菱形的定义、性质

1、19.3.2 菱形的定义、性质菱形的定义、性质菱形菱形情景创设情景创设 前面我们学习了平行四边形前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角有一个角是直角时时,成为什么图形成为什么图形?(矩形矩形,由角变化得到由角变化得到) 如果从如果从边的边的角度角度,将平行四边形特殊化将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢又会得到什么特殊的四边形呢?有一组有一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形叫菱形叫菱形 平行四边形平行四边形 邻边相等邻边相等菱形菱形 在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的

2、长度改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？中，哪些关系没变？哪些关系变了哪些关系变了？ 如果改变了边的如果改变了边的长度长度，使，使两邻边相等两邻边相等，那么，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？这个平行四边形成为怎样的四边形？AB=BCABCD四边形四边形ABCD是菱形是菱形让我们一同走进生活中的菱形20002000多年前多年前 一把埋藏在地下的古剑，出土时一把埋藏在地下的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑色破，剑身上

3、整齐排列着黑色菱形菱形暗暗花纹花纹越王勾践剑越王勾践剑菱形就在我们身边菱形就在我们身边有同学是这样做的：将一张长方形的纸对有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可开即可.你知道其中的道理吗？你知道其中的道理吗？ 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？确地剪出一个菱形的纸片？ 由于平行四边形的由于平行四边形的对边相等对边相等，而菱形的定义：而菱形的定义：邻边相等邻边相等， 故：故：菱形的性质菱形的性质2：菱形的菱形的两条对角线互相垂两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平

4、直，并且每一条对角线平分一组对角。分一组对角。菱形是特殊的平行四边形，具有平行四菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质边形的所有性质.菱形的性质：菱形的性质：BDAC菱形的性质菱形的性质1：菱形的菱形的四条边都相等四条边都相等。又：又：已知已知：菱形：菱形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD相交于点相交于点O O，如下图，如下图，证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形ABCDO在在ABDABD中，中，又又BO=DOBO=DOAB=ADAB=AD（菱形的四条边都相等）（菱形的四条边都相等）ACBDACBD，ACAC平分平分BADBAD同理：同理： ACAC

5、平分平分BCDBCD； BDBD平分平分ABCABC和和ADCADC求证求证：ACBD ACBD ； AC平分平分BAD和和BCD ；BD平分平分ABC和和ADC 命题：命题：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角；并且每一条对角线平分一组对角；菱形的菱形的 两条对角线互相平分两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等菱形的两组对边平行且相等边边对角线对角线角角数学语言数学语言菱形的四条边相等菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分，菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对

6、角线平分一组对角。并且每一条对角线平分一组对角。四边形四边形ABCD是菱形是菱形 = AD BC AB CD= AB=BC=CD=DAADCBO DAC=BAC DCA=BCA ADB=CDB ABD=CBD ACBD OA=OC;OB=OD DAB=DCB ADC=ABC DAB+ABC= 180 【菱形的面积公式【菱形的面积公式】菱形是菱形是特殊的平行四边形特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗面积公式计算菱形的面积吗?菱形ABCDOES菱形=BCAE思考思考:计算菱形的面积除了上式方法外计算菱形的面积除了上式方法外,利利用对角线能用对角线能

7、 计算菱形的面积公式吗计算菱形的面积公式吗? 21ABCD=SABD+SBCD= ACBD S菱形菱形面积：面积：S菱形菱形=底底高高=对角线乘积的一半对角线乘积的一半为什么为什么?ABCD例例1 1 如图，菱形花坛如图，菱形花坛ABCDABCD的边长为的边长为20m20m， ABCABC6060度，沿着菱形的对角线修建了度，沿着菱形的对角线修建了两条小路两条小路ACAC和和BDBD，求两条小路的长和花，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到坛的面积（分别精确到0.01m0.01m和和0.01m 0.01m ）OO例例1变形变形DOACB菱形菱形ABCDABCD的周长为的周长为1616，相邻两

8、角的度数，相邻两角的度数比为比为1 1：2 2求菱形求菱形ABCDABCD的对角线的长；的对角线的长；求菱形求菱形ABCDABCD的面积的面积补充例题补充例题：已知如图，菱形：已知如图，菱形ABCD中，中，E是是AB的中点，且的中点，且DEAB，AB=1。求求（1）ABC的度数；的度数； （2）对角线）对角线AC、BD的长；的长； （3）菱形）菱形ABCD的面积。的面积。ABCDEOABCDO如图，在菱形如图，在菱形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O（2 2）有哪些特殊的三角形？）有哪些特殊的三角形？（1 1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相）图中有

9、哪些线段是相等的？哪些角是相等的？等的？相等的线段：相等的线段：相等的角：相等的角：等腰三角形：等腰三角形：直角三角形：直角三角形：全等三角形：全等三角形：已知四边形已知四边形ABCD是菱形是菱形AB=CD=AD=BC OA=OC OB=ODDAB=BCD ABC =CDA AOB=DOC=AOD=BOC =90 1=2=3=4 5=6=7=8ABC DBC ACD ABDRtAOB RtBOC RtCOD RtDOARtAOB RtBOC RtCOD RtDOAABD BCD ABC ACDABCDO123456781.1.已知菱形的周长是已知菱形的周长是12cm12cm，那，那么它的边长是

10、么它的边长是_._.2.2.菱形菱形ABCDABCD中中ABCABC6060度，度，则则BACBAC_._.ODCBA3cm3cm6060度度3 3、菱形的两条对角线长分别为、菱形的两条对角线长分别为6cm6cm和和8cm8cm，则菱形的边长是（则菱形的边长是（ ）CA.10cm B.7cm C. 5cm D.4cmABCDO344.在菱形在菱形ABCD中，中，AEBC，AFCD，E、F分别为分别为BC，CD的中点，那么的中点，那么EAF的度数是（的度数是（ ）FECABDA.75B.60C.45D.30B5、四边形、四边形ABCD是菱形，是菱形，O是两条对角线的是两条对角线的 交点，已知交点

11、，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角，求对角 线线BD的长。的长。ABCDO94522222OAABOB解：解：四边形四边形ABCD是菱形是菱形ACBDOB=3 BD=2OB=6 cm543有关菱形问题可转化为直角三角有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决形或等腰三角形的问题来解决6 已知：如图，已知：如图，AD平分平分BAC，DEAC交交AB于于E，DFAB交交AC于于F 求证：求证：EFAD； 321ABCDEF8、如图，、如图，E为菱形为菱形ABCD边边BC上一点，上一点，且且AB=AE，AE交交BD于于O，且，且DAE=2BAE，求证：求证：EB=OA；ABCDOE

12、7、已知，菱形对角线长分别为、已知，菱形对角线长分别为12cm和和16cm，求菱形的高。，求菱形的高。1.你的收获是什么？你的困惑是什么？你的收获是什么？你的困惑是什么？2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？吗？课堂反思课堂反思四边形集合四边形集合平行四边形集合平行四边形集合菱形集合菱形集合矩形集合矩形集合四、课堂小结：矩形和菱形的性质四、课堂小结：矩形和菱形的性质 矩形 菱形定义有一个角是直角的平有一个角是直角的平行四边形行四边形有一组邻边相等的平行有一组邻边相等的平行四边形四边形性质1、具有平行四边形的具有平行四边形的一切性质一切性质2、四个角

13、都是直角、四个角都是直角3、矩形的对角线相等、矩形的对角线相等1、具有平行四边形的具有平行四边形的一切性质一切性质2、菱形的四条边都相、菱形的四条边都相等等3、菱形的对角线互相、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角垂直，并且每一条对角线平分一组对角线平分一组对角 如图，边长为如图，边长为a的菱形的菱形ABCD中，中，DAB=60度，度，E是异于是异于A、D两点的动点，两点的动点，F是是CD上的动上的动点，满足点，满足AE+CF=a。证明：不论证明：不论E、F怎样移动，三角形怎样移动，三角形BEF总是正总是正三角形。三角形。ABCDEF例例1、已知：、已知：AD是是ABC的角平分线，的角平分线，

14、DEAC交交AB于于E，DFAB交交AC于于F，求证：四边形，求证：四边形AEDF是菱形。是菱形。ABCDEF123变式训练变式训练：把本例中的把本例中的“DE/AC交交AB于于E， DF AB交交AC于于F”改成改成“EF垂垂直平分直平分AD”，其他条件不变，其他条件不变，你能否证明四边形你能否证明四边形AEDF是是菱形？菱形？菱形性质的应用菱形性质的应用w已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCD是边长为是边长为13cm13cm的菱形的菱形, ,其中对角线其中对角线BD长长10cm.10cm.求求:(1).:(1).对角线对角线AC的长度的长度; (2).; (2).菱形的面积菱形的

15、面积解:(1)四边形ABCD是菱形,=2=2ABD的面积的面积.5102121cmBDDEAED=90=900 0,(2)菱形ABCD的面积=ABD的面积+CBD的面积.125132222cmDEADAEAC=2=2AE=2=212=24(cm).12=24(cm).AEBD 212DBCAE.12012102122cm三、课堂练习（复习巩固）三、课堂练习（复习巩固） 1、菱形的两条对角线长分别是、菱形的两条对角线长分别是6cm和和8cm，则菱形，则菱形 的周长的周长 ，面积，面积 。 2、菱形的面积为菱形的面积为24cm2,一条对角线的一条对角线的长为长为6cm，则另一条对角线长为，则另一条

16、对角线长为 ；边；边长为长为 。 3、已知菱形的两个邻角的比是、已知菱形的两个邻角的比是1：5，高，高是是 8cm，则菱形的周长为，则菱形的周长为 。 4、已知菱形的周长为、已知菱形的周长为40cm，两对角线的，两对角线的比为比为3：4，则两对角线的长分别，则两对角线的长分别是是 。 由此可进一步推导得出：由此可进一步推导得出：对角线互相垂对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。一半。EDOBA 例例1：如图，菱形：如图，菱形ABCD的边长为的边长为4cm，BAD2 ABC。对角线。对角线AC、BD相交于点相交于点O，求这个菱形的，求这个菱

17、形的对角线长对角线长和和面积面积。ODCBA变式题变式题（1）：菱形两条对角线长为）：菱形两条对角线长为6和和8，菱形，菱形的边长为的边长为 ，面积为，面积为 。 （2）：菱形）：菱形ABCD的面积为的面积为96，对角线，对角线AC长为长为16 ，此菱形的边长为，此菱形的边长为 。 （3）:菱形对角线的平方和等于一边平方菱形对角线的平方和等于一边平方的的 （ ） A. 2倍倍 B. 3倍倍 C.4倍倍 D. 5倍倍5410C 例例2：菱形：菱形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相相交于点交于点O，E、F分别是分别是AB、AD的中点，求证：的中点，求证：OEOF。FEODCBAABCDEF变式题变式题（1）：菱形）：菱形ABCD ,E、F分别分别ABCD的中点，求证：的中点，求证：CE=CF. （2）如果上题中还有）如果上题中还有CEAB,CFAD,求各内角的度数求各内角的度数 例例3：如果菱形的一个角是：如果菱形的一个角是1200，那么这，那么这个角的顶点向两条对边所引的两条垂