第四章 §2 复数的四则运算

1、第第四四章章2 2 理解教理解教材新知材新知把握热点把握热点考向考向应用创新演练应用创新演练 考点一考点一 考点二考点二 考点三考点三 知识点一知识点一 知识点二知识点二 知识点三知识点三 知识点四知识点四第一页，编辑于星期一：二十点 五十七分。第二页，编辑于星期一：二十点 五十七分。第三页，编辑于星期一：二十点 五十七分。第四页，编辑于星期一：二十点 五十七分。 复数复数z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)问题问题1：多项式的加减实质是合并同类项：多项式的加减实质是合并同类项,类比想一想复类比想一想复数如何加减数如何加减提示：两个复数相加提示：两个复数相加(减减)就是把实部与实部、虚部

2、与虚局部就是把实部与实部、虚部与虚局部别相加别相加(减减),即即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.问题问题2：类比向量的加法：类比向量的加法,复数的加法满足交换律和结合律复数的加法满足交换律和结合律吗？吗？提示：满足提示：满足第五页，编辑于星期一：二十点 五十七分。 1加加(减减)法法那么法法那么 设设abi与与cdi(a,b,c,dR)是任意复数是任意复数,那么：那么：(abi)(cdi) . 2运算律运算律 对任意的对任意的z1,z2,z3C,有有 z1z2 (交换律交换律)； (z1z2)z3 (结合律结合律).(ac)(bd)iz2z1z1(z2z3)第六页，编辑于星期一：二十点

3、 五十七分。 问题问题1：复数的加减类似于多项式加减：复数的加减类似于多项式加减,试想：复数相乘试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？是否类似两多项式相乘？ 提示：是提示：是 问题问题2：复数的乘法是否满足交换律、结合律：复数的乘法是否满足交换律、结合律,以及乘以及乘法对加法的分配律？法对加法的分配律？ 提示：满足提示：满足第七页，编辑于星期一：二十点 五十七分。问题问题3：试举例验证复数乘法的交换律：试举例验证复数乘法的交换律提示：假设提示：假设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i,z2z1(cdi)(abi)(acbd)(bcad)

4、i.故故z1z2z2z1.第八页，编辑于星期一：二十点 五十七分。复数的乘法复数的乘法(1)定义：定义：(abi)(cdi) .(2)运算律：运算律：对任意对任意z1,z2,z3C,有有(acbd)(adbc)i交换律交换律z1z2 结合律结合律(z1z2)z3 乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律z1(z2z3) z2z1 z1(z2z3) z1z2z1z3复数的乘方：任意复数复数的乘方：任意复数z,z1,z2和正整数和正整数m,n,有有zmzn ,(zm)n ,(z1z2)n .zmnzmn12nnz z第九页，编辑于星期一：二十点 五十七分。观察以下三组复数：观察以下三组复数：(1)z1

5、2i；z22i；(2)z134i；z234i；(3)z14i；z24i.问题问题1：每组复数中的：每组复数中的z1与与z2有什么关系？有什么关系？提示：实部相等提示：实部相等,虚部互为相反数虚部互为相反数问题问题2：试计算每组中的：试计算每组中的z1z2,你发现了什么规律吗？你发现了什么规律吗？提示：提示：z1与与z2的积等于的积等于z1的实部与虚部的平方和的实部与虚部的平方和第十页，编辑于星期一：二十点 五十七分。实部实部虚部虚部共轭复数共轭复数abi|z|2第十一页，编辑于星期一：二十点 五十七分。第十二页，编辑于星期一：二十点 五十七分。问题问题1：根据乘法运算法那么和复数相等的概念：根

6、据乘法运算法那么和复数相等的概念,请用请用a,b,c,d表示出表示出x,y.第十三页，编辑于星期一：二十点 五十七分。问题问题2：运用上述方法求两个复数的商非常繁琐：运用上述方法求两个复数的商非常繁琐,有更简便的有更简便的方法求两个复数的商吗？方法求两个复数的商吗？提示：可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后提示：可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后,再进行再进行运算运算第十四页，编辑于星期一：二十点 五十七分。第十五页，编辑于星期一：二十点 五十七分。 1复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法和乘法相类似和乘法相类似,但应注意在乘法中必须把但应注意

7、在乘法中必须把i2换成换成1,再把实再把实部、虚局部别合并部、虚局部别合并 2复数的除法和实数的除法有所不同复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式写成分式,然后分母实数化然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复分子、分母同乘分母的共轭复数数)第十六页，编辑于星期一：二十点 五十七分。第十七页，编辑于星期一：二十点 五十七分。例例1计算：计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)；(3)(abi)(2a3bi)3i(a,bR)思路

8、点拨思路点拨利用复数加减运算的法那么计算利用复数加减运算的法那么计算精解详析精解详析(1)(12i)(34i)(56i)(42i)(56i)18i.(2)5i(34i)(13i)5i(4i)44i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)b(3b)3ia(4b3)i.第十八页，编辑于星期一：二十点 五十七分。 一点通一点通复数加、减运算的方法技巧复数加、减运算的方法技巧 (1)复数的实部与实部相加、减复数的实部与实部相加、减,虚部与虚部相加、虚部与虚部相加、减减 (2)把把i看作一个字母看作一个字母,类比多项式加、减中的合并同类比多项式加、减中的合并同类项类项第十九页，编辑于星期一：二十点

9、 五十七分。第二十页，编辑于星期一：二十点 五十七分。2假设假设(310i)y(2i)x19i,求实数求实数x,y的值的值第二十一页，编辑于星期一：二十点 五十七分。 思路点拨思路点拨按照复数的乘法与除法运算法那么进按照复数的乘法与除法运算法那么进行计算行计算第二十二页，编辑于星期一：二十点 五十七分。精解详析精解详析(1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(211i5)(34i)2i(311i)(34i)2i(912i33i44i2)2i5321i2i5323i.第二十三页，编辑于星期一：二十点 五十七分

10、。 一点通一点通 (1)复数的乘法可以把复数的乘法可以把i看作字母看作字母,按多项式的乘法法那么进按多项式的乘法法那么进行行,注意把注意把i2化成化成1,进行最后结果的化简；复数的除法先写成进行最后结果的化简；复数的除法先写成分式的形式分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,并进行化并进行化简简 (2)im(mN)具有周期性具有周期性,且最小正周期为且最小正周期为4,那么：那么： i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1(nN)； i4ni4n1i4n2i4n30(nN)第二十四页，编辑于星期一：二十点 五十七分。3(2011浙江高考浙江高考)假设复数假设复数z1i,i为虚数单位为虚数单位,那么那么(1z)z ()A13i B33iC3i D3解析：解析：(1z)zzz21i(1i)21i2i13i.答案：答案：A第二十五页，编辑于星期一：二十点 五十七分。4(2012山东高考山东高考)假设复数假设复数z满足满足z(2i)117i(i为虚数为虚数单位单位),那么那么z为为 ()A35i B35iC35i D35i答案：答案： A第二十六页，编辑于星期一：二十点 五十七分。解：解：(1)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)(4i)(62