化归思想在中学数学教学中的应用

1、化归思想在中学数学教学中的应用【摘要】化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更 是一种有效的数学思维方式。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学 问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般 总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求 解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化 成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及 事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换

2、转化，使问题得以解决。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代 入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。【关键词】化归思想 化归原则 化归模式化归方法匈牙利著名数学家罗莎彼得在他的名著无穷的玩艺中，通过一个十分 生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。 有人提出 了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水， 应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在 煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提 问者一定会大声而

3、有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。一、化归思想遵循的原则：化归思想的实质就是在已有的简单的、 具体的、基本的知识的基础上，把未 知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规划 为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：1 .数学化原则即把生活中的问题转化为数学问题， 建立数学模型，从而应用数学知识找到 解决问题的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利 用数学知识解决生活

4、中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养 实践能力。因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。2 .熟悉化原则即把陌生的问题转化为熟悉的问题。 人们学习数学的过程，就是一个不断面 对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种 程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程， 又是一个创新的过程； 与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，学会把陌 生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。3 .简单化原则即把复杂的问题转化为简单的问题。 对解决问题者而言，复杂的问题未必都 不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简

5、单的问题， 寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。4 .直观化原则即把抽象的问题转化为具体的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。有 些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助 直观手段，比较容易分析解决。二、实现化归思想的教学条件中学数学教学中，有很多问题都需要用化归的思想方法去来解决， 化归思想 在数学的学与教中的作用是不容置疑的， 化归思想在中学数学中是一种非常重要 的数学思想。在教学过程中我们应该怎样做呢？实现化归又需要些什么条件呢？1 .夯实基础，完善知识结构扎实的基础知识以及完整的知识结构是实现化归的前提， 数学优生与差生区 分的本质区别就是基础知识和知

6、识结构掌握的程度不同， 在教学过程中，夯实基 础、完善知识结构我们可从这样做起：(1)重视概念、公式、法则等基本数学模型的教学，为寻求化归目标奠定基 础。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反应，从广义上说，从基本概念到公式、运算系统、方程求解法都是数学模型。3像集合、函数、异面直线、 二面角这些可以叫做概念数学模型；圆 x2 y2 r2椭圆2 222 1、双曲线今 41、抛物线y2 2px可以叫做方程模型等。从狭a ba b义上说， 只有那些反映特定问题的数学结构才成为数学模型。例如， 我们称一次函数是匀速直线运动的数学模型，二次函数是抛物线运动的数学模型。而数学模型方法是指

7、利用数学模型解决问题的一种方法。从某一方面可以这样讲，中学数学教学实际上是一种数学模型的教学。建立模型是实现问题规范化，程序化， 应用模型即是转化与归结的过程。在教学过程中，我们应该注意：首先要注重数学模型构造的过程。中学教材非常重视知识的产生、发展和运用过程。数学模型同样有其生动背景、实际原型、构建与运用过程，在教学中，要引起足够的重视。一般来说，根据实际问题构建数学模型的步骤有以下几点：a. 掌握客观对象的丰富资料和有关数据；b. 确定所研究问题的系统在实际中，一般对一个问题可以建立不同的数学模型，这就需要我们在实践中不断探索，找出最好的模型。其次， 要注重数学模型在中学数学教学中的应用，

8、人们可以利用数学的有关思想模型去解决生活中实际问题。为了能够使学生真正掌握和运用数学知识解决生活中实际问题，务必注重数学模型在中学数学教学中的作用，以致培养学生构造、运用数学模型的能力。在中学数学实际教学中，应该注意：a 注意数学概念、公式与实际原型的关系c. 提高利用数学模型法解决数学问题的能力d. 数学模型的相互转换e. 构造数学模型原型，以解决纯数学问题(2) 养成整理、总结数学方法的习惯，为寻求化归方法奠定基础。其实很多时候差生非普通题无头绪，源于他们头脑中没有系统的知识体系。所以教学过程中，务必注重培养学生的系统知识，让他们对知识有个系统的掌握。(3) 完善知识结构，为寻求化归方向奠

9、定基础。在日常教学中，要注重帮助学生完善知识结构，可以从做好小结，勾画知识结构系统图起。2. 培养化归意识，提高转化能力(1) 精心设计合理化解题目建议，培养学生化归意识波利亚堪称世界数学解题的旗帜，他深知数学中化未知为已知、化繁为简、化新为旧、化难为易等方法的普遍意义。怎样解题？怎样诱发灵感？在波利亚看来解题的过程就是不断变更题目的课程。 他说：“解题的正确要靠正确思路的选 择，要靠从接近他的方向去攻击堡垒， 为了辨别哪一条思路正确，哪一个方向可 接进它，就要试探跟中方向和各种思路，就要变更题目。(2)明确转化原理，把握转化策略数学是一个有机的整体，它的各部分之间是相互联系、相互依存、相互渗

10、透 的。以便形成纵横交错的立体空间，我们在对数学问题的研究时，时常运用这些 联系对问题进行适当转化，让它变成简单的、熟悉的问题。要完成转化，首先一 定要明确转化的一般原则方法，并通过典型的例题加以巩固练习。(3)培养学生联想思维，提高转化能力联想是一种由此及彼的思维活动。在解决问题的时候，联想是我们思考的基本方 法，新知识的学习中，联想与其有关的旧知识，可以提高学习的效率， 解题过程中，从一个问题联想到另一个问题是实现转化的基本途径，这样便从思维上进行了迁移，也可以对思维进行创新。数学解题过程从某种意义上讲是已知 和未知的知识联想过程，通过联想找出新旧知识之间的关系，从而找到解题的思 路。三、

11、化归的一般模式：1 .数与数之间的转化例如计算某个算式得出数值；化简某个解析式得出结果；变形所给出的方程 求解；变形所给的不等式求出解集以及函数、方程、不等式之间的互相转化等等。2 .形与形之间的转化。比如利用图象变换的知识作出函数图象；利用分割、补形、折叠、展开，作 辅助线，辅助面处理空间图形或平面图形等等。包括把立体问题化归为平面问题。3 .数与形之间的转化。数与形之间的转化主要是依据函数与其图象的关系；复数及其运算的几何意 义；以及解析几何中曲线与方程的概念等等进行转化。4 .实际问题与数学模型之间的转化数学模型是从现实世界中抽象出来的，是对客观事物的某些属性的一个近似 的反映，但对解决

12、实际问题而言，数学模型却是深刻，正确、完善地反映着现实。 因此，把所考察的实际问题，化归为数学问题，构造相应的数学模型，通过对数 学模型的研究，使实际问题得以解决，充分地体现了 “用数学”的意识和能力。化归思想方法的主要特点是它的灵活性和多样性。一个数学问题，组成主要元素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，其形式并非唯一，而是多种多 样。所以应用数学变换的方法去解决有关数学问题时，就没有一个统一的模式可 以遵循。因此，我们必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，具体问题 具体分析，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。四、在中学数学中，应用化归思想方法解题应注意三个点：1 .注意紧盯化

13、归目标，保证化归的有效性、规范性化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、 途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择 好方法。而设计目标是问题的关键。设计化归目标时，总是以课本中那些基础知 识、基本方法在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把 要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。化归能不能如期完成，与 化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有 效性。因此，在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这 样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。 在这个大前提下，实施的化归

14、才是卓 有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。例4已知仪户u （0,2），且血csca;= co$（a十十户。空当回户取最大2 2值时.求电g十户）值分析我们不妨将解题目标分解为求出也应用血三角式表示）;（2）救群?的值0藻后来皑（煌十田.解，, sin csca:= cosfa-F 6:如） = cos（ar+ 切，御化弦）sin Of即sin产= sin ar十囱（分式化整式） =sin acos mcqs 3一 sin 2 Gsin E用和角公式） 于是农户=sinsin J （产生幅协解曲g#= S9涪=”的代捌1 -Pfiill a 2 Siti t6S： a=E ，电

15、型狎二元均值不等式求最大值）=当如7 + 1 2居%14当独 = 1,即坨”在时忠尸取得最大值土匕时：2 4坦a+阻声号十手下g（a+ P）=e广=42.1一应魔岩户1 一冬半说明解题犹如打仗，需要冲破道道难关，直奔解题目标，而盯住目标，求 什么就解什么，有助于最终形成解题思维链。2.注意转化的等价性，保证逻辑上的正确化归包括等价化归和非等价化归，在中学数学中的化归多为等价化归，等价 化归要求转化过程中的前因后果既是充分的， 又是必要的，以保证转化后的结果 为原题的结果。例5解不等式log尸-2七21叫工-15二口。学1)(199用高考理科) 分析本题基本解题思路是把原不等式等价地转化为代数不

16、等式维 在转化的过程也特别要注意1二次根式必须有意义却被开方数为非负数2不等式两边都是非负时才可同时平方 工真数大于。3晦口工-2之0(1)解:原不等式等价于引河J- 2七符-哽2班i-10由得:1%工用由(2)得：log也犬 ：或1陷丘三？ 1由得：侬/42 3由此得：-Ek*旦口工,二：或1。2也工13 4当Q 时所求的解集是卜W X 鼻工卜汇|才 琮)*3i 当01时,所求的解集是1|父天二十2卜|0 V汗a3.注意转化的多样性，设计合理的转化方案在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都死搬硬 套，

17、造成繁难不堪。例6求证:时任一矩形4总存在一个矩形人使得矩形H与营的周长比与面枳比都 等于常数状上之D分析网这一前为复杂的问题上口果仅从问题本身出发，无疑要用几何方法来证 如果这恃做,试的结果会让人大失所里,现改用代数万法证明口假如设矩形A B的长宽分别是事上做F为证明满足要求的矩形B存在，只要证明方程组=有正实数解即可这样从方法的转换到目标的转换,便使原问题xy = fcab变得简单多了证明 设矩形刃田的长宽分别是见b及工则依题意列出r力+尸可g+，砂= kab.由韦达定f里的逆定理知Mjr是方程1-找占!5X*止岫二麓两个正实根.,k之L且q O,b 0,A = jta(cc+i)a- A

18、kab 之七“曰十协工-Aab = 4 3 -b产之 U从而上述二次方程有两个实根0和J由韦达定理A + = Jb(t3 +A) 0. 1= kab 0,故白 。，飞。，即证得了原命题，说明这个例子说明设计合理转化方案的重要性，目标的转换与方法转换是 相辅相成又互相制约的，但其目的却是一致的，那就是通过化归达到以简驭繁的 最终目的。W 某商店进货每件5。元.据市场调查，销售价格(每件I元)在50 R 50)(a-40)2 者 理科 近50)十黑十20当且仅当工-5。二工L,即钎60包5。,呢时必有最大值，即y取最大值一a - 50说明:本题体现了转化的多样性。最省、最多、最低、最大等最值问题， 在现实生活中有着广泛的应用，在近年高考中，几乎年年都涉及到。此