定积分的几何应用

1、定积分的几何应用 定积分的几何应用定积分的几何应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积1 直角坐标系直角坐标系 作为一般情况讨论，设平面图形由作为一般情况讨论，设平面图形由 a , b 上连续的两条曲线上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与与 y = g ( x ) )()(xgxf 及两条直线及两条直线 x =a ,x =b 所围成所围成在在 a ,b 上任取典型小区间上任取典型小区间 x ,x+dx 与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dA定积分的几何应用dA 可用高为可用高为)()(xgxf 底为底为 dx 的矩形面积的矩形面积近似表示近似表示即

2、即dxxgxfdA)()( 故故 badxxgxfA)()(ab)(xfy )(xgy xdxx 当当 dx 很小时很小时 定积分的几何应用122 xy2xy 所围成的图形的面积所围成的图形的面积解解为确定图形的存在区间为确定图形的存在区间由联立方程组解得交点由联立方程组解得交点 A（-1，1） B（1，1） 1 , 1 x2212xx 故故 1122)12(dxxxA113)31arctan2( xx32 例例1 求两曲线求两曲线 定积分的几何应用xy22 4 xy所围图形的面积所围图形的面积解解首先定出图形所在的范围首先定出图形所在的范围 xyxy242 解得交点为（解得交点为（2，-2）

3、和（）和（8，4）若取若取 x 为积分变量为积分变量 在在 x,x+dx 上取部分量上取部分量则对于则对于 x 的不同值的不同值 局部量的位置不同局部量的位置不同 其其上、下曲边有多种情况运用上述公式计算上、下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂较为复杂如下图如下图例例2 计算计算 定积分的几何应用以以 y 为变量计算将会简单为变量计算将会简单在在-2,4 上任取一小区间上任取一小区间,dyyy 其上相应的窄条左、右曲边分别为其上相应的窄条左、右曲边分别为4,212 yxyx18)214(242 dyyyA但若将这一面积看作是分布在区间但若将这一面积看作是分布在区间 -2，4 上上定积分的几

4、何应用 由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化计算简化上述问题的一般情况是上述问题的一般情况是平面区域由平面区域由 c,d 上连续的曲线上连续的曲线)(),(yxyx )()(yy 及直线及直线y = c ,y = d 所围成所围成 则其面积为则其面积为 dcdyyyA)()( cddyy y)(yx )(yx 定积分的几何应用 当直角坐标系下的平面区域的边界曲线当直角坐标系下的平面区域的边界曲线由参数方程的形式给出时，只须对面积计算由参数方程的形式给出时，

5、只须对面积计算公式作变量代换即可。公式作变量代换即可。)( t badtttydxA |)()(|计算时应注意积分限在换元中应保持与原积计算时应注意积分限在换元中应保持与原积分限相对应。分限相对应。 )()(tytx 定积分的几何应用例例3 求椭圆求椭圆 sincosbyax)20( 的面积的面积解解由对称性由对称性 面积面积A等于椭圆在第一象限内等于椭圆在第一象限内的部分的面积的的部分的面积的4倍倍即即 aydxA04 022sin4 abdab定积分的几何应用设设 f ( x ) 在在 a ,b 上连续，在上连续，在 ( a, b ) 内有内有 0)( xf证明证明存在唯一的存在唯一的 )

6、,( ba 使曲线使曲线 f（x ）与两直线）与两直线 ax )( fy 所围图形的面积所围图形的面积 1S是是 y = f ( x ) 与两直线与两直线 bx )( fy 所围图形面积所围图形面积 2S的的3倍倍 )( f1S2S证证 adxxffS)()(1 bdxfxfS )()(2例例4定积分的几何应用 tabtdxtfxfdxxftftF)()(3)()()( tabttbtfdxxfdxxfattftF)(3)(3)()()(则则 badxafxfaF0)()(3)( badxxfbfbF0)()()(故由零点定理知故由零点定理知),( ba 0)( F使又又0)( 2)()33)

7、()( tbabtftbattftF唯唯一一故故 令令定积分的几何应用2 极坐标系极坐标系某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程 )(),( rr给出给出极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形而是由射线而是由射线 与)( rr 及及曲曲线线所围成的称为曲边扇形的区域所围成的称为曲边扇形的区域有有关关与与 很很小小时时当当 d的的变变化化不不大大)( rA 可用半径为可用半径为)( r圆心角为圆心角为 d由于曲边扇形的面积分布由于曲边扇形的面积分布定积分的几何应用故面积元素为故

8、面积元素为 drA)(212 drdA)(212 d d)( rr 的圆扇形的面积来近似的圆扇形的面积来近似定积分的几何应用例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积. 解解由对称性知总面由对称性知总面积积=4倍第一象限倍第一象限部分面积部分面积14AA daA2cos214402 .2a 2cos22a xy 定积分的几何应用例例6 6 求求心心形形线线)cos1 ( ar所所围围平平面面图图形形的的面面积积) 0( a. 解解 d dadA22)cos1 (21 利用对称性知利用对称性知 d2)cos1 ( 02212aA d )coscos21

9、(2 02a定积分的几何应用 通过以上几例可见在实际计算中应通过以上几例可见在实际计算中应充分利用所求量的充分利用所求量的对称性对称性和和等量关系等量关系来来简化计算。简化计算。 2sin41sin2232a 0.232a 定积分的几何应用xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段都都缩缩向向一一点点时时，此此折折线线的的长长|11 niiiMM的的极极限限存存在在

10、，则则称称此此极极限限为为曲曲线线弧弧AB的的弧弧长长.二、平面曲线弧长的概念二、平面曲线弧长的概念定积分的几何应用直角坐标情形直角坐标情形 设设曲曲线线弧弧为为)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一阶阶连连续续导导数数 取取积积分分变变量量为为x，在在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx ， 以以对对应应小小切切线线段段的的长长代代替替小小弧弧段段的的长长 xoyabxdxx dy小小切切线线段段的的长长 22)()(dydx dxy21 弧长元素弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba 定积分的几何应用例例 7 7 计算曲线计算曲线2332xy 上相

11、应于上相应于 x 从从 a 到到 b 的一段弧的长度的一段弧的长度. 解解,21xy dxxds2)(121 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab定积分的几何应用例例 8 8 计计算算曲曲线线 dnynx 0sin的的弧弧长长)0( nx. 解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 定积分的几何应用曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数

12、.22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 参数方程情形参数方程情形定积分的几何应用例例 9 9 求星形线求星形线323232ayx )0( a的全长的全长. 解解星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 定积分的几何应用例例 1 10 0 证证明明正正弦弦线线xaysin )20( x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆 taytxsin1cos2 )20( t的的周周长长. 证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长

13、等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1,cos12022dxxa 设设椭椭圆圆的的周周长长为为2s定积分的几何应用 ,20222dtyxs 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin2dtta 022cos12dxxa 022cos12,1s 故原结论成立故原结论成立.定积分的几何应用极坐标情形极坐标情形曲线弧为曲线弧为)( rr )( 其其中中)(r在在, 上上具具有有连连续续导导数数. sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22 drrs 定积分的几何应用例例 1 11 1 求

14、求阿阿基基米米德德螺螺线线 ar )0( a上上相相应应于于 从从0到到 2的的弧弧长长. 解解,ar drrs )()(22 20 daa222 20a d12 .)412ln(412222 a定积分的几何应用求心形线求心形线 )cos1( ar的全长的全长解解 sin),cos1 (arar darrds|2cos|222 由对称性由对称性 dass 012cos22222cos80 da 02sin8a a8 例例12定积分的几何应用求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选

15、择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下小结小结定积分的几何应用 1.设设曲曲线线)(xfy 过过原原点点及及点点)3 , 2(，且且)(xf为为单单调调函函数数，并并具具有有连连续续导导数数，今今在在曲曲线线上上任任取取一一点点作作两两坐坐标标轴轴的的平平行行线线，其其中中一一条条平平行行线线与与x轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积是是另另一一条条平平行行线线与与y轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积的

16、的两两倍倍，求求曲曲线线方方程程. 2. 闭闭 区区 间间,ba上上 的的 连连 续续 曲曲 线线)(xfy 是是否否一一定定可可求求长长？ 思考题思考题定积分的几何应用122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对两边同时对 求导求导x)(xfy xyo1S2S),(yxyxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 ,2(29 c思考题思考题 1 解答解答定积分的几何应用,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为所以所

17、求曲线为.223xy 不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长思考题思考题 2 解答解答定积分的几何应用练练 习习 题题一、一、 填空题：填空题：1 1、 由曲线由曲线eyeyx ,及及y轴所围成平面区域的面积轴所围成平面区域的面积是是_ . .2 2、 由曲线由曲线23xy 及直线及直线xy2 所围成平面区域的所围成平面区域的面积是面积是_ ._ .3 3、 由曲线由曲线 1,1,1,12 xxyxxy所围成所围成平面区域的面积是平面区域的面积是_ ._ .4 4、 计算计算xy22 与与4 xy所围的区域面积时，选用所围的区域

18、面积时，选用_作变量较为简捷作变量较为简捷 . .5 5、 由曲线由曲线xxeyey ,与直线与直线1 x所围成平面区所围成平面区域的面积是域的面积是_ _ . .定积分的几何应用6 6 曲曲线线2xy 与与它它两两条条相相互互垂垂直直的的切切线线所所围围成成平平面面图图 形形的的面面积积S，其其中中一一条条切切线线与与曲曲线线相相切切于于点点 ),(2aaA，0 a，则则当当 a_ _ _时时，面面积积S最最小小 . . 二、二、 求由下列各曲线所围成的图形的面积：求由下列各曲线所围成的图形的面积：1 1、 、 、xy1 与直线与直线xy 及及2 x。2 2 y2x与直线与直线xy 及及xy

19、2 。3 3 )cos2(2 ar4 4、摆线、摆线)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x轴；轴；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡尔叶形线、笛卡尔叶形线axyyx333 . .定积分的几何应用三三、 求求抛抛物物线线342 xxy及及其其在在点点)3,0( 和和)0,3(处处的的切切线线所所围围成成的的图图形形的的面面积积 . . 四四、 求求位位于于曲曲线线xey 下下方方， 该该曲曲线线过过原原点点的的切切线线的的左左方方以以轴轴及及x上上方方之之间间的的图图形形的的面面积积 . . 五五、 求求由由抛抛物物线线axy42 与与过过焦焦点点的的弦弦所所围围成成的的图图形形面面积积的的最最小小值值 . . 定积分的几何应用练习题答案练习题答案一一、1 1、1 1； 2 2、332； 3 3、2 2； 4 4、y； 5 5、21 ee； 6 6、21. . 二二、1 1、2ln23 ； 2 2、67； 3 3、2a ； 4 4、23 a ； 5 5、 45； 6 6、223a. . 三三