平稳随机信号处理20101016

1、平稳随机信号处理及其在医学信号处理中的应用 之前，我们所讨论的信号都是确定性的信号，从现在开始，我们讨论随机信号。随机信号和确定性信号不同，它不能通过一个确切的数学公式来描述，也不能准确地予以预测，因此，对随机信号一般只能在统计的意义上来研究。这就决定了其分析与处理的方法和确定性信号相比有着较大的差异。 在工程和生活实际中，随机信号的例子很多，各种无线电系统及电子装置中的噪声与干扰，建筑物所承受的风载，船在航行是所受到的波浪冲击，许多生物医学信号（如心电图（ECG）、脑电图（EEG）、肌电图（EMG）、心音图（PCG）等，以及我们天天都在发出的语音信号等都是随机的，因此，研究随机信号的分析与处

2、理方法有着重要的理论意义与实际意义。 例：若随机变量x的概率密度函数为 则称x在（a，b）区间呈均匀分布，区间（a，b）可以处在x轴上任意位置，求该均匀分布随机变量的均值和方差1,( )0axbP xba其他解：1( )()2bxaxmxp x dxdxabba22222( )111()()212xxxbaExmxmp x dxxabdxbaba5.1 随机变量随机变量 严格来说实际中的信号主要是随机信号。表面看来，随机信号似乎没有规律，其实它还是有规律的，不过这种规律性是通过大量观测实验所得到的统计规律，因此对这类信号的处理需要揭示它们的统计特性，要用到不少概率统计的知识，这里简要地介绍随即

3、过程的一般概念极其统计特性。 一随机变量、随机过程与概率函数 （一）随机变量与随机过程 随机变量 x 表示一个变量能随机的取种种数值，而对应于随机实验所取的每一数值或某一范围内的值，有相应的概率，例如打靶，设表示射靶一次命中环数的结果，其相对应的可能值有0，1，2，10等11个数，显然，在打靶之前，这些数虽然是已知的，但我们无法准确地预言随机变量将取什么值，而只能知道它将以怎样的概率分别取这些值。 随机信号都是一次观测的结果。莫尔斯电码 实际上随机过程的每一次观测都是不一样的。 随机过程可定义为一个函数，它在每次观测的结果中以一定的概率取某一确定的，但事先未知的时间函数。 （一）概率分布函数和

4、概率密度函数 研究随机函数的统计特性不仅需要知道它的一切可能值，还必须找出与其相应概率之间的对应关系，概率函数从幅度域来描述随机函数的有关统计规律性。 分布函数：以随机变量X小于某个可能值x的概率P（X x）来建立随机变量的幅度分布规律，显然，P（X x）是x的一个函数，即 P(x)=P（X x） 所以P(x)称为随机变量概率累积分布函数，简称分布函数。在任一区间(x 1, x 2 ) 范围的概率为 ，可以表示为：12()P xXx1221()()()P xXxP XxP Xx为了描述连续型随机变量取各个可能值的概率的大小，求落入x与x+x之间的概率更方便些： ()P xXxx 概率密度函数：

5、表示随机变量落入极小区间x的平均概率简称概率密度。概率密度满足三个特性 ： 0()( )( )limxP xXxxdP xP xxdx ( )0( )1( )( )( )baP xP x dxP bP aP x dx则概率密度与分布函数的关系为：可得： ()( )xP XxP t dt1122()( )xxP xXxP x dxx2x1x0 p（x）P（X0.01，所以 、 不能完全分开，只能在波形的顶部能看出是两个分量。 图c是利用Welch平均法求出的周期图，共分四段，每段32个点，没有叠加，使用了汉明窗，这使谱密度变的较平滑，但分辨率降低。 图d亦是用Welch方法求出的平均周期图，每级

6、32个点，叠合16点，使用了汉明窗。谱变得更加光滑，分辨能力和图c大体一致。 图e是用自相关法求出的功率谱，M=32，没加窗。 图f 是只用自相关法求出的功率谱，M=16，使用了汉明窗。显然，自相关函数的延迟M越小，谱密度变得越平滑。 5.6 短时傅里叶变换短时傅里叶变换 前几节讨论了平稳随机信号自相关函数和功率谱的估计。所谓平稳信号，其主要特点是信号的均值，方差及均方差都不随时间变换，其自相关函数仅和两个观察时间的差有关，而和观察的具体位置无关。 平稳信号是人们多数研究信号的一个简化的、而且也是较为合理的假设，自然界中的大部分随机信号都可以看作是平稳的。 但是，在实际中的却存在非平稳信号，这

7、一类信号的均值及方差在随时间而变化，其自相关函数也和观察的具体时间位置有关，而且信号的频率也会随时间而变化。如语音、脑电及其它含有较多突变分量的信号。 非平稳信号又称为时变信号。对这一类信号，其一阶、二阶统计量和功率谱的估计显然不能简单地使用平稳信号的估计方法，研究和处理中必须考虑它们的时变因素。 对平稳信号，前述的经典功率谱估计方法都是建立在传统的傅里叶变换的基础上的。估计中本省就存在着问题（如窗函数产生泄露问题）。其实，傅里叶变换在信号的分析中自身就存在着不足，即缺乏时频定位功能。 傅里叶变换的表达式为：()( )( ), 5.6.111( )()(), 5.6.222j tj tj tj

8、 tX jx t edtx t ex tX jedX je 00()X j0( )x t()X j()X j()X j( )x t显然，对给定的某一个频率（如 ），为求得该频率处的傅里叶变换 ，式对t的积分需要从 到 ，即需要整个 x(t) 的“知识”。反之，如果我们要求某一时刻如 ，由式，我们需要将 对 从 到 做积分，同时也需要 整个的“知识”。实际上，由式所得到的 是信号 在整个积分区间的时间范围内所具有的频率特征的平均表示。因此，我们如果想知道在某一个特定时间（如 ）所对应的频率是多少，或对某一个特定频率（如 ）所对应的时间是多少，那么傅立叶变换则无能为力。也就是说，傅立叶变换不具有时

9、间和频率的“定位”能力。傅立叶变换的这一缺点对统计特性不断随时间变化的非平稳信号来说，使用起来更加困难。0t 0因此，对非平稳信号，人们希望能有一种分析方法，把时域分析和频域分析结合起来，即找到一个二维函数，它既能反映该信号的频率内容，也能反映出该频率内容随时间变化的规律。研究这一问题的信号处理的理论称为信号的联合时频分布。其中最重要的是以Cohen类为代表的双线性时频分布。()1( ,)()() ( , )222jtuxC tx ux ugedud d N2N1，321 。x(n)的波形如图a所示，x(n)的傅立叶变换的幅频特性 如图b所示。 ()jX e从图中我们只能看到在1，2，3处有三

10、个频率分量，并知道这三个频率分量的大小，但看不出x(n)在何时有1，何时有2，3，即傅立叶变换无时间定位功能。 (a) (b)0100200300400500600-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810102030405060708090100020406080100120图c是用STFT求出的x(n)的联合时频分布后，再求幅平方得到的谱图。该图是三维图形的二维投影，一个轴是时间，一个轴是频率。由该图可以清楚地看到x(n)的时间与频率的关系。 TimeFrequency02040608010012014016018000.050.10.150.20.25(c)2(

11、)exp()exp()x nj njn n 例2、令该信号称作线性调频信号，也称作Chirp信号，其频率与时间n成正比，00.511.522.5x 105-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81t无论从时域还是频域，都很难看出该信号的调制类型及其他特点。050010001500200025003000350040004500020406080100120140160180200从x(n)的时频分布图上，我们可以看出，该信号的频率与时间成正比，而且信号的能量主要集中在时间-频率平面的一条曲线上。TimeFrequencyQuadractic Chip: start at

12、100Hz and cross 200Hz at t=1sec00.511.522.533.5050100150200250300350400450500Matlab的specgram.m文件可用来求出一个信号的频谱，并绘出其三维图形。t=-2:0.001:2; % +/-2 secs 1kHz sample ratey=chirp(t,100,1,200,q); % Start 100Hz, cross 200Hz at t=1sec specgram(y,128,1E3,128,120); % Display the spectrogramhelp specgramSPECGRAM Spectrogram using a Short-Time Fourier Transform (STFT).B = SPECGRAM(A) ca