平方差公式与完全平方公式知识点总结

1、乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化， x y y x x2 y2 符号变化， x y x y x 2 y2 x 2 y2 指数变化， x2 y2 x2 y2 x4 y4 系数变化， 2a b 2a b 4a2 b2 换式变化， xy z m xy z m22xy z m22xy z m z m2 2 2 2 x y z zm zmm2 2 2 2x y z 2zmm 增项变化，xyzxyz22x y z2 xy xy z2 2 2x xy xy y z2 2 2x 2xy y z22 连用公式变化， x y x y

2、x2 y22 2 2 2x y x y44xy 逆用公式变化， x y z 2 x y zx y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z4xy 4xz完全平方公式活用：把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：2 2 21. a b 2ab a2 b22. a b 2ab a2 b23. a b 2 a b 2 2 a2 b2224. a b a b 4ab灵活运用这些公式， 往往可以处理一些特殊的计算问题， 培养a b 8，ab 2 2(a b) 84 256综合运用知识的能力。例 1已知 ab 2，ab1，

3、求a2b2 的值。例 已知 ab 8 ，ab2，求 (ab)2 的值。解：T (a b)2a22abb2(ab)2 a2 2ab b22二(a b) (a b) 4aboo二(a b) 4ab = (a b)例 3 已知 a b 4，ab 5，求 a2 b2 的值。解： a2 b2 a b 2 2ab 42 2 5 26三、学习乘法公式应注意的问题(一) 、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”例 1 计算 (-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x2”符号相反，因而“-5 ” 是公式(a+b)( a-b)二a2-b2中的a,而“ 2x2”则是公式中的b.例

4、 2 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a, “ 4b”就是公式中的b;若将题目变形为(4 b- a2)2时，则“4b”是公 式中的a,而“ a2”就是公式中的b.(解略)(二) 、注意为使用公式创造条件例 3 计算(2x+y-z+5)(2 x-y+z+5).分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、 “5”两项同号，“ y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技 巧使原式变形为符合平方差公式的形式248例 5 计算(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)分析：此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添

5、上一项( 2-1), 则可运用公式,使问题化繁为简(三) 、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b) 2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可叙述为： 多项式的平方， 等于各项的平方和， 加上每两项乘积 的 2 倍例 6 计算(2 x+y-3) 22 2 2解：原式=(2x) +y +(-3) +2 2x y+2 2x(-3)+2 y(-3)22=4x +y +9+4xy-12 x-6 y(四) 、注意公式的变换，灵活运用变形公式例 7 已知：x+2y=7, xy=6，求(x-2y)2 的值.22例 10 计算(2a+3b) -2(

6、2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b)分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算， 但逆 用完全平方公式，则运算更为简便.四、怎样熟练运用公式：熟悉常见的几种变化 有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计 算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点.常见的几种变化是：1、 位置变化 女口( 3x+5y) (5y 3x)交换3x和5y的位置后即 可用平方差公式计算了.2、 符号变化女如 ( 2m 7n) (2m 7n)变为一(2m+7n) (2m7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不变或不这样变，可以吗？)3、 数字变化 女口 98X 102,

7、992, 912等分别变为(1002) (100+2, (100-1) 2, (90+1) 2后就能够用乘法公式加以解答了.4、 系数变化 女口( 4n+= ) (2m n )变为 2 (2n+1) (2n n )2444后即可用平方差公式进行计算了.(四)、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以 使计算更简便.如计算(a2+1) 2(a2 1) 2,若分别展开后再相乘， 则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便.即原式=(a2+1) (a2 1) 2= (a4 1) 2=a8 2a4+1.对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的，还要

8、注意 逆向(从右到左)运用.如计算(1 1) (1 土) (1 4 )( 1234右)(1 扫)，若分别算出各因式的值后再行相乘， 不仅计算繁难， 910而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公 式，则可巧解本题.即原式=(1 寸)(1+2) (1 三)(1+彳)xx( 1 -1) (1+-1)22331010=丄 X 3 X 2 X 4 XX 9 X 11 =丄 X 耳二耳.2 2 3 310 10 2 10 20有时有些问题不能直接用乘法公式解决， 而要用到乘法公式的变 式，乘法公式的变式主要有：a2+b2= (a+b) 2 2ab，a2+b2= (a b) 2+2ab用

9、这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效. 2 2 2 2如已知 m+n=7, mr=- 18,求 m+n , m- mi+ n 的值.面对这样的问题就可用上述变式来解，即 m+n2二(m+n) 2-2mr=72-2x( 18) =49+36=85, m mr+ n2= (m+n) 2 3mrr72 3x( 18) =103.下列各题，难不倒你吧？！1、若 a+l=5,求(1) a2+A , (2) (a-丄)2的值.aaa2、求(2+1) (22+1) (24+1) (28+1) ( 216+1) (232+1) (264+1) +1 的末位数字.(答案：1. (1) 23; (2) 21.

10、2. 6)五、乘法公式应用的五个层次2 2 2 2乘法公式：(a + b)(a b)=a b , (a 士 b)=a 士 2ab + b ,(a 士 b)(a 2 士 ab+ b2)=a3 士 b3.第一层次一一正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用.例1计算(2x y)(2x y).第二层次一一逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用.例2计算第三层次一一活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复 使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式.例 3 化简：(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8 + 1) + 1.分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规

11、律，如果再增 添一个因式“ 2- 1 ”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解.解原式=(2 1)(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1=(22 - 1)(2 2 + 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) +仁216.第四层次一一变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式222333的一些恒等变形式，如 a + b =(a + b) 2ab, a + b =(a + b) 3ab(a + b)等，则求解十分简单、明快.例 5 已知 a + b=9, ab=14,求 2a2 + 2b2 的值.2 2 2解:V a + b=9, ab=14,.2a + 2b =2

12、(a + b) 2ab=2(92 14)=106 ,第五层次综合后用：将(a + b) 2=a2 + 2ab+ b2和(a b)2=a22ab + b 综合，可得(a + b)2+ (a b)2=2(a2 + b2); (a + b)2 (a b) 2=4ab;I 2丿I 2 等，合理地利用这些公式处理某些问题显得 新颖、简捷.例6计算：(2x + y z + 5)(2x - y + z + 5).解：原式1 (2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2-1 (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)244=(2x + 5)2-(y z) 2=4x2 + 20x + 25-y2 + 2yz z

13、2乘法公式的使用技巧： 提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免 负号多带来的麻烦。例1、运用乘法公式计算：(1) (-1+3x)(-1-3x);(2) (-2m-1) 2 改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排 列顺序，可以使公式的特征更加明显.例2、运用乘法公式计算：111a2(1)行亠二匕)(-4b - 3 )；( 2) (x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2) 逆用公式将幕的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得 anbn=(ab) n,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。例3、计

14、算：(1)(x/2+5) 2-(x/2-5) 2;(2)(a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2) 合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面， 视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。计算：(1)(x+y+1)(1-x-y);( 2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).先提公因式，再用公式例2.计算：8x 4x24简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的X的系数成倍数，y的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多 项式中各项提公因数2出来，变为2 4x丿，则可利用乘法公式。4三.先分项，再用公式例 3.计算：2x 3y 2 2x 3y 6简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着 手观察，不难发现，X的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法 公式。进而分析如何将常数进行变化。若将 2分