大学物理经典ppt系列之简谐振动

1、如：如：机械振动机械振动、电磁振动电磁振动、分子振动分子振动、原子振动原子振动。 任一物理量在某任一物理量在某一定值一定值附近往复变化均称为附近往复变化均称为振动振动. . 机械振动机械振动 物体围绕一固定物体围绕一固定位置位置往复运动往复运动. . 如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及原子的振动等如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及原子的振动等. .机械振动的特点：机械振动的特点：（1 1）有平衡点。有平衡点。 （2 2）且具有重复性。即具有周期性振动。且具有重复性。即具有周期性振动。 机械振动的分类：机械振动的分类： （1）按振动规律分：按振动规律分： 简谐、非简谐、随机振动。简谐、非

2、简谐、随机振动。（2）按产生振动原因分：按产生振动原因分： 自由、受迫、自激、参变振动。自由、受迫、自激、参变振动。（3）按自由度分：按自由度分： 单自由度系统、多自由度系统振动。单自由度系统、多自由度系统振动。（4）按振动位移分：按振动位移分： 角振动、线振动。角振动、线振动。（5）按系统参数特征分：按系统参数特征分： 线性、非线性振动。线性、非线性振动。 简谐振动简谐振动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动. .简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解 一一 弹簧振子的振动弹簧振子的振动 弹簧振子弹簧振子若弹簧本身的质量和摩若弹簧本身的质量和摩擦力忽略不计，即只有擦力忽略不计

3、，即只有弹性恢复力作用下的质弹性恢复力作用下的质点的模型称为点的模型称为弹簧振子弹簧振子 平衡位置平衡位置物体所受合力为零，物体所在位置称为物体所受合力为零，物体所在位置称为平衡位置平衡位置。kl0 xmoAA自然长度自然长度 l0平衡位置平衡位置( (原点）原点）00FxxxFmoAA任意位置任意位置makxFkaxm mk2令令xa2xtx222dd222d0dxxt 即简谐振动即简谐振动的微分方程的微分方程该微分方程的通解该微分方程的通解)cos(tAx简谐振动的简谐振动的运动学方程运动学方程A,为求解时的积分常量，由初始条件决定。km 是由谐振子本身的性质决定的，是由谐振子本身的性质决

4、定的，称为振动系统的称为振动系统的固有角频率固有角频率。 A简谐振动的加速度A简谐振动的振动方程简谐振动的速度AAA最大最大最大AAA弹簧振子在弹性恢复力作用下的振动是弹簧振子在弹性恢复力作用下的振动是简谐振动简谐振动。 （1）运动学定义：）运动学定义：物体位移随时间按余弦函数（或物体位移随时间按余弦函数（或正弦函数）规律变化的运动称为简谐振动。正弦函数）规律变化的运动称为简谐振动。 x = A cos(t + )（2）动力学定义：）动力学定义：物体仅受下式的合力作用的振动物体仅受下式的合力作用的振动称为简谐振动。称为简谐振动。 F = - k x（3）简谐振动的简谐振动的运动微分方程运动微分

5、方程 d2x / dt2+ 2 x = 0 简谐振动定义简谐振动定义 讨论讨论: 竖直方向的弹簧振子的运动是否简谐振动？竖直方向的弹簧振子的运动是否简谐振动？ 试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。平衡点在受力平衡点小球受弹性力大小选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在为置坐标 处所受弹性力合外力振动方程A动力学方程微分方程的解：均与水平弹簧振子结果相同例二三三 描写简谐振动的三个特征量描写简谐振动的三个特征量 从描写简谐振动的运动学方程从描写简谐振动的运动学方程 中可看出，一个简谐振动系统，若确定了中可看出，一个简谐振动系统，若确定了A

6、、，则则简谐振动系统的振动就完全确定了，因此称这三个量为简谐振动系统的振动就完全确定了，因此称这三个量为简谐振动的三个特征量。简谐振动的三个特征量。 )cos(tAx1 振幅振幅A 物体的运动范围物体的运动范围为：为： ，将，将物体离开平衡位置物体离开平衡位置的最大位移的的最大位移的绝对绝对值值称为振动的称为振动的振幅振幅。AxA平衡位置平衡位置X-AA2 2 周期和频率周期和频率 （1） 周期周期完成一次振动需时间-振动的周期振动的周期。)()(Ttxtx)(cos)cos(TtAtA（2）频率）频率 每秒内振动的次数称为每秒内振动的次数称为频率频率，单位：赫兹（，单位：赫兹（HZ） 2T2

7、TmkkmT2对弹簧振子：对弹簧振子：T122T角频率角频率 tx图图AAxT2TtoglT22周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身本身的物理性质有关的物理性质有关3 相位相位 )cos(tAxAA相位 ：是界定振子在时刻 的运动状态的物理量运动状态要由位置 和速度 同时描述，而 和 的正负取决于 ，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态AA位置速度初始条件即为初相 ：是时，振子的相位。tx图图AAxT2TtoX20( ( 取取 或或 ) )22020vxA4 4 常数常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初始条件cos0Ax sin0Av)sin

8、(tAv)cos(tAxkm 00tanx v 0, 0, 0vxt已知已知 求求2 0 2 0sin 取取例四某物体沿 X 轴作简谐运动， 振幅 A = 0.12周期周期 T = 2 s，t = 0 时x0 = 0.06 m处初相 , ,t = 0 .5 s 时的位置 x, 速度 v, 加速度 a物体背离原点移动到位置A = 0.12 m，T = 2 s , = 2 / / T = rad s - -1 , 将 = / 3 / 3 rad 及 t = 0 .5 s 代入谐振动的 x, v, a 定义式得x A cos ( t ) )0.104 (m)A0.19 ( m s - -1 )A1.

9、03 ( m s - -2 )x = A cos ( t ) )由简谐振动方程t = 0 时0.06 = 0.12 cos 得 = / 3 / 3再由题意知 t = 0 时物体正向运动，即A0且 = / 3 / 3，则 在第四象限，故取例一0.040.0412简谐振动的曲线完成下述简谐振动方程A = 0.04 (m)T = 2 (s) = 2 / / T T = (rad /s )0.04 2SI0cos0 xA0sin0vA t=0时时2 在不能延伸的轻线下端悬一小球在不能延伸的轻线下端悬一小球m m，小球，小球在重力和拉力作用下，在铅直平面内作在重力和拉力作用下，在铅直平面内作往复运动，这

10、样的振动系统称为往复运动，这样的振动系统称为单摆单摆。 悬线与铅直方向之间的角度悬线与铅直方向之间的角度作为小球作为小球位置的变量，称为位置的变量，称为角位移角位移，规定悬线在，规定悬线在铅直线铅直线右方右方时，角位移为时，角位移为正正 。 悬线的张力和重力的合力沿悬线的垂直方向指向平衡位置。悬线的张力和重力的合力沿悬线的垂直方向指向平衡位置。 sinmgF二二 单摆的振动单摆的振动 模型模型 平衡位置平衡位置-铅直方向铅直方向0F 任意位置任意位置当当很小时很小时 sin sin ( ( 5 5 ) )mgF 符合简谐振动的动力学定义符合简谐振动的动力学定义由牛顿第二定律由牛顿第二定律mgm

11、atmgdtdml22lg2令令0222dtd)cos(tmsinmgFglT22)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒 以弹簧振子为例以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）总机械能总机械能振幅不变振幅不变简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksi

12、n21均随时间而变且能量相互转换均随时间而变且能量相互转换变到最大时变为零系统的机械能守恒。及A变为零变到最大时例例 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数如图，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k=24N/m，重物的质量，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力上。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩向左作用于物体（不计摩檫），使之由平衡位置向左运动了檫），使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去，此时撤去力力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。体的运动方程。解解:JE5 . 0

13、05. 010mkEA204. 0245 . 022)/1 (2624smk)2cos(204. 0 tx,0Axt时 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEE J100 .

14、 23（4）pkEE 时，时，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x描述谐振动的方法描述谐振动的方法：2. 曲线法：曲线法：3. 旋转矢量法：旋转矢量法：1. 函数法：函数法：cos()xAtoAx cos()xAt x t+ t = t : 初相位初相位 t+ ：相位相位11t = 0AAx = A cos ( t ) )oAx cos()xAt t+ t = t : 初相位初相位 t+ ：相位相位11t = 0AAx = A cos ( t )0)02t 物体正越过物体正越过原点原点, 以最大以最大速率速率运动运动.下个

15、时刻要向下个时刻要向x 轴的轴的负负方向运动方向运动.oAx cos()xAt t+ t = t : 初相位初相位 t+ ：相位相位11t = 0AAx = A cos ( t ) ) A物体在负向物体在负向位移位移极大处极大处, 速度速度为零为零.下个时刻要向下个时刻要向x 轴的轴的正正方向运动方向运动. toAx cos()xAt t+ t = t : 初相位初相位 t+ ：相位相位11t = 0AAx = A cos ( t )0)032t 物体正越过物体正越过原点原点, 以最大以最大速率速率运动运动.下个时刻要向下个时刻要向x 轴的轴的正正方向运动方向运动.oAx cos()xAt t

16、+ t = t : 初相位初相位 t+ ：相位相位11t = 0AAx = A cos ( t )A)A0t 物体在正向物体在正向位移位移极大处极大处, 速度速度为零为零.下个时刻要向下个时刻要向x 轴的轴的负负方向运动方向运动.oAx cos()xAt t : 初相位初相位 t+ ：相位相位11t = 0AA循环往复循环往复A旋转一周，投影点作一次全振旋转一周，投影点作一次全振动，所需时间为谐振周期。动，所需时间为谐振周期。 2ToAx x t+ t = t 11t = 0AAx = A cos ( t ) )旋转矢量的模旋转矢量的模 A A 振幅振幅旋转角速度旋转角速度逆时针逆时针 角频率

17、角频率与与x轴的轴的0时刻夹角时刻夹角 初相位初相位t 时刻与x轴的夹角( t ) )相位相位矢量矢量 画法小结画法小结续上旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动振子的运动速度（与 X 轴同向为正）A其 速率AtAXAAXOtO 旋转矢量端点 M 的加速度为法向加速度，其大小为A振子的运动加速度（与 X 轴同向为正）At和任一时刻的 和 值，其正负号仅表示方向。同号时为加速异号时为减速xxvxxvxxvxxv振动质点位移、速度与特征点振动质点位移、速度与特征点 (t=0(t=0时对应的时对应的)x00时时在在1,4象限象限v00时时在在3,4象限象限例例1. 一物体沿一物体沿 x 轴作简谐振动，轴作

18、简谐振动，A= 12cm, T = 2s 当当t = 0时时, x0= 6cm, 且向且向x正方向运动。正方向运动。解：解：（1）由旋转矢量图看）由旋转矢量图看cm()x0t 121 1 3 2 3 （2）t =0.5s 时时, 物体的位置物体的位置、速度速度、加速度。加速度。2cos()xAtT sin()vAt 2cos()aAt 212cos(0 5)23 10.4(cm) 118.9(s ) 2103(cm s ) 2 求（求（1） 初位相初位相 。0 ?（2）t =0.5s 时时例一0.040.0412简谐振动的曲线完成下述简谐振动方程A = 0.04 (m)T = 2 (s) =

19、2 / / T T = (rad /s )0.04 2A = / 2 t = 0v0 从 t = 0 作反时针旋转时，A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，即 ，与 已知 X t 曲线一致。v0SI例三弹簧振子x0 = 0t = 0 时v0 = 0.4 ms -1m = 510 - -3 kgk = 210 - -4 Nm -1 完成下述简谐振动方程v0km0.2 (rad s 1)x0v02 (m)x0 = 0已知 相应的旋转矢量图为20.2(SI)v0AAx2AtoabxAA0讨论讨论 相位差：表示两个振动状态相位之差相位差：表示两个振动状态相位之差 . . 1 1）对对同一同一简谐运动，

20、相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间. .)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt0 xto同步同步 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它的简谐运动，相位差表示它们间们间步调步调上的上的差异差异. .（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它为其它超前超前落后落后txo反相反相例例 已知振动曲线求初相位及相位。已知振动曲线求初相位及相位。 如图所示的如图所示的xt振动曲线，已知振动曲线，已知

21、振幅振幅A、周期、周期T、且、且t=0 时时 ，求：，求：2Ax (1)该振动的初相位；该振动的初相位； (2)a、b两点的相位；两点的相位； (3)从从t=0到到a、b两态所用的时间是多少两态所用的时间是多少? 方法二，用旋转矢量法方法二，用旋转矢量法 由已知条件可画出由已知条件可画出t=0时振幅矢量，同时可画出，时刻时振幅矢量，同时可画出，时刻的振幅矢量图如图所示。由图可知，的振幅矢量图如图所示。由图可知，(3)(1)3(2)0at2bt623TTta TTtb125/23/2/2/ 例例 已知振动曲线求初相位及相位。已知振动曲线求初相位及相位。 如图所示的如图所示的xt振动曲线，已知振动

22、曲线，已知振幅振幅A、周期、周期T、且、且t=0 时时 ，求：，求：2Ax (1)该振动的初相位；该振动的初相位； (2)a、b两点的相位；两点的相位； (3)从从t=0到到a、b两态所用的时间是多少两态所用的时间是多少? 解：方法一解：方法一 (1) 由题图可知，由题图可知， t=0时，时， 2cosAAx21cos30sinAdtdxv3)3cos(tAx(2) 由题图由题图a点，点，cos()aaxAtA 则则a点的相位点的相位0at 由题图由题图b点，点， cos()0bbxAt 2bt 0)sin(tAdtdxv故故b点的相位为点的相位为 :2bt (3) 设从设从t=0到两态所用的

23、时间为到两态所用的时间为ta、tb 0at2bt623TTtaTTtb125/23/2/2/第三节 振动合成且 相同同在 X X 轴合成振动用旋转矢量法可求得合成振动方程与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用解析法推导：解析法推导： )cos()cos(221121tAtAxxxtAtAtAtAsinsincoscos sinsincoscos22221111()()tAAtAAsinsinsincoscoscos22112211tAtAsinsincoscos()tAcos其中，其中， 2211coscoscosAAA2211si

24、nsinsinAAA解之可得：解之可得： ()12212221cos2AAAAA22112211coscossinsinAAAAtgxxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 讨论讨论相互加强相互加强xxtoo21AAA)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，k若为其它值，则 处于与之间相互削弱相互削弱振动合成二为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。合振动此合振动不是简谐振动，一

25、般比较复杂，只介绍一种常见现象：频率为 的简谐振动频率为 的简谐振动若与较大且相差不大，可看作呈周期性慢变的振幅合振动频率相对较高的简谐振动 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍. .可看作呈周期性慢变的振幅合振动频率相对较高的简谐振动1 秒秒9 Hz8 Hz（包络线）两分振动的频率1 Hz合振动频率8.5 Hz合振幅每变化一周叫做合振幅每变化一周叫做一拍，一拍，单位时间出现的拍次数叫单位时间出现的拍次数叫拍频拍频。拍的频率为两个分振动的频率之差。拍的

26、频率为两个分振动的频率之差。385 Hz383 Hz听到的音频384 Hz强度节拍性变化2 Hz)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx质点运动轨迹质点运动轨迹1 1） 或或2012xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAyyx1A2Ao （椭圆方程）（椭圆方程） 讨论讨论yx1A2Ao2 2）12xAAy123 3）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxy1A2Ao简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差4. 振动方向垂直、不

27、同频率的谐振动的合成振动方向垂直、不同频率的谐振动的合成 轨迹曲线称为轨迹曲线称为李萨如图形李萨如图形。一般轨迹曲线复杂，且不稳定。一般轨迹曲线复杂，且不稳定。-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51xy4:26:410:8:xyN N 由切点数之比及已知频率可测未知频率。由切点数之比及已知频率可测未知频率。yxyxNN 2:13:25:4可以证明：可以证明：两振动的频率之比两振动的频率之比 成整数时成整数时, 合成轨迹稳定。合成轨迹稳定。yx 图形形状还与位图形形状还与位相差及振幅有关相差及振幅有关46振动合成四

28、其合运动一般较复杂，且轨迹不稳定。但当 为两个简单的整数之比时可以得到稳定轨迹图形，称为李萨如图形例如小议链接2（1 1）0 ；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1= =610-2 cos (5t + ), x2= =210-2 sin ( 5 t )2 则其合振动的振幅为谐振动则其合振动的振幅为谐振动（3 3）4 cm；用用旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图 任意形状的刚体悬挂后绕一固任意形状的刚体悬挂后绕一固定轴作小角度摆动，称为定轴作小角度摆动，称为复摆复摆。 设质心到转轴距离为设质心到转轴距离为L，则当其，则当其摆角为摆角为时刚体受到的重力矩为时刚