无穷区间上的反常积分

1、一、无穷区间上的反常积分一、无穷区间上的反常积分第五章定积分及其应用第五章定积分及其应用第五节反常积分第五节反常积分二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分在定积分中，在定积分中， 积分区间积分区间 a, b 是有限的，且被是有限的，且被积函数积函数f (x) 在区间在区间 a, b 上是连续的，上是连续的， 即被积函即被积函数是区间数是区间 a, b 上的有界积分，上的有界积分， 或者积分区间虽有限，而被积函数在积分区或者积分区间虽有限，而被积函数在积分区间出现了无穷间断点的情况，间出现了无穷间断点的情况， 它们都不属于常义它们都不属于常义积分的范围，积分的范围，在实际问题中，还会遇到积

2、分区间为无限在实际问题中，还会遇到积分区间为无限的，的， 这种积分称为通这种积分称为通常意义下的积分，简称常意义下的积分，简称常义积分常义积分这两类积分，称为这两类积分，称为反常积反常积分分一、无穷区间上的反常积分一、无穷区间上的反常积分这是一个开口曲边梯形，这是一个开口曲边梯形， 不是封闭的曲边梯形，不是封闭的曲边梯形，不能用定积分来计算它的面积不能用定积分来计算它的面积 解解任取大于任取大于1的数的数 b，于是在区间于是在区间1, b上所围成上所围成的曲边梯形的面积为的曲边梯形的面积为.111d1112bxxxbb 例例 求由曲线求由曲线 ，x 轴及直线轴及直线 x=1 所围成所围成“开口

3、曲边梯形开口曲边梯形”的面积的面积. 21xy xoy21yx1b1)11 (limd1lim12bxxAbbb即即当当 b + + 时时，阴影部分曲边梯形面积的极限就，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，是开口曲边梯形面积，yox21yx1定义定义 1设函数设函数 f (x) 在在 a, + + ) )上连续上连续， 取实取实数数 b a，如果极限如果极限 babxxfd)(lim 则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间在无穷区间 a, + + ) ) 上的反常积分上的反常积分，.d)(limd)( babaxxfxxf这时也称这时也称反常积分收敛反常积分收敛，

4、,d)( axxf记作记作即即存在存在，否则称否则称反常积分发散反常积分发散定义定义 2设函数设函数 f (x) 在在 (-(- , b 上连续上连续， 取 实取 实数数 a b，如果极限如果极限 baaxxfd)(lim 则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间在无穷区间(-(- , b 上的反常积分上的反常积分，xxfxxfbbaad)(limd)( 这时也称这时也称反常积分收敛反常积分收敛，,d)( bxxf记作记作即即存在存在，否则称否则称反常积分发散反常积分发散定义定义 3设函数设函数 f (x) 在在 (-(- , + + ) ) 内连续内连续，且且对任意实数对

5、任意实数 c，如果反常积分如果反常积分xxfxxfccd )(d)( 与与 则称上面两个反常函数积分之和为则称上面两个反常函数积分之和为 f (x) 在无在无穷区间穷区间 (- - , + + ) 内的反常积分内的反常积分，,d)(d)(d)( ccxxfxxfxxf这时也称这时也称反常积分收敛反常积分收敛，,d)( xxf记作记作即即都收敛都收敛，否则称否则称反常积分发散反常积分发散.若若 F(x) 是是 f (x) 的一个原函数，并记的一个原函数，并记),(lim)(xFFx ).(lim)(xFFx 则定义则定义 1，2，3 中的反常积分可表示为中的反常积分可表示为 axxfd)( ax

6、F)(，)()(aFF bxxfd)(bxF )(，)()( FbF xxfd)( )(xF. )()( FF.d0 xex例例 1计算计算xexd0)(d0 xex. 10 xe例例 2求求.d112xx解解xxd11202021d1dxxxx.2)2( 00arctanarctanxx例例 3计算计算.de0 xxx 解解用分部积分法，得用分部积分法，得 0dexxxxxde0 00deexxxx. 1e0 xxxxxxx elimelim其其中中, 0e1lim xx. 0e0 xx即即例例 4证明反常积分证明反常积分 1,d1xxp 当当 p 1 时，时，收敛；当收敛；当 p 1 时，

7、发散时，发散 .证证 p = 1 时，则时，则 11lndxxx所以该反常积分发散所以该反常积分发散. 11111dppxpxx . 1, 1,11ppp当当当当当当 p 1 时，时，综合上述，综合上述，该反常积分收敛该反常积分收敛. 当当 p 1 时，时，该反常积分发散该反常积分发散. p 1 时，则时，则二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分解解 任取一个数任取一个数,0 0 ， 如果极限如果极限xxfbad )(lim0 则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x) 在区间在区间 ( (a, b 上上的反常积分，的反常积分，.d )(limd )(0 xxfxxfbaba 这时

8、也称这时也称反常积分收敛反常积分收敛，否则称否则称反常积分发散反常积分发散,)(lim xfax且且,d )(xxfba 记作记作即即存在存在，定义定义 5设函数设函数 f (x) 在区间在区间 a, b) 上连续上连续，取取 0 ， 如果极限如果极限.d)(lim0 xxfba 则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x) 在区间在区间 a, b) 上上的反常积分的反常积分.xxfxxfbabad)(limd)(0 这时也称这时也称反常积分收敛反常积分收敛，否则称否则称反常积分发散反常积分发散,)(lim xfbx且且，xxfbad )( 记作记作即即存在存在，定义定义 6设函数设函数

9、f (x) 在在 a, b 上除点上除点 c (a, b) 外连续外连续，,)(lim xfcx且且如果下面两个反常积分如果下面两个反常积分xxfxxfbccad)(d)( 与与 则称这两个反常积分之和为函数则称这两个反常积分之和为函数 f (x) 在区在区间间 a, b 上的反常积分上的反常积分，.d)(d)(d)(xxfxxfxxfbccaba 这时也称这时也称反常积分收敛反常积分收敛，否则，称否则，称反常积分发散反常积分发散,d )(xxfba 记作记作即即都收敛都收敛，若若 F(x) 是是 f (x) 的一个原函数，的一个原函数，并并记记)(lim)(xFaFax ).(lim)(xF

10、bFbx )(lim)(xFcFcx ).(lim)(xFcFcx 或或则定义则定义 4，5，6 中的反常积分可表示为中的反常积分可表示为xxfbad)( ).()()(aFbFxFba xxfxxfxxfbccabad)(d)(d)( bccaxFxF )()().()()()( cFbFaFcFxxfbad)( ).()()(aFbFxFba例例 5计算计算. )0(d022aaxax解解 所以积分是所以积分是反常积分，于是反常积分，于是.202arcsin0aaxaxax022d,1lim22xaax因为.2arcsinlimaxax其中例例 6讨论讨论.d10 的的收收敛敛性性pxx解解当当 p = 1 时，时，则则.lnd11010 xxx故积分发散故积分发散.当当 p 1 时，时， 10dpxx .1,1,11时时当当发散发散时，时，当当ppp10111 px