多元函数微分学复习题及答案

1、第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答、选择题1.极限limx 0y 0(提示：令y(B)不存在 (C) 年(D)存在且不等于则极限 lim f (x, y)=x 0y o1-12、设函数 f(x,y) xsin； ysin； xy0xy(提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小)(A)不存在(B) 等于(C)3、设函数f (x, y)xy x2 0y2(提示：在xy20，则 f(x,y)y2 0f(x,y)处处连续；在kx2FoW2kxlim -= 0 f (0,0)x 0 .1 k2,故在x2y2 0,函数亦连续.所以,f (x, y)在整个定义域内处处连续.)(A) 处处连续(C)仅在

2、(0,0)点连续(B)(D)处处有极限，但不连续 除(0,0)点外处处连续4、函数z f (x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的(A )(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件5、设 u arctany ,贝U u =(D)既非充分又非必要条件(A) x y(B)(C)6、设 f(x,y)arcsin J,则 fx(2,1), x(B)(C)1 (D)- 2一、rrx7、设 z arctan , x u yv ,则 ZuZv(A) -2 u v8、若 f (x,2x)x2(B)-2 u v'3x, fx(x,2x)(O -2(D)u v6x

3、 1 ,则 fy(x,2x)=(A) x(C) 2x1(D)2x9、设z一)(2,1) y(A) 2(B) 1+ln2(C) 0(D) 110、设 zxye xy,则 zx(x, x)2、 x2_(A) 2x(1 x )e (B) 2x(1 x2)ex2(C)x(12 x2 一x2)ex (D)x(12 x2 x )e11、曲线 x 2sint,y4cost,z t在点(2,0,5)处的法平面方程是(A) 2x z12、曲线4x5y ,y(B) 2x z - 4 (C) 4y2<z,在点(8,2,4)处的切线方程是2 (D)4y(A )(A)(C)x 820x 85z 44z 44(B)

4、(D)x 1220x 35z 44z413、曲面 xcosz y cosx z 2一在点一,1一，02处的切平面方程为(D )(A) x z(B) xy 1(C) x2(D)14、曲面 x2 yzxy2z36在点(3,2,1)处的法线方程为(A )(C) 8x 3y 18zz 1918118(D) 8x 3y 18z1215、设函数z 1 Jx2 y2 ,则点(0,0)是函数z的(A)极大值点但非最大值点(B)极大值点且是最大值点(C)极小值点但非最小值点(D)极小值点且是最小值点16、设函数z f (x, y)具有二阶连续偏导数，在P0(x0,y0)处，有fx(P。)0, fy(PO)0,

5、fxx(P0)fyy(P0) 。，fxy(B) fyx(B) 2,则(C )(A)点P0是函数z的极大值点(B)点P0是函数z的极小值点(C)点P0非函数z的极值点(D)条件不够，无法判定17、函数f(x,y,z) z 2在4x2 2y2 z2 1条件下的极大值是(C )(A) 1(B)0(C)1(D)2二、填空题1、极限 iimsn9=.答：x 0 xy2X 、2、极限 lim 吗=e=2=.答：ln2x 022y 1 x y3、函数z 3n(x y)的定义域为.答：x y 14、函数z arcs吧的定义域为.答：1 x 1, y 0y5、设函数 f (x, y) x2y2 xyln -,贝

6、U f (kx, ky)=x6、设函数f (x,y)(Q f(xy,x y)(x y)(x y)(x y) (x y)2x.答：k2 f(x,y)2x22、ln(1 x y )7、设 f (x,y)'3 7AA=.答：ln22 x2 x2 y2 y1/22 ,要使f (x,y)处处连续，则1/28、设 f (x,y),22、tan(x y )22x y A(x,y) (0,0),要使 f(x,y)在(0, 0)处连续,(x,y) (0,0)则A=.答：1229、函数z -一匕的间断点是x 1答：直线x 1 0上的所有点10、函数f(x,y) 21 2 cosy的间断点为x y x.答：

7、直线yx及x 0-xy-，贝 1 f (x y,x y)= x y.答：3cos511、设 z sin(3x y) y ,贝(J -z x12、设 f(x,y) 62 y答：x 3y 11e2 022、曲面xey y2e2z z3e3x 2 1在点(2, 1,0)处的法线方程为 e答：x 2 U Z 2e 2e ,则 fy(0,1)=.答：1z、一x 一,一 33113、设 u(x,y,z) ,贝 UdUm、=.答：dx dy ln2dzy(1,2,3)816814、设u / 2，则在极坐标系下, =答：02xy2e x23、曲面 arctan-y1 xz在点(2,1,0)处的切平面方程是 4

8、15、设 u xy -,贝Uu2=.答：笃23x xx2u 116、设 u xlnxy,贝U=.答：一x yy17、函数y y(x)由1 x2y ey所确定，则dy = dx18、设函数z z(x,y)由方程xy2z x y z所确定，则一z 二 y2xyz 121 xy19、由方程xyz 收7z7 <2所确定白函数z z(x,y)在点(1, 0, 1)处的全微分dz=.答：d x 72d y20、曲线x t2,y 2t,z 1t3在点(1,21)处的切线方程是33答：x_J LJ z 122321、曲线x 2te2t,y 3e2t,z t2e2t在对应于t 1点处的法平面方程是y 2z

9、 11 c24、设函数z z(x,y)由方程/x 3xy y 5x 5y e 2z 4确止，则函数z的驻点是.答：(一1, 2)27、函数 z 2x2 3y2 4x 6y 1 的驻点是 洛：(1,1)25、若函数f(x, y) x22xy3y2 ax by 6在点(1, 1)处取得极值，则常数a , b .答：a 0,b 426、函数f(x,y,z)2x2在x2y2 2z2 2条件下的极大值是 答：4三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z ,1 x2 y2(2)z ln(x y)1(3) z 1(4)z ln(xy 1)ln(x y)解：(1)要使函数z，1 x2

10、y2有意义，必须有1 x2 y2 0,即有x2 y2 1.故所求函数的定义域为D ( x, y)| x2 y2 1,图形为图3.1(2)要使函数z ln(x y)有意义，必须有x y 0 .故所有函数的定义域为D (x,y)|x y 0 ,图形为图 3.21(3)要使函数z 有息义，必须有ln(x y) 0 ,即x y 0且ln(x y)x y 1.故该函数的定义域为D (x,y)|x y 0, x y 1 ,图形为图3.3(4)要使函数z ln(xy 1)有意义，必须有xy 1 0 .故该函数的定义域为图3.1D (x, y)|xy 1,图形为图 3.4图3.2ysin 2x2、求极限lim

11、x 0y 0.xy解：xim0y 0ysin 2xlimx 0y 0ysin2x ( xy 1 1) _ 4xy13、求极限lim - x 0y 01、-sin(xy).解：原式nxim。y 02x y3 2' 2x y (1. x y1)sin(xy)y 0sin(xy)xy4、求极限lim x (y (x xye i04眄xy解：limx 04 y 0x xye,16xy.xye呵y 0,x(4. 16 xy)_ 8xy5、设uxsin yycosx ,求ux , uy .解：uxsin yysin xuyxcosy cosx6、设z_ yxeyYe x ,求 zx,zy.解：zx

12、eyye xzyxey e7、设函数zz(x, y)由 yz zx xy3所确定，试求(其中解一：原式两边对x求导得解二:y 0).FxFyfX8、求函数z2x23xy2y24x3y 1的极值.解：由zxZy4x3x3y4y得驻点（1,0）zxxzyxzxyzyyzxx0 ,函数z在点（1,0)处取极小值z( 1,0)1.9、设z3x e2y，而 x cost, y t2,求 dz .dt3e3x2y( sint) 2e3x2y(2t)(3sint 4t)e3x 2y10、设 zyx ln(xy)，求-z,-z x y解:zxXy ln y ln xyzyx 11 xxyx 1 ln(xy)

13、yx y11、yz . aln x(a0),求du .解:yz ln a ax1,X yza zln a ,u x yz-ya ln a zx(ayzln a ax1)d xX yza ln a(zd yydz)12、求函数z ln( x2 y2exy）的全微分.解:xy2x yexy2y xe22 xyx y e22 xyx y e(2xyexy) d x(2y xexy)dy四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底 部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x,y,z米.水池底部的单位造价为a.则水池造价S x

14、y 4xz 4yz a且 xyz 128令 L xy 4xz 4yz xyz 128Lxy4zyz0Lx4zxz0由 yLz4x4yxy0Lxyz 128 0得 xy8 z2由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8 米、 8米、 2 米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为 x和y (件)，总成本函数22C(x, y) 8x xy 12y (元).商品的限额为x y 42，求最小成本.解：约束条件为(x, y) x y 42 0 ，构造拉格朗日函数F (x, y, ) 8x2 xy 12y2 (x y 42)，Fx 16x y 0解方程组Fyx 24y0，得唯一

15、驻点(x, y) (25,17)，F x y 42 0由实际情况知，(x,y) (25,17)就是使总成本最小的点，最小成本为C(25,17) 8043(元).3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2) 元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：L(x,y)表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数L(x, y) (10x 9y) 400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)228x 6y 0.01(3x2 xy 3y2) 400,(x 0,y 0)，Lx 8 0.01(6x y) 0令，解得唯一驻点(120, 80).Ly 6 0.01(x 6y) 0又因 A Lxx 0.06 0,B Lxy 0.01,C Lyy 0.06,得_ 23AC B 3.5 100.得极大值L(120,80) 320.根据实际情况，此极大值就是最大值.故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大 320元.五、证明题(1 1)1、设 z e x -y求证 x2 y2 2zx y证明:(1 1)因为二e二？ 2xx2Z(- 1)1z e x y 2yy2所以(11(1)x2 y2 e x -y e x 2z