证明线段成比例问题的常用方法

1、证明线段成比例问题的常用方法（1）方法一、三点定形法利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式.寻找相似三角形，这是证明线段成比例问 题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似.每一个三角形都是由三个不同的点所组成的，并且用三个不同的字母表示。反过来想，由三个不同的 字母必定可以确定一个三角形，如果四条成比例线段出自于一对相似三角形，我们必能从其比例式中看出 是哪两个三角形相似。【例1】如图，CD、BE是4ABC的两条高，求证: AD AB = AE AC/ AED = / ABC FD FC 二 FB FE分析：欲证AD AB = AE A

2、C即证 =AE ABADACADC A 八=AdC ADC A AEBAE - AB = AEBII .竖找法:AD _ ACAE = AB二ADE ACB=ADE = ADE请用“三点定形法”尝试下面问题的可行性，看有何发现？1、已知：如图， ABC中，EF/BC, AD交EF于G求证:EG FGBD - CD试验：（射影定理）如图 RtAABC中，CD是斜边AB上的高,求证： AC2=AD，AB BC2 =BD BA CD 2 =DA DBMN2、RtABC中，NC=90° ,四边形 DENM为正方形,求证：MN 2 =AM NB证明线段成比例问题的常用方法（2）方法二、等量代换

3、法当需要证明的比例式不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括:1 .等比代换；2 .等线段代换；3 .等积代换.【例1已知：如图，AC是DABCD的对角线，G是AD延长线上白一点，BG交AC于F,交CD于E.BF FE求 lE := oFG BF归纳：这是利用中间比进行代换的典型例题， 这种代换往往出现于平行截比定理以及相似三角形的综合应用.【例2】RtABC中，/ C=90° ,四边形 DENM为正方形, 求证：MN 2 =AM NB归纳：这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含

4、条件.AE± BD【例 3】RtABC 中，/ BAC=90° ,D 为 AC 上一点,若/DEC =/DCB ,求证：D为AC的中点;CD图2若 AF，BC 于 F,连 EF,求证： BEF BCD归纳：此例为等积代换的典型例题，这种代换方法往往需要含有射影定理和另外一对相似三角形同时出现.CM/AB交BE于M, BM 交 AC 于 F.【练习】 ABC中，ADXBC, AB =AC, E为DA上任意一点,求证：BE2 = EF EM证明线段成比例问题的常用方法(3)方法三、辅助平行线法利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线截比定理和平

5、行 相似定理来实现.【例1】如图，在4ABC中，D是AC上一点，延长CB到 巳 使BE=AD, ED交AB于F.求证:DFEFBCAC【例2】已知在 ABC中，点D为边BC上一点，点 E为边AC上的中点，AD与BE交于P.(1)如图1,当BD =CD时,PEPB(2)如图 2,当 CD = 2BD 时，求证：PE=PB.AP【例3】如图，已知等腰 RtAABC , /ACB=90°, AC = BC , D为BC边上一动点，BC = nDC , CE± AD于点E,延长BE交AC于点F.(1)n= 3,(2)n= 2,则三二DE求证：AF = 2FC;AEDE(3)n=（直接填出结果，不要求证明） ABC中，D是BC中点，E是AC上一点,(1)如图1,E是AC中点