高中数学(人教版)幂级数第一课时课件.

1、第四讲第四讲 幂级数幂级数幂级数幂级数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算三、幂级数的运算幂级数幂级数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算三、幂级数的运算函数项级函数项级数的概念数的概念函数项级数的收函数项级数的收敛点和发散点敛点和发散点对于定义在区间对于定义在区间I I上的函数列上的函数列 123( ),( ),( ),( ),nu x ux u xux称为定义在区间称为定义在区间I I上的上的( (函数项函数项) )无穷无穷级数级数, , 简称简称( (函数项函数项) )

2、级数级数. .由这函数列构成的表达式由这函数列构成的表达式 123( )( )( )( )nu xuxu xux对于每一个确定的值对于每一个确定的值 函数项函数项级数成为常数项级数级数成为常数项级数0,xI 1020300()()()()nu xuxu xux如果该级数收敛如果该级数收敛, ,就称就称 是函数项级是函数项级数的数的收敛点收敛点; ;如果该级数如果该级数0 x发散发散, ,就称就称 是函数项级数的是函数项级数的发散发散点点. .0 x. 0)(lim xrnn函数项级数函数项级数的和函数的和函数).()(1xuxsnn , )(xs的和函数的和函数 , , 并写成并写成在收敛域上

3、在收敛域上, , 函数项级数的和是函数项级数的和是x x的函的函数数 , ,称其为函数项级数称其为函数项级数 即即l注注和函数的定义域和函数的定义域即为收敛域即为收敛域. . 函数项级数函数项级数的余项的余项为函数项级为函数项级数的数的余项余项. .)()()(xsxsxrnn 称称l注注函数项级数的所有收敛点的函数项级数的所有收敛点的全体称为其全体称为其收敛域收敛域, ,函数项级数的收函数项级数的收敛域和发散域敛域和发散域所有发散点的全体称所有发散点的全体称为其为其发散域发散域 . .lim( )( ).nnsxs x ( ),nsx函数项级数前函数项级数前n n项和记作项和记作 则在则在收

4、敛域上收敛域上幂级数幂级数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算三、幂级数的运算幂级数幂级数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算三、幂级数的运算各项都是常数乘幂函数的函数各项都是常数乘幂函数的函数项级数称为项级数称为幂级数幂级数. . 它的形式它的形式是是幂级幂级数概念数概念l注注20120,nnnnna xaa xa xa x 其中常数其中常数 叫做幂级数的系数叫做幂级数的系数 . .012,na a aa幂级数的一幂级数的一般形式是般形式是: :2010200()()().

5、nnaa xxaxxaxx 可以通过变量代换可以通过变量代换 将将其化为上述标准形式其化为上述标准形式. .0txxox发发 散散发发 散散收收 敛敛收收敛敛发发散散幂级数的幂级数的收敛域收敛域适合不等适合不等式式0 xx 的一切的一切 x x 使这幂级使这幂级数绝对收敛数绝对收敛. .如果级如果级数数当当时收敛时收敛, ,那么那么) 0(00 xxx 0nnnxa 0nnnxa反之反之, , 如如果级数果级数0 xx 时发时发散散, ,0 xx 的一切的一切 x x 使这幂使这幂级数发散级数发散 . . 那么适合那么适合不等式不等式当当( (R R , , R R ) ) 加上加上收敛的端点

6、收敛的端点收敛收敛半径半径 ( (R R , , R R ) )ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收收敛敛发发散散R R 收敛收敛区间区间. .收收敛敛域域推论推论如果幂级数如果幂级数 不是仅在不是仅在 一一点收敛点收敛, ,也不是在整个也不是在整个0nnna x 0 x 数轴上都收敛数轴上都收敛, ,那么必有一个确那么必有一个确定的正数定的正数R R存在存在, ,使得使得当当 时时, ,幂级数幂级数绝对收敛绝对收敛; ;|xR 当当 时时, ,幂级数幂级数发散发散; ;|xR 当当 与与 时时, ,幂级数可幂级数可能收敛也可能发散能收敛也可能发散. .xR xR l注注如果幂级数如果幂级数

7、不是仅在不是仅在 一一点收敛点收敛, ,也不是在整个也不是在整个( (R R , , R R ) ) 加上加上收敛的端点收敛的端点收敛收敛半径半径 ( (R R , , R R ) )R R 收敛收敛区间区间. .收收敛敛域域推论推论0nnna x 0 x 数轴上都收敛数轴上都收敛, ,那么必有一个确那么必有一个确定的正数定的正数R R存在存在, ,使得使得当当 时时, ,幂级数幂级数绝对收敛绝对收敛; ;|xR 当当 时时, ,幂级数幂级数发散发散; ;|xR 当当 与与 时时, ,幂级数可幂级数可能收敛也可能发散能收敛也可能发散. .xR xR l注注如果幂级数只在如果幂级数只在 处收敛处

8、收敛, ,规定规定0 x 0R 如果幂级数对一切如果幂级数对一切x x 都收敛都收敛, ,规规定定R ;!)2(;!1)1(00nnnnxnxn 幂级数收敛幂级数收敛半径的求法半径的求法定理定理11(3)( 1)nnnxnu例例1求下列幂级数的收敛半径和收敛域求下列幂级数的收敛半径和收敛域:u例例2220(2 )!( !)nnnxn的收敛半径的收敛半径 .求幂级数求幂级数u例例31(1)2nnnxn求幂级数求幂级数的收敛域的收敛域 .其中其中 0nnnxa的相邻两项的系数的相邻两项的系数,那么这幂级数的收敛半径那么这幂级数的收敛半径,lim1nnnaa如果如果 1, nnaa是幂级数是幂级数

9、R,1 0 , 0 0 幂级数幂级数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算三、幂级数的运算幂级数幂级数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算三、幂级数的运算设幂设幂级数级数nnnxa0nnnxb0及及的收敛半径的收敛半径分别为分别为,21RRnnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx 令令,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 则有则有 : :nnnnnnxbxa00其其中中.0knnkknbac 四则四则运算运算定定理理逐项积分

10、后所得到的幂级数和原级逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径数有相同的收敛半径. .分析分析运算运算性性质质1 1和函数和函数的性质的性质幂级数幂级数 的和函数的和函数 在在其收敛域其收敛域I I上连续上连续. .0nnna x ( )s x性性质质2 2幂级数幂级数 的和函数的和函数 在其收敛域在其收敛域I I上可积上可积, ,0nnna x ( )s x并有逐项积并有逐项积分公式分公式000( )ddxxnnns tta tt 10001dxnnnnnnaa ttxn (),xI l注注 逐项积分后所得到的幂级数在收敛逐项积分后所得到的幂级数在收敛区间端点可能收敛区间端点可能收敛. .逐项求导后所得到的幂级数和原级逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径数有相同的收敛半径. .分析分析运算运算性性质质3 3和函数和函数的性质的性质0( )nnns xa x 101()nnnnnna xna x (|),xR 幂级数幂级数 的和函数的和函数 在其收在其收敛区间敛区间0nnna x ( )