机电控制工程基础第二章

1、第二章控制系统的数学模型12自动控制原理课程的任务与体系结构 第一节 控制系统的微分方程 第二节 非线性数学模型的线性化 第三节 拉氏变换与反变换 第四节 传递函数 第五节 传递函数的方块图3 为了从理论上对控制系统进行性能分析，首先要建立系统的数学模型。 系统的数学模型，是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 时域模型：微分方程 复域(s域)模型：传递函数 第二章 控制系统的数学模型123454建立数学模型的方法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。(内部工作机制确定)人为地对系

2、统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为 内部工作机制不了解系统模型输入输出误差512345 合理的数学模型是指所建立的数学模型既有准确性，又有简化性。 一般应根据系统的实际结构参数及要求的计算精度，略去 一些次要因素，使模型既能准确反映系统的动态本质又能简化分析计算的工作。除非系统含有强非线性或参数随时间变化较大，一般应尽可能采用线性定常数数学模型描述控制系统。6 第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程 工程中的控制系统，不管它是机械的、电气的、液压的、气动的，还是热力的、化学的，其运动规律都可以用微分方程加以描述。1234511101111

3、01( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd c tdc tdc taaaa c tdtdtdtd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdtKK线性定常系统微分方程的一般形式线性定常系统微分方程的一般形式(n阶)l 不出现变量高次项和交叉项l 定常系统：系数是常量7(t)2c(t)c(t) 52c(t) (t)cr & &(t)cos c(t)2 (t)ctr&t2(t) e(t)6c(t)(t)cctr& & &非线性时变系统非线性时变系统一、建立数学模型的一般步骤 1.根据基本的物理、化学定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的微分方程。 2.

4、确定系统的输入与输出量，消去其余的中间量，写成标准化形式，从而求得系统输出与输入的微分方程。8二、控制系统微分方程的列写例1 质量阻尼弹簧系统 dtdyBky工件工件tftftytykB Bma)a)b b) )12345弹簧力阻尼力输出量 位移 y(t)图21 质量阻尼弹簧系统输入量 外力 f(t)9根据牛顿第二定律kydtdyBftdydm22整理得fkydtdyBtdydm22为二阶常系数线性微分方程1234510 例2 RLC 电路)(tur)(tucRLCtucturti12345图22 RLC电路 输入电压 输出电压11crudtdiLRiu1 ccduuidtiCCdt消去中间变

5、量 i 可得为二阶常系数线性微分方程12345根据基尔霍夫定律RLCtucturti12例3 齿轮传动链T11BJ22BJ122z1zTI1图23 齿轮传动链输入量 轴I的输入转矩输出量 轴I的角位移轴I 、 II 轴I 、II 上总转动惯量 轴I轴I 、II上粘性阻尼系数 轴I的轴I 、 II的角位移齿轮I 、 II齿数 齿轮II对I的阻力转矩 齿轮I对II的阻力转矩齿轮的传动比1J1B1T1Z2J2B2Z2Ti122T1T13iZZTT12121211TiT iZZ1221121i各轴转矩平衡方程TTdtdBdtdJ11121212222222TdtdBdtdJ得得1234511BJ22B

6、J122z1zTI2T1T14TdtdiBBdtdiJJ1221212221)1()1(整理得写成 TdtdBdtdJ12122211iJJJ2211iBBB折算到轴I上的总的转动惯量 折算到轴I上的总的粘性阻尼系数其中1234515dtd1若输出量为 则方程变为1234516例4 电枢控制式直流电动机 )(tua)(tm+-aRaLtucmfiai图24 电枢控制式直流电动机原理图输入量 电枢电压输出量 电动机角速度 激磁电流为恒值 电动机产生的转矩 电枢电流 电枢回路总电感 电枢回路总电阻 电动机轴上的等效转动惯量 电动机轴上的等效粘性阻尼系数 负载转矩 电枢绕阻的反电势 电动机反电势系数

7、 电动机的转矩系数fimTaiaLaRmJBlTeeCmC( )au t绕阻等效电阻17电动机产生的转矩 ammiCT meCe12345反电势安培定律楞次定律电枢回路电压平衡方程克希霍夫定律( )au t( )ai tmTme电机轴上的转矩平衡方程mlmmmTTBdtdJ牛顿定律主动力矩：电动机产生的转矩粘性摩擦力矩负载转矩18memamemamemamemmaCCBRdtdCCRJCCBLdtdCCJL) 1()(22整理得消去中间变量mTeai)(1llaaemaaeTdtdTRLCCRuCaaaRLTemmabCCJRTeeCK1meaCCRK 令19得：mmbamabBKdtdTBK

8、TdtdTT) 1()(22)(llaaeTdtdTTKuK123450lTaemmbamabuKBKdtdTBKTdtdTT) 1()(22当 时负载转矩电枢电压0aaaLTR一般电枢电感较小，可以忽略不计，20m总输出为角位移 ，上式变成21 比较以上四例可以看出，物理本质不同的系统，可以有相似的数学模型。 以上几例得到的方程均为线性常系数微分方程，它们的一个重要性质是具有齐次性和叠加性。 事实上，绝对的线性元件和线性系统是不存在的，所有的元件和系统在不同程度上都存在着非线性性质。 非线性系统一般不能应用叠加原理，数学上处理也比较困难。为了便于研究，对一些可以进行线性化处理的系统转化成线性

9、系统进行分析和研究。 12345222小偏差法 假设系统在平衡点附近工作一元函数 为输出量 为输入量 第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化常用的线性化方法有以下两种：1忽略弱的非线性因素 如果元件的非线性因素弱，或不在系统线性工作范围内，非线性因素可忽略。 例如例如:例1和例3忽略了干摩擦、齿轮传动中的间 隙；例4忽略了电枢反应、涡流和磁滞的影响12345 xfy tx23 tyAyyxx0 x0 xf0yxdxdyx0y图25 某系统的非线性特性1234524如果函数在平衡点A（x,y）处连续可微，则 可在A点附近展开成泰勒级数 xfy 202200)(! 21)(00

10、 xxdxydxxdxdyyyxx 由于很小，略去上式中二阶以上高阶项，得即增量形式的线性化方程12345250|xdxdy是 在点（x,y）的导数 xfxdxdyx0|表示当x由点 移到其附近x点时切线的增量 0 x 由此可见，线性化方程是以切线的增量近似代替曲线的增量。因此，小偏差线性化的方法，从几何意义上来说，就是在工作点附近的一个小范围内，用切线来代替曲线。 如果把坐标原点取在平衡点A处，系统的初始条件就等于零 ,即这时线性方程变成000 yxxdxdyyx01234526但应该理解到，线性化的微分方程是从平衡点算起的增量方程。二元函数 在系统工作点 附近，也可将其展开成泰勒级数，即

11、),(21xxfy ),(02010yxx其中，yyy01101xxx2202xxx1234527略去高次项得二元函数的线性化方程01|xy为在工作点处对 的偏导数 1x02|xy为在工作点处对 的偏导数 2x1234528例5 通过滑阀节流口的流量公式 ),(2pxfpxCqvvd设滑阀的工作点为 可得 ),000qpxv（pPqxxqqvv00|12345流量流量系数系数滑阀面滑阀面积梯度积梯度阀芯阀芯位移位移油液油液密度密度节流节流口压口压力降力降291234500022|pCpCxqKddvq000022|1212|pxCpxCpqKvdvdc线性化方程30注意下列几点：1）必须明确系

12、统平衡工作点对不同的工作点，线性化的结果不同 因不同工作点的切线斜率不同2）线性化是在系统平衡点附近小范围内进行3）对于某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦特性等，当 它们对系统影响很小时，可忽略不计12345Ayyxx0 x0 xf0yxdxdyx0y31微分方程解微分方程f(t)代数方程F(s)解代数方程L1L求解微分方程求解微分方程321 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数复函数 js )()()(sjFsFsFyx 例1 jssF 22)(（2）模、相角 22yxFFsF xyFFsFarctan （3）复数的共轭 yxjFFsF )(模相角 第三节第三节 拉氏变换

13、与反变换拉氏变换与反变换一、拉氏变换的定义一、拉氏变换的定义以时间t 为自变量的实变函数f(t)，它的定义域是 当 时， f(t)=0，那么f(t)的拉普拉斯变换定义为 0t0t式中，s为复变数 （ 、 均为实数）jsF(s)是函数f(t)的拉氏变换，是一个复变函数，通常也称F(s)为f(t)的象函数 f(t)为F(s)的原函数 拉氏反变换为11( )( )( )2jstjf tL F sF s e dsj1234534二、几种典型函数的拉氏变换二、几种典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数1（t） )0(1)0(0)( 1tttf(t)t112345 011stLtt edt011stess

14、350atatstL eeedt 0a s tedt011a s tesasa 2.指数函数 )0()0(0)(tettfat363.正弦函数和余弦函数 )0(sin)0(0)(ttttf)0(cos)0(0)(ttttf dteeejdtetf(t)Lsttjtjst 0021sin dteej)tj(s)t-(s-j 021 001121)tj(s)tj(sejsejsj 22222211121 ssjjjsjsj3.正弦函数和余弦函数 12345221( )sinsLtFs222( )cosssLtFs384.单位脉冲函数 tf(t)t1且 t)(t1234539 001limstsLt

15、edt0000111limlimststedtes01lim1ses212 !nxxxexn 2201lim1112!ssss405.单位速度函数 )0()0(0)(ttttff(t)t6.单位加速度函数 )0(21)0(0)(2ttttff(t)t12345417.t的幂函数 )0()0(0)(tttftn简单常用函数的拉氏变换和反变换可查表21。123451!nnnL ts 1111!nnLtsn11111 !nnLtsn42三、拉氏变换的主要定理三、拉氏变换的主要定理 1.叠加性质（线性性质） (1) 齐次性 设)()(sFtfL则（a 常数） (2) 叠加性 设)()(11sFtfL)

16、()(22sFtfL则 式中a和b为常数123454344（2）微分定理 0fsFstfL 00左tdfedtetfstst 00001221 nn-n-n-nnfsffsfssFstfL dtetfs-fst 000 右0 fssF st-stdetftfe 00证明：0初条件下有： sFstfLnn 3.积分定理 设 sFtfL则式中， 是积分 在t =0时刻的值。 01f dttf12345当初始条件为零时， sFsdttfL145对于多重积分是 ( 1)111( )( )(0) .(0)nnnnnLf t dtF sffsss 当初始条件为零时，则有 例： 1( )tt dt若 (t)

17、L求？解：46021111(t)1(t)*tLLdttssss4.延迟定理 设 ，且 t0时 ， sFtfL0)(tf则 函数 为原函数 沿时间轴的轴向平移。如图 2-6所示 )(Ttf)(tfT0tTtftfTtf图26 平移函数5.位移定理 设 sFtfL则位移定理在工程上很有用处，它可以简化一些复杂的拉氏变换运算。 例如 cosatL et22()sasa22(cos( )sLts2j tj teecon t48123456.终值定理 它表明原函数在 时的数值。设 且 存在，则t sFtfL既原函数的终值等于 s 乘以象函数的初值。这一定理对于求瞬态响应的稳态值是很有用的。 0limt4

18、9证明：0( )( )(0)stdf tedtsF sfdt000( )limlim( )(0)stssdf tedtsF sfdt000( )( )=limstsdf tdf tedtdtdtdt左边0t=( )=lim( )- (0)df tf t f0=lim( )(0)ssF sf右边507.初值定理 它表明原函数在 时的数值，即 0t既原函数的初值等于 s 乘以象函数的终值。 518.相似定理 设 ，则有 sFtfL式中 ，a为常数52四、应用拉氏变换解线性微分方程四、应用拉氏变换解线性微分方程原函数（微分方程的解)取拉式反变换象函数象函数的代数方程取拉式变换微分方程图27 拉氏变换

19、求解微分方程示意图 12345 nnL fts F s 53根据定义计算拉氏反变换，要进行复变函数积分，一般很难直接计算，通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数 )(tf1部分分式法 在控制理论中，常遇到的象函数是s的有理分式，即mnasasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm01110111)()()(1234554为了将 写成部分分式，首先将 的分母因式分解，则有 sF sF式中 是 的根的负值，称为 的极点。按照这些根的性质，可以分为以下几种情况来研究： nppp,21 0sA sF 极点中含有重极点时

20、 极点为各不相同的实数时 含有共轭复数极点时 55 （1） 的极点为各不相同的实数时 sF niiinnnmmmmpsApsApsApsApspspsbsbsbsbsAsBsF12211210111)()()()(式中 是待定系数iA lim( )()iiiiispspAsp F sF s sp1234556再根据拉氏反变换的叠加定理，求原函数 nitpiniiiieApsALsFLtf1111)()(1234511 ( )atf tLesa由于由于57例6 求 的原函数。 32135)(sssssF将 写成部分分式形式，则有 sF321) 3)(2)(1(35)(321sAsAsAsssss

21、F1) 1() 3)(2)(1(35lim)1)(lim111sssssssFAss12345解:58123457) 2() 3)(2)(1(35lim)2)(lim222sssssssFAss33353lim ( )(3) lim(3)6(1)(2)(3)sssAF s sssss 所以176( )123F ssss123() ( )76tttf tL F seee59 （2） 含有共轭复数极点时 如果 有一对共轭复数极点 、 ，其余极点均为各不相同的实数极点。将 展开成 sF1p sF2p sFnnnmmmmpsApsApspsAsApspspspsbsbsbsbsF.)()()()()(

22、33212132101111234560式中A1和A2通过用2121)()(2121pspspspsAsApspssF或或令等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联列求解，即得A1、A2两个常数。 而求得)(21psps乘以上式的两边)(21psps或并令1234561例7 求 的原函数。 )1(1)(2sssssF解: 将 F(s) 的分母因式分解,得1232123211)(2210ssAsAsAjsjssssF20001lim ( ) lim1(1)sssAF s sss ss 2012( )(1)AAs AF ssss 将 写成部分分式形式，则有 sF621234523212123

23、2122111jsjsAsAssssss）（212321232112321AjAjj则 6312345利用方程两边实部、虚部分别相等得： 232321212121AAAA解之得 0, 121AA64得 1, 5 . 0n) 0(323sin155. 1111)()(5 . 0211ttessssLsFLtft1111)(22sssssssssF所以 2221sin( 1) 21nnttnnsess查表2-1中第17序号式，65（3） 中含有重极点时，设 有r个重根)(sF0)( sA)()()()(100111nrrmmmmpspspsbsbsbsbsF将上式展开成部分分式 nnrrrrrps

24、ApsApsApsApsAsF11001002001)()()(12345660000)(!11)(!21)()(011002203002001psrrrrpsrpsrpsrpssFdsdrApssFdsdApssFdsdApssFA式中 的求法与单实数极点情况下相同 的求法如下：nrrAAA,21rAAA00201,，nnrrrrrpsApsApsApsApsAsF11001002001)()()(67因为 tpnnetnpsL0101!111则 1234568) 1()2(3)(2ssssF)(tf解 将 展开成部分分式 )(sF122)(302201sAsAsAsF例8 求 的原函数 。

25、 000 100 20()()()()rsprspAFsspdAFsspd s 69 21123lim213ssssAs12345 21311321232222202sssssssssssdsdA上式中各项系数为 1212322201sssssA7012345所以 122221)(2ssssF则 )0(2222)(222teeteetetfttttt712 用拉氏变换求解线性微分方程 1）代入初始条件，对微分方程中的每一项进行拉氏变换，经过整理，得到输出变量的拉氏变换表达式。2）用部分分式法求拉氏反变换，得到微分方程的时域解。1234572例2-10 设某控制系统的微分方程为)()(6)(5)

26、(22txtydttdydttyd若)( 1)(ttx)0(y)0(y求)(ty)0()0()(222ysysYsdtydL)0(5)(55yssYdtdyL)(66sYyLstLtxL1)( 1)(1234573零初始条件时ssYss1)()65(23131212116132) 3)(2(1)65(1)(3212ssssAsAsAsssssssY1234574tteety32312161)(61)(lim)(tyyt)(lim)(lim0ssFtfst61)65(1lim)(lim)(lim200ssssssYtysst稳态分量终值定理1234575第四节第四节 传递函数传递函数 在初始条件

27、一定时，拉氏变换与微分方程有对应的关系。既然微分方程可以表示系统或元件的运动特性，拉氏变换也可以表示。 引入系统在复数域的数学模型传递函数。 一、定义一、定义 传递函数，即线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统微分方程的一般形式为 123451234576123451110111101( )( )( )( )( )( )( )( ) ()nnnnnnmmmmmmdddac tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr tb r tnmdtdtdt式中 c(t)为系统的输出量； r(t)为系统的输入量； 以及 为系统的结构naa

28、a,10mbbb,10参数所决定的实常数。 设初始条件为零，对上式进行拉氏变换，可得系统的传递函数的一般形式77传递函数的标准型1）首1标准型：分子分母最高次项系数化为12）尾1标准型：分子分母尾项系数化为1 尾项系数不一定是常数项KabG00)0(系统的放大系数也称系统的增益系统的放大系数也称系统的增益 78324(1)4(1)( )32(1)(2)ssG sssss ss3244( )32sG ssss例：将其化为首1型、尾1标准型，并确定增益224441( )13(32)2(1)22ssG ss sssss 增益K=279二、特征方程、零点和极点二、特征方程、零点和极点令系统传递函数的分

29、母等于零，即有 00111asasasannnn 系统的特征方程，其根为系统特征根 特征方程决定着系统的动态过程。 根据多项式定理，系统传递函数的一般形式可以写成 isz传递函数的零点isp传递函数的极点80 显然，系统传递函数的极点就是系统的特征根。 零点和极点的数值完全取决于系统诸参数 和 ，即取决于系统的结构参数。 mbbb,10naaa,10 一般地说，零点和极点可为实数或复数，也可为零。若为复数，必共轭成对出现。 1234581 把传递函数的零、极点表示在复平面上，称为传递函数的零、极点分布图。 图中零点用“o”,极点用“x”表示。 j12-3-1-212-2-1)22)(3(2)(

30、2sssssG零、极点分布图1234582例：已知某系统在0初始条件下的单位阶跃相应为421( )133ttc tee 求：求：（1）系统的传递函数（2）系统的增益（3）系统的特征根（4）画出对应的零极点图（5）求系统的单位脉冲响应解：解：121112(2)( )3134(4)(1)sC sssss ss( )( )( )C sG sR s( )2(2)( )1/(4)(1)C sssC ssss-( ) ( )1 atf tF sesa832(2)( )(4)(1)sG sss1K 增益 画出对应的零极点图 系统的特征根124,1 求系统的单位脉冲响应( )( )( )( )C sG sC

31、sR s11( ) ( ) ( )c tLC sLG s42433ttee84三、关于传递函数的几点说明三、关于传递函数的几点说明 1) 传递函数的概念只适用于线性定常系统,是复函数。2) 传递函数中各项系数值完全决定于系统的结构参数，表达了系统的固有特性，与外加信号的大小和形式无关。 3) 由于传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统（或元件）的运动情况。4) 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系， 而不能反映系统内部的特性。 5) 传递函数一般分为复变量S 的有理形式，分子多项式的阶次总是低于至多等于分母多项式的阶次，即 。这是因为系统中总包含着惯性元件以

32、及受到能源功率的限制之故。 nm 1234585四典型环节及其传递函数四典型环节及其传递函数 组成控制系统的元件千差万别，它们具有不同的结构类型、工作原理和功用,但描述它们动态特性的数学模型有时却具有相同的性质。例如：L-R-C电路，m-k-B动力滑台，齿轮传动系统典型环节具有相同数学模型的部分许许多多的元件，经过典型环节归并后，只有为数不多的几种一个元件可以是几个典型环节，也可能是几个元件是一个典型环节。1234586表表22 典型环节表典型环节表序号 环节名称 数学表达式 12345678比例环节积分环节微分环节惯性环节振荡环节一阶微分环节二阶微分环节延迟环节Ks1s1TsK2222nnn

33、ss1Ts1222nsnsse12345871放大（比例）环节 微分方程 )()(tkrtcK放大系数或增益传递函数 例： 各类放大器 测速发电机 输入角速度 输出电压uiKu iKssUsG)()()(12345882积分环节 微分方程 tdttrKtc0)()(传递函数 例：液压缸 tytntqtqtyAa)b)图28积分环节例输入流量q(t) 输出活塞位移y(t)忽略压缩、泄漏 123458912345dttdyAtq)()(SKASsQsYsG1)()()(AK1A活塞有效作用面积 903.微分环节 微分方程 dttdrKtc)()(传递函数 例：离心测速机 tytttua)b)图29

34、微分环节例输入输出输入输出测速发电机 91输出飞锤的位置y(t)，输入角位移(t)dttdKty)()(KsssYsG)()()(测速发电机 输出电压u(t) 输入若为发电机转角(t)dttdKtui)()(sKssUsGi)()()(12345924. 惯性环节微分方程)()()(tKrtcdttdcT传递函数T时间常数例：RC无源网络输入 输出)(tur)(tucdttiCtutuRtituccr)(1)()()()(urucRCi1234593得1111)()()(TsRCssUsUsGrcT=RC电路的时间常数惯性环节 若)( 1)(ttr则tTetc11)(C(t)t1单位阶跃响应不

35、是瞬时达到稳态响应具有惯性，惯性环节由此得名由于响应是非周期增长的，故也称非周期环节12345945. 一阶微分环节微分方程)()()(trdttdrTtc传递函数T时间常数例：RC无源网络 输入)(tur输出)(titiCRti1ti2tur1234595RtudttduCtititirr)()()()()(21) 1() 1(11)()()(TsKRCsRRCssUsIsGr其中RK1RCT 96 tiCR ti1 ti2 tur6. 振荡环节 微分方程 )()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT传递函数 T时间常数 阻尼比 123459712345另一种标准形式Tn1无阻尼

36、固有频率98例如 例21质量阻尼弹簧系统(振荡环节) 微分方程fkydtdyBdtydm22传递函数)()()(2sFsYkBsms99式中kKmkBkmT1212345100又比如 例22无源RLC网络 微分方程rcccuudtduRCdtudLC22传递函数12111)()()(222TssTRCsLCssUsUsGrc式中LCRCLCT2RLCtucturti7. 二阶微分环节 微分方程)()(2)()(222trdttdrTdttrdTtC传递函数T时间常数阻尼比实际中，很难见到二阶微分环节，它是一种数学抽象。123451018. 延迟环节 微分方程 trtc纯延迟时间传递函数 应用拉

37、氏变换的延迟定理12345102例 延迟环节常见于液压、气动系统中，施加输入后，往往由于管道长度而延迟了信号传递的时间。 典型环节与元部件之间并不存在一一对应的关系。一个控制元件的传递函数，可能是几个典型环节的组和一个典型环节，也可能代表几个实际元部件的组合 例：放大环节可以是几级放大器串联的总增益另外，同一元件在不同的系统中的作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。 12345103工作工作原理图原理图方方框框图图元部件元部件微分方程微分方程元部件元部件传递函数传递函数微分微分方程组方程组系统系统结构图结构图系统微系统微分方程分方程系统传递系统传递函数函数L1LL1LL1L消去

38、消去中间中间变量变量结构等结构等效化简效化简MASON系统模型及其建立过程系统模型及其建立过程104第五节第五节 传递函数的方块图及运算传递函数的方块图及运算 方块图又称动态结构图。采用方块图，更便于求传递函数，直观形象，且表达了各信号之间的联系，有助于了解元件参数对系统动态性能的影响。 一一 、 方块图符号方块图符号 1. 方块图单元 G(s)R(s)C(s)123451052. 加点法（又称比较点） +R(s)C(s)B(s)-+R(s)C(s)B(s)123451063. 引出点 C(S)C(S)同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。 任何控制系统都可以由上述符号组成的方块图来表

39、示。 12345107二、系统方块图的绘制二、系统方块图的绘制根据由微分方程组得到的拉氏变换方程组，对每个子方程都用基本符号表示，并将各个图形正确地连接起来，即为方块图(结构图)。 例 211 试绘制例24所述电枢控制直流电动机的方块图。 +-aRaLtucmfiai图24 电枢控制式直流电动机原理图( )au t绕阻等效电阻输入量 电枢电压输出量 电动机角速度108例4 电枢控制式直流电动机 +-aRaL tucmfiai( )aut绕阻等效电阻电机转矩 ammiCT meCe反电势电枢回路电压平衡方程aaa aadiLR ieudt电机轴上的转矩平衡方程mlmmmTTBdtdJ)()()(

40、)(sTsTsBssJmLmmm)()(sICsTamm)()(sCsEme( )( )( )( )aaaaaL sIsR IsE sUs)(sUa)(sIaaaRsL 1)(sE- -eC)(sm )(sE)(sTm)(sTL- -)(sm BsJm 1)(sIamC)(sTm( )1( )( )aaaaIsUsE sL sR( )( )mmaTsCIs( )( )emE sCs( )1( )( )mmLmsTsT sJ sB109)(sUa)(sIaaaRsL 1)(sE- -eC)(sm )(sE)(sTm)(sTL- -)(sm BsJm 1)(sIamC)(sTm 根据单元方块图，由

41、单元方块图可得到该直流电动机的方块图如图216所示。 suaaaRsL1mC)(1sTBsJm1)(smeC)(sE216 110ui i(t)ou(t)i i1 1R R2 2R R1 1(t)i i(t)i i2 2(t)图 2-17RC 无源网络例 212 试绘制图217所示无源网络的方块图 解 先列写出该网络的微分方程 ( )ru t01 2( )( )( )iu tu tRi t11 21( )( )i t dtRi tC2( )( )ou tR i t12( )( )( )i ti ti t1 2( )( )( )ioU sUsR Is11 21( )( )I sR IsCs2(

42、)( )oUsR I s12( )( )( )I sI sIs11112112212( )( )( ) (1)1( )( ) (2)( )( ) (3)( )( )( ) (4)iooU sUsR IsIsR IsCsUsR I sI sIsIs112( )( ) (5)I sRCsI s12( )(1)( ) (6)I sRCsIs由（2）（ 4 ）,消去 1( )I s公式（6）带入（1）,得： 11( )( )( )1oiRU sU sI sCRs21( )( )oI sUsR由公式（3）得： )(sUi- -)(sUo)(sICsRR111 112 根据这两个关系式可画出它的方块图单元

43、如图218a、b所示。然后再根据信号流向将各传递方块图连接起来，便可得到网络的方块图。值得指出的是，一个系统或者一个元件、一个网络，其方块图不是唯一的，可以绘出不同的形式，但经过变换后求出的总传递函数应该是完全相同的。 113方块图的另一种画法121212( )( )( ) (2)1( )( )( ) (1)( )( ) (4)( )( )( ) (3)ioiooU sUsR IsU sUsIsCsUsR I sI sIsIs12345114ui i(t)ou(t)i i1 1R R2 2R R1 1(t)i i(t)i i2 2(t)图 2-17RC 无源网络CssUsUsIoi)()()(

44、1)(sUi)(sI1- -)(sUoCs)(sUi)(sI2- -)(sUoR1)(sI+ + +)(sI1)(sI2)()(2sIRsUo)()()(21sIsIsI121)()()(RsUsUsIoi12345)(sI2)(sUo2R115 sUi+ sUoCs11R sI1 sI2 sI2R+- sUo12345116工作工作原理图原理图方方框框图图元部件元部件微分方程微分方程元部件元部件传递函数传递函数微分微分方程组方程组系统系统结构图结构图系统微系统微分方程分方程系统传递系统传递函数函数L1LL1LL1L消去消去中间中间变量变量结构等结构等效化简效化简MASON系统模型及其建立过程

45、系统模型及其建立过程117三三 、 方块图的等效变换方块图的等效变换 等效对方块图的任一部分进行变换时，变换前后输入输出之间总的数学关系应保持不变。 系统环节之间一般有三种基本连接方式，即串联、并联和反馈连接。1. 串联连接特点：前一个环节的输出量是后一个环节的输入量。 图2-20 环节的串联连接 sR sG1 sG2 sU sC sR sC sGa)b)12345118)()()(1sRsGsU)()()(2sUsGsC得 )()()()(21sRsGsGsC等效传递函数由此得n相串联环节数1191( )G s2( )G s( )nG sL2. 并联连接 特点：所有环节的输入量是共同的，连接

46、后的输出量为 各环节输出量的代数和。 + sR sG1 sG2 sC1 sC2 sC sR sC sG图2-21 环节的并联连接)()()(11sRsGsC)()()(22sRsGsC12345120)()()()()()(2121sRsGsGsCsCsC于是得 由此得 n并联环节的个数 123451213. 反馈连接 -+R(s)C(s) sE sB sG sHR(s)C(s) s图2-22 环节的反馈连接)()()()()()()()()(sBsRsEsCsHsBsEsGsC消去E(s)、B(s)得 12345122上式中分母上的加号对应于负反馈；上式中分母上的减号对应于正反馈。单位反馈系

47、统，H(s)=1，此时)(1)()(sGsGs用上述三种基本法则，可求出系统的传递函数。 得闭环传递函数 12345123例2-12 如图2-1811121122( )111( )11oiUsRCsRRRU sRCsRCs RR124 sUi+ sUoCs11R sI1 sI2 sI2R+- sUo 图2-19 例2-12网络方框图的另一形式123451252111221121()( )11( )1()oiCsRUsRRCsRRU sCsRRCsRR 可以看出，虽然图218和图219的方块图形式不同，但求出的传递函数是相同的。 由于实际系统一般较为复杂,在系统的方块图中常出现传输信号的相互交叉

48、，这样，就不能直接应用上述三种等效法则对系统化简。通常需要移动比较点或引出点，以消除信号的相互交叉。在对比较点或引出点作移动时，同样需要遵守等效法则。 表23列出了方块图的等效变换的基本法则。表中没有给出比较点和引出点交换的法则，因为它们的交换往往会使方块图变得复杂，所以在一般的情况下，两者不宜交换位置。 126表2-3 方块图的等效变换法则1271G1GC21GGR1G1G+21GG +BG1+R+A+BR+AABR+A+BBAR+BR R R RRRRRRRCCCCCCCRRBBBGGGGG序号法则原来的方框图等效的法则串联并联比较点后移比较点后移比较点交换1453 2比较点前移CGRCC

49、GGRC1G2GAAARC2G1GAAARCGHG1RC+GHRC+GHRCGRRCG1/GRC+H1HGRC引出点后移引出点前移引出点交换反馈回路等效单位反馈6 7 8 9 10 11比较点引出点之间的移动128 例213 用简化方块图的方法,求图223a所示系统的传递函数。 解 本题的解法之一是把图中的比较点b向前移到比较点a之前,如图223b所示。然后从内环到外环逐步化简，最后求得该系统的传递函数为 +-+-2Ha）1H1G sR sCab2G3G129+-+-11 Gb)2H1H1G sR sCba2G3G121211HGGGG12GH3Gc)+-+- sR sC12345130 sC

50、 sR+-2321213211HGGHGGGGGd)3212321213211GGGHGGHGGGGGe) sC sR图2-23 方框图的化简12345131上式可写成如下通式式中，n为反馈回路数；P为前向通道传递函数，即从输入到输出的通道上各传递函数之积; 为第 条反馈回路的传递函数，注意，负反馈时 为负值。iLiiL 但是，应该指出，该公式只适用于有一条前向通道，且所有反馈回路都相互接触时的场合。 132+-+-2Ha）1H1G sR sCab2G3G( ) s+-+-+-R(s)1G2G3G4GC(s)aba)例2-14 用化简方块图的方法，求图224a所示系统的传递函数。+-+-+-R

51、(s)1G2G3G4GC(s)411GGb)12345133-+R(s)C(s)21211GGGG43431GGGG411GGc)432143322143211GGGGGGGGGGGGGGR(s)C(s)d)图2-24 方框图的化简12345134 解 对于本题，将加法点a跨越方块 左移，将引出点b跨越方块 右移，并在反馈通道中串联方块 后，就可根据串联和反馈运算法则，很容易地逐步化简到图2-24d所示，故得该系统的总的传递函数为 1G4G)/(141GG432143322143211)()(GGGGGGGGGGGGGGsRsC12345135+-+-+-R(s)1G2G3G4GC(s)aba

52、)例例2-15 用化简方块图的方法，求传递函数136?32231GG H G44531GG G H137138139例例2-16 用化简方块图的方法，求传递函数 140?141142?143例例2-17 144145146147148149四、梅逊公式四、梅逊公式 对于连接关系比较复杂的系统方块图，利用梅逊公式可由方块图直接求取系统的传递函数。 1( )1( )( )( )( )( )nkkkC sG sP ssR ss特征式)(saL为反馈回路传递函数（负反馈时为负值）bcL L为两个反馈回路相互不接触时，该两反馈回路的传递函数之积defL L L为三个反馈回路相互不接触时，该三反馈回路的传

53、递函数之积( )kP s)(sk为第k条前向通道传递函数；为从 中去掉与第k条前向通道相接触的相关项后的余项。 )(sPk150n前向通道条数151例例2-18 利用梅逊公式求传递函数利用梅逊公式求传递函数C(s)/R(s)I前向通道条数( )ks去掉与第k条前向通道相接触的相关项后的余项。1( )1s1( )1( )( )( )( )( )nkkkC sG sP ssR ss例2-19 利用梅逊公式，求图2-25所示系统的传递函数。 +-+-+-+R ( s )C ( s )1G2G3G4G1H2H3H152前向通道前向通道:回路数：回路数：；2322HGGL；1211HGGL。245HGL

54、；3414HGGL31233LG G G H ；4123211GGPGGGP2434133212321211)(HGHGGHGGGHGGHGGs上述这五个反馈回路均相互接触，所以没有互不接触的反馈回路，即 153+-+-+-+R ( s )C ( s )1G2G3G4G1H2H3H又因为所有五个反馈回路均与两条前向通道接触，所以 1)(1)(21ss系统的传递函数为 例2-16 利用梅逊公式计算例2-14中系统的总的传递函数。 解 该系统有一条前向通道，即 ；有三个反馈回路： 这三个回路中有两个相互不接触，所以该回路中 43211GGGGP 。；433322211GGLGGLGGL432143

55、322143214332211)(1)(GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGs12345154+-+-+-R(s)1G2G3G4GC(s)aba)又因为所有三个反馈回路均与前向通道接触，所以 求得该系统的传递函数为 1)(1 s432143322143211)()()(GGGGGGGGGGGGGGsRsCsG12345155例2-17 利用梅逊公式求图2-26所示系统的传递函数 +-+-+-R(s)C(s)+-+-R1R1R1Cs1Cs1Cs1前向通道传递函数：前向通道传递函数： 33311sCRP 1561( )1( )( )( )( )( )nkkkC sG sP ssR ss梅逊公式

56、5aLRCs2226bCL LR C s3331defL L LR C s2223335611RCsR C sR C s 1)(1 s余子式：余子式：1651)()()(222333RCssCRsCRsRsCsG特征式：特征式：157例2-18 利用梅逊公式求传递函数 前向通道传递函数：前向通道传递函数： 余子式：余子式：特征式：特征式： 1 H11G2G12G G3G3G31G H112PG G23PG 11 211H 12311121231(1)( )1G GGHsHGGG GG H158例2-19 利用梅逊公式求传递函数 前向通道前向通道:反馈回路：反馈回路：122LG H212341L

57、G G G G H 31241LG G G H 221234112411 G HG G G G HG G G H 112341 1PG G G G 21242 1PG G G 323453 1PG G G G 42454 1PG G G 53465 1PG G G 662246 1PG H G G 12341242345346246222123411241+- ( ) 1G G G GG G GG G G G G G G G G G HsG HG G G G HG G G H五五 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 设控制系统的方块图如图2-27所示。图中R(s)为参考输入，N(s)为干扰信

58、号。参照该图，给出控制系统中几种常用传递函数的命名和求法。+-R(s)E(s)N(s)C(s) sG1 sG2B(s) sH图2-27 闭环系统典型方框图 159 1前向通道传递函数前向通道传递函数 从参考输入到输出的通道称为前向通道，前向通道上的各传递函数之积称为前向通道传递函数。即 式中G(s)为前向通道传递函数。 160+-R(s)E(s)N(s)C(s) sG1 sG2B(s) sH 2. 开环传递函数开环传递函数 系统的开环传递函数定义为前向通道传递函数G(s)与反馈通道传递函数H(s)的乘积，即 应当指出，系统的开环传递函数不是指开环系统系统的开环传递函数不是指开环系统的传递函数。的传递函数。以后在分析闭环传递函数的性能时，并不一定要求取系统的闭环传递函数。在许多场合，可以利用开环传递函数G(s)H(s)来分析闭环系统的性能。 161+-R(s)E(s)N(s)C(s) sG1 sG2B(s) sH1212( )( )( )( )( )1( )( )( )1( )( )RCsG s G sG sR sG s G s H sG s H s 3. 求参考输入R(s)作用下的闭环传递函数 当仅考虑输入R(s)与输出关系时，