2020-2021学年天津市部分区高二上学期期末数学试题(解析版)

1、故选：A A第 1 1 页共 1414 页2020-2021 学年天津市部分区高二上学期期末数学试题一、单选题1 1 在空间直角坐标系中，已知点A 2, 1,3,B 4,1, 1,则线段AB的中点坐标 是（ ）A A 1,0,2B B.1,0,1C C 3,0,1D D 1,1,1【答案】B B【分析】利用中点坐标公式直接求解. .【详解】因为点A 2, 1,3,B 4,1, 1,所以线段AB的中点坐标是4,3，即1,0,1. .2 2 2故选：B B2 2 准线为x 2的抛物线的标准方程方程是（）A A X228yB B.x二一8yC Cy28xD D y28x【答案】 D D【分析】 根据

2、抛物线的准线方程可知抛物线的焦点位置和P的值，由此可得抛物线的标准方程 【详解】 因为准线为x 2，所以抛物线的焦点在x轴负半轴上，且P22所以P4，所以抛物线的方程为y22 px8x. .故选：D D3 3 经过A 2,1,B 0, 3两点的直线方程为（)A A 2xy 30B B 2x y 3 0C Cx 2y 30Dx 2y 3 0【答案】A A【分析】根据斜率公式求出斜率，再根据点斜式可得结果13【详解】经过A 2,1,B 0, 3两点的直线的斜率为2,20由点斜式可得所求直线方程为y 1 2（x 2），即2x y 3 0. .D D 1515第2 2页共 1414 页4 4 在等比数

3、列an中，3424,366，则 3 35()7 7 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把A A 1212B B -12-121 1【答【分利用等【详2由等比数列3n，可知 3 353 343 3624246 6 122122，解得：3512故选：C.C.5 5 焦点在 x x 轴上的椭圆的长轴长为 4 4，离心率为1亍，则该椭圆的标准方程为(2xA A 42y- 132 2x y B B 1C C 1642xD D 162乂112【答【分由长轴长可得2，再由离心率求得c，即可求出b，得出椭圆方程 【详设椭圆方程为2x232yb2-离心率b232c2x2故椭圆方程为42

4、32y_31. .6 6 已知圆的方程为2x2yB B m2x 2yi 2m0,则实数 m m 的取值范围是(A A m2C C m 2D D m【答案】 C C【分析】 根据D2E24F0可求得结果【详解】 因为2x2y2x2ym0表示圆，所以D2E24F(2)2224m0, 解得m 2. .【点睛】关键点点睛: 掌握方程表示圆的条件是解题关键100个故选：A.A.故选：C C1第3 3页共 1414 页面包分给5个人，使每个人所得成等差数列， 且使较大的三份之和的 丄是较小的两份之7和，则最小的一份为（)510511A A -B.C.D D.3366【答案】A A【分析】设 5 5 人分到

5、的面包数量从小到大记为an，设公差为d，可得a3a4as7（印a?），S5100，求出a?，根据等差数列的通项公式，得到关于d关系式，即可求出结论 【详解】设 5 5 人分到的面包数量从小到大记为an，设公差为d，故选 A A等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题2 28 8 已知 F F 为双曲线 C C：二每1（a 0,b 0）的右焦点，A A 为 C C 的左顶点，B Ba b为 C C 上的点，且BF垂直于 x x 轴若直线AB的倾斜角为-,则 C C 的离心率为（）4A A.、. 3B B. 2 2C C. 3 3D D 、5【答案】B B【分析】首先求点代B的坐标，再求直线AB

6、的斜率，利用关于a,c的齐次方程求离心率 【详解】由条件可知A a,0,VBF2cx轴，当xc时，三a2占1，解得：y2b22，a依题意可得,S55(aia5)5a3100，a320, a3a4a57(aia?)，603d 7(403d），解得55d6aia32d 2055533【点睛】本题以数学文化为背景,考查等差数列的前n项和、通项公式基本量的计算,b2第4 4页共 1414 页又因为直线AB的倾斜角为n,4所以点B在第一象限，b2所以B c,ab2第5 5页共 1414 页【详解】如图，以 D D 为坐标原点建立空间直角坐标系,则A 2,0,0 ,C 0,1,0 ,B 2,1,0 ,C1

7、0,1,3,则AC 2,1,0,BC12,0,3, 设AC和BCi的公垂线的方向向量n x, y, z,则1竺0，即2x y 0，令x 3，则门3,6,2n BC102x 3z 0- AB 0,1,0,ABn6d =- n 7故选：D.D.a，化简为c2ac 2a20,两边同时除得e20，解得:1（舍）或e 2. .故选:9 9 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另最小值 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB 1，BC 2，与BC1之间的距离是（）C迁【答案】D D【分析】以 D D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出AC和BC1一条直线距离的备3,则异面直线AC6D

8、 D.7的公垂线的方向向量n,AB n求出AB，再由dln可求出 B B.【点睛】本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解 二、填空题. 2 2 . . 2 2 .1010.已知圆Ci:x y 2x 8y 80，圆C?:x y 4x 4y 20，则圆Ci与圆C2的位置关系是_ . .【答案】相交【分析】分别求出圆Ci与圆C2的圆心与半径，再利用圆心距与半径之间的关系确定两 圆的位置关系. .2 2 2 2【详解】圆G：x y 2x 8y 80 G: x 1 y 425，圆心Ci( 1, 4),ri5圆C2: x2y24x 4y 2 0 x2? y 2? I

9、0，圆心C2(2,2),r2. I0又圆心距CiC2V(2 i)2(2 4)23/5，则5CG 5，所以两个圆是相交的 故答案为：相交【点睛】方法点睛：本题考查两圆的位置关系，利用几何法：圆心距d d 与 r ri,2的关系判断：方法宀护方位置大糸几何法：圆心距 d d 与二血的关系外离dri2第 5 5 页共 I4I4 页第8 8页共 1414 页外切dr1r2相交|r)b|dr1 a内切d W Kri叨内含0 d | r1r2|(r1叨2 *1111.记Sn为等差数列an的前 n n 项和，若Snn ( n N),则a? _ ,【答案】1717【分析】利用Sn求出an，则可得a9. .【详

10、解】因为Snn2，22 2当n 2时，Sn 1(n 1)，所以anSnSn 1n (n 1) 2n 1，又n 1时，a1S,1也适合上式，所以an2n 1，所以a92 9 117. .故答案为：1717【点睛】关键点点睛：利用Sn求出an是解题关键 1212 .经过点A 3, 1，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为2 2【答案】壬18 82 2【分析】设出方程x y0，代入点 A A 即可求出. .2 2【详解】r双曲线为等轴双曲线，则可设方程为x y0,将A 3, 1代入可得9 1，即8,2 2故方程为x2y28，化为标准方程为-1. .8 82 2故答案为： 仝1. .第9 9

11、页共 1414 页8 8第1010页共 1414 页1313.已知空间向量a 1,0,1,b 2, 1,2，则向量b在向量a上的投影向量是【答案】2,0,2【分析】利用向量b在向量a上的投影乘以与a同向的单位向量即可得解【详解】-_, a b向量b在向量a上的投影是_间2 0 ( 1) 1 2 472，、厂02一12所以向量b在向量a上的投影向量是-44 a2a(2,0,2),故答案为：2,0,2【点睛】关键点点睛：理解向量b在向量a上的投影向量的概念是解题关键1414 .已知数列an的首项印2,且满足an 13an2(n N),则a.的前 n n 项和Sn【答案】23n13n【分析】根据递推

12、公式构造等比数列aan1 1，求出an，再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】an 13an2得an 113(an1)，0，所以a an1 1是首项为3，公比为3的等比数列,所以an3n1 n3,所以an3n所以Sn31323(1 3n)1 313n13 n. .故答案为:【点睛】关键点点睛：构造等比数列aan1求解是解题关键. .1515 .已知 A A，B B 两点的坐标分别是2,0,2,0，直线AM，BM相交于点 M M，且第1111页共 1414 页第1212页共 1414 页直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 4 4，则点 M M 的轨迹方程为 _【答案】2y 4 x(x 2)

13、【分析】 设M x, y,表示出直线AM与BM的斜率，由斜率之差为4 4 建立关系可求【详解】 设点M x, y，其中x2,则kAM，kBMyx 2x 2由题可得kAMkBMyy-4，整理可得y4 x2(x2). .x 2 x 2即点 M M 的轨迹方程为y 4 x2(x 2). .2故答案为：y 4 x (x 2). .三、解答题1616 .已知等比数列an满足a26, 6a6ai8 8330.30.(I)求an的通项公式；2 *(n)若a!2，设bn- nan(n N*)，记数列bn的前 n n 项和为Sn，求Sn. .3【答案】(I )an2 3n1或an3 2n 1；( n) 0(n(

14、n 1)1) 2 2n 12.2.【分析】(I)设等比数列an的公比为 q q，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；(n)由(I)及已知可得an3 2n 1和bn2n ann 2n(n N*),运用错位相3减法可求得数列的和.【详解】解：(I)设等比数列an的公比为 q q,由a26，可得ag6，记为.又因为 6a6a1a aa3030，可得6a1a2q 30，即a-iq5记为，a12a13由可得或，q 3q2n 1n 1故an的通项公式为an2 3或an3 2.2(n)由(I)及a 2可知an3 2n 1，所以bnn ann 2n(n N*),312n第1313页共

15、1414 页所以Sn1 22 2 n 2第1414页共 1414 页2Sn1 222 2 n2n 1一得Sn 21222nn 2n 12n12 n2n1(1 n) 2n 12,所以 S S (n(n 1)1) 2 2n12 2.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：(1) 公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和(2)错位相减法：若an是等差数列，bn是等比数列，求ab a2p2pa“bn. .(3)裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项. .常见的裂顶有11丄11 11nn1 nn1，nn2 2nn2，1 111。- - - 等.2n 1 2n 12 2n 1 2n

16、 1(4) 分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和 (5) 倒序相加法. .1717.已知圆 C C 与直线2x y 4相切于点A 1,2,并且圆心在直线yX上，求圆 C C的方程 【答案】(x 1)2(y 1)25. .【分析】根据过圆心和点A 1,2的直线与直线2x y 4垂直，得到过圆心和点A 1,2的直线的斜率，进而得到过圆心和点A 1,2的直线方程，将此直线与直线2x y 4方程联立解得圆心坐标，再求出圆的半径，然后可得圆C C 的标准方程 【详解】依题意，过圆心和点A 1,2的直线与直线2x y 4垂直,1故这条直线的斜率为 一2所以这条直线的方程x

17、 2y 30.可得x 1,y1.所以圆心C的坐标为 1,11,1 半径为AC7575,由已知，所求圆的圆心C在直线yx上.解方程组x 2y 3y x第1515页共 1414 页所求圆 C C 的方程为(x 1)2(y 1)25.【点睛】 关键点点睛：利用两直线方程联立求出圆心坐标是解题关键1818 .如图，在四面体ABCD中，AB AC，AD平面ABC，点 M M 为棱AB的中点，AB AC 2,AD . 3. .(I)求直线BC与MD所成角的余弦值；(H)求平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值【答案】10【分析】(I)以 A A 为原点，分别以，AC，AD的方向为x轴，y y 轴，z z 轴

18、的正方向的空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式可求得结果；(U)利用两个平面的法向量可求得结果【详解】依题意，可以建立以 A A 为原点，分别以 亦,AC,AD的方向为 x x 轴，y y 轴, z z 轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A 0,0,0, M M 1,0,01,0,0 ,B 2,0,0,第1616页共 1414 页C 0,2,0,D 0,0, 3所以直线BC与MD所成角的余弦值为(n)易知，AC 0,2,0为平面ABD的一个法向量,由图可知平面ABD和平面BDC的夹角为锐角,所以平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值为史010【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空

19、间向量求解是解题关键(I)求 E E 的方程;cos BC, MDBC MDBC MD2 ( 1) 2 0 03v 4 4 0/f 0 3依题意，可得BC2,2,0,BD 2,0, ,3.不妨令因此有x, y,z为平面z 2，可得mcos m, ACBCD的法向量，贝Um_BCm BD2x 2y2x /3zm AC2.3ml AC、3 3 4、0 4 0.3010，2x1919 .已知椭圆 E E:二a2yb71(a b 0)的焦距为2 3，且离心率为(n)若直线y kx与 E E 相交于 A A, B B 两点，M M 为 E E 的左顶点，且满足MA MB,求 k.k.【答案】(I2)x_

20、4【分析】(I)由题可得2c2c，求出a,b即得椭圆方程;2【详解】(I)解：由题意知 2c2c2.32.3,ca2又因为a2b2c2解得a2,b 1,c3故 E E 的标准方程为2x2y14第1111页 共 1414 页(n)联立直线与椭圆方程，得出A, B坐标关系，由MAMBMB 0 0 建立方程即可求出 2第1919页共 1414 页【分析】(I)根据条件求出等差数列的首项和公差，即可求出通项公式;y kx 112 2，得1 4k x 8kx 0,8k1 4k2不妨设A 0,1,B xB,yB，则xB8k1 4 k2，yB1 4k21 4k22,0，故MA 2,1,MB8k28k 2 1 4k21 4k21 4k2由MAMB， 知MA MB2 8k28k 21 4k21 4k21 4k212k28k 51 4k22k 1 6k 51 4k215又因为k，故k -.26【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤:(1)(1)得出直线方程，设交点为A xby-i，B x2，y2；(2)(2)联立直线与曲线方程， 得到关于x x (或y)的一元二次方程;(3)(3) 写出韦达定理；(4)(4)将所求问题或题中关系转化为捲