高考专题复习9-第9练　利用导数解不等式、函数零点问题新课标试卷

1、第9练利用导数解不等式、函数零点问题一、选择题 1.定义域为R的函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)-f(x)<3,若f(1)=-2,则不等式f(x)+3>ex-1的解集为()A.(0,1)B.(1,+)C.(-,0)D.(-,1)答案D令g(x)=f(x)+3ex,求导得g(x)=f '(x)-f(x)-3ex,f(x)-f(x)<3,g(x)<0,则g(x)是R上的减函数,又f(x)+3>ex-1等价于f(x)+3ex>1e,即g(x)>1e,而g(1)=f(1)+3e=1e,g(x)>g(1),x<1. 2.(多选题)

2、对于函数f(x)=lnxx2,下列说法正确的是()A.f(x)在x=e处取得极大值12eB.f(x)有两个不同的零点C.f(2)<f()<f(3)D.若f(x)<k-1x2在(0,+)上恒成立,则k>12答案AC由已知得, f(x)=1-2lnxx3,令f(x)>0得0<x<e,令f(x)<0得x>e,故函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,所以f(x)的极大值为f(e)=12e,故A选项正确;又令f(x)=0,得ln x=0,即x=1,当x+时, f(x)0,所以f(x)只有1个零点,故B选项不正确;因为2>&

3、gt;3>e,所以f(2)<f()<f(3),故C选项正确;若f(x)<k-1x2在(0,+)上恒成立,即f(x)+1x2<k在(0,+)上恒成立,设g(x)=f(x)+1x2=lnx+1x2,则g(x)=-2lnx-1x3,令g(x)>0得0<x<e-12,令g(x)<0得x>e-12,故g(x)在(0,e-12)上单调递增,在(e-12,+)上单调递减,所以g(x)max=g(e-12)=e2,所以k>e2,故D选项错误.3.设函数f(x)是定义在R上的单调函数,且xR, f(f(x)-ex)=e+1.若函数g(x)=f(x

4、)-k(x+2)有两个零点,则k的取值范围是()A.(e,+)B.(1,eC.(1,+)D.(0,1)答案C由题意可得f(x)-ex为常数,设f(x)-ex=t,则f(x)=ex+t,则函数y=f(x)为增函数,由f(t)=et+t=e+1,得t=1,故f(x)=ex+1, f(x)=ex.函数g(x)有两个零点等价于函数y=f(x)与y=k(x+2)的图象有两个不同的交点,当直线y=k(x+2)与曲线y=f(x)相切时,如图所示,设切点P(x0,y0),则y0=ex0+1,y0x0+2=ex0,解得x0=0,y0=2,此时k=1.由图象可知,要使函数y=f(x)与y=k(x+2)的图象有两个

5、不同的交点,则需k>1.4.已知函数f(x)=x2-x,x1,lnx,x>1,g(x)=f(x)-ax+a,若g(x)恰有1个零点,则a的取值范围是()A.(0,+)B.(-,2C.1,2D.1,+)答案Dg(x)恰有1个零点,即函数y=f(x)与y=ax-a的图象恰有一个交点,直线y=ax-a恒过点(1,0),由y=ln x得y=1x,所以曲线y=ln x在点(1,0)处的切线的斜率为1,由y=x2-x得y=2x-1,所以曲线y=x2-x在点(1,0)处的切线的斜率为1,如图所示,若g(x)恰有1个零点,当且仅当a1时成立.5.已知函数f(x)=x+4x,g(x)=2x+a,若x

6、112,3,x22,3,使得f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是()A.a1B.a1C.a0D.a0答案Cx112,3,x22,3,使得f(x1)g(x2),等价于f(x1)ming(x2)min, f(x)=x+4x2x·4x=4,当且仅当x=2时等号成立,由g(x)=2x+a在2,3上递增,可得g(x)的最小值为g(2)=4+a,则4+a4,即a0,故选C.6.设f(x)是函数f(x)(xR)的导函数,当x0时, f(x)+3f(x)x<0,则函数g(x)=f(x)-1x3的零点个数为()A.3B.2C.1D.0答案D设F(x)=x3f(x)-1,则F(x)=x3f(

7、x)+3x2f(x)=x3f '(x)+3f(x)x.因为当x0时, f(x)+3f(x)x<0,所以当x>0时,F(x)<0,函数y=F(x)在(0,+)上单调递减;当x<0时,F(x)>0,函数y=F(x)在(-,0)上单调递增.所以F(x)max=F(0)=-1<0,所以函数y=F(x)没有零点,故g(x)=f(x)-1x3=F(x)x3也没有零点.7.已知函数f(x)=x2+2aln x+3,若x1,x24,+)(x1x2),a2,3,使得 f(x2)-f(x1)x1-x2<2m,则m的取值范围是()A.-2,+)B.-52,+C.-9

8、2,+D.-194,+答案D设x1>x2,因为f(x2)-f(x1)x1-x2<2m,所以f(x1)+2mx1>f(x2)+2mx2.令g(x)=f(x)+2mx,则g(x)在(4,+)上单调递增,故g(x)0在4,+)上恒成立,即2x+2ax+2m0在4,+)上恒成立,整理得,-mx+ax在4,+)上恒成立.令y=x+ax,因为a2,3,所以函数y=x+ax在4,+)上单调递增,故有-m4+a4.因为a2,3,所以-m4+a4max=194,即m-194.8.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则a的取值

9、范围是()A.-32e,1B.-32e,34C.32e,34D.32e,1答案D设g(x)=ex(2x-1),y=a(x-1),由题意知,函数y=g(x)在直线y=ax-a下方的图象中只有一个点的横坐标为整数,如图所示, g(x)=ex(2x+1),当x<-12时,g(x)<0;当x>-12时,g(x)>0,所以g(x)在-,-12上单调递减,在-12,+上单调递增,所以函数g(x)的最小值为g-12=2e-12.又g(0)=-1,g(1)=e>0.直线y=ax-a恒过定点(1,0),且斜率为a,故-a>g(0)=-1且g(-1)=-3e-a-a,解得32e

10、a<1,故选D.9.(多选题)关于函数f(x)=2x+ln x,下列判断正确的是()A.x=2是f(x)的极大值点B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.存在正实数k,使得f(x)>kx成立D.对任意两个正实数x1,x2,且x1>x2,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4答案BD函数f(x)的定义域为(0,+), f(x)=-2x2+1x=x-2x2,当x(0,2)时, f(x)<0,函数f(x)单调递减,当x(2,+)时, f(x)>0,函数f(x)单调递增,x=2是f(x)的极小值点,故A选项错误;y=f(x)-x=2x+ln x-x,y=-2

11、x2+1x1=-x2+x-2x2<0,函数y=f(x)-x在(0,+)上单调递减.又f(1)-1=2+ln 1-1=1>0, f(2)-2=1+ln 2-2<0,函数y=f(x)-x有且只有1个零点,故B选项正确;若f(x)>kx,则k< f(x)x=2x2+lnxx,令g(x)=2x2+lnxx,则g(x)=-4+x-xlnxx3,令h(x)=-4+x-xln x,则h(x)=-ln x,当x(0,1)时,h(x)>0,函数h(x)单调递增,当x(1,+)时,h(x)<0,函数h(x)单调递减,h(x)h(1)=-3<0,g(x)<0,g

12、(x)=2x2+lnxx在(0,+)上单调递减,函数无最小值,故不存在正实数k,使得f(x)>kx成立,故C选项错误;由x1>x2, f(x1)=f(x2)可知,x1>2,0<x2<2,要证x1+x2>4,即证x1>4-x2,且x1>4-x2>2,函数f(x)在(2,+)上单调递增,f(x1)>f(4-x2),由于f(x1)=f(x2),所以f(x2)>f(4-x2),即需要证明f(x)>f(4-x),x(0,2).令m(x)=f(x)-f(4-x)=ln x-ln(4-x)+2x24-x,x(0,2),则m(x)=-8(

13、x-2)2x2(4-x)2<0,m(x)在(0,2)上单调递减,m(x)>m(2)=0,即f(x)>f(4-x),x(0,2)成立,故x1+x2>4成立,所以D选项正确,综上所述,应选BD.二、填空题10.已知函数f(x)的定义域是R, f(x)是f(x)的导函数,且f(x)<12, f(1)=1,则不等式f(x)<x2+12的解集为. 答案(1,+)解析f(x)<x2+12即f(x)-x212<0,令g(x)=f(x)-x212,则g(1)=0,不等式f(x)-x212<0等价于g(x)<g(1),g(x)=f(x)-12

14、<0,g(x)为减函数,x>1.11.函数f(x)=ex,g(x)=x2+a,若对任意的x1,x21,2,都有f(x1)>g(x2),则实数a的取值范围是. 答案(-,e-4)解析因为对任意的x1,x21,2,都有f(x1)>g(x2),且f(x)和g(x)在1,2上均为增函数,所以f(x)的最小值为e,g(x)的最大值为4+a,所以e>4+a,即a<e-4.12.已知函数f(x)=(2-a)·(x-1)-2ln x,若函数f(x)在0,12上无零点,则a的最小值为. 答案2-4ln 2解析解法一: f(x)<0在区间0,12上不恒成立,要使函数f(x)在0,12上无零点,只要对任意的x0,12, f(x)>0恒成立,即对任意的x0,12,a>2-2lnxx-1恒成立即可.令l(x)=2-2lnxx-1,x0,12,则l(x)=2lnx+2x-2(x-1)2,令m(x)=2ln x+2x-2,x0,12,则m(x)=-2x2+2x=-2(1-x)x2<0,故m(x)在0,12上为减函数,于是m(x)>m12=2-2ln 2>0,从而l(x)>0,则l(x)在0,12上为增函数,l(x)<l12=2-4l