帕坦卡-斯波尔丁学派方法简介

1、第9章 数值计算法帕坦卡-斯波尔丁学派方法简介何险峰2009年12月传递过程原理 2本章内容1.微分方程的离散化2.差分方程的建立3.隐式方案和代数方程的解4.对流与扩散5.流场计算6.小结3斯波尔丁简介Brian Spalding1923生于英格兰英国皇家工程院院士，英国帝国理工大学， PHOENICS创办人BE, 1944, Oxford University Ph.D 1952, Cambridge University 4帕坦卡简介Suhas V. Patankar1941生于印度，Brian Spalding的学生Univ. of Minnesota, Dept. of Mechan

2、ical Univ. of Minnesota, Dept. of Mechanical EngineeringEngineeringSIMPLE 代码CFD biblePh.D., 1967, Mechanical Engineering, University of LondonM.Tech, 1964, Indian Institute of Technology- Mumbai (India) B.E. 1962, University of Pune, India5微分方程的离散化微分方程的通用形式（层流）St)()()(v连续方程连续方程运动方程运动方程能量方程能量方程A组分连续方

3、程组分连续方程6微分方程的离散化微分方程的通用形式（湍流）iiiiiiSxxvxt)()()(连续方程连续方程运动方程运动方程能量方程能量方程A组分连续方程组分连续方程k- 模型模型7微分方程的离散化单向坐标和双向坐标单向坐标和双向坐标的定义空间坐标和时间坐标对流过程和扩散过程抛物线型和椭圆形方程8微分方程的离散化积分区域的网格化正交网格贴体网格9微分方程的离散化差分方程的一般格式网格和结点从结点划分网格从网格划分结点10微分方程的离散化差分方程的一般格式二维定态baaaaaWWNNSSEEPPbaaaaaaaaBBFFWWNNSSEEPPPP00三维非定态通式：baanbnbPP11微分方程

4、的离散化 值分布假设阶梯分布分段线性分布12建立差分方程建立差分方程的一般方法泰勒级数法.dd)(! 31dd)(! 21dd)(! 11)()(33302220000 xfxxxfxxxfxxxfxfxx一维泰勒展开.)(dd21dd2222221xxxx .)(dd21dd2222223xxxx 13建立差分方程建立差分方程的一般方法泰勒级数法xx 2dd1322231222)(2ddxx 缺点：物理意义不明 缺乏弹性14建立差分方程建立差分方程的一般方法变分法基本思想：解微分方程化为求变分（泛函）的最小缺点：适用范围有限（固体力学和传热）15建立差分方程建立差分方程的一般方法加权余数法0

5、)(LRL)(0d xWR近似解：)(.)()(22110 xfaxfaxfaamm令：R：余数W：权函数正交函数系)(xfm16建立差分方程控制容积法计算范围在一个基本控制容积（网格）内控制容积法要求： 物理上真实 整体平衡（边界、通量等）17建立差分方程例9.1一维稳态热传导的离散化0ddddSxTxbTaTaTaWWEEPPeeExa)(wwWxa)(xSaaaPWEP xSbC 离散化后其中：18建立差分方程离散化的四项基本原则法则1：控制容积界面上的连续性法则法则2：正系数法则法则3：源项的负斜率线性化法则法则4：相邻结点系数之和法则0PS0)(nbpanbpaa19隐式方案一维非稳

6、态热传导对控制容积积分xTxtTcV tttewewtttVtxxTxxttTcddddtTffTtTPPtttP )1 (d01令：tttwWPwePEePPVtxTTxTTTTxcd)()()()()(0120隐式方案一维非稳态热传导0000)1 ()1 ()1 ()1 (PWEPWWWEEEPPTafafaTffTaTffTaTaeeExa)(wwWxa)(txcaVP 00PWEPafafaa21隐式方案一维非稳态热传导1. 显示模式 f=00000PWEPWWEEPPTaaaTaTaTa22隐式方案一维非稳态热传导2. 克兰克-尼科尔森模式 f=0.500005 . 05 . 05

7、. 05 . 0PWEPWWWEEEPPTaaaTTaTTaTaxtxcaaaVWEP5 . 05 . 00可能 0, 解是震荡的23隐式方案一维非稳态热传导3. 全隐模式f=1bTaTaTaWWEEPPeeExa)(wwWxa)(txcaVP 0 xSaaaaPPWEP000PPcTaxSbt稳态模型24隐式方案二维和三维热传导SyTyxTxtTcV25代数方程的解高斯-赛德尔逐点计算法PnbnbPabTaT*26代数方程的解迭代的收敛性斯卡巴勒准则：个方程对其中至少对所有的方程111Pnbaa迭代的稳定性(显式模式）2)(2xctV 27代数方程的解松弛法*PPnbnbPPTabTaTT2

8、8对流与扩散0)(vt通用微分方程连续性方程：Svt)()()(通用传递方程：Svt)(可以化为：29对流与扩散0)(v一维稳态对流-扩散问题一维情况下，展开：Svt)()()(传递方程：稳态/无源项)()(vxxxuddddd)(d连续性方程：0d)(dxu一维展开：constu（1）30对流与扩散中值分线段方法)(21PEe)(21WEw对（1）积分：wewexxuudddd)()()()()()()()(21)()(21WPwwPEeeWPwPEexxuuuF)( xD令：31对流与扩散中值分线段方法WWEEPPaaa离散化方程为：uF)( xD2eeEFDa2wwWFDa)(weWEPFFaaa32对流与扩散中值分线段方法（1）满足连续性方程（2）不一定满足正系数法制（3）不一