国小四年级小数教学研究

1、國小四年級小數教學研究吳金聰屏東縣復興國民小學TEL：(08)7525402FAX：(08)7562283E-mail：wu52劉曼麗國立屏東師範學院數理教育研究所TEL：(08)7226141轉6103FAX：(08)7239847E-mail：.tw 摘要 本研究為三年級小數教學研究之後續研究，旨在探討四年級小數的教學情形。參與研究的對象有筆者及41位學生；並採參與觀察、訪談、文件分析等方法蒐集與分析資料。 筆者以82年版課程常用的教學模式經三階段的教學，主要發現有六個小數教學問題值得探討（詳見本文）。這些問題產生的主因，可能是未對迷思與錯誤做法給予學生

2、充分的質疑辯證所致。教師若能視學生的學習情形適時調整教學進度，並多給予學生讚美、鼓勵與支持，則可促使學生更願意提出心中的問題，進行質疑辯證，以澄清概念或錯誤的想法。關鍵字：小數、教學、國小四年級一、研究動機與的目 根據一些學者的研究顯示，部分學生在小數學習上出現許多困難（吳昭容，民85；劉曼麗，民87；DEntremont,1991；Wearne and Hiebert，1986）；而筆者（第一位作者）於八十七學年度首次以82年版數學課程的教學理念，從事三年級小數教學研究時，發現自己的小數教學，雖有一些教學問題存在，但比以往的傳統教學更容易讓學生建構小數概念（吳金聰，民88；吳金聰、劉曼麗，民

3、89）。隨著原班級（被研究班級）升至四年級，筆者也延續小數教學研究至四年級，故再次針對原班級蒐集四年級的教學資料，以瞭解小數教學情形在四年級又是如何？故本研究的主要目的是：探討四年級有關小數部分的教學情形。本研究不可推論到其他的對象，但期盼本研究能促進自己的專業成長而使學生受益，也期望能做為其他教師教學上的參考，有心者或許能從中獲得一些教學上的啟示，並進而能對小學數學教育有所貢獻。二、研究方法（一）、參與對象與關係建立本研究的教學者即筆者本人。受教的學生來自筆者擔任四年級導師的班級，有男生23人、女生18人，共41名。筆者於研究前已擔任該班導師一年，彼此間的互動有良好的關係，應可蒐集到較真實的

4、資料。（二）、教學方法與內容 本研究是採質的研究方法進行研究。教學方法則以教師佈題學生解題溝通討論質疑辯證形成共識的模式（黃敏晃，民83；鄔瑞香，民83）實施；教學內容依序有二位小數、小數與分數、二位小數的加減，並依此次序分三階段完成（內容與進度如表1）。表1四年級小數教學內容與進度表日期階段冊別單元教學內容日期階段冊別單元教學內容88.12.21一七十活動一：1/100=0.01活動二：10個0.01=0.189.03.16二八三活動三：數線活動四：比大小88.12.23活動三：15個0.01與0.15活動四：帶小數89.05.23三八十活動一：1及0.1的合成與分解 活動二：純小數的合成

5、活動三：純小數的分解88.12.28活動五：分與合活動六：百分位89.03.14二八三活動一：0.1與1/10活動二：0.01與1/10089.05.25活動四：小數的合成與分解 活動五：離散量（三）、資料蒐集與分析資料蒐集前，筆者曾針對82年版三年級小數教學進行研究，為了進一步瞭解筆者和原班級升上四年級後在小數的教與學情形，故只針對四年級有關小數的部分，歷經上、下學期共十四節課的資料進行蒐集。教學過程採全程攝影，並將之轉錄成文字資料而成教學實錄，並與師院教授（第二位作者）和曾參與82年版數學實驗課程之教師對此教學實錄進行討論，以作為資料分析的主要來源。每一節課結束後，學生須寫數學習作與數學日

6、記，以取得學生學習情形的資料，有值得探究的問題時，再對學生進行訪談；筆者則須書寫教學札記以反省當日的教學情形。 本研究的主要資料來自教學活動的教學實錄。筆者以持續不斷、週而復始的比較查證之做法，將龐大的教學實錄之師生互動行為資料加以編碼分析，找出值得探討的教學互動；再以82年數學課程的理念及學生能否獲得概念性的小數知識之觀點，來探討這些教學互動。分析探討其間並輔以教學札記、習作、數學日記、訪談等資料佐證，並與第二位作者討論這些教學互動，使本研究更為客觀。三、研究結果 經三階段的教學，主要發現有下列六個小數教學情形值得探討：（一）、學生可能還受全部的影響，仍有把整體的量當作是分母的問題。小數教學

7、在三年級時是透過分母為10時的分數意義（如：1/100.1）來認識一位小數；在四年級時是透過分母為100時的分數意義（如：1/1000.01）來認識二小數。可是，筆者在三年級的小數教學研究（吳金聰，民88）時，發現教學中，學生有以全部詮釋分母的迷思，也就是有把整體的量當作是分母的問題；而二位小數的教學中，學生是否也有此迷思？筆者檢視教學實錄，發現如下的教學情形（88.12.23教學）：佈題：（黑板貼2張百格板代表2張紙，斜線的部分佔1.02張，表示用掉的）做風箏用掉這麼多紙，是用了多少張紙？有沒有不同的記法？T：（有學生的答案是：102/200張）解釋一下你為什麼這樣記？S1：這裡有二張！分成

8、二百個格子，所以寫二百（指著分母的200）！S2：一張分成一百等分，怎會是二百？（S1承認做錯了！T問正確的寫法要怎麼寫？S2則回答102/100，T請其解釋：）S2：一張切成一百等分！用了其中的一百零二等分，所以是102/100，聽得懂嗎？S3S3：一張百，有二張百為什麼不二張加起來？S2：因為它一張一百等分而已啊！如果寫成二百，就是一張切成二百等分了！ 在這個案例中，S1解釋其答案是102/200張的理由是：這裡有二張！分成二百個格子，所以寫二百（指著分母的200）！從S1的說明中可發現，學生有把基準量（分母）視為紙張的格子總數量200的迷思，也就是未能確認基準量是一張或二張，這與學生們在

9、受三年級小數教學時所發生的迷思是相同的，但S2的回答：一張切成一百等分！用了其中的一百零二等分，所以是102/100、如果寫成二百，就是一張切成二百等分了！卻清楚的交代基準量是一張切成100等分，學生在質疑辯證中檢驗或修正解法，進而增加數學知識，這與國內部分研究發現雷同（連安青，民86；曾志華，民86；黃敏晃，民83）。但上述的教學，雖有質疑辯證的歷程，卻未引導學生做充分的質疑辯證，也未確認這些迷思者是否已澄清迷思；而筆者在相關文獻（吳德邦、廖瑞娟，民86；吳金聰，民88）中也發現，要鼓勵學生勇於發表意見，教師要能提供安全無威脅的環境，讓學生進行質疑辯證的討論活動，而教師的鼓勵、讚美、肯定，更

10、是營造此環境所必須的。但在三個階段的教學中，筆者礙於趕課的壓力而未表現出這類行為（88,12,28；89,3,14；89,3,16教學札記），這是筆者待改善的地方。另外，一年前的教學，雖曾對學生把整體量當作是分母的迷思進行澄清；但一年過後，仍有少部分學生有此迷思。因此，數學概念形成之初，最好就讓學生建立正確的數學概念，否則一旦形成迷思，就須花更多的時間來澄清，且會事倍功半。（二）、學生可能受位數與位名的綜合影響，有小數與分數互換的問題。學生在一位帶小數與分數（分母是10）互換習作表現上，其答對率只有六成；反而二位帶小數與分數（分母是100）的互換，其答對率卻能高達九成，這讓筆者感到疑惑。因此，

11、分析學生習作在一位小數與分數互換的解題情形，發現有多位類似的答案：14.6=或14.6=（89,3,14習作）；經訪談，寫第一個答案者，其想法類似是：14.6的14是分成14等分，.6是其中的6等分；寫第二個答案者，其想法類似是：14.6有三個位數，是到百位，所以是分成100等分，1、4、6是其中的146等分。（89,3,15訪談）從這些訪談來看，學生有小數與分數互換的問題。二者都尚未完全理解分數與小數意義，也未將符號與意義加以連結，只是依現有的小數數碼，想像其在分數之分母與分子的位置，來拼湊答案。再檢視該天（二節）的教學實錄（89,3,14教學），學生在分數與小數互換上的質疑辯證歷程中，並未

12、發現問題，但卻發現以下的布題：布題一：林則與的媽媽做果凍，把每一盒切成十等分，也就是切成10塊，林則與和妹妹共吃了12塊果凍， 12塊可以說幾盒？（不限定做法）布題二：每一位小朋友抓一把白色積木，算算看是幾個白色積木？也可以說幾條積木？布題三：（呈現1.12張積木圖卡表示1.12盒仙草）1盒仙草切成100小塊，112塊有幾盒？也可以說幾盒？這些課堂上所布的問題與習作的問題，在內容上有很大的不同，課堂上是透過生活情境、呈現具體物或提供具體操作物來布題，以要求學生解題；但習作的問題卻只呈現數字符號就要求學生解題，例如：14.6=（ ），部分學生可能不知以具體物表徵小數，而筆者也不知提醒學生透過操作

13、具體物解題。因此，學生可能以現有的數字及先前已建立的不正確想法來拼湊答案，這可能是習作表現不佳的原因之一。所以，讓學生解此類的問題時，宜提醒其使用具體物（如：積木）解題。此外，筆者也發現該天的教學（89,3,14教學），師生間雖有質疑辯證的歷程，但不夠充分（89,3,14教學札記）。這也可能是習作表現不佳的原因之一。（三）、中低成就者有一位小數與分母為100的分數互換或二者間比較大小的問題 在比較大小的教學活動中，筆者所布的題目有二位純小數與真分數（分母為100）、及帶分數（分母為100）與一位帶小數等兩種題型的比較大小；而習作表現上，二位小數與分數（分母為100）之比較大小（含二位純小數與真

14、分數，及二位帶小數與帶分數之比較）的答對率接近九成，但帶分數（分母為100）與一位帶小數比較大小的答對率卻只有六成多，二者的答對率竟然相差懸殊。因而筆者反省教學，發現如下的歷程（89.3.16教學）：佈題：林澤于吃了包的乖乖，邵子陵吃32.5包，誰吃的比較多？(S1提出把分數化成小數再比較大小的策略，及接受S2的質疑後，S3又提出質疑)S3：32.5它只有十分位而已啊！可是那個（指3.25）百分位啊！T：，一個32.5，一個3.25，這二個有什麼不同？S1：32.5完整有1的有32個，3.25完整有1的只有3個，32比3還大，所以它（指32.5）比較大。 在這個案例，學生雖提出先把分數化成小數

15、及進行比較整數的策略，但提出此策略及進行質疑辯證的學生都是高成就者，整個討論過程並未有中低成就者參與，筆者也未檢驗中低成就者是否瞭解，所以高成就者的策略是否能讓中低成就者所接受，卻不得而知。而此類問題是否也不適合其他同年級的學生，則有待進一步的研究。另外，在教學引導上，本案例亦未引導學生以具體物進行比較。（四）、學生可能受大數字減小數字的影響，有二位小數直式退位減法的問題。 在二位小數加減的習作表現上，退位減法的答對率是介於六成與八成間，尤其是限制以直式記錄的一位帶小數減二位帶小數的退位減法，只有六成的答對率。筆者檢視學生的習作答案（89,5,25），答錯者中，以被減數不夠減時忘了借位，或認為

16、減是大數字減小數字的錯誤做法最多，這與前一年的三年級一位小數減法教學（吳金聰，民88），有類似的情形，可見仍有部分學生並未在三年級的教學中獲得澄清。筆者再檢視教學實錄（89.5.25教學）：佈題：粽子1.2串，吃了0.34串，請問剩下多少串粽子沒有吃？（S1解釋後，S2、S3又支援解釋為什麼用減的，最後由S4支援解釋如何算出答案：）S4：1.2串就等於1.20串，然後我們用1.20串減0.34串就等於0.86串。T：你畫的那個圖能不能解釋一下？S4：藍色是1.20串，這個叉叉（指圖中打XX記號者）是吃掉的0.34串。T：你怎麼知道是0.86串的？（S4的回答錄音不清楚）剩下幾格？S4：86格。

17、T：86格跟0.86有什麼關係？ S4：1格是0.01，86格是0.86。 從上述的案例可發現，學生雖提出將一位小數化成二位小數的策略，並輔以圖象表徵進行二量的相減的策略。但筆者礙於教學時間不足（89,5,25教學札記），未能讓其他的解題策略進行討論，也未針對被減數不夠減時忘了借位，或認為減是大數字減小數字的錯誤做法，適時提出反思的問題，使學生得以進行辯證而澄清，這是筆者下次教學必須注意的。（五）、學生可能受整數或未建立正確的小數概念的影響，有小數化聚的問題。 學生的日常生活中，常見整數的化聚問題；所以，學生在此類問題的學習並不難。但在小數化聚初步學習時，由於學生缺乏生活經驗，使得部分學生在一

18、位小數的化聚學習上有困難存在（吳金聰，民88）。至於在二位小數化聚學習上，是否也有類似的問題呢？筆者在學生的習作練習上，發現0.9是多少個0.01？一題中，有11人（約佔全班的1/4）的答案是寫9個，可見部分學生在二位小數化聚學習上也有困難存在。學生會有此答案可能是受整數化聚的影響忽視小數點與前面的0，把0.9視為9，把0.01視為1，9是9個1的合成；也有可能因粗心或未建立正確的小數概念（小數符號、意義、具體物三者未加以連結），把0.9想成9個0.01百格板，把0.01當作1個0.01百格板；或把0.9想成9個0.1百格板，把0.01當作1個0.1百格板，因而導致迷思。至於造成學生學習迷思的

19、主因是否是教學出了問題？筆者重新觀看自己該節課的教學（88,12,21教學），發現筆者該節課的教學布題，是透過具體的情境或呈現具體物（如：百格板）來布題，學生或許比較能在有具體情境或具體物的問題中進行解題，故在教學中，並未發現上述的小數化聚問題，但學生在解上述習作之小數化聚問題時（未有具體物協助），就出現此類問題，這些學生可能在解習作問題時，不知將小數數字轉化為具體物（如：用白色小積木代表0.01，百格板代表1）來操作解題（筆者檢視該天的教學實錄，亦未有將小數數字轉化為具體物的教學），因而產生小數化聚的問題。所以，教學中教師最好有引導學生將小數表徵為具體物的歷程，如：請學生把1當作1個百格板；

20、再分別拿出0.01個、0.1個與0.9個百格板，並加以解釋；最後再問：0.9是幾個0.1？、0.9是幾個0.01？。而學生寫習作若遇到困難，亦宜提示其操作具體物解題。（六）、學生可能混淆單位詞用語，有把等分視為單位的問題。 一全體平均被分割成若干部分，其被平均分割後的每一部分是為一等分，嚴格說，等分一詞並非單位詞，因此在分數與小數教學中，教師或學生經常以等分來溝通一全體平均被分割成若干部分的數量，如此的做法，就筆者的經驗而言，是有助於分數概念的掌握。但有學生在數學日記上寫著：1.02等分是由102個0.01等分所組成的（88,12,23）乍看之下並無不妥，但仔細思索，等分怎會是單位呢？筆者再檢

21、視教學實錄（88.12.23教學）：佈題：40個0.01框米香是幾框？（教師請S1與S2回答為什麼寫0.40後，又請S3 解釋為什麼寫0.4，其解釋如下：）S3：十等分裡面的其中四等分，所以就是零點四框。S4：你那裡一直用等分，為什麼不寫零點四等分（0.4等分）S3：如果是零點四等分，就是一等分裡面的四等分（指著黑板的0.1框圖卡） 在此案例中，S4會提出為什麼不寫零點四等分的質疑，其可能把等分視為單位，但腦子裡所呈現的具體量可能與零點四框是相同的，只是溝通上出了問題，混淆了單位詞與分割吧！故宜先確定零點四等分是否與零點四框是相同的意思，故教師可請S4拿出零點四等分的具體物並加以解釋，若正確，

22、表示其小數概念是正確的，只是溝通有問題，此時教師宜引導學生區分框與等分的不同，以達成共識就可。另外，S3的回答：一等分裡面的四等分是針對S4的零點四等分進行解釋，此解釋有大小等分之別，可能對其他學生造成誤導；故教師宜再請S3操作具體物澄清前面的等分是指什麼？後面的等分又指什麼？最後引導學生區分框與等分的不同，以達成共識。四、結論與建議（一）、結論筆者以82年版課程常用的教學法，延續三年級小數教學研究至四年級。在學生學習上，有六個問題值得探討，其中把整體量當作是分母的問題，可能是學生未能確認分數意義中的單位量所致；小數與分數互換及小數與分數比較大小的問題，可能是學生未建立穩固的小數意義與分數意義

23、，且未能將小數意義與分數意義加以連結所致；減就是大數字減小數字的問題，可能是學生未能建立穩固的減法概念所致；小數化聚問題，可能是學生未能將小數符號與其意義產生連結所致；把等分視為單位的問題，可能是學生在小數意義上的單位名稱未形成共識，也就是溝通出了問題所致。總之，上述的問題，大部分是學生未能建立穩固的數字意義（number sense）所致。在教師教學問題上，主要是筆者仍受教學進度的影響，未能給予學生充分的質疑辯證。但整體而言，學生大都能透過師生互動與反思中獲得數學知識，且問題已較前一年（三年級小數）少；而這些問題大部分是筆者未給予學生充分的質疑辯證所致，這是筆者待改進的地方。教師若能視學生的

24、學習情形適時調整教學進度，並多給予學生讚美、鼓勵，以營造溫馨和安全的學習環境，則可促使學生更願意提出心中的問題而能做充分的質疑辯證。（二）、建議九年一貫課程已於今年（90學年度）開始實施，並預計三年內全面實施；而本研究雖在82年版的課程下所做的研究，但研究結果對實施82年版或九年一貫數學課程的教師、教材編製者、師資培育機構等仍有參考的價值，以下就教學與未來研究提出如下建議：1.在教學方面：(1)師生、學生間的質疑辯證，可促使學生反省思考自己所建構的數學知識是否正確，進一步穩固數學知識。因此，學生間能否充分參與質疑辯證的討論活動，把心中的質疑提出來，讓其他的學生或教師給予協助與澄清，是本教學成敗

25、的重要關鍵之一。而教師教學時不要受教學進度太大的影響，且多給予學生讚美、鼓勵、支持，則可促進師生或學生間充分的質疑辯證。 (2)對於重要或較易造成迷思的數學概念，當學生質疑辯證後，宜請提問者、中低成就者再說明一次，以便確認其是否理解或已澄清迷思。(3)教師所布的問題或習作的題目勿過難，若過難將造成多數學生的挫敗。另外，學生若進行較抽象的小數問題時，若發現學生解題困難，宜提醒學生操作具體物解題。至於一位小數與分母為100的分數互換或二者間的比較大小難度夠高，對四年級學生是否過難，則有待進一步的研究。2.在未來研究方面：(1)若有心要改善自己的教學方法者，可將自己的教學攝影起來，並對教學、習作及數學日記比對、分析、反省，找出教學上的問題，並就這些問題與數學領域的專家、學者交換意見。(2)從事數學教學的個案研究，具有理論與實務結合的價值，在未來的研究裡，可進行不同類型的數學知識之個案研究，以促進教師的專業知識。參考文獻吳昭容（民85）。先前知識對國小學童小數概念學習之影響。未出版博士論文，國立台灣大學，台北。 吳德邦、廖瑞娟（民86）。國小數學科新課程之教學法。國教輔導，32