第五章内压薄壁容器的应力

1、第五章第五章 内压薄壁容器的应力分析内压薄壁容器的应力分析 主要介绍回转壳体的概念、应力分析，结论薄膜应力理论的推导和应用。2.1 1.00iiDDKD或薄壁容器薄壁容器容器的厚度与其最大截面圆的容器的厚度与其最大截面圆的内径之内径之比小于比小于0.10.1的容器称为薄壁容器。的容器称为薄壁容器。（超出这一范围的称为厚壁容器）（超出这一范围的称为厚壁容器）应力分析是强度设计中首先要解决的问题应力分析是强度设计中首先要解决的问题一、薄壁容器及其应力的特点第一节 回转壳体的应力分析 第一节 回转壳体的应力分析 一、薄壁容器及其应力的特点（二）薄壁容器的应力特点1、筒体的主要部分两向应力。设备的主体

2、部分应力状态。薄膜应力定量计算（）2、除有两向应力外，增加封头的弯曲作用。应力复杂。边缘应力定性分析o当圆筒容器承受内压力当圆筒容器承受内压力P P作用以后，其直径要稍微增大，故圆作用以后，其直径要稍微增大，故圆筒内的筒内的“环向纤维环向纤维”要伸长，因此在筒体的纵截面上必定有应要伸长，因此在筒体的纵截面上必定有应力产生，此应力称为力产生，此应力称为环向应力环向应力，以，以表示；表示；o由于容器两端是封闭的，在承受内压后，筒体的由于容器两端是封闭的，在承受内压后，筒体的“纵向纤维纵向纤维”也要伸长，则筒体横向截面也有应力产生，此应力称为也要伸长，则筒体横向截面也有应力产生，此应力称为径向应径向

3、应力力，以表示。，以表示。mm第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（一）概念1、回转壳体：平面内平滑曲线绕平面内固定轴线旋转360形成的壳体。没有拐点第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（一）概念1、回转壳体：（1）曲线有拐点 （2）回转轴不固定回转轴第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（一）概念2、轴对称轴对称：指几何形状、约束条件、所受外力对称于回转轴。即：同一纬度上各点的应力状态相同，便于设计。mm第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（一）概念3、中间面中间面：指与壳体的内外表面等距的曲面。mm中间面第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（

4、一）概念4、母线母线：指形成回转壳体的平面曲线。第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（一）概念5、经线经线：通过回转轴的平面与一侧回转面的割（交）线。经线第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（一）概念5、经线经线：指出任意点的经线。第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（一）概念6、法线法线：通过曲面上的一点并垂直于曲面的直线称为曲面在该点的法线。AB第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（一）概念6、法线法线：指出任意点的法线。第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（一）概念7、纬线纬线：过回转轴上一点做母线的垂线，以该垂线为母线，壳体回转轴为轴，

5、所形成的锥面与壳体的割（交）线。第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（一）概念7、纬线与平行圆（垂直于回转轴的平面与壳体的割线叫平行圆）纬线平行圆第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（一）概念8、第一曲率半径R1：过该点的经线在该点的曲率半径。第一曲率半径NOO第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（一）概念9、第二曲率半径R2：过该点垂直于经过该点经线的平面与壳体的割（交）线在该点的曲率半径。K2K22K过M点可作无数平面，每一平面与回转曲面相交均有交线，每条交线都在M点有不同的曲率半径，但我们只关心下面三个：o过过M M点与回转轴作一平面，即点与回转轴作一平面，

6、即MAOMAO平面，称为经线平面，称为经线平面。在经线平面上，经线平面。在经线平面上，经线ABAB上上M M点的曲率半点的曲率半径称为径称为第一曲率半径第一曲率半径，用，用R R1 1表示表示 ；o过过M M点作一与回转轴垂直的平面，该平面与回转点作一与回转轴垂直的平面，该平面与回转轴的交线是一个圆，称为回转曲面的平行圆，也轴的交线是一个圆，称为回转曲面的平行圆，也称为纬线，此平行圆的圆心一定在回转轴上；称为纬线，此平行圆的圆心一定在回转轴上；o过过M M点再作一与经线点再作一与经线ABAB在在M M点处切线相垂直的平点处切线相垂直的平面，该平面与回转曲面相交又得一曲线，这一曲面，该平面与回转

7、曲面相交又得一曲线，这一曲线在线在M M点的曲率半径称为点的曲率半径称为第二曲率半径第二曲率半径，用，用R R2 2表表示；示； v若自若自K2K2点向回转曲面作一个与回转曲面正交的圆锥面，则该圆锥面点向回转曲面作一个与回转曲面正交的圆锥面，则该圆锥面与回转曲面的交线也是一个圆与回转曲面的交线也是一个圆纬线；纬线；v就普通回转体而言，用与轴线垂直的平面截取得到的壳体截面与用就普通回转体而言，用与轴线垂直的平面截取得到的壳体截面与用上述圆锥面截取得到的壳体截面是不一样的，前者是壳体的横截面，上述圆锥面截取得到的壳体截面是不一样的，前者是壳体的横截面，并不能截出壳体的真正厚度并不能截出壳体的真正厚

8、度( (圆柱形壳体除外圆柱形壳体除外) )，而后者称为壳体的，而后者称为壳体的锥截面，截出的是回转体的真正壁厚；锥截面，截出的是回转体的真正壁厚；v第一曲率半径第一曲率半径R1R1的简单求法：经线的曲率半径；的简单求法：经线的曲率半径；v第二曲率半径第二曲率半径R2R2的简单求法：经线到回转轴的距离。的简单求法：经线到回转轴的距离。abR2=a? R2=b? R2=a曲率及其计算公式曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,s对应切线,定义弧段 上的平均曲率ssKMMs点 M 处的曲率sKs0limsdd注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !转角为例例1.1. 求半径为R

9、的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,RssKs0limR1sRMMytan)22(设y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK 又曲率K 的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(D ),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线KDM1 把以 D 为中心, 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 , 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使 第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（一）概念例题例题：求

10、圆筒，圆锥，圆球上A、B、C点的第二曲率半径。ADBDDCx第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（二）应力分析的基本假定 把工程实际中的对结果影响较小因素忽略，以简化理论分析的复杂性。工程思想 1、小位移假设：受内压膨胀变形量与半径之比可以忽略不记。简化微分阶数。RRRR误差允许第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（二）应力分析的基本假定 2、直法线假设：曲面上任意一点的法线在受力后与受力前是同一条直线。计算角度的基准不变，减少角度的微分量。第一节 回转壳体的应力分析 二、概念和基本假设（二）应力分析的基本假定 3、不挤压假设：壳体在膨胀后纤维互相不挤压，在法线方向不存在应

11、力。三向应力状态可以简化为两向应力状态，即平面问题。 m第一节 回转壳体的应力分析 三、经向应力的计算公式区域平衡 经向应力，经向应力，MPa p p 工作压力，工作压力，MPa R R2 2 第二曲率半径，第二曲率半径，mm 壁厚，壁厚，mm用假想截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径用假想截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径D D 处有垂直处有垂直于经线的于经线的法向圆锥面法向圆锥面截开，取下部作脱离体，建立静力平衡方程式。截开，取下部作脱离体，建立静力平衡方程式。22pRmm1 1、截面法、截面法第一节 回转壳体的应力分析 三、经向应力的计算公式区域平衡思考：为什么不能用横

12、截面？思考：为什么不能用横截面？Z轴上的合力为轴上的合力为Pz作用在截面上应力的合力作用在截面上应力的合力在在Z轴上的投影为轴上的投影为Nz在在Z 方向的平衡方程方向的平衡方程pDPz24sinDNmz0zzNPsin2 sin2 0sin4222RDDRDpDm22pRm图图5-5 回转壳体上的径向应力分析回转壳体上的径向应力分析第一节 回转壳体的应力分析 已求得经向应力m=pR2/2，求环向应力，取小微分体，如图所示。mmmmK22K1KK1122lddl1四、环向应力计算公式微体平衡方程式pRRm21壳体的内外表面壳体的内外表面两个相邻的，通过壳两个相邻的，通过壳体轴线的体轴线的 经线平

13、面经线平面两个相邻的，与壳体两个相邻的，与壳体正交的园锥法截面正交的园锥法截面 经向应力经向应力,MPa 环向应力，环向应力，MPa p 工作压力工作压力.MPa R1 第一曲率半径，第一曲率半径，mm R2 第二曲率半径第二曲率半径,mm 壁厚，壁厚，mmm图图3-6 确定环向应力微元体的取法确定环向应力微元体的取法1、截取微元体、截取微元体微元体微元体abcd 的受力的受力上下面：上下面： 内表面：内表面：p 环向截面：环向截面：m图图5-7 微小单元体的应力及几何参数微小单元体的应力及几何参数内压力内压力p在微体在微体abcd上所产生的外力上所产生的外力的合力在法线的合力在法线n上的投影

14、为上的投影为Pn 在在bc与与ad截面上经向应力截面上经向应力 的合力的合力在法线在法线n上的投影为上的投影为Nmn21dlpdlPn2sin212dSdlNmmn在在ab与与cd截面上环向应力截面上环向应力 的合力的合力在法线在法线n 上的投影为上的投影为mnN2sin221dSdlNn2、回转壳体的经向环向应力分析、回转壳体的经向环向应力分析图图3-8 回转壳体的环向应力分析回转壳体的环向应力分析根据法线根据法线n n方向上力的平衡条方向上力的平衡条件，得到件，得到 = 0 nNnPmnN即21dlpdl-2sin212dSdlm-2sin221dSdl=0 （3- 8） 因为微体的夹角1

15、d与2d很小，因此取 2sin1d21d=112Rdl 2sin2d22d=222Rdl 代入式（3- 8） ，并对各项均除以21dlSdl，整理得 即即即21dlpdl-2sin212dSdlm-2sin221dSdl=0 （ 3-8） 因 为 微 体 的 夹 角1d与2d很 小 ， 因 此 取 2sin1d21d=112Rdl 2sin2d22d=222Rdl 代 入 式 （ 3-8） ， 并 对 各 项 均 除 以21dlSdl， 整 理 得 微元体的夹角微元体的夹角 和和 很小，可取很小，可取 1d2d（式1）式式1 1各项均除以各项均除以 整理得整理得即21dlpdl-2sin212

16、dSdlm-2sin221dSdl=0 （3-8） 因为微体的夹角1d与2d很小，因此取 2sin1d21d=112Rdl 2sin2d22d=222Rdl 代入式（3-8） ，并对各项均除以21dlSdl，整理得 pRRm21回转壳体曲面在几何上是轴对称回转壳体曲面在几何上是轴对称, ,壳体厚度无突变；曲壳体厚度无突变；曲率半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能率半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能（主要是（主要是E E和和）应当是相同的）应当是相同的载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的壳体边界的固定形式应该是自由支承的壳体边界的固定

17、形式应该是自由支承的壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界上无横剪力和弯矩上无横剪力和弯矩/Di0.1无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩的作用。无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩的作用。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又称薄膜理论。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又称薄膜理论。五、薄膜理论的适用条件五、薄膜理论的适用条件第二节 薄膜理论的应用 pRRm2122pRm区域平衡方程式区域平衡方程式微体平衡方程式微体平衡方程式1R，22DrR 由 区 域 平 衡 方 程 式=SPD4 代 入 微 体 平 衡 方 程 式

18、， 得 =SPR2=SPD2 一、受气体内压的圆筒形壳体一、受气体内压的圆筒形壳体图图3-9 受气体内压的圆筒形壳体受气体内压的圆筒形壳体讨论讨论1：薄壁圆筒上开孔的有利形状：薄壁圆筒上开孔的有利形状 环向应力是经向应力环向应力是经向应力的的2 2倍，所以环向承受应倍，所以环向承受应力更大，环向上就要少削力更大，环向上就要少削弱面积，故开设椭圆孔时，弱面积，故开设椭圆孔时，椭圆孔之短轴平行于筒体椭圆孔之短轴平行于筒体轴线，见图轴线，见图图图3-10 薄壁圆筒上开孔薄壁圆筒上开孔讨论讨论2：介质与压力一定，壁厚越大，是否应力就越小：介质与压力一定，壁厚越大，是否应力就越小mm筒长为L 周长为K二

19、、受气体内压的球形壳体二、受气体内压的球形壳体讨论：对相同的内压，球壳应力比同直径、讨论：对相同的内压，球壳应力比同直径、 同同厚度的圆筒壳的应力有何不同呢？厚度的圆筒壳的应力有何不同呢？结论：对相同的内压，球壳的环向应力要比同结论：对相同的内压，球壳的环向应力要比同直径、直径、 同厚度的圆筒壳的环向应力小一半，这同厚度的圆筒壳的环向应力小一半，这是球壳显著的优点。是球壳显著的优点。 12222byax22222xabby椭圆壳经线为一椭椭圆壳经线为一椭圆，圆，a a、b b分别为椭分别为椭圆的长短轴半径，圆的长短轴半径，其曲线方程其曲线方程yxaby22/324/1yaby23211yyR

20、babaxaR42/322241)(三、受气体内压的椭球壳三、受气体内压的椭球壳1、第一曲率半径、第一曲率半径R1如图，自任意点如图，自任意点A（x,y）作经）作经线的垂线，交回转轴于线的垂线，交回转轴于O点，点，则则OA即为即为R2 ，根据几何关系，根据几何关系，可得可得bbaxaR2/122242)(2、第二曲率半径第二曲率半径R2图图3-11 椭球壳的应力分析椭球壳的应力分析)(2 )(2)(2222442224222241baxaabaxabpbaxabp把把R1和和R2的表达式代入微体平衡方程及区域平衡方程得：的表达式代入微体平衡方程及区域平衡方程得：ma,b分别为椭球壳的长、短半径

21、，分别为椭球壳的长、短半径，mm ; x 椭球壳上任意点距椭球壳中心轴的距离椭球壳上任意点距椭球壳中心轴的距离mm 其它符号意义与单位同前。其它符号意义与单位同前。3、应力计算公式、应力计算公式由由 和和 的公式可知：的公式可知：m在在x=0处处)(2bapam)2(2,222bapapam在在x=a处处4、椭圆形封头的应力分布、椭圆形封头的应力分布(1)(1)在椭圆形封头的中心在椭圆形封头的中心(x=0(x=0处处),),经向应力与环向应力相等。经向应力与环向应力相等。(2)(2)经向应力经向应力恒为正值，是拉应力。恒为正值，是拉应力。(3)(3)周向应力最大值在周向应力最大值在x=0 x=

22、0处，最小值在处，最小值在x=ax=a处。处。椭圆形封头上的应力分布在x=0处，baSPam2 在x=a处，SPam22222baSPa 径向应力恒为正值，且最大在x=0处，最小值在x=a处； 环向应力在x=0处时大于零；在 x=a处却不一定：；时，时，即02/0222baba；时，时，即02/0222baba；时，时，即02/0222baba 顶点应力最大，经向应力与环向应力是相等的拉应力。顶点应力最大，经向应力与环向应力是相等的拉应力。 顶点的经向应力比边缘处的经向应力大一倍。顶点的经向应力比边缘处的经向应力大一倍。 顶点处的环向应力和边缘处相等但符号相反。顶点处的环向应力和边缘处相等但符

23、号相反。 应力值连续变化。应力值连续变化。pampapam2标准椭圆形封头标准椭圆形封头a/b=2在在x=0处处在在x=a处处图图5-12 椭圆形封头的应力分布椭圆形封头的应力分布圆锥形壳半锥角为圆锥形壳半锥角为 ，A A点处半点处半径径r r，厚度为，厚度为，则在，则在A A点处：点处：cos 21rRRcos2prm cospr四、受气体内压的锥形壳体四、受气体内压的锥形壳体图图5-13 锥壳的应力分析锥壳的应力分析在锥形壳体大端在锥形壳体大端r r= =R R时，应力最大，在锥顶处，应力为零。因时，应力最大，在锥顶处，应力为零。因此，一般在锥顶开孔。此，一般在锥顶开孔。 锥形壳体环向应力

24、是经向锥形壳体环向应力是经向应力两倍，随半锥角应力两倍，随半锥角a a的增的增大而增大大而增大角要选择合适，不宜太大角要选择合适，不宜太大cos4pDm cos2pD锥顶锥顶锥底各点应力锥底各点应力图图3-14 锥形封头的应力分布锥形封头的应力分布1碟形壳体的组成碟形壳体的组成五、受气体内压的碟形壳体五、受气体内压的碟形壳体图图5-15 碟形壳体的应力分析碟形壳体的应力分析obb段是半径为R的球壳；oac段为半径为r的圆筒；oab段为连接球顶与圆筒的褶边，是过渡半径为r的圆弧段。v对于球顶部分与圆筒部分，分别按相应公式计算其薄膜应力；v对于褶边过渡部分：PRSRm222sinsinsin2SP

25、Rm221221222222rRSPRrRSPRSPRsin2sin11112rDrrrrR 有：依理论：碟形壳体的应力分布碟形壳体的应力分布【例例3-13-1】有一外径为219的氧气瓶，最小壁厚为=6.5mm,材质为40Mn2A,工作压力为15MPa,试求氧气瓶筒壁内的应力。解：解：氧气瓶筒身平均直径：氧气瓶筒身平均直径：mm5 .2125 . 62190DD经向应力：经向应力：MPa6 .1225 . 645 .212154pDm环向应力：环向应力：2 .2455 . 625 .212152pDMPa【例例3-23-2】有圆筒形容器，两端为椭圆形封头，已知圆筒平均直径D=2020mm,壁厚

26、=20mm,工作压力p=2MPa。 (1)试求筒身上的经向应力 和环向应力 (2)如果椭圆形封头的a/b分别为2， 和3，封头厚度为20mm，分别确定封头上最大经向应力与环向应力及最大应力所在的位置。2m 图图3-16 例例3-2附图（附图（1）解：解：求筒身应力求筒身应力经向应力：经向应力：)(5 .50204202024MPapDm 环向应力：环向应力：)(101202202022MPapD 2 2求封头上最大应力求封头上最大应力a/b=2a/b=2时，时，a=1010mm,b=505mma=1010mm,b=505mm在在x=0处处)(101220210102)(2MPabapam )(5 .50202101022MPapam 在在x=a处处)(101)42(20210102)2(222MPabapa 最大应力有两处：一处在椭圆形封头的顶点，即最大应力有两处：一处在椭圆形封头的顶点，即x=0 x=0处；处；一处在椭圆形封头的底边，即一处在椭圆形封头的底边，即x=ax=a处。如图处。如图3-17a3-17a所示。所示。a/b= a/b= 时，时，a