[名校联盟]河南省通许县丽星中学高中数学必修二课件：1.1.1任意角的概念

1、月盈则亏是周期现象钱塘江一线潮钱塘江一线潮由于月球和太阳的引潮力作用，使海洋水面发生的周期性涨落的潮汐现象由于月球和太阳的引潮力作用，使海洋水面发生的周期性涨落的潮汐现象。 1.1.1 任意角的任意角的概念概念zxxk1、角的概念、角的概念初中是如何定义角的？初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的从一个点出发引出的两条射线两条射线构成的几构成的几何图形何图形. . 角也可以看成是由角也可以看成是由一条射线绕着它的端一条射线绕着它的端点旋转点旋转而成的。而成的。 初中学过的角的范围是：初中学过的角的范围是：0至至 360。 然而然而生活中有很多实例的角会不在该范围：生活中有很多实例的角会不在该

2、范围： 体操运动员转体体操运动员转体720（即（即“转体转体2周周”），），跳水运动员向内、向外转体跳水运动员向内、向外转体1080 （“转体转体3周周”）； 经过经过1小时，时针、分针、秒针各转了多小时，时针、分针、秒针各转了多少度？少度？ 这些例子中有的角不仅不在范围：这些例子中有的角不仅不在范围：0至至 360 ，而且，而且方向不同方向不同，有，有必要必要将角的概念将角的概念推广推广到到任意角任意角，那么用什么办法才能推广到，那么用什么办法才能推广到任意角任意角？ 关键是用关键是用运动的观点运动的观点来看待角的变化。来看待角的变化。 2角的概念的推广角的概念的推广“旋转旋转”形成角形成角

3、 如图：一条射线由原来的如图：一条射线由原来的位置位置OA，绕着它的端点，绕着它的端点O按按逆逆时针方向旋转时针方向旋转到另一位置到另一位置OB，就形成角就形成角 旋转开始旋转开始时的时的射线射线OA叫做叫做角角的的始边始边，旋转终止旋转终止的的射线射线OB叫做角叫做角的的终边终边，射线的，射线的端端点点O叫做角叫做角的的顶点顶点“正角正角”与与“负角负角”、“零角零角” 我们规定：我们规定：按按逆时针逆时针方向旋转方向旋转所形成的角所形成的角叫做叫做正角正角，按按顺时针顺时针方向旋转方向旋转所形成的角叫所形成的角叫做做负角负角，如图，以，如图，以OA为始边的角为始边的角=210，=150，=

4、660， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做叫做零角零角即即零度角零度角（0）此时零角的始边与）此时零角的始边与终边重合。终边重合。 角的记法：角的记法：角角或可以简记成或可以简记成，或简，或简记为：记为： .如如=-1500 ， =00， =6600 等等等等角的概念扩展的意义：角的概念扩展的意义：用用“旋转旋转”定义角之后，定义角之后，角的范围角的范围大大地大大地扩大扩大了了 角有正负之分角有正负之分; 如：如： =210 , = 150 , =660 . 角可以任意大角可

5、以任意大; 实例：体操动作：旋转实例：体操动作：旋转2周（周（360 2=720 ） 3周（周（360 3=1080 ） 还有零角还有零角, 一条射线，没有旋转一条射线，没有旋转. 角的概念推广以后，它包括角的概念推广以后，它包括任意大小的正任意大小的正角、负角和零角角、负角和零角 要注意，正角和负角是表示具有要注意，正角和负角是表示具有相反意义相反意义的的旋转量旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就，它的正负规定源于实际的需要，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样就好象数零无正负一样用旋转来描述角，需要注意三个要素：用旋转来描

6、述角，需要注意三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转量旋转中心、旋转方向和旋转量 （2）旋转方向：旋转变换的方向分为）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针逆时针和顺时针和顺时针两种，这是一对两种，这是一对意义相反的量意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点）旋转中心：作为角的顶点.（3）旋转量：）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过当旋转超过一周时，旋转量即超过360，角度的绝对值可大于角度的绝对值可大于360 .于是就会出现于

7、是就会出现720 ， 540等等角度角度. Zxxk3象限角象限角 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。系中来讨论角。 角的顶点重合于角的顶点重合于坐标原点坐标原点，角的，角的始边始边重合重合于于x x轴的非负半轴轴的非负半轴，这样一来，角的，这样一来，角的终边终边落在第落在第几象限，我们就说这个角是几象限，我们就说这个角是第几象限的角。第几象限的角。（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限此时这种角称为：一个象限此时这种角称为：轴线角轴线角） 例如：例如：30 、390 、 330 是第一象限角

8、，是第一象限角， 300 、 60 是第四象限角，是第四象限角， 585 、1300 是第三象限角，是第三象限角， 135 、 2000 是第二象限角等是第二象限角等4终边相同的角终边相同的角 观察：观察：390 ， 330 角，它们的终边都与角，它们的终边都与30 角的终边相同角的终边相同.探究：探究：终边相同的角都可以表示此角与终边相同的角都可以表示此角与k(kZ)个周角的和个周角的和： 390 =30 +360 (k=1), 330 =30360 (k=1) 30 =30 +0360 (k=0), 1470 =30 +4360 (k=4) 1770 =305360 (k=5) 结论：结论

9、： 所有与所有与 终边相同的角终边相同的角连同连同 在内可以构在内可以构成一个成一个集合集合：| =+k360， kZ 即：即：任何一个与角任何一个与角 终边相同的角，都可终边相同的角，都可以表示成以表示成角角 与整数个周角的和与整数个周角的和。注意以下四点：注意以下四点： kZ， K 0，表示逆时针旋转，表示逆时针旋转， K 0,表示顺时针旋转表示顺时针旋转. 是任意角；是任意角； k360与与 之间是之间是“+”号，如号，如k36030,应应看成看成(30)+ k360 ； 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们

10、边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差相差360的整数倍的整数倍. 所有与所有与 终边相同的角连同终边相同的角连同 在内可在内可以构成一个以构成一个集合集合：| =+k360， kZ即：任何一个与角即：任何一个与角 终边相同的角，都终边相同的角，都可以表示成可以表示成角角 与整数个周角的和。与整数个周角的和。例例1. 在在0360范围内，找出与下列各角终边范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012.解：解：120=240+（-1）360， 120的角与的角与 240的角终边相同，的角终边相

11、同， 它是第三象限角它是第三象限角 640=280+1 360， 640的角与的角与 280的角终边相同，的角终边相同， 它是第四象限角它是第四象限角即：00,3600) 解：解：95012=12948 +（-3）360， - 95012的角与的角与 12948的角终边相同，的角终边相同，它是第二象限角它是第二象限角例例1. 在在0360范围内，找出与下列各角终边范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角相同的角，并判断它是哪个象限的角.例例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把并把S中在中在360720间的角写出来：间的角写出来： (1

12、) 60；(2) 21；(3) 36314.解：解：(1) S=| =60+k360 ，kZ , S中在中在360720间的角是间的角是 0360+60=60； 1360+60=300； 1360+60=420(2) S=| = 21 +k360，kZ S中在中在360720间的角是间的角是 036021=21； 136021=339； 236021=699(3) S=| = 36314 +k360，kZ S中在中在360720间的角是间的角是 0360+36314=36314； 1360+36314=314； 2360+36314=35646例例3 3写出终边分别落在四个象限的角的集合写出终

13、边分别落在四个象限的角的集合. . 终边落在坐终边落在坐标轴上的情标轴上的情形形xyo090180270+K 360+K 360+K 360+K 360或或360+ K 360 第一象限的角表示为第一象限的角表示为 |k 360 90 + k 360 ,k Z； 第二象限的角表示为第二象限的角表示为 zxxk | 90 + k 360 180 +k 360 ，k Z； 第三象限的角表示为第三象限的角表示为 | 180 + k 360 270 + k 360 ，k Z 第四象限的角表示为第四象限的角表示为 | 270 + k 360 360 + k 360 ，k Z例例4 4、写出终边落在写出终

14、边落在y轴上的角的集合轴上的角的集合. .xyo090180270+K 360+K 360+K 360+K 360 例例4解：解：终边落在终边落在轴轴非负非负半轴和非正半轴上的角的集合分半轴和非正半轴上的角的集合分别记为为别记为为S1，S2 S1=| =90 +K360,KZ S2=| =270+K360,KZ =| =90+180+K360,KZ =| =90+（2K+1）180，KZ即：即：S2=| =90+ 180的的奇奇数倍数倍同理同理S1=| =90+ 180 的的偶偶数倍数倍终边落在终边落在轴轴上的角的集合为上的角的集合为S=S1S2 S =| =90+K 180 ，KZ课堂练习

15、1锐角是第几象限的角？第一象限的角是锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于否都是锐角？小于90的角是锐角吗？区间的角是锐角吗？区间(0,90)内的角是锐角吗？内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐内的角是锐角角 2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？指出它们是哪个象

16、限的角？(1)420，(2) 75，(3)855，(4) 510 答：答：(1)第一象限角；第一象限角； (2)第四象限角，第四象限角， (3)第二象限角，第二象限角， (4)第三象限角第三象限角. 3、已知、已知,角的终边相同，那么角的终边相同，那么的终边的终边在（在（ ） A x轴的非负半轴上轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ） A |=k360 (kZ) B |=k180 (kZ) C |=k90 (kZ) D |=k180+90 (kZ) C5 、已知角、已知角2的终边在的终边在x轴的上方，那么轴的上方，那么是是( ) A 第一象限角第一象限角 B 第一、二象限角第一、二象限角 C 第一、三象限角第一、三象限角 D 第一、四象限角第一、四象限角C6、若、若是第四象限角，则是第四象限角，则180是（是（ ） A 第一象限角第一象限角 B 第二象限角第二象限角 C 第三象限角第三象限角 D 第四象限角第四象限角C7、在直角坐标系中，若、在直角坐标系中，若与与终边互相垂直，终边互相垂直，那么那么与与之间的关系是（之间的关系是（ ） A.