福州三中(理)2019下学期期初质检数学试卷

1、福州三中（理）2019下学期期初质检数学试卷班级号数姓名成绩“a+biXO”的（）B必要不充分条件D.既不充分也不必要条件（本试题分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟。）一、选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）1已知a,bR，则“b=0”是A.充分不必要条件C.充要条件2.设m、n是不同的直线,'、是不同的平面，有以下四个命题:D.若/I,/,则/若m,m/:，则二丄其中真命题的序号是A.B.若：_:,m：，则m.i若mn,n二：；，贝Um:C.3.袋中有40个小球，其中红色球16个，蓝色

2、球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（）1234213423141342C4C8C12C16C4C8C12C16C4C8C12C16C4C8C12C16A.B.-C4010C40C.10C40D.10C404.ABC中，sinAcosA二、2,AC=2,AB二2,则-ABC的面积为（）C.25.函数f（x）=ln3-2的零点一定位于区间2xB.（2,3）()A.(1,2)6.已知A.a2a:b0，则下列不等式一定成立的是一11:abB.0C.baC.3,4()D.4,57.已知Sn表示等差数列an的前n项和，且|a卜：|

3、b|D.(1)a申22鱼=丄,那么S|03黛等于()S2011B.9108.下列命题中是假命题的是（）皿，：-R,使cos（二''-）二cos-，1sin-“_x0,有ln6xln3x10”的否定是“x°0,使得ln6x°In3x°仁0”mR,使f（x）=（m-1）xm是幕函数,且在（0,：）上递减-：R，函数y=sin（2x）都不是偶函数C.m2-4m3X1C.89.定义在R上的函数f(x)满足f(x23f(x)，当0,2时，f(x)=x2-2x，2,则X_4,_2时，f（x）的最小值为（）A111A.B.C.-93910.如果一个几何体的三视图

4、如右下图所示，其中正视图中俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为32A.B.-23B.C.D.-1.ABC是边长为2的正三角形,（）第n卷（非选择题共100分）二、填空题（共5小题，每小题在题中的横线上）x_1I11.已知x,y满足y王1xy_2C.12D.64分，共20分.把答案填则y_2x的最大值等于.12按右图所示的程序框图，若输入X=8,则输出k=.14sinxdx则二项式（a.x-）展开式中常数项'Vx是.14.过点M（1,2）的直线I的倾斜角是直线y=x的倾斜角的两倍，则以直线I和x轴为切线的圆的圆心轨迹方程为去.15.平面上的向量PA,PB满足PA-PB=4,1一

5、2-一且PAPB=O,若向量PCPAPB,则|PC|的33最大值为三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤；其中第16题至第19题每题13分,第20、21题14分)16.在厶ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c向量舄=(2sinB,-、3),2Bn(cos2B.2cos1)，且m/n2(1) 求锐角B的大小；(2) 如果b=2，求ABC的面积Sabc的最大值.17.如图，直三棱柱ABC-AEG中，ACB=90°,CB=1,CA=：3,AA=J6,M为侧棱CC1上一点，AM丄BA1。(1) 求证：AM_平面A1BC；(2) 求二面角B-AM

6、-C的大小；(3) 求点C到平面ABM的距离。18. 已知某池塘中养殖着大量的红鲫鱼和金鱼.为了估计池塘中这两种鱼的数量，养殖人员从水库中捕出了红鲫鱼和金鱼各1000条，给每条鱼作上不影响其存活的记号，然后放回池塘，经过一定时间，再每次从池塘中随机地捕出1000条鱼，分类记录下其中有记号的鱼的数目，随即将它们放回池塘中这样的记录作了10次.并将记录获取的数据做成如右的茎叶图，红鲫鱼金鱼9886167993222002001233(1) 根据茎叶图分别计算有记号的红鲫鱼和金鱼数目的平均数，并估计池塘中的红鲫鱼和金鱼的数量；(2) 假设随机地从池塘逐条有放回地捕出5条鱼中的红鲫鱼的数目为'

7、，求的分布列与数学期望.佃.已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0且有f(1x)=f(1_x)，直线g(x)=4(x1)被f(x)的图像截得的弦长为4.17，数列佝？满足印=2,(an1an)g(an)f(a.)=0nN*.(1)函数f(x)；设g二a.-1，证明数列g是等比数列；求数列:an的通项公式20.若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x有：f(x)_kxb和g(x)乞kxb恒成立，则称直线l:y二kxb为f(x)和g(x)的"隔离直线”已知h(x)=x2,®(x)=2elnx(其中e为自然对数的底数).(1) 求F(x)二h(

8、x)-"X)的极值；(2) 函数h(x)和(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由.选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分21.(1)(选修4-2矩阵与矩阵变换)若矩阵A有特征值J=2,丨2=-1，它们所对应的特征4*1”4向量分别为i=和j=，求矩阵A；(2) (选修4-4坐标系与参数方程)已知直线l经过点P(1,1),倾斜角二一，设丨与圆622xy=4相交与两点A,B，求点P到代B两点的距离之积；(3) (选修4-5不等式选讲)已知0：:：:,求证：21sin:cos：sin:cossincos(sin2sin2：sin2)。

9、2福州三中（理）2019下学期期初质检数学试卷参考解答一、选择题：ADACABBDCA二、填空题：（11）-1；（12）4；（13）24;4（14）y=x-1或y-x1（x1）；（15）32B2.sin2B-、3cos2B即tan2B-、32分又；B为锐角.2B三0,二4分2兀応.2BB6分3316解：（1）m/n.2sinB（2cos1）-.3cos2B2+2b2(2)；B',b=2，由余弦定理cosB=ac得32aca2c2-ac-4=08分22又；ac_2ac代入上式得：ac冬4(当且仅当a=c=2时等号成立)10分*1.;QSabc-acsinB=ac_3(当且仅当a=c=2时

10、等号成立)：24S.ABC的最大值为317. 证明：(1)在直三棱柱ABC-ABC中，易知面B1ACCA1丄面ABC/ACB=90,BCL面ACCA1,2分/AMU面ACCA,.BCLAMAM_BA1，且BCjlBAB,AM_平面A1BC4分解：（2）设AM与AC的交点为O连结BQ由（1）可知AM_OB,且AM-OC,所以/BOC为二面角B-AM-C的平面角，6分在RtACM和RtA1AC中，/OAC：+ACO=90，/AAQ=/MACRtACIVhRtA1AC,AC2=MCAA,MC二-62在RtACM中，AM=3-211ACMCAMCO,CO=122BC在RtBCO中，tan.BOC1CO

11、.BOC=45，故所求二面角的大小为45°9分设点C到平面ABM勺距离为h，易知BO.2,1可得SABM=2AM1BO-232210分VC.ABM-VM.ABC.113hSABM-3MC'SABC,3376泉h_MCsabc_SABM32点C到平面ABM勺距离为24分解法二：(1)同解法(2)如图以C为原点，CACBCC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系，则a（.3,0,0）,a（.3,0,.6）,B（o,1,o），设m（o,o,k）TAM_BA1,AMBA=0J6即-3.6乙=0，故z=,所以M（0,0,W2设向量m=(x,y,z)为平面AMB的法向量，则

12、二AM,AB，则叮mAM=0mAB=0即Jx£=0f3xy=0令x=1,则平面AMB的一个法向量为m(1,.3,2),显然向量CB是平面AMC的一个法向量,HTcos：m,CB-tT|m|CB|易知，m与CB所夹的角等于二面角BAM-C的大小，故所求二面角的大小为45°向量CB在法向量m上的投影的长imCB|即为所求距离,|m|mB|.:32|m|一.6一2点C到平面ABM勺距离为20,则有18. (1)由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同，设池塘中两种鱼的总数是x,402000八1000x,4分40

13、所以，可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000.7分h1(2)显然，B(5,),9分2其分布列为匕012345155551P32321616323211分数学期望E=51.13分2219. 解：(1)设f(x)=a(x-1)2a0,41则直线g(x)=4(x1)与y=f(x)图象的两个交点为(1,0),(-16,aa；(彳)2+(严)2=4币(a>0)二a=1,f(x)=(x1)24分(2)fG)=(务-1)2,g(an)=4佝-1)(an1an)4(an-1)(an-1)0(anT)(4an1_3anT):印=2,an-1,4an1-3a.T=0-an1T=3(an-1),a

14、1-1=1；数列bn是首项为1,公比为-的等比数列，44b(-)nJ.a3nJ3n1/3、n1bn=().an-1=()-,an=()-113分20解：(1)7F(x)=h(x)(x)=x2-2elnx(x0),_2e_2(x一逐)&+ve)当x=、e时，F(x)=0当0：x：ie时，F(x)：0，此时函数F(x)递减；当x.、e时，F(x).0,此时函数F(x)递增；当x时，F(x)取极小值，其极小值为0解法一：由(1)可知函数h(x)和“X)的图象在x二，e处有公共点，因此若存在h(x)和:(x)的隔离直线，则该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为k，则直线方程为y-e=k(x-e

15、)，即y=kxe-k.e.由h(x)亠kxe-ke(xR)，可得x2-kx-e-ke_0当xR时恒成立:=(k一2e)2,由：_0,得k二2.e.下面证明(x)空2.、exe当x0时恒成立.令G(x)二(x)-2、exe=2elnx-2exe,xx当x=、e时，G(x)=0.当0*、e时，G(x)0，此时函数G(x)递增；当xW时，G(x)：0,此时函数G(x)递减；当时，G(x)取极大值，其极大值为0.从而G(x)二2elnx-2、一exe_0，即(x)_2.一ex-e(x0)恒成立.函数h(x)和(x)存在唯一的隔离直线y=2、ex-e.14分解法二：由(1)可知当x0时，h(x)一(X)(当且当x二.e时取等号).若存在h(x)和(x)的隔离直线，则存在实常数k和b，使得h(x)_kxb(R)和：(x)乞kxb(x0)恒成立，令x=e,则ekeb且e_k.eb.k,ee，即b=e-ke.后面解题步骤同解法21.解：(1)设A=<cd丿6fa=2c=0二