an ，使a1C 0n a2C1n a3Cn2an 1Cnn n 2n对任意 n N* 都成立 ?若存在，求出数列 an 的通项公式 ;若不存在 ,请说明理由 .20（12 分）某地现有耕地 10 000亩,规划 10 年后粮食单产比现在增加 2 ,人均粮食占有量比现在提高 0%。 如果人口年增加率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1 亩） ?21. （12 分）设 f（x） （1+x）m（ +x） （m、n N ）,若其展开式中 ,关于 x的一次项系数为 11,试问 :m 、n取何值时， f（x）的展开式中含 x项的系数取最小值，并求出这个最小值（ 14 分）规定 Cxmx（x 1） （x m