勾股定理论文

1、勾股定理论文一勾股定理的简介勾股定律是初等几何的着名定理之一。直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上正方形的面积，即如果直角三角形两直角边长度为a 和 b，斜边长度为c,那么a八2+b八2=2。此定理很早已被发现。 古埃及人在4500 年前建造金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，就广泛地使用勾股定理。古巴比伦（公元前1800 到 1600 年）的数学家也提出许多勾股数组。数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯，所以很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理。中国古代称直角三角形的直角边为勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理.二勾股定理在求角问题中的应用在初中数学当中，有些求角问题使用

2、常规方法难以解决，而使用勾股定理则能够很快地解决。因此，将在求角问题中充分应用勾股定理便有着实质性的作用。例题2:在等边 AB印，有一点P,已知PA PB PC分别等 于3、4、5,试问/ APB等于多少度？解：把 APC绕着点A旋转，旋转至 ABQ 让 AB和 AC能够重合；此时，AP= AQ= 3, BQ= PC= 5, , / PAQ= /BAC= 60° ;所以， PAQ等边三角形；所以，PQ= 3;在三角形PBQ 当中，PB BQ分别等于4、5,所以，三角形PBQ是直角三角形，其中/ BPQ = 90° ;所以，/ APB= / BP0 /APQ= 900 +60

3、° =150°。三勾股定理在实际问题中的应用对于勾股定理，还能够解决实际问题，并且这些实际问题都是在日常生活中可以看到的。例题 4: 一棵小树高为4米，现有小鸟A停留在树梢上，此时小鸟B 停留在高20 米的一棵大树树梢上发出友好的叫声，已知大树与小树的距离为12米，如果小鸟A以4m/s的速度飞往大树树梢，试问：小鸟A至少需要多长时间才能够与小鸟B在一起？解：如图4,根据题干的已知条件可知，AO 16m, BO 12m 由勾股定理得：AB2= AC2+ BC2= 162+ 122,求得AB= 20m；所以，小鸟A所需时间为20/4 = 5秒。笔者认为，利用勾股定理解决实际问题

4、，需要弄清题意，进而对题目中所涉及的直角三角形找出来，然后结合勾股定理进行求解。在例题4 中，最主要的步骤便是依照题意，结合勾股定理，然后画出大树与小树之间的直角三角形，在充分利用已知条件的基础上，便能够使问题有效解决。四勾股定理的别名勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000

5、多年，据记载，商高（ 约公元前 1120 年 ） 答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”因此，勾股定理在我国又称“商高定理”在公元前 7 至 6 世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。在陈子后一二百年，希腊的着名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”前任美国第二十届总

6、统伽菲尔德证明了勾股定理（1876 年 4 月 1 日）。五勾股定理的证明【证法1】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、 b（ b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A C三点在一条直线上.过点Q作QP/ BC交AC于点P.过点B作BML PQ垂足为M再过点F作FNL PQ垂足为N.= /BCA = 90° , QP/ BC . /MPC = 90° ,; BM±PQ . / BMP = 90° , . BCPM>一个矩形，即/ MBC = 90°

7、.: /QBM + /MBA = /QBA = " , /ABC + /MBA = /MBC = 90° ,. /QBM = /ABC又: /BMP = 90° , / BCA = 90° , BQ = BA = c,. Rt A BMQ应Rt A BCA.同理可证Rt AQNF应Rt A AEF.【证法2】（赵浩杰证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、 b（ b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形分别以CF, AE为边长做正方形FCJI和AEIG,EF=DF-DE=b-a EI=b

8、,FI=a , .G,I,J在同一直线上， . CJ=CF=a CB=CD=c / CJB = /CFD = 90 , .RtACJB 应 Rt A CFD,同理，Rt A ABG 应 Rt A ADE Rt A CJB 应 Rt A CFD 应 Rt A ABG 应 Rt A ADE . / ABG = / BCJ, /BCJ +/CBJ= 90° , / ABG +/ CBJ= 90° , / ABC= 90° , .G,B,I,J 在同一直线上，【证法3】（欧几米得证明）做三个边长分别为a、 b、 c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、 C、B三点在

9、一条直线上，连结BE CD.过C作CU DE,交AB于点M交 DE于点 L. = AF = AC , AB = AD, / FAB = / GAD . A FAB 应 A GAD: A FAB的面积等于，A GAD勺面积等于矩形ADLM勺面积的一半，;正方形ADEB勺面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB勺面积，即 a²+b²=c²【证法4】欧几里得的证法几何原本中的证明在欧几里得的几何原本一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设 ABC为一直角三角形，其中 A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分

10、为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下： 设 ABC为一直角三角形，其直角为 CAB 其边为BC AR和CA依序绘 成四方形CBDE BAG侨口 ACIHo 画出过点A之BD CE的平行线。此线将 分别与BC和DE

11、直角相交于K、L。分别连接CE AD,形成两个三角形BCF BDA /CABffi /BAGB是直角，因此 C、A和G都是线性对应的，同理 可证B、A和H。/ CBDft / FBA皆为直角，所以/ ABD等于/ FBG 因为AB 和BD分别等于FB和BC,所以 ABD必须相等于 FBG 因为A与K 和L是线性对应的，所以四方形BDLK必须二倍面积于 ABD 因为C、A 和G有共同线性，所以正方形 BAG或、须二倍面积于 FBG 因此四边形 BDLK必须有相同的面积 BAGF = AB八2。 同理可证，四边形 CKLE必须有 相同的面积 ACIH = AC八2。把这两个结果相加， AB八2+ AC八2; = BDX BK + KLX KC 由于 BD=KL BDX BK + KLX KC = BD（BK + KC） = BDX BC 由于 CBDE 是个正方形，因此 AB八2 + AC八2= BC八2 此证明是于欧几里得几何原