（精心整理）如何解一元二次不等式

1、如何解一元二次不等式，例如：x2+2x+30. 请大家写出解题过程和思路解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： 运用“分类讨论”解题思想； 运用“数形结合”解题思想。以下分别详细探讨。 例1、解不等式 x² - 2x - 8 0。 解法：原不等式可化为： (x - 4) (x + 2) 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1） x - 4 0 或 （2）x - 4 0 x + 2 0 x + 2 0 解不等式组(1)得：x 4（因为x 4 一定满足x - 2，此为“同大取大”）解不等式组(2)得：x - 2（因为x -2 一定满足x

2、 4，此为“同小取小”）不等式 x² - 2x - 8 0的解为：x 4 或 x - 2。 其解集为：( - ，- 2 4，+ ）。 解法：原不等式可化为： (x² - 2x + 1) - 1 - 8 0。 (x - 1)² 9 x - 1 3 或 x - 1 - 3 x 4 或 x - 2。 原不等式的解集为：( - ，- 2 4，+ ）。 解法：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方， 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程 x² - 2x - 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = - 2，则原不等式可化

3、为： (x - 4) (x + 2) 0。 下同解法。体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x² - 2x - 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(- 2，0) 和 (4，0)， 显然，当自变量的取值范围为 x 4 或 x - 2 时， 图像在 x 轴的上方； 当自变量的取值范围为 - 2 x 4 时，图像在 x 轴的下方。 当x 4 或 x - 2 时，x² - 2x - 8 0， 即：不等式 x² - 2x - 8 0的解为：x 4 或

4、 x - 2。顺便说一下，当- 2 x 4 时，图像在 x 轴的下方，即：x² - 2x - 8 0，不等式x² - 2x - 8 0 的解为：- 2 x 4 。其解集为： - 2，4 。领悟：对于ax² + bx + c 0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax² + bx + c 0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式 x² + 2x + 3 0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)² + 2 0。 无论 x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大

5、于零。 该不等式的解集为 x R。 用“数形结合”考虑， 方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式0， 函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 不等式 x² + 2x + 3 0的解集为 x R。例3、解不等式 x² + 2x + 3 0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)² + 2 0。 无论 x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大于零， 该不等式的解集为 空集。 用“数形结合”考虑， 方程x²

6、; + 2x + 3 = 0的根的判别式0， 函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 不等式 x² + 2x + 3 0的解集为 空集。注：在以后的高中学习中，对于“不等式”这一块，较麻烦的是 “含有参数的不等式”。如： f(x) = ax² + x （ a R 且 a 1） 若当x 0，1 时，总有 | f(x) | 1，求a的取值范围。cos27°cos57°-sin27°cos147°=解一cos27°cos57

7、76;-sin27°cos147°=cos27°cos57°+sin27°sin57°=cos(27°-57°）=cos30°=3/2解二cos27°cos57°-sin27°cos147°=cos27°sin33°+sin27°cos33°=sin（27°+33°）=sin60°=3/2解三把cos147度用诱导公式cos(90度+A）=-sinA变成-sin57度，所以原式变为cos27度cos57度+sin27度sin57度=cos(57度-27度）=cos30度=根号3/2根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案解：依题意可得a1+d=35a1+10d=25，d=2，a1=1a7=1+6×2=13故答案为：13本题主要考查了等差数列的性质考查了学生对等差数列基础知识的综合运用