多属性决策教案

1、运筹学II课程教案第1次授课题目：第四章多属性决策课时安排2授课时间6-2 (3-4)教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：:1、 掌握多属性决策的基本概念2、 了解解的基本特征教学内容：1、 多属性决策的基本概念2、 解的类型、特征3、 语言类描述的数值化重点：不同解的特征难点：语言类描述的特征相关概念：重要提示：思考题：多属性决策在现实生活中的意义?多属性决策1.1 多属性决策基本概念与数据整理技术1.1.1 多属性决策问题及其解的形式设有一组可能的方案A&.4”，需要考察的属性记为g，C2-G,，各属性的重要程度即权值用q,牡表示，叼20,叮，且符合归一化条件里+心+.+6ya

2、= 1。将决策后果即方案的属性值记为%，/. = 1,2m, y = l,2,.旨在找出其中的最优方案，记上述多属性决策间题可以写成表1-1的决策矩阵在多属性决策问题中，由于属性指标之间的相互矛盾与制衡，因而不存在通常意义下的 最优解。取而代之的是有效解(也称非劣解)、满意解、优先解、理想解、负理想解和折衷 解，它们被分别定义如下：有效解(EfficientSolution)：不被任何其它可行解所支配的可行解被称为有效解。这里, 所谓支配应理解为在所有属性上得到的结果都不比对方差，而且至少在一个属性上得到的结 果比对方好。满意解(SatisficingSection)在所有属性上都能满足决策者

3、要求的可行解披称为满意解。 显然，满意解可以不是有效解。优先解(Preferred Solution)：最能满足决策者指定条件的有效懈被称为优先解理想解(Ideal Solution )：由各属性在现有方案中可能具有的最好结果组合而成的解被称 为理想解。一般来说，理想解是不存在的。否则，理想解必是最优解，决策分析便不复存在。 其数学表示式为A (t| ty C*Z1 )其中,c = max U - (x“), / = 1,2.n这里的U/(%)表示第i个方案在第j个属性上基于弓的效用函数值。理想解的概念在 多属性决策的理论和实践中都有着重要的意义，关于多属性决策的折衷模型及算法便是以它 为基础

4、建立起来的。反理想解(Anti-ideal Solution)：由各属性在现有方案中可能具有的最坏结果组合而成的 解被称为反理想解。一般来说，反理想解也是不存在的。否则，它必可作为劣解而被淘汰。 其数学裹示式为式中c = min Uj (勺),j = l, 2.n与理想解一样，反理想解也是折衷算法的参照基准之一。折衷解(Compromise Solution)：距离理想解最近或距离反理想解最远或以某种方式 将二者结合在一起的可行解被称为折衷解。在一般情形下，这3种折衷解给出的结果并不总 是一致的，决策者应具体情况具体考虑。1.1.2 属性指标的量化与转换在对决策问题的属性值进行综合运算之前，首

5、先要解决下面的两个问题。1语言类属性指标的量化在多属性决策问题中，方案的属性值通常有定量和定性两种不同的表示形式。为了便于 对属性值进行必要的数学处理，普遍采用MacCrimimon提出的双向比例标尺（Bipolar Scaling） 将定性指标转换为定量指标。其标尺形式见10-1最高很高高平均低很低最低01357910111I1I1I11101357910最低很低低平均高很高最高2属性值的规范化处理由于不同属性的量纲通常是不同的，而且是同一量纲的属性值在大小上也相差悬殊，困 而不同属性之间便少有或没有可比性。所谓属性值的规范化处理就是要消除量纲的影响，并 将所有数值的大小全部统一到单位区间内

6、，这样才有比较的基础。虽然不是所有的多属性决 策方法都要求属性值规范化，但对于一大类基数型决策方法来说.如常见的极大一极大型决 策。极大极小型决策、赫威斯型决策和简单加权型决策等，这一步骤却是必烦的。在多属性决策分析中，最常用的数据规范化方法主要有以下两种。1）向量法。该方法的数值转换公式为：其特点是同一属性的所有数值都具有相同的矢量单元，但不同属性的测量尺度并不相 等。2）比例法。该方法对干不同类型的属性值采用不同的转换方式。对于收益类属性值， 其转换公式为而对于成本性属性值，其转换公式为:其中，可皿=max/,吗，.%，引皿=min卜力坊.，.属住值经过规范化处理之后的决策矩阵称为规范矩阵

7、。1.1.3 属性权值的比较与分配在多属性决策问题中，相对于决策者来说，不同属性的重要程度往往是不一样的。 因此，在进行多属性决策分析之前，应首先确定每一属性的权值。常用的权值确定方洼主要 有两类：第一类是基于决策者自身认识和经验的主观比较法，第二类是基于属性值特征的客 观分析法。前者适用于决策矩阵未知的情况；后者适用于决策矩阵已知的情况。现就这两类 方法中最具代表性的判断矩阵法和搞法分别介绍如下。1）判断矩阵法这一方法要求决策者将属性两两之间作成对的比较，给出每对同性的权重比竺W1竺必显然.在矩阵R中！=1,弓=/ ， 0.如果决策者对权重比的估计是一致的,= 1,2,人比值的确定方式参见表

8、1-2权重比%含义1属性i与属性j具有相等的重要程度3属性i比属性,略重要一些5属性i比属性,明显重要7属性i比属性，重要的多9属性i的重要性完全压倒属性j的重要性2, 4, 6, 8介于以上比较之间倒数相反方向的比较值依据上述比较结果可构造权重比炬阵则还应有分R被称为判断矩阵，而满足一致性要求的判断矩阵被称为相容矩阵.理论上，相容矩阵的任意一列都可以视为属性的权向量。但实际上，由决策者给出的判断矩 阵R很难满足一致性的要求。为此.需采用某种特定方法在R的基础上对权向量进行估汁。 常用的估计方法有算术平均法，几何平均法、特征向量法和最小二乘法4种（1）算术平均法。由于判断矩阵R中的每一列都近似

9、地反映了权值的分配精形，故可采 用全部列向量的算术乎均值来估汁权向量。即S i = 1，2,九（2） 几何平均法： 与算术平均法类似，几何平均法是采用判断矩阵R中全部列向量的 几何平均值作为权向量的估什。即71 1(II院=1-n n 7(n户k=l j=l（3） 特征向量法将权重向量右乘权重矩阵，则有:rw =1 / J ,CU2 -邃3n 31 3? .=n 3132*=nw* * *3n3n叫 . 153n或者：(R J)u; = O如果判断矩阵见是相容矩阵，由矩阵理论可知，n是R的唯一非零的也是最大的特征根, 记为Xmax，而w是n所对应的特征向量。如果判断矩阵不完全具有相容性，则上面

10、的等式 并不成立.但矩阵R元素的微小变动则意味着根的微小变动,故可先求解R最大特怔根Amax， 即求解以下用行列式形式表示的方程组的最大解且：rn - A /21112 r22-A rin r2n =0rnirn2 nn将求出的最大特征根儿皿带入其次线性方程组：( - Amaxl)W = 0从而解出入max对应的特征向量:讨=(仞心2,如只如果判断矩阵R是相容矩阵，将特征向量卬作归一化处理后即可作为属性的权向量。但一般来说，R未必是相容矩阵，为了度量判断矩阵R的相容性，Saaty定义了下面的 不相容指标：C(R) =n 1当C(/?)KO.1时，认为判断矩阵R的相容性良好，可采用特征向量W作为

11、权向量，否则，需要对判断矩阵R重新调整c由于特怔根对应的特怔向量一般不是惟一的，为了确切起 见，可采用归一化的特征向量作为权向量。即Ze f-1/-J-l(4)最小二乘法。由于判断矩阵R的相容性很难保证；故一般情形下。但可用工弓切/以根据最小二乘法原理选择一组权值q,外,用,使其误差的平方和最小。即 min /-I J-i n r-10 i = l,2,.例题1已知判断矩阵R为:1/311/31/23解:如果采用算术平均法，因为其中，分母部分为列向量的和，所以,“2%氏-1其权值分配为:lz 11/31/23 = ( + + . + 4-.3%+ 2 + 31/3+1 + 1/31/3 + 3

12、+P 1/3 +1 + 1/31/2 + 3 +1,）从以上分析可以看出，其权值为：每行数据除以列的和，然后取平均值.第一行的平均值为多， 第二行的平均值为g（出）%如果采用几何平均法，由于,所以，其权值的计算方式为:x（n%）%I J-I夕1*(1/3)(1/2) + 个3*1*3 + 2*(1/3)*1招 * 1 * 3=0.157132 = .-.0*(1/3)(1/2) + 招*1*3 + 32*(1/3)*1=0.5936=0.2493?/2 * (1/3) * 1名1*(1/3)(1/2) + 招*1*3 + 2 * (1/3) * 1采用特征向量法，计算过程如下: 首先求得相应矩

13、阵的特征值：1/311/31/231-2321/31-A1/31/231-2=0,解得最大特征根为：2 = 3.05294C(R) =3 05294-3 = 0.0268 0.1相容性好,-2.05294323-11/3-2.052941/31/23-2.052943?33=03 = 0.157015,0.593714,0.249271最小二乘法: 具体请百度运筹学II课程教案第1次授课题目：第四章多属性决策课时安排2授课时间6-2 (3-4)教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：:1、 常用的决策方法2、 ELECTRE 方法教学内容：1、 常用决策方法的算例2、 ELECTRE方法

14、的步骤重点：electre的理论原理难点:electre的步骤相关概念：重耍提示：思考题：常用决策方法在现实中如何应用？属性最大速度巡航半径最大载荷价格 可靠性 可维修性 血、/340m./Km /。阴陋以地12.01500200005.5一般很高22.52700180006.5低一般31.8 _2000210004.5同42.21800200005.0一般一般权值0.20.10.10.10.20.3第一步：将以上表格规范化最大速度巡航半径最大载荷价格可靠性可维修性21500200005592.52700180006.5351.82000210004.5882.21800200005552.5

15、2700210006.589最大速 度巡航半径最大载荷价格可靠性可维修 性Max0.80.5555560.9523810.7692310.62510.3I10.85714310.3750.5555560.20.720.74074110.69230810.8888890.2666670.880.6666670.9523810.7692310.6250.5555560.1760.20.10.10.10.203Max0.3最大速 度巡航半径最大载荷价格可靠性可维修 性Min0.80.5555560.9523810.7692310.62510.055556110.85714310.3750.55555

16、60.0750.720.74074110.69230810.8888890.0692310.880.6666670.9523810.7692310.6250.5555560.0666670.20.10.10.10.20.3Max0.069最大速 度巡航半径最大载荷价格可靠性可维修 性MaxMin0.80.5555560.9523810.7692310.6251030.055556110.85714310.3750.5555560.20.0750.720.74074110.69230810.8888890.2666670.0692310.880.6666670.9523810.7692310.6

17、250.5555560.1760.0666670.20.10.10.10.20.3Max0.3a * max 4-(1 a) * min当alpha=0.3,040.5,以及采用简单加权平均方法，各方案的决策值分别是:0.1288890.0750.0692310.0666670.1533330.0750.0692310.0666670.1777780.0750.0692310.0666670.8127170.7273810.8539720.706495Electre 方法lectre 是 Elimination et Choice Translating Reality 的缩写，最初是由 Be

18、nayoun 及其合作者提出， 后来经其他人多次改进，才有了现在的版本。鉴于方案集上优先关系的连通性，在实际问题中由于决策者认识上的偏差或者信息的不充分 而难以保证，Electre方法引进了 “弱支配关系(Outranking Relationship)的概念，记为 A f ,以表现方案之间的偏序结构。所谓弱支配关系是指虽然方案与之间并不存在严格的支配关系，但决策者有理由相信3优于从而愿意承担由此产生的风险。换言之，A f a.被视为建立在某种风险之上的从优于& oElectre方法的基本思想是通过构造一系列的弱支配关系来淘汰劣方案.从而逐步地缩小方 案集，直到决策者能从中选出最满意的方案为止

19、。由于弱支配关系的构造方法是基于“和谐 性”，与“不和谐性”的检验.故Electre方法也被称为和谐性分析方法。方法的具体计算过程可写成下而的算法形式：步骤1：决策矩阵规范化：规范方式有向量法与比例法两种，其转换公式分别为1)向量法。该方法的数值转换公式为：其特点是同一属性的所有数值都具有相同的矢量单元，但不同属性的测量尺度并不相 等。2)比例法。该方法对干不同类型的属性值采用不同的转换方式。对于收益类属性值, 其转换公式为yv vnun,=或晓=一一XjXi - XJ而对于成本性属性值，其转换公式为：其中，= max xijyx2jxmj x；un = min卜力看/，xm步骤2：规范矩阵加

20、权化：丫=%=叼步骤3：确定和谐集与不和谐集：对于方案集中的每一对方案4和乙,属性集J =1,2,3用被划分成两个不相交的子集0和。以,前者由A*不劣于4的属性组成, 称为和谐集：后者由人劣于%的属性组成，称为不和谐集。即的=/瓦之传 Du = jxkj3 =步骤4：构造和谐性矩阵：C = qjk。/式中Z叼=被称为和谐指数，它体现了方案关于方案的相对重耍性。显然1 , 叼Q的值越高，表明方案&优于方案4的程度越大。如果权值已经归一化，即之叼=1,则一般末说，C不是对称的。/-1%Qd=）对%一N “唱x%一%|步骤5构造不和谐矩阵：。=4/,女工/其中被称为不和谐指数，它反映了方案劣于方案的

21、程度。显然o6/wP同样地，每一个矩阵元素回都代表了一个方案对另一个方案的支配情形步骤8：确定综合性支配矩阵E；该矩阵是和谐性支配矩阵F与不和谐性支配矩阵G的 交。其矩阵元素被定义为。%=上产8kl步骤9剔除不利方案：综合性支配矩阵E给出了方案之间的偏序关系。如果为 =1,则无论从和谐性的角度还是不和谐性的角度来看，方案4均优先于A,但也有可能人被其他方案所支配，故在ELECTRE方法中，不被支配的条件是至少存在一个方案A,使得的=1，同时对所有其他的方案4均有. =。，这里kwlwi例：以飞机选购为例:例：某中东国家拟从美国购买一种机型的喷气式战斗机若于架，美五角大楼的官员 提供了准予出售的4种机型的有关信息。该中东国家派出专家组对4种飞机进行了详细考察, 考察结果见表，问应选购哪一种飞机以使决策的总效用值最大属性 而、最大速度 /340m.巡航半径 /1.6Km最大载荷 /0.45Kg价格/5xl06可靠性可维修性12.01500200005.5一般很高22.52700180006.5低一般31.82000210004.5高高42.21800200005.0一般一般权值0.20.10.10.10.20.3解：按照SAW方法进行前两步最大速度巡航半径最大载荷价格可靠性可维修性Max0.