南京工业大学近几年线性代数考试试卷试题及答案

1、 南京工业大学近些年线代期末考试卷及答案 包括以下六份试卷1南京工业大学 线性代数 课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)2南京工业大学 线性代数 课程考试试卷（B）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)3南京工业大学 线 性 代 数 试题（B）卷（闭） 2007-2008学年第 一 学期 使用班级江浦各专业本科生 4南京工业大学 线 性 代 数 试题（A）卷（闭） 2008-2009学年第 一 学期 使用班级 江浦各专业本科生 5南京工业大学 线 性 代 数 试题（B）卷（闭） 2008-2009学年第 一 学期 使用班级江浦各专业本科生 6南京工业大学 线 性

2、 代 数 试题（A）卷（闭） 2008-2009学年第 二 学期 使用班级 计软08013 南京工业大学 线性代数 课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期) 所在系(院) 班 级 学号 姓名 题分一二三四五六七八总分一 填空题(每空3分，共15分)1、 若阶方阵A满足(为单位阵)，则的逆矩阵_.2、设矩阵是由矩阵划去某一列所得, 则秩()_秩().3、若, 则_.4、若向量与正交，则_.5、已知三阶矩阵的特征值为设则的三个特征值为 _.二 单项选择题(每题3分，共15分)1、齐次线性方程组的一个基础解系为，则的秩为 （ ） 2、设有个维向量，则 （ ）必线性相关 必线性无

3、关 不一定 无法确定3、设为阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是 （ ） （为任意阶方阵） （为任意阶方阵）4、设与均为阶方阵，若与相似，则下面论断错误的是 （ ）存在，且，并有 与有相同的特征值 与均可对角化5、若向量组线性无关，向量组线性相关, 则 （ ）必不可由线性表示 必可由线性表示 必不可由线性表示 必可由线性表示三. (12分) 求阶行列式:。四(12分) 设，且有关系式AX=A+2X，求矩阵X. 五(12分)求向量组的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线性无关组的线性组合。 六(16分) 已知二次型。（1）写出二次型f的矩阵A； （2）用正交变换把二次型f化为

4、标准形，并写出相应的正交矩阵；（3）判别二次型的正定性七1.(江浦学生做)(12分)问a为何值时，线性方程组无解，有解？有解时求其通解。2(浦江学生做)(12分) 判别非齐次线性方程组是否有解，若有解，求其通解。八.1.(江浦学生做)(6分) 设是3阶矩阵，是3维向量，若向量组线性无关，且，.（1） 求矩阵的特征值；（2）设，其中是3阶单位矩阵，是的伴随矩阵，求的行列式 的值。2.(浦江学生做). (6分) 假如是某齐次线性方程组的一个基础解系, 问是不是齐次线性方程组基础解系 为什么？南京工业大学 线性代数 课程考试试卷（A）解答(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)一、1、，2、 ，

5、 3、2 ， 4、， 5、-4,-6,-12 二、1、D，2、A， 3、C， 4、D， 5、B， 三第列加到第1列： 4分 = 4分 = 4分四 (12分) 解： 3分 分 五(12分) 解： 6分秩为3； （8）分极大线性无关组为； （10）分。 （12）分六.(16分) 解:（1） 4分（2） ，得特征值2，4，4。 7分对于=2，得特征向量; 10分取正交变换。则 12 （3）因为特征值都大于0， 所以二次型是正定二次型 16分七(江浦学生)(12) 解： 6分（1） 当时，方程组无解； 8分（2） 当时，有无穷多组解， 10分通解为。 12分七(浦江学生)(12分) 解： 6分b)=，

6、方程组有无穷多解。 9 分通解为 。 12分八(江浦学生) (6分) （1） 2分 ,的特征值为1，1，5； 2分（2）的特征值为：，B的特征值为：, 2分 八.(浦江学生). (6分) 解. 是 2分(1) 由于是某齐次线性方程组的解. 则它们线性组合是的解; 1分(2) 由于线性无关 ,可得线性无关; 2分(3) 由于基础解系中含3个解向量, 从而是组基础解系. 南京工业大学 线性代数 课程考试试卷（B）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期) 所在系(院) 班 级 学号 姓名 题分一二三四五六七八总分一 填空题(每空3分，共15分)1.设，则 ，。2.三阶方阵A满足，则。3.矩阵的特

7、征值为，A能否相似于对角阵。二 单项选择题(每题3分，共15分)1若行列式=0，则x=（ ）（A）2（B）-2 （C）3（D）-32. 已知，则：（A）若时，则， （B）若时，则，（C）无论是否为0，均有， （D）B可能不等于C。3. 矩阵有特征值为1，2，则一定有特征值( )(A) 1，2 (B) 1，3(C) 2，3 (D) 1, 2, 34. 若矩阵A的秩为r，则（ ）。（A）A中所有r阶子式均不为零； （B）A中所有r+1阶子式均等于零；（C）A中所有r1阶子式均不为零； （D）A中只有一个r阶子式不为零。5. 非齐次线性方程组中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（

8、）。（A）时，方程组有解； （B）时，方程组有唯一解；（C）时，方程组有唯一解； （D）时，方程组有无穷多解。三. (12分) 求阶行列式: 。四(12分) 设A=，且有关系式AX=A+2X，求矩阵X. 五(12分) 求向量组 的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线性无关组的线性组合。 六(16分) 已知二次型。（1）写出二次型f的矩阵A； （2）用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵；（3）判别二次型的正定性七1.(江浦学生做)(12分)问a为何值时，线性方程组无解，有解？有解时求其通解。2.(浦江学生做)2.(12分) 判别非齐次线性方程组是否有解，若有

9、解，求其通解。八.1.(江浦学生做)(6分)假如是某齐次线性方程组的一个基础解系, 问是不是齐次线性方程组基础解系 为什么？2. (浦江学生做) (6分)试证：如果向量组线性无关，则向量组也线性无关。南京工业大学 线性代数 课程考试试卷（B）解答(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)一1）2,； 2）16； 3）0,能二1）C 2）D， 3）B， 4）B 5)A三第行加到第1行： 4分 = 4分 = 4分四 (12分) 解： 3分 分 五(12分) 解： 6分秩为3； （8）极大线性无关组为； （10）分。 （12）分 六.(16分) 解:（1） 4分（2） ，得特征值1，4，6。 7分

10、对于=1，得单位特征向量：对于=4，得单位特征向量：；对于=6，得单位特征向量： 10分取正交变换。则 12分（3）因为特征值都大于0， 所以二次型是正定二次型 16分七. 1.(江浦学生)(12) 解： 6分（1） 当时，方程组无解； 8分（2） 当时，有无穷多组解， 10分通解为。 12分2.(浦江学生).(12分) 解： 6分b)=，方程组有无穷多解。 9 分通解为 。 12分八. 1.(江浦学生) (6分)是 2分(1) 由于是某齐次线性方程组的解. 则它们线性组合是的解; 1分(2) 由于线性无关 ,可得线性无关; 2分(3) 由于基础解系中含3个解向量, 从而是基础解系. 1分 2

11、.(浦江学生). (6分) 解. 设有一组数，使 2分即 因为线性无关，所以 2分所以 ，也线性无关。 南京工业大学 线 性 代 数 试题（B）卷（闭） 2007-2008学年第 一 学期 使用班级江浦各专业本科生 班级 学号 姓名题号一二三四五六七八总分得分一、填空题（每题3分，共15分）1、若n阶方阵满足矩阵方程，则 。2、设均为n阶矩阵，则 。3、设，则 。4、设为n阶单位矩阵，为n维单位列向量。则的n个特征值为 。5、已知向量，正交，则 。一、 单项选择题（每题3分，共15分）1、方程组表示空间三平面，若系数矩阵的秩为3，则三平面的位置关系是( )(A) 三平面重合 (B)三平面无公共

12、交点 (C) 三平面交于一点 (D) 无法确定它们的位置关系2、如向量组线性无关但可由向量组线性表出，则的关系为( )（A） （B） ( C ) (D) 3、设n阶实对称矩阵为正定矩阵，则一定 （ ） (A) 小于1 (B) 等于1 (C)小于等于1 (D) 大于14、如果n阶矩阵满足，则以下论述正确的是( ) （A） (B) 当可逆时一定有 (C) （D）当可逆时未必有5、设线性无关，则关于向量组的论述正确的是（ ）（A）一定线性无关 （B）一定线性相关 (C)相关与否与n有关 （D）以上均不正确三. (12分) 求阶行列式: 。四、(12分) 设，且有关系式，求矩阵.五、（12分）设向量组

13、，求该向量组的秩及其一个极大无关组并将其余的向量用该极大无关组线性表示。六、（14分）设二次型，回答下列问题：1） 写出此二次型的矩阵；2） 利用正交变换将此二次型化为标准型，给出正交变换和标准型；3） 讨论该二次型的正定性。七、（14分）当为何值时，线性方程组无解，有无穷多解？并求无穷多解时的通解。八、（6分）设为阶矩阵，证明：方程组与方程组同解。南京工业大学 线 性 代 数 试题 （B）卷试题标准答案2008-2009学年第一学期 使用班级 江浦各专业本科生 一、 填空题(每题3分，共15分)(1) (2) (3) 25 (4) (n-1重) (5) 1二、 选择题(每题3分,共15分)

14、(1) C (2) B (3) D (4) B (5) C三、（12分）第列加到第1列： 4分 = 8分 = 12分四、（12分）由关系式 得即 4分 由可知，即可逆。.8分上式两边左乘得。12分五、(12分)解：以向量为列构成矩阵并进行初等行变换： 。8分所以，是的一个极大无关组，且 ，。12分六、（14分）解：（1）该二次型的矩阵为 。4分（2）首先求出矩阵的特征值。由于矩阵的特征方程为故矩阵的特征值分别为1，3（二重）。当时，得单位特征向量；当时，得单位正交特征向量，取，做变换则是变换正交，且将二次型化为标准型 。12分（3）因为二次型矩阵的特征值都是正的，所以此二次型为正定二次型。14

15、分。七、（14分）解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换： 由此可知当时，方程组无解，当时，方程组有无穷多解。-9分当时，继续对进行初等行变换，化为行最简型得 则原方程组与方程组 同解。则容易求得非齐次方程组的一个特解为。再求解齐次方程组得其一个基础解系为 ， 则原方程组的通解为.(14分。八、证明：设是方程组的任一解，则，显然，则是方程组的解。即的解都是的解。 2分设是方程组的任一解，即 （1）（1） 两边与做内积得即故有 ，即是方程组的解。从而任何的解都是的解。综上可知方程组与方程组同解。 证毕。6分南京工业大学 线 性 代 数 试题（A）卷（闭） 2008-2009学年第 一 学期 使用班

16、级 江浦各专业本科生 班级 学号 姓名 题号一二三四五六七八总分得分（符号说明：表示单位矩阵，表示矩阵的秩，表示行列式，表示矩阵的转置。）一、 填空题（每题3分，共15分）1设3阶矩阵，则 。2设三阶矩阵的特征值为1，1，3，再设则 .。3设阶矩阵的各行元素之和等于零，且的秩为，则齐次线性方程组的通解为 。4设向量为属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量，则 。5已知，则 。二、选择题（每题3分，共15分）1设齐次方程组的一个基础解系为，则 （ ）. 2设阶矩阵有个不同的特征值，而且。如果与对角矩阵相似，则( ). (A) (C) (D) 3.若向量组线性无关，向量组线性相关, 则 （ ）.必不

17、可由线性表示 必可由线性表示 必不可由线性表示 必可由线性表示4. 设阶矩阵， 则如下结论正确的是（ ）.（A） (B)(C) (D) 5. 对于矩阵方程，以下结论正确的是（ ）. (A) (B) (C)如可逆 （D）以上均不正确.三、 (10分)计算下行列式 四、 （10分）设三阶矩阵满足矩阵方程，试求矩阵.五、（14分）设向量，求向量组的秩和极大无关组，并把极大无关组以外的向量用极大无关组线性表示.六、（13分）当为何值时，线性非齐次方程组 无解、有唯一解、或有无穷多组解？在有无穷多解时，求出其通解.七、（15分）已知二次型，试回答下列问题1） 写出此二次型的矩阵；2） 利用正交变换该二次

18、型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型；3） 判断该二次型是否具有正定性。八、（8分）Housesholder矩阵是计算数学中一类重要的变换（镜面反射）方法，一般用来化矩阵为上Hesseberg矩阵。设实向量且，则其一般形式为试回答下列问题：1） 证明：Householder矩阵是实对称正交矩阵;（3分）2） 证明：一般实对称正交矩阵的特征值只能是1或1，并确定Householder矩阵的特征值（3分）3） 对于，试给出此Householder矩阵属于各特征值的特征向量.（2分）南京工业大学 线 性 代 数 试题 （A）卷试题标准答案2008-2009学年第一学期 使用班级 江浦各专业本

19、科生 一、 填空题(每题3分，共15分)(1) 0 (2.) -432 (3) (4) 1或1 (5).二、选择题（每题3分，共15分）（1） D (2) C (3) B (4) A (5) C三、（10分）解：（从第二列至第n列加到第1列）5分（提取公因子）（）8分10分四、（10分）解：由得 6分又，故可逆，上式两边同时左乘得 。10分五、（14分）解：以为列生成矩阵，并对施行初等行变换将其化为行最简形. 6分 8分所以，一个极大无关组为，（12分）且（14分）六、（13分）对方程组的增广矩阵进行初等行变换 -5分显然可见： 当时方程组无解，当时方程组有唯一解，当时方程组有无穷多组解.8分

20、当时继续将矩阵化为行最简形得 与原方程组等价的方程组为 令，得原方程组的一个特解为。11分与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为 令得齐次方程组的一个基础解系为故原方程组有无穷多组解时的通解为，为任意常数.13分七、（15分）解：1）二次型的矩阵为 3分2）先计算矩阵的特征多项式 故矩阵的特征值分别为6分 再计算矩阵的属于各特征值的特征向量： 当时，求解方程组得一个特征向量为.当时，求解方程组得一个特征向量为.当时，求解方程组得一个特征向量为.令，作变换，则此变换即为正交变换，该二次型在此变换下的标准型为。12分3）因为矩阵的特征值都是正的，故该二次型为正定二次型.15分八、1）显然为实矩阵

21、，又 ， .所以为实对称正交矩阵.3分2)设是实对称矩阵正交矩阵的属于特征值的特征向量，则,而，则必有容易验证 ，即是的一个特征值，设是和正交的非零向量，则有，又R(u)=1,这种非零向量可以求出个。所以1是的重特征值。6分3）由2）可知是的属于特征值1的一个特征向量，而方程组的一个基础解系即为属于特征值1的个特征向量，比如 即是属于特征值1的个特征向量。8分 南京工业大学 线 性 代 数 试题（B）卷（闭） 2008-2009学年第 一 学期 使用班级江浦各专业本科生 班级 学号 姓名 题号一二三四五六七八总分得分一、填空题（每题3分，共15分）1设三阶方阵A满足，表示的伴随矩阵，则 , 2

22、设阶方阵A满足, 则 。3设A为实对称矩阵，与分别属于A的不同特征值的特征向量，则 。4、设三阶矩阵的行列式为，则 。5设，则 。二、选择题（每题3分，共15分）1方程组表示空间三平面，若系数矩阵的秩为3，则三平面的位置关系是( )(A) 三平面重合 (B)三平面无公共交点 (C) 三平面交于一点 (D) 无法确定它们的位置关系2设与均为阶方阵，若与相似，则下面论断错误的是 （ ）存在，且，并有 与有相同的特征值 与均可对角化3设为阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是 （ ）. （为任意阶方阵） （为任意阶方阵）4.设有个维向量，则 （ ）必线性相关 必线性无关 不一定 无法确定5.若矩阵A的秩

23、为r，则（ ）。（A）A中所有r阶子式均不为零； （B）A中所有r+1阶子式均等于零；（C）A中所有r1阶子式均不为零； （D）A中只有一个r阶子式不为零。三、(12分)计算行列式 四、(10分) 设，且有关系式，求矩阵. 五、 (14分) 求向量组 的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线性无关组的线性组合。 六、(14分)问a为何值时，线性方程组无解，有解？有解时求其通解。七、（14分）设二次型，回答下列问题：1） 写出此二次型的矩阵；2） 利用正交变换将此二次型化为标准型，给出正交变换和标准型；3） 讨论该二次型的正定性。8、 （6分）设为对称正定矩阵，证明：.南京工

24、业大学 线 性 代 数 试题 （B）卷试题标准答案2008-2009学年第一学期 使用班级 江浦各专业本科生 一、 填空题(每题3分，共15分)(1)5E (2)A-E (3)-3（4） (5) 25二、选择题（每题3分，共15分）1C 2. D 3. C 4. B 5. A三、（12分）计算行列式 第列加到第1列： 4分 = 8分 = 12分四、（10分）解由关系式 得即 4分 由可知，即可逆。.6分上式两边左乘得。10分五、（14分）8分秩为3；一个极大线性无关组为；10分 。 14分 六、（14分） 6分 （1） 当时，方程组无解； 8分（2） 当时，有无穷多组解， 10分通解为。 14

25、分七、解：（1）该二次型的矩阵为 。4分（2）首先求出矩阵的特征值。由于矩阵的特征方程为故矩阵的特征值分别为1，3（二重）。当时，得单位特征向量；当时，得单位正交特征向量，取，作变换则是正交变换，且将二次型化为标准型 12分（3）因为二次型矩阵的特征值都是正的，所以此二次型为正定二次型。14分。八、（6分）证明：设对称正定矩阵的特征值分别为，则2分而6分.南京工业大学 线 性 代 数 试题（A）卷（闭） 2008-2009学年第 二 学期 使用班级 计软08013 班级 学号 姓名 题号一二三四五六七八总分得分（符号说明：表示单位矩阵，表示矩阵的秩，表示行列式，表示矩阵的转置,trace(A)

26、表示矩阵A的足迹。）一、 填空题（每题3分，共15分）1已知，则 。2为n维非零单位列向量，则矩阵的n个特征值分别为 。3设矩阵，矩阵满足，其中为的伴随矩阵，则 。4方程组有解的充要条件为 。 5已知，则 。二、选择题（每题3分，共15分）1设是三个同阶方阵、为同阶单位矩阵，且。下列等式：;。其中正确的个数有( )（A） 2个 (B) 1个 (C ) 3个 (D) 4个2设线性无关，则关于向量组的论述正确的是（ ）（A）一定线性无关 （B）一定线性相关 (C)相关与否与n有关 （D）以上均不正确3.设三阶方矩的三个特征值分别为 1,2,4, 又矩阵,则如下正确的是( )(A)矩阵不可逆 (B) 矩阵三个特征值为 -1,3,17 (C)矩阵B不可以对角化 (D) 4. 设阶矩阵，则如下结论正确的是（ ）.（A） (B)(C)(D) 5. 如都是四维列向量，且4阶行列式，则4阶行列式等于(