第三章 动量守恒 及能量守恒

1、第三章第三章 动量守恒动量守恒 及能量守恒及能量守恒 牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中，牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观）等，我们往往如：碰撞（宏观）、散射（微观）等，我们往往只关心过程中力的效果，即只关心始末状态间的只关心过程中力的效果，即只关心始末状态间的关系，而对过程的细节并不感兴趣。作为一个过关系，而对过程的细节并不感兴趣。作为一个过程，力的积累可分为对时间的积累和空间的积累。程，力的积累可分为对时间的积累和空间的积累。 3.1 质点的动量定理质点的动量定理（theorem of momentum of a particle） 一冲量一冲量 动量动

2、量 质点的动量定理质点的动量定理由由tdpd 得：得： pddtF 积分：积分： 21tt12ppdtF定义：力的冲量：定义：力的冲量： 21dtttFItd)md(Fv dtFId 质点动量：质点动量： vmp 有：有：pdtdFId 动量定理动量定理 （微分形式）（微分形式） 12ttppdtFI21 动量定理动量定理 （积分形式）（积分形式） 说明：说明： 1. 冲量和动量增量的方向相同。冲量和动量增量的方向相同。 pddtF 21tt12ppdtF Id在给定的时间内，合外力对质点的冲量，等于该质点在给定的时间内，合外力对质点的冲量，等于该质点在此时间内动量的增量。在此时间内动量的增量

3、。质点的动量定理质点的动量定理仍仍然然成成立立而而dtpdf 4计算时使用分量式较为方便。计算时使用分量式较为方便。 2动量定理仅对惯性系成立，动量与参照系动量定理仅对惯性系成立，动量与参照系 的选择有的选择有关，而动量的增量与参照系的选择无关。关，而动量的增量与参照系的选择无关。 21ttxxdtfIx1x2mvmv 21ttyydtfIy1y2mvmv 3.在相对论力学中不再成立，在相对论力学中不再成立， amf 二平均冲力二平均冲力 平均冲力的定义为：平均冲力的定义为： tptttFFtt1221d问题：平均冲力的方向问题：平均冲力的方向冲力：两物体在碰撞瞬间的相互作用力。冲力：两物体在

4、碰撞瞬间的相互作用力。问题：图上曲线下所围面问题：图上曲线下所围面积的物理意义是什么？积的物理意义是什么？tft1t2例：一篮球质量例：一篮球质量0.58kg，从，从2.0m的高度自由下落，到达地面的高度自由下落，到达地面 后，以后，以 同样速率反弹，接触时间仅同样速率反弹，接触时间仅0.019s，求：对地平，求：对地平 均冲力？均冲力？解：篮球到达地面的速率解：篮球到达地面的速率 为：为：)s/m(3 . 6 )N(108 . 32 gh2v 28 . 92 tmvF t)mv(mv tmv2 019. 03 . 658. 02 例：逆风行舟例：逆风行舟龙骨龙骨uvvf mviu pfpi

5、pf|f f3.2 质点系的动量质点系的动量共有共有N个质点，外力用个质点，外力用 F 表表示，内力（即质点之间的相示，内力（即质点之间的相互作用）用互作用）用 f 表示，则第表示，则第 i个个质点的运动方程质点的运动方程tpfFiijiji 对所有质点求和对所有质点求和tpN1ii i jFiPi fi j fj iNiijijNiifF11tpN1ii tPF PtFI 01Niijijf NiipP1 NiiFF1由牛顿第三定律，而：由牛顿第三定律，而：意义：质点系所受合外力的冲量等于其动量的增量。意义：质点系所受合外力的冲量等于其动量的增量。tpN1ii NiijijNiifF11tp

6、N1ii 注意：注意： （1）内力仅使系统內质点的动量发生转）内力仅使系统內质点的动量发生转 移，移， 却不改变其总的动量。却不改变其总的动量。（2）各质点的速度必对同一参照系。）各质点的速度必对同一参照系。（3）应用时使用分量式较为方便。）应用时使用分量式较为方便。 21ttxxdtFI 21ttyydtFI 0ixiixtivmvm 0iyiiytivmvmxP yP 3.3 动量守恒定律动量守恒定律即：质点系所受合外力为零，则总动量不随时间改变。即：质点系所受合外力为零，则总动量不随时间改变。常矢量常矢量 N1iipP1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；合外力为零，或外力与内力相比

7、小很多；2. 合外力沿某一方向为零合外力沿某一方向为零3.此定律此定律 只适用于惯性系；只适用于惯性系；4. 此定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律。此定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律。.constpii PtFI 0F 若：若：则：则：0P )jasiniacos(RvmT2 例：如图一质点在水平面内作速率为例：如图一质点在水平面内作速率为v的匀速圆周运动，的匀速圆周运动，t=0时，质点位于时，质点位于x=Ri 处，速度为处，速度为V= vj，求，求0t内质点所受内质点所受的冲量。的冲量。xyVVa解：解： t02dt)jasinia(cosRvmI代入得代入得 Rv , ta dtTI

8、T t0)t(d)j tsini t(cosmRI 12ppI 另解：另解：计算可得：计算可得：jmvp1 而而：jacosmviasinmvp2 jt)cos-(1i tmv(sinI t0)t(d)j tsini t(cosmRI jt)cos-(1i tmv(sinI xyVVaTta 例：如图软绳质量均匀，开始其下端正好和桌面接触，例：如图软绳质量均匀，开始其下端正好和桌面接触，松手后绳自由下落，求证任意时刻，桌面所受的压力松手后绳自由下落，求证任意时刻，桌面所受的压力为落在桌面上绳子所受重力的为落在桌面上绳子所受重力的3倍。倍。xxdx(M/l)xgTNo证：设证：设t 时刻落在桌面

9、上的绳子为时刻落在桌面上的绳子为 x 长，长，以其为研究对象则：以其为研究对象则：0NTxglM T为为dx 长的绳子长的绳子在在dt 的时间内对的时间内对落在桌面上绳子其的冲力。落在桌面上绳子其的冲力。 对对dx 长的绳子，在长的绳子，在dt 的时间内落在桌面静止，依动量的时间内落在桌面静止，依动量定理则：定理则：vdxlM0dt)TgdxlM( 展开略去二阶小量展开略去二阶小量(M/l)dxdt 得：得：dxvlMdtT 2vlMT 得得代入代入又又22vlMT,xg2v PdtF xxdx(M/l)dx.gTNodtdxvlMT xg2lMT .glMx3N xg2lMT TT xglM

10、TN 0NTxglM xglMxglM2N 即：即：例：一火箭垂直向上发射，其气体质量排出率恒例：一火箭垂直向上发射，其气体质量排出率恒 为为:5.0010-2m0kg/s，其中，其中m0是火箭最初的质量。是火箭最初的质量。 火箭排出的气体相对于火箭的速率火箭排出的气体相对于火箭的速率u为为5.00103m/s, 求求:发射发射10s火箭的速度和高度。火箭的速度和高度。MVt解：设解：设V0=0，t时刻火箭的质时刻火箭的质量为量为M，速度为，速度为V。在在t+dt时刻火箭的质量为时刻火箭的质量为M-dm，速度为，速度为V+dV。忽略重力，则系统动量守恒。忽略重力，则系统动量守恒。yt+dtM-

11、dmV+dvV+dv-udm0MV=(M-dm)(V+dV)+dm(V+dV-u)MV=(M-dm)(V+dV)+dm(V+dV-u) 展开展开 VVMM00MdMudvMMuLnVV00 MMuLnV0 dmudVdmVdmdVdmVdmdVMMVMV若：若：t=10s, k=510-2 , u=5000m/s代入计算得：代入计算得：V=5000Ln2=3.47 103(m/s) dm=-dM (喷出气体的质量等于火箭质量的减少）喷出气体的质量等于火箭质量的减少） Mdv=-udMMdV=udmtKMMMLnuV000 内容小结内容小结pdtdFId 12ttppdtFI21 1、动量定律、

12、动量定律tpF;tttdFF12tt21 2、平均冲力、平均冲力 21ttxxdtFI 21ttyydtFI 0ixiixtivmvm 0iyiiytivmvmxP yP 3、质点系的质点系的 动量定律动量定律常矢量常矢量 N1iipP4、动量守恒、动量守恒 定律定律作业：作业：3-1，3-3， 3-4， 3-5，3-7。3.4 动能定理动能定理 力的空间积累力的空间积累riFiABj ji iiiiirFWj j cos 点积（标量积）点积（标量积） A BABcosjiiirFW zzyyxxBABABABA A到到B做功做功 BArdF一、功和功率一、功和功率 功功o iiABWW ii

13、irF 我们主要讨论变力的功我们主要讨论变力的功变力作功的图示变力作功的图示功的计算式功的计算式a. ABrrdrcosF b. BAABrdFW对多个力的情况：对多个力的情况： rd)F(i即：合力对质点所作即：合力对质点所作的功等于各分力所作的功等于各分力所作功的代数和。功的代数和。 ABrrABrdFW rdFWrf.cosa0r1r2dr)dzFdyFdxF(zBAyx iW 功率功率 我们定义：我们定义：dtdWP 为功率。为功率。T时刻，时刻，F、均为定值。均为定值。功率等于力在物体运动的方向上的分量与物体速度的乘积。功率等于力在物体运动的方向上的分量与物体速度的乘积。dtdrco

14、sFP dtdrcosF cosFV VF riFiB 二、二、 动能定理动能定理 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。2A2Bmv21mv21 A - Bvv2 dtrdf 功率功率rdfmvd )(221动能定理的微分形式。动能定理的微分形式。KAKBABEEW )vv(dtd)v(dtd2 vvvv vvm)mv21(dtd2 vf vam 对质点系而言：对质点系而言：KAKBEEWW 内外例：炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为例：炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为 弹片的动能。弹片的动能。AB rifi BAABrdf

15、W)mv21(d2BA 2A2Bmv21mv21 AKBKEE 注意：注意：1、动能定理仅适用于惯性系，、动能定理仅适用于惯性系，W、Ek的量值取决于惯性的量值取决于惯性系的选择。系的选择。2、功是过程量，而动能是状态量，动能定理将两者联系、功是过程量，而动能是状态量，动能定理将两者联系起来，为解决问题提供了方便。起来，为解决问题提供了方便。例：有一半径为例：有一半径为R的的1/4凹圆柱面，其质量为凹圆柱面，其质量为M，放置，放置 在光滑水平面，一小球的质量为在光滑水平面，一小球的质量为m，从静止开始沿圆面，从静止开始沿圆面 从顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体从顶端无摩擦下落（

16、如图），小球从水平方向飞离大物体 时速度时速度 v ，求：，求：1）重力所做的功；）重力所做的功；2）内力所做的功。）内力所做的功。解：重力只对小球做功解：重力只对小球做功0 MVmv水平方向无外力，系统保持水平方向水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒。动量守恒。mgRW 重力 smgj j hMj j cossmgW 重力重力hmg RmvvMmV 对对m：kEWW 内力内力重力重力mgRmv21W2m 内内对对M ：22MM2vmW 内内*可以证明：可以证明：由质点系的动能定理：由质点系的动能定理：KAKBEEWW 内外0W 重力重力2kMV21E 2MMV21W 内内mgRW 重力重

17、力2kmv21E 0WWmM 内内内内问题：一对内问题：一对内力的功何时为力的功何时为零；何时不为零；何时不为零？零？vMmV 3.5 保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能 一、万有引力、重力、弹性力作功的特点一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1、万有引力、万有引力MmABrArBrdrr2erMmGf rdfdW rderMmGdWr2 dr rdacos1rder drrMmGdW2 drrMmGW2rrBA )r1r1(GMmWAB )rMmG()rMmG(WAB 特点：作功和路径无关。特点：作功和路径无关。问题：如取另一条路径，结果如何？问题：如取另一条路径，结果如何？2、弹性

18、力的功弹性力的功如图：设弹簧原如图：设弹簧原长为长为l0rdfdW rellkf)(0rdellkdWr)(0rde )ll (kdWr0 dlrdacos1rder dl)ll (kdW0 21ll0dl)ll (kW)ll (k21)ll (k21201202 令：令：l2 - l0=l2 , l1 - l0=l1 则：则： lk21lk21W2122 问题：如取另一条路径，结果如何？问题：如取另一条路径，结果如何？ 特点：作功和路径无关。特点：作功和路径无关。3、重力的功、重力的功rdfdW jdyidxrd: 而而)ll (k21)ll (k21W201202 , jmgf )(jdy

19、idxjmgdWmgdy问题：如取另一条路径，结果如何？问题：如取另一条路径，结果如何？ 特点：作功和路径无关。特点：作功和路径无关。二、保守力和非保守力二、保守力和非保守力 若某力作功和路径无关，则该力为保守力，否若某力作功和路径无关，则该力为保守力，否则为非保守力。则为非保守力。jdyidxrd , jmgf 21yymgdyW)mgymgy(12 rdfdW 以上三力作功均和路径无关，故为保守力。以上三力作功均和路径无关，故为保守力。 保守力的数学表示式为：保守力的数学表示式为： 0rdf三、势能三、势能 物体从物体从AB，保守力所作的功仅和，保守力所作的功仅和A、B的位置有的位置有关，

20、因此可以写成：关，因此可以写成：W=E（rA) - E（rB) 1、定义：与物体位置有关的能量称为物体的势能。、定义：与物体位置有关的能量称为物体的势能。 从上三个结果可得：从上三个结果可得：mgyEp rMmGEp 2pxk21E 2、保守力作功和势能的关系保守力作功和势能的关系pE 即：保守力对物体所作的功等于物体相应势能增量的负值。即：保守力对物体所作的功等于物体相应势能增量的负值。)EE(W1p2p 重力势能：重力势能：万有引力势能：万有引力势能：弹性势能：弹性势能： 3 、势能和保守力的关系、势能和保守力的关系pdErdf: 得得在直角坐标系中：在直角坐标系中：dzzEdyyEdxx

21、EdEpppp )kdzjdyidx()kxEjyEixE(ppp rd)kzEjyEixE(ppp -A式式和和A式比较得：式比较得：)kzEjyEixE(fppp pE-W 由由pgradEf yEfpy 4、保守力的判别、保守力的判别yxExf,yxEyfp2yp2x yEf,xEfpypx 即：即：xfyfyx对二维情况，满足上式即为保守力。对二维情况，满足上式即为保守力。)kzEjyEixE(fppp ,xEfpx 讨论讨论 a、势能是状态的函数。仅和系统的坐标有关，是长期、势能是状态的函数。仅和系统的坐标有关，是长期储存的一种潜在的能量。储存的一种潜在的能量。 b、势能的相对性。、

22、势能的相对性。EP依赖于势能零点的选择，而依赖于势能零点的选择，而EP 却不随势能零点不同而变化。却不随势能零点不同而变化。 c、势能的系统性。、势能的系统性。 4 、势能曲线、势能曲线 重力势能：重力势能：Ep=mgy 取：取：y=0, Ep=0; 则势能曲线如右图所示：则势能曲线如右图所示： 弹性势能弹性势能221kxEp取：取：x=0, Ep=0;则势能曲线如右图所示：则势能曲线如右图所示：万有引力势能万有引力势能rMmGEp 则势能曲线如右图所示：则势能曲线如右图所示：取：取：r= , Ep=0 势能曲线的应用势能曲线的应用1）描述能量转换关系。）描述能量转换关系。2）判断功和力（）判

23、断功和力（dW= -dEp),rEp 3）判断物体可能的运动。）判断物体可能的运动。决定。决定。保守力的大小由保守力的大小由例：已知地球的半径为例：已知地球的半径为R，质量为，质量为M。现有一质量为。现有一质量为m 的的物体，在离地面高度为物体，在离地面高度为2R处，以地球和物体为系统，如处，以地球和物体为系统，如取地面为势能零点，试求系统的引力势能。取地面为势能零点，试求系统的引力势能。)EE(W:12pp 而而0E:2p 依题意得依题意得rMm0fror)rR(MmGf23 在图示的坐标系中：在图示的坐标系中：ordrrd R2Roo2rdrr)rR3(MmG dr21;E11p处处，其其

24、势势能能为为设设物物体体起起始始在在;E22p处处，其其势势能能为为物物体体在在解：解：WE1p rdfdW 1oorrdr)rR3(MmGdW2 R202dr)rR3(MmGWR20r)-(3RMmGW: 计算得计算得R3Mm2GW R3Mm2GWE:1p 系统势能为系统势能为oo2rdrr)rR3(MmGdW 问题：若以无问题：若以无限远为势能零限远为势能零点，此题又如点，此题又如何计算？何计算？ 内容小结内容小结 BArrABdrcosFW )dzFdyFdxF(WzBAyxAB BArrABrdFW1、功和功率、功和功率VFP 2、动能定理、动能定理2A2Bmv21mv21 ABrrA

25、BrdFW3、质点系的动能定理、质点系的动能定理KAKBEEWW 内外4、保守力作功与势能、保守力作功与势能)rMmG()rMmG(WABAB )ll (k21)ll (k21W20120212 )mgymgy(W1212 )kzEjyEixE(fppp 5、保守力与势能的关系、保守力与势能的关系pEW 作业：作业：4-1，4-2，4-4，4-5。 3.6 3.6 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律一、质点的动能定理一、质点的动能定理设一系统有设一系统有n n个质点，对第个质点，对第i i个质点有：个质点有：1i2ikkiEEW 对整个系统有：对整个系统有： 1i2ikkiEEW注

26、意上式注意上式各项的意义。各项的意义。 iniexiiWWW由于各质点的位移不同，所以：由于各质点的位移不同，所以： 0Wini依上则有：依上则有： 1i2ikkiniexiEEWW 上式的物理意义为：质点系的动能增量等于作用于上式的物理意义为：质点系的动能增量等于作用于质点系的一切内、外力所作功之和。质点系的一切内、外力所作功之和。二、质点系的功能原理二、质点系的功能原理ininciniciniWWW将内力的功分为保守内力的功和非保守内力的功，即：将内力的功分为保守内力的功和非保守内力的功，即：)EE(W1i2ippinic 1i2ikkiEEW 1i2ikkEE exiW inincW)E

27、E(1i2ipp inincppiniW)EE(W1i2i 1212iiiikkppinincexiEE)EE(WW)EE()EE(WW1i1i2i2ipkpkinincexi 12exW:EEWinnc 即即 上式的物理意义为：质点系的机械能增量等于作用于质上式的物理意义为：质点系的机械能增量等于作用于质点系的一切外力、非保守内力所作功之和。点系的一切外力、非保守内力所作功之和。注意：注意：1、各质点的动能必对同一惯性参照系，同种势能的零点必、各质点的动能必对同一惯性参照系，同种势能的零点必 须相同。须相同。2、上式将过程量、上式将过程量 功和状态量功和状态量 机械能联系起来。机械能联系起来

28、。三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律上式中如果：上式中如果：0WWinncex 或或则：则：E2 E1 = 0 ,即：即： E2 = E1 机械能守恒的条件：机械能守恒的条件：外力无功；内力保守。外力无功；内力保守。动能和势能是等量地相互转换。动能和势能是等量地相互转换。;W;Winincex00 12inncexEEWW: 由由 例：如图所示，例：如图所示，A、B两块板用一轻弹簧连接起来，它两块板用一轻弹簧连接起来，它 们的质量分别为们的质量分别为m1和和m2，问在，问在A板上加多大的压力，板上加多大的压力， 方可使该力撤除后，恰好能使方可使该力撤除后，恰好能使A在跳起来时在跳起来时B被稍

29、稍提被稍稍提 起。（设弹簧的弹性系数为起。（设弹簧的弹性系数为K）A.0)xx(kgmF101 解：建立如图所示的坐标，解：建立如图所示的坐标， 起始时自由端在起始时自由端在O点，点， m1加上后在加上后在A点平衡；点平衡； m1加上力加上力F后在后在B点平点平 衡。衡。m1 在在B点满足：点满足：m1gK(x0+x 1)设设F 撤除后，撤除后，m1上升到上升到最高点最高点C。 分析分析BC，满足机械能守恒的条件。，满足机械能守恒的条件。 取取O点为弹性势能的零点，点为弹性势能的零点，B点为重力势能的零点。则有：点为重力势能的零点。则有：C.kx212c 210)xx(k21 )xxx(gmc

30、101 B.0kxgmc2 0N: 即即则对则对m2有：有：m2gKxc设设F 撤除后，撤除后，m1上升到上升到最高点最高点C。恰好被提起恰好被提起此状态下此状态下2m BE CE210)xx(k21 )xxx(gmc101 2ckx21 由由A式：式：D.kgmFxx110 得：得：E.kgmx2c 将将D、E 两式代入两式代入C式得：式得：g)mm(F21 即所求为：即所求为：g)mm(F21 C.kx212c 210)xx(k21 )xxx(gmc101 A.0)xx(kgmF01 得：得：由由B式：式：B.0kxgmc2 解：设碰撞后两球的速度分别是解：设碰撞后两球的速度分别是21vm

31、vmvm由动量守恒由动量守恒21vv,两边平方两边平方22212122vvvvv 由机械能守恒（势能无变化）由机械能守恒（势能无变化）22212212121mvmvmv021 vv两球速度总互相垂直。两球速度总互相垂直。例：在平面上两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时例：在平面上两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时 处于静止状态，另一球速度处于静止状态，另一球速度 v。 求证：碰撞后两球速度总互相垂直。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。 例：打桩机锤的质量例：打桩机锤的质量m=10t,将质量将质量m0=24t,横截面积横截面积s=0.25m2 （正方性截面）长达（正方性截面）长达 l=38.5m的水泥桩打入的水泥桩打入地层地层,单位侧面积上所受泥土的阻力系数为单位侧面积上所受泥土的阻力系数为k=2.65104 N/m2,问：问：1、依靠自重桩能下沉多深？、依靠自重桩能下沉多深？2、桩稳后，锤自、桩稳后，锤自1M高自由下落，且锤与桩面作完全非高自由下落，且锤与桩面作完全非弹性碰撞，第一锤能使桩下沉多少？弹性碰撞，第一锤能使桩下沉多少？3、桩已下沉、桩已下沉35M，再一锤，锤反弹，再一锤，锤反弹0.05M,问桩又下沉多问桩又下沉多少？少？