自动控制原理第2章数学模型

1、自动控制原理自动控制原理信息科学与技术部信息科学与技术部-郭慧娜郭慧娜自动控制原理 自动控制系统概述12 控制系统的数学模型 控制系统的时域分析34 根轨迹法 控制系统的频域分析56 控制系统的综合与校正 离散系统的理论基础78 非线性系统的理论分析课程的任务与体系结构课程的任务与体系结构控制系统的数学模型控制系统的数学模型v时域模型时域模型 微分方程微分方程v复域模型复域模型 传递函数传递函数教学内容：教学内容：2-1动态微分方程式的建立动态微分方程式的建立传递函数传递函数2-3系统动态结构图系统动态结构图2-4信号流图与梅逊公式信号流图与梅逊公式2-52-2非线性数学模型的线性化非线性数学

2、模型的线性化第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型教学重点：教学重点：数学模型的概念数学模型的概念简单物理系统的动态微分方程的列写简单物理系统的动态微分方程的列写传递函数的概念；简单物理系统传递传递函数的概念；简单物理系统传递函数的列写；基本环节传递函数的特点。函数的列写；基本环节传递函数的特点。动态结构图的建立及等效变换求系统动态结构图的建立及等效变换求系统传递函数。传递函数。信号流图的概念，梅逊公式求系统传信号流图的概念，梅逊公式求系统传递函数。递函数。第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2 2 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1 2.1 引言引言 数学模型数学模

3、型: : 描述系统输入、输出变量以及内部各变描述系统输入、输出变量以及内部各变 量之间关系的数学表达式量之间关系的数学表达式 建模方法：建模方法： 解析法，实验法解析法，实验法 解析法解析法（机理分析法）（机理分析法） 根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程 实验法实验法（系统辨识法）（系统辨识法） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性时域数学模型时域数学模型 微分方程微分方程 线性元部件、线性系统微分方程的建立线性元部件、线性

4、系统微分方程的建立 非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化2 控制系统的数学模型控制系统的数学模型一、编写微分方程一、编写微分方程 微分方程也被称作在小偏差下系统微分方程也被称作在小偏差下系统运动状态的增量方程运动状态的增量方程。 编写微分方程是描述系统动态特性编写微分方程是描述系统动态特性最基本的方法。最基本的方法。 2-1动态微分方程式的建立动态微分方程式的建立二、系统微分方程式的建立二、系统微分方程式的建立 1 1、基本步骤、基本步骤( (机理分析法机理分析法) ) 确定系统的输入确定系统的输入, ,输出量输出量。 根据系统遵循的物理、化学定律列出原始方根据系统遵循的物理、

5、化学定律列出原始方程式。程式。( (体现系统的本质特征体现系统的本质特征) )。 列出原始方程式中的中间变量关系式列出原始方程式中的中间变量关系式. . 联立所有方程式联立所有方程式, ,消去中间变量消去中间变量, ,使得到反映输使得到反映输入输出关系的微分方程。入输出关系的微分方程。2-1动态微分方程式的建立动态微分方程式的建立)()(.)()()()(.)()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn 线性定常系统微分方程的一般形式线性定常系统微分方程的一般形式2-1动态微分方程式的建立动态微分方程式的

6、建立（1 1）输入为）输入为u u1 1(t) (t) 输出为输出为u u2 2(t) (t) （2 2）根据物理定理（根据物理定理（欧姆、基尔霍夫等电路定理欧姆、基尔霍夫等电路定理） 列写原始方程式：列写原始方程式：（3 3） i为中间变量为中间变量21uiRudtduci22-1动态微分方程式的建立动态微分方程式的建立（4 4）联立上两式，消去）联立上两式，消去 得：得： （一阶定常线性微分方程）（一阶定常线性微分方程）若令时间常数若令时间常数 则标准式为则标准式为i221udtduRCuRCT 122uudtduT2-1动态微分方程式的建立动态微分方程式的建立)(1)(1)()(22tu

7、LCtuLCdttduLRdttudrccc dttduCtic)()( )()()()(tutRidttdiLtucr )()()(22tudttduRCdttudLCccc 举例：举例： R-L-C R-L-C 串连电路串连电路（二阶定常线性微分方程）（二阶定常线性微分方程）举例：机械运动系统举例：机械运动系统例：弹簧例：弹簧-质量质量-阻尼系统阻尼系统输入外力输出位移)(tF)(tykfFFtFdttydm)()(22dttdyfFf)()(tkyFk)(22tFkydtdyfdtydm)(tFKmf)(ty2-1动态微分方程式的建立动态微分方程式的建立2-1动态微分方程式的建立动态微分

8、方程式的建立)()(1ommmiixxfFxxKF 02xKFo oommixKxxfxxK21)()( :BAioooooimoimxxfKxKKKxxfKxKKxxxKxKxK 2121212211iooxKKKxKKfKKx2112121)( 举例举例 弹簧弹簧阻尼器系统阻尼器系统2-1动态微分方程式的建立动态微分方程式的建立电磁力矩：电磁力矩： 安培定律安培定律电枢反电势：电枢反电势： 楞次定律楞次定律电枢回路：电枢回路： 克希霍夫克希霍夫力矩平衡：力矩平衡： 牛顿定律牛顿定律brERiu mebcE icMmm mmmmmmmMfJ 电机时间常数电机时间常数 电机传递系数电机传递系数

9、 )/()/(memmmmemmmccfRcKccfRRJTrmmmmrmmmmuKTuKT 消去中间变量消去中间变量 i, Mm , Eb 可得：可得：举例：举例： 电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机反馈口：反馈口：放大器：放大器：电动机：电动机：减速器：减速器：绳绳 轮：轮：电电 桥：桥：rmmmmmuTKKKKKLTKKKKKLTL432143211 消去中间变量可得：消去中间变量可得：LKuKLKuKTuKuuuupmmmmmpr423221 举例举例: : 函数记录仪函数记录仪2-1动态微分方程式的建立动态微分方程式的建立1 1、线性化的概念、线性化的概念 对于非本质非线性系统

10、或环节，假设系统工对于非本质非线性系统或环节，假设系统工作过程中，其变量的变化偏离稳态工作点增量作过程中，其变量的变化偏离稳态工作点增量很小，各变量在很小，各变量在工作点工作点处具有一阶连续偏导数。处具有一阶连续偏导数。 可将非线性函数在工作点的可将非线性函数在工作点的某一邻域某一邻域展开成展开成泰勒级数，泰勒级数，忽略高次忽略高次（二次以上）项，便可得（二次以上）项，便可得到关于各变量到关于各变量近似线性关系近似线性关系，我们称这一过程，我们称这一过程为为非线性系统的线性化非线性系统的线性化。2-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化2. 数学描述数学描述 设系统的输入为x(t)，输

11、出为y(t)， 且满足y(t)=f(x)，其中f(x)为非线性函数。 设t=t0时，x=x0，y=y0为系统的稳定工作点(x0,y0)(tx)(ty)()(xfty0 x0y2-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化00220002( )( )( )()().2!x xx xxxdf xd f xf xf xxxdtdt.2)()()()(200 000！xxxfxxxfxf当当|x-xo|很小时，忽略其二阶以上各项，得：很小时，忽略其二阶以上各项，得：在该稳定工作点处将在该稳定工作点处将f(x)泰勒级数展开为：泰勒级数展开为：)()()(000 xxxfxfxf即：即：xxfyy)(

12、00 xxfy)(0是是 线性化模型线性化模型2-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化)(xfy )(cos)(0txExy )()()(0 xyxyxy xxEy 00sin取一次近似，且令取一次近似，且令 既有既有 例例5 5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。 200000)(! 21)()()(xxxyxxxyxyxy解解. . 在工作点在工作点( (x0, y0)处展开泰勒级数处展开泰勒级数)(sin000 xxxE 2-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化例：例：求晶闸管整流电路的线性化数学模型。

13、取三相桥式硅整流电路的输入量为控制角 ， 输出量为整流电压Ed 22.34cosdEE设工作点为00(,)dAE当 小范围变化时，000()ddddEEEd 可作为线性环节来处理。0200( 2.34 sin ) ()ddE EE 20( 2.34 sin )dEE 2-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化微分方程求解方法微分方程求解方法 线性定常微分方程求解线性定常微分方程求解线性定常微分方程求解线性定常微分方程求解控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把把时间函数时间函数f(t)与与复变函数复

14、变函数F(s)联系起来，把时域联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便微分方程变换为频域的代数方程以便求解。求解。拉普拉斯变换拉普拉斯变换的定义的定义F(s)( (频域象函数频域象函数) )对应对应f(t)( (时域原函数时域原函数) )1 1、 复数有关概念复数有关概念 复习拉普拉斯变换有关内容复习拉普拉斯变换有关内容拉普拉斯变换拉普拉斯变换复数可用复平面上的有向线段来表示。复数可用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长度该有向线段的长度a a称为复数称为复数A A的的模模，模总是取正值。，模总是取

15、正值。该有向线段与实轴正方向的夹角该有向线段与实轴正方向的夹角称为复数称为复数A A的的辐角辐角。O a1 +1a2 A+ja根据欧拉公式根据欧拉公式复数复数A A的实部的实部、虚部虚部、模模、辐角的关系为：辐角的关系为：sin1aa cos2aa 2221aaa12arctgaaO a1 +1a2 A+jaaaejaajaaAjsincos21代数型代数型三角函数型三角函数型指数型指数型极坐标型极坐标型可表示成代数型、三角函数型、指数型和极坐标型可表示成代数型、三角函数型、指数型和极坐标型4 4种形式。种形式。sincosjej拉普拉斯变换拉普拉斯变换121ajaaA221bjbbB设两复数

16、为：设两复数为：( (1)1)加减运算：加减运算：)()(2211bajbaBA( (2)2)乘除运算：乘除运算：)(21)(2121baebabeaeBAjjj)(21)(2121ababebeaeBAjjj拉普拉斯变换拉普拉斯变换 0)()()(dtetfsFtfLts )()(tfsF象函数象函数 原函数原函数拉普拉斯变换拉普拉斯变换复函数复函数 )(sF2 2、定义、定义 0 , )区间函数区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：的拉普拉斯变换式：) s (L)( )(L) s ( FtftfF-1，简写jss 复频率复频率象函数象函数F(s) 存在的条件：存在的条件：tetfstd )(

17、0如果存在有限常数如果存在有限常数M和和 c 使函数使函数 f(t) 满足：满足：), 0 )(tMetfcttMetetftctdd)(0)s (s0csM 则则f(t)的拉氏变换式的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一总存在，因为总可以找到一个合适的个合适的s 值使上式积分为有限值。值使上式积分为有限值。象函数象函数F(s) 用大写字母表示用大写字母表示, ,如如I(s)，U(s)原函数原函数f(t) 用小写字母表示用小写字母表示，如，如 i(t), u(t)拉普拉斯变换拉普拉斯变换（1 1）单位阶跃函数）单位阶跃函数3 3、 常见函数的拉氏变换常见函数的拉氏变换 0001)(ttt

18、f ssesdtetLSFstst1101111)(00拉普拉斯变换拉普拉斯变换（2 2）指数函数）指数函数atetf )(dtedteetfLSFtasstat00)()( as)(aseasa)t(s 110110拉普拉斯变换拉普拉斯变换1)(0)(dttt(3)(3)单位冲激单位冲激函数函数00d)(tetst)()(ttftettsFstd )()(L)(010se)0( t欧拉公式欧拉公式（4 4）正弦函数）正弦函数 0sin00t t t f(t) dteeejdtetf(t)Lsttjtjst 0021sin dteej)tj(s)t-(s-j 021 001121)tj(s)t

19、j(sejsejsj 22222211121 ssjjjsjsj拉普拉斯变换拉普拉斯变换1.1.线性性质线性性质tetfAtfAstd )()(02211tetfAtetfAststd)(d)(022011)()(2211sFAsFA)()(2211sFAsFA)( )(L , )( )(L 2211sFtfsFtf若)(L)( L)()( L 22112211tfAtfAtfAtfA则)()( L 2211tfAtfA证：证：拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质的象函数求)1 ()( : ateKtfj1j1j21ss22s例例1解解 asKsK-atKeKsFL L)(-例例2的象

20、函数求) sin()( : ttf解解)(sinL)(tsF)(j21L tjtjee 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。函数的象函数再进行相乘及加减计算。结论 )(assKa拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质2. 2. 微分性质微分性质0)d)(0)(tsetftfestst)()0(ssFf)0()(sd)(dL fsFttf则：)()( L sFtf若：00)(ddd)(dtfetettfststttfd)(dL 证证uvu

21、vvudd 利用若若足够大足够大0拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质0122ss22ss的象函数) (cos)( 1)( ttf例例解解)(sin(dd1LcosLttt)(cosd)dsin(ttt利用导数性质求下列函数的象函数利用导数性质求下列函数的象函数tttd)d(sin1)(cos拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质3.3.积分性质积分性质) s ()(L Ftf若：) s (s1d)(L 0Fft则：证证) s (d)(L 0tttf令tttfttf0d)(dd L)(L应用微分性质应用微分性质00d)()(s)(ttttfssFs) s () s (F0拉普拉斯

22、变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质的象函数和求)() t () ()( : 2ttftttfd2L0ttt例例)(Ltt2111sssd)(L0tt)(L2tt32s解解拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质4.4.延迟性质延迟性质tettfsttd)(00)(0sFest)()(L sFtf若：)()()( L 000sFettttfst则：tettttfttttfstd)()()()(L00000d)(0)(0tsef0 tt令延迟因子 0ste证：证：d)(00sstefe拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质例例1)()()(TtttfTeFss1s1) s ()()()

23、(Tttttf)()()()()(TtTTtTttttfTTeTeFss22ss1s1) s (例例2求矩形脉冲的象函数求矩形脉冲的象函数解解根据延迟性质根据延迟性质求三角波的象函数求三角波的象函数解解TTf(t)o1Ttf(t)o拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质5.5.拉普拉斯的卷积定理拉普拉斯的卷积定理)()(L )()(L 2211sFtfsFtf若：拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质)()( d )()(L)()(L 21t02121sFsFftftftf则：证证tftfetftfstdd )()()()(Lt021021tfttfestdd )()()(0210

24、 tx 令xeefxxfsxsdd )()()(0021 （6 6）初值定理）初值定理证明：由微分定理证明：由微分定理)(lim)(lim0sFstfst )0()()(0fsFsdtedttdft s 21)(ssF 例：例： )0()(lim)(lim0fsFsdtedttdfst ss 0lim)(0 dtedttdft ss左 0)0()(lim fsFss)(lim)(lim)0(0sFstffst ttf )(lim)0(sFsfs 01lim2 sss拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质（7 7）终值定理）终值定理证明：由微分定理证明：由微分定理)(lim)(lim0sF

25、stfst )0()()(0fsFsdtedttdft s )(1)(bsasssF 例例（终值确实存在时）（终值确实存在时） )0()(lim)(lim000fsFsdtedttdfst ss dtedttdft ss 00lim)(左 0)(tdf tttdf0)(lim )0()(limftft )0()(lim0fsFss 右右 abbsasssfs11lim0 22ssF ttfsin例例0lim220 sss拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质)( 1)()()(21ttyatyaty ssYasas1)()(212 L变换变换0)0()0( yy)(1)(212asass

26、sY )(1sYLty 系统微分方程系统微分方程L-1变换变换用拉氏变换方法解微分方程用拉氏变换方法解微分方程1 1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 0)()(dtetfsFts（2 2）单位阶跃）单位阶跃2 2 常见函数常见函数L变换变换)(tfs1（5 5）指数函数）指数函数ate )(1as )(sF)( 1 t（1 1）单位脉冲）单位脉冲1)(t （3 3）单位斜坡）单位斜坡21 st（4 4）单位加速度）单位加速度31 s22t（6 6）正弦函数）正弦函数t sin)(22 s（7 7）余弦函数）余弦函数t cos)(22 ss小结小结（2 2）微分定理）微分定理3 3 L变换重要定理

27、变换重要定理（5 5）复位移定理）复位移定理（1 1）线性性质）线性性质（3 3）积分定理）积分定理（4 4）实位移定理）实位移定理（6 6）初值定理）初值定理（7 7）终值定理）终值定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 0111-fssFsdttfL )()(0sFetfLs )()(AsFtfeLtA )(lim)(lim0sFstfst )(lim)(lim0sFstfst 小结小结已知已知f(t)f(t)，求，求F(s)F(s)tTetf11)()1( )2cos1(03. 0)()2(ttf )35sin()()3( ttftetft12cos)

28、()4(4 . 0 作业作业拉氏反变换求解方法拉氏反变换求解方法 jjstdsesFjtf )(21)(（1 1）反演公式）反演公式（2 2）查表法（分解部分分式法）查表法（分解部分分式法）试凑法试凑法系数比较法系数比较法留数法留数法a)s(sa)-s(saF(s) 1a)s(sF(s) 1例例1 1 已知已知，求，求?)( tf解解. . ateaf(t) 11 assa111拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换cacacacannnn01)1(1)(. 用用L变换方法解线性常微分方程变换方法解线性常微分方程0 0 初条件初条件nm:L)().(0111sCasasasannnn )(.)(0111

29、0111sRasasasabsbsbsbsCnnnnmmmm 011011)()(.)(asasabsbsbsCnnnnmmmmttr nnsCsCsC 2211tnttneCeCeCsCLtc 21211)()(: : 特征根（极点）特征根（极点）i : : 相对于相对于 的的模态模态tie i :1 Lrbrbrbrbmmmm01)1(1)(. )().(0111sRbsbsbsbmmmm 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换用留数法分解部分分式用留数法分解部分分式一般有一般有其中：其中：)(.)()()(011011mnasasabsbsbsAsBsFnnnnmmmm 设设)()(.)(2101

30、1nnnnnpspspsasasasA 0)( sAI. 当当 无重根时无重根时 niiinnpsCpsCpsCpsCF(s)12211 nitpitpntptpineCeCeCeCtf12121)().F(s)p(sCipsii limipsi(s)AB(s)C 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换342)(2 ssssF例例2 2 已知已知，求，求?)( tf解解. .3131221 sCsC)(s(ssF(s)2131213121lim11 )(s(ss)(sCs2113233123lim32 )(s(ss)(sCs321121 ssF(s)tteef(t)32121 3455)(22 ssss

31、sF例例3 3 已知已知，求，求?)( tf解解. .34)2()34(22 sssssF(s)3)(1(21 ssstteetf(t)32121)( 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换223)(2 ssssF例例4 4 已知已知，求，求?)( tf解一解一. .jjj)j)(s(ssj)(sCjs221131lim11 jij)j)(s(ssj)(sCjs221131lim12 tjtjejjejjf(t)1()1(2222 解解二：二：jsC-jsCj)-j)(s(ssF(s) 1111321 jtjttejejej )2()2(21 ttjejtsin4cos221 ttetsin2cos 2

32、2113 )(ssF(s)t etef(t)ttsin2cos 22221112111 )(s)(ss221121 )(ss拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换0)()()(1 npspssAII. 当当 有重根时有重根时nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s) 11111111( (设设 为为m m重根，其余为单根重根，其余为单根) )1p1111111s-pC)(s-pC)(s-pCLf(t)m-m-mm .F(s)p(sdsd)(m-C .F(s)p(sdsdjC .F(s)p(sdsdC.F(s)p(sCmmmpsmjjpsm-jmpsm-mpsm11)1(

33、11)(1111111lim!11lim!1lim! 11lim11nnmms-pCs-pC tpmm-mm.eCtCt)(mCt)(mC1!2!112211 tpnmiiieC 1拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s) 11111111mmpsC.F(s)p(s 11lim111212111 mm-m-mm)(s-pC)(s-pC)(s-pCCF(s)(s-pnmnmmms-p)(s-pCs-p)(s-pC1111 2111211)()1()(20mmmmpsCmpsCC.F(s)p(sdsd 111lim! 11m-mpsC

34、.F(s)p(sdsd 3112122)()2)(1(200mmmpsCmmC.F(s)p(sdsd 21221lim! 21m-mpsC.F(s)p(sdsd 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换)3()1(2)(2 sssssF例例5 5 已知已知，求，求?)( tf解解31143122 scscsc)(scF(s)(s)s(ss)(sCs3121lim2212 )(s)s(ss)(sdsdCs3121lim! 112211)(s)s(sss.Cs312lim203 31121132114311212 s.s.s.)(s.F(s)ttteetef(t)3121324321 )(s)s(sssCs3

35、12)3(lim234 2131121 )(221)3(3)2()3(lim ssssssss43 32 121 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换tRCctRCceueEEtu1100)0()( ccrccruuRCuuCiuRiu )()()0()(sUsUussURCrccc 1)0()1(1)0(1)()(0 RCsRCuRCssERCsRCuRCssUsUccrc 00110000)1()1(lim)1(limERCssRCERCsCERCssRCEsCRCssRCsuRCsEsEsUcc1)0(1)(00 sEsUtEturr00)()( 1)( 例例6 6 R-C R-C 电路计算电路

36、计算RCsuRCsCsCRCsuRCssRCEcc1)0(11)0()1(100 tRCcceuEEtu100)0()( )0()()()1(crcRCusUsURCs 线性定常微分方程求解线性定常微分方程求解(1) (1) 输入输入 u r (t)(2) (2) 初始条件初始条件(3) (3) 系统的结构参数系统的结构参数 规定规定 r(t) = 1(t) 规定规定0 初始条件初始条件 自身特性决定系统性能自身特性决定系统性能影响系统响应的因素影响系统响应的因素已知已知 F(s) ，求求 f(t) 1152) 1 (22)s(sssF(s) sssF(s)178(2)2 100120211)

37、(323 sssF(s) ss)s(sssF(s) 42(2823)(422 )(ss(ssF(s)2132)(5 作业作业RC网络得到系统的微分方程是：一、基本概念一、基本概念122uudtduT把上式在零初始条件下进行Laplace变换得：)()()(122sUsUsTsU2-3 传递函数传递函数整理得：11)()(12TssUsU这就是本系统的传递函数1.1.传递函数：线性定常系统，零初始条件下，系统线性定常系统，零初始条件下，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数系统的传递函数( (简称传函简称传函).).数学表达式为数学

38、表达式为：)()()(sXsXsWrc2-3 传递函数传递函数-基本概念基本概念这由一般式推得：)()(.)()()()(.)()(0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(txbtxbtxbtxbtxatxatxatxarrmrmmrmccncnncn零初始条件下求Laplace变换得：)().()().(01110111sXbsbsbsbsXasasasarmmmmcnnnn0101.)()()(asasabsbsbsXsXsWnnmmrc2-3 传递函数传递函数-基本概念基本概念2-3 传递函数传递函数-基本概念基本概念传递函数的性质传递函数的性质 (1) G(s)(1) G(s)是复

39、函数；是复函数； (2) G(s)(2) G(s)只与系统自身的结构参数有关；只与系统自身的结构参数有关； (3) G(s)(3) G(s)与系统微分方程直接关联；与系统微分方程直接关联； (4) G(s) = L k(t) (4) G(s) = L k(t) ； (5) G(s) (5) G(s) 与与 s s 平面上的零极点图相对应。平面上的零极点图相对应。3.传函的几种数学表达式传函的几种数学表达式：标准形式（尾1)NnjjNmiisTssTKsW11)1()1()(其中 ， 为环节时间常数（可能有复重根）iTjT 为系统增益或开环放大倍数K为系统纯零极点个数N2-3 传递函数传递函数-

40、基本概念基本概念零极点形式(首1)NnjjNmiigPssZsKsW11)()()(其中分子多项式根，系统零点分母多项式根，系统极点iZjP2-3 传递函数传递函数-基本概念基本概念sssss2344)G(23 例例7 7 已知已知将其将其化为首化为首1 1、尾、尾1 1标准型，并确定其增益。标准型，并确定其增益。解解. .sssssG23)1(4)(23 2 K)12321(124)(2 sssssG首首1 1标准型标准型尾尾1 1标准型标准型增益增益)2)(1()1(4 ssss)1)(121()1(2 ssss2-3 传递函数传递函数-基本概念基本概念例例 已知某系统在已知某系统在0 0

41、初条件下的阶跃响应为：初条件下的阶跃响应为： 试求试求：（：（1 1） 系统的传递函数；系统的传递函数； （2 2） 系统的增益；系统的增益； （3 3） 系统的特征根及相应的模态；系统的特征根及相应的模态； （4 4） 画出对应的零极点图；画出对应的零极点图； （5 5） 求系统的单位脉冲响应；求系统的单位脉冲响应； （6 6） 求系统微分方程；求系统微分方程； （7 7） 当当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求时，求系统的响应。系统的响应。 解解. .（1 1） )4)(1()2(2413111321)( s

42、sssssssC)4)(1()2(2)(1)()()()( ssssGssSCsRsCsGtteetc431321)( 传递函数的性质传递函数的性质1422 K ttee42141 41)4)(1()2(2)()(21111sCsCLsssLsGLtk324)2(2lim11 ssCstteessLtk41343241341132)( )()(4542)4)(1()2(2)(2sRsCsssssssG rrcccLsRssCss4245:)()42()()45(12 (2)(2) (4)(4) 如图所示如图所示(3)(3) (5)(5) (6)(6) 341)2(2lim42 ssCs传递函数

43、的性质传递函数的性质344)5(lim11 ssCs)(4)0()( 5)0()0()(:2sCcssCcscsCsL )4)(1(43455145)2(2)(222 sssssssssssssC4131113441)4)(1()5()(210 sssCsCssssC413134)(0 setcttttttreeeeetctctc 213134131321)()()(440（7 7）其中初条件引起的自由响应部分其中初条件引起的自由响应部分)()2(2)0()0()5()()45(2sRsccssCss 311)5(lim42 ssCs传递函数的性质传递函数的性质 （1 1）原则上不反映非零初始

44、条件时系统响应的全部信息；）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息； （2 2）适合于描述单输入）适合于描述单输入/ /单输出系统；单输出系统； （3 3）只能用于表示线性定常系统。）只能用于表示线性定常系统。rrctactaccrrccccrrccc42)()(424424245213 例例8 8 线性线性/ /非线性，定常非线性，定常/ /时变系统的时变系统的辨析辨析传递函数的局限性传递函数的局限性传递函数的性质传递函数的性质2 2. .3 3. .3 3 传递函数的性质传递函数的性质2 2. .3 3. .1 1 传递函数的定义传递函数的定义2 2. .3 3. .2 2 传递函数

45、的标准形式传递函数的标准形式2 2.3.3.4 4 传递函数的局限性传递函数的局限性控制系统模型控制系统模型微分方程（时域）微分方程（时域）传递函数（复域）传递函数（复域） (1) (1) G(s) 是复函数；是复函数； (2) (2) G(s) 只与系统自身的结构参数有关；只与系统自身的结构参数有关； (3) (3) G(s) 与系统微分方程直接关联；与系统微分方程直接关联； (4) (4) G(s) = L k(t) ； (5) (5) G(s) 与与 s 平面上的零极点图相对应。平面上的零极点图相对应。小结小结已知已知 F(s) ，求求 f(t) 1152) 1 (22)s(sssF(s

46、) sssF(s)178(2)2 100120211)(323 sssF(s) ss)s(sssF(s) 42(2823)(422 )(ss(ssF(s)2132)(5 作业作业例例1 1 系统如图，被控对象微分方程为系统如图，被控对象微分方程为accuKuuT00 求系统传递函数求系统传递函数FFs 。解解. . (1) (1) 求求G0(s) )()()1(00sUKsUsTac 1)()()(000 sTKsUsUsGac(2) (2) 由运放由运放 CsRCsRsURsUsUIacrsa1)()()(0)( )1()()()(0CsRRCsRsUsUsUcra 110 CRsRR)1(

47、)2(传递函数传递函数1)()()(000 sTKsUsUsGar)()()(sUsUsUcra 110 CRsRR)1)(1(1)()()(000 CRssTRRKsUsUsUcrc00000)1)(1()()()(RRKCRssTRRKsUsUsrc 整理得整理得 1111)(00020000000 sRRKCRTsRRKCRTRRKRRKs00001RRKRRKKk )1()2(传递函数传递函数二、典型环节传函分析二、典型环节传函分析2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析v环节：具有相同形式传递函数的元部件的分类；环节：具有相同形式传递函数的元部件的分类；v不同的元部件

48、可以有相同的传递函数；不同的元部件可以有相同的传递函数；v若输入输出变量选择不同，同一部件可以有不同若输入输出变量选择不同，同一部件可以有不同的传递函数的传递函数 ；v任一传递函数都可看作典型环节的组合。任一传递函数都可看作典型环节的组合。（一）比例环节（一）比例环节（放大环节）（放大环节）1、传函：KsW)(2、特性：输入输出成正比，无惯性，不失真，无延迟。3、单位阶跃响应：输出按比值复现输入，无过渡过程。)(txrt1)(txcKt)(sW)(sXr)(sXc2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析4、实例：分压器运放rucu无弹性形变杠杆运动2-3 传递函数传递函数典型环

49、节传函分析典型环节传函分析（二）惯性环节（二）惯性环节1 1、传函：、传函：1)(TsKsW2、特性：有惯性、无失真、无延迟3 3、单位阶跃响应、单位阶跃响应)1 (1111.1)()()(111TtrceKTssLKsTsKLsXsWLtx)(txr1tt)(txcKT%2 .63K)(sW)(sXr)(sXc2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析指数上升曲线平稳，无周期振荡又称“非周期环节”4、特征参数意义：K表示稳态时输出输入比值或单位阶跃输入的稳态响应KTsKsWtxtxssrct1lim)(lim)()(lim00或KsTsKsxsc11lim)(02-3 传递函数

50、传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析t)(txcKTK%2 .63T是环节动态参数，代表环节惯性大小，数值上等于单位阶跃输入，输出的初始速度等速上升到稳态值所需要的时间。或输出上升到稳态值的63.2%的经历时间，当T很小时可用比例环节近似。1T2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析5 5、过渡过程时间，根据定义，为输出到达稳定、过渡过程时间，根据定义，为输出到达稳定值的值的95 %95 % (98 % )(98 % )所需的时间。所需的时间。t ts s=3T(t=3T(ts s=4T)=4T)6 6、实例、实例无源无源RCRC网络网络 单溶液槽单溶液槽 盲室压力系统盲室

51、压力系统 无套管热电偶等无套管热电偶等2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析（1 1）输入为）输入为u u1 1(t) (t) 输出为输出为u u2 2(t) (t) （2 2）根据物理定理（根据物理定理（欧姆、基尔霍夫等电路定理欧姆、基尔霍夫等电路定理） 列写原始方程式：列写原始方程式：（3 3） i为中间变量为中间变量21uiRudtduci22-1动态微分方程式的建立动态微分方程式的建立（4 4）联立上两式，消去）联立上两式，消去 得：得： （一阶定常线性微分方程）（一阶定常线性微分方程）若令时间常数若令时间常数 则标准式为则标准式为i221udtduRCuRCT 12

52、2uudtduT2-1动态微分方程式的建立动态微分方程式的建立（三）积分环节（三）积分环节 1、传函sKsW)(2、单位阶跃响应tKssKLtxc1)(101Tt) (txc)(txrt1)(sW)(sXr)(sXc2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析4、实用中积分环节常用于大惯性环节初始段近似。常见于：积分运算放大器机械伺服机（阻尼器）3、等速上升曲线，积分速度为K。积分环节具有记忆功能，当输入撤销后，输出将保持不变，该特性常被用来改善系统的稳态特性。有偏差就有输出改变，直到偏差为零。2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析1.理想微分环节 传函sTsWd

53、)(（四）微分环节（四）微分环节 )(txct)(txrt)(txcdvTt)(txrvtt)(sW)(sXr)(sXc)(sW)(sXr)(sXc2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析 特性：输出与输入的变化速度成正比，故能预示输出信号的变化趋势，常被用来改变系统的动态特性。 实际中测速发电机可近似看成微分环节， 从物理角度讲该环节难以实现，因阶跃输入使输出为脉冲响应。常采用带有惯性的微分环节。2.实用微分环节传函1)(TsTsKsWd2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析阶跃响应TtddceKsTsTsKLtx11)(1阶跃响应开始时跳到一个有限值，接着

54、衰减到起始值特征函数：Kd微分增益，阶跃作用的跳跃值;T:阶跃响应时间常数，表示微分作用时间,越小越接近理想微分环节。1)(txrtt)(txcdK2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析 实例 RC微分电路 CRrucu2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析0)(dtxydfKyxyfsKfssXsY)()(机械或弹性反馈装置等。（五）振荡环节（五）振荡环节 1.传函222222)(12)(nnnssKsWTssTKsW或其中 T, 为振荡环节时间常数； K, 放大倍数; 为阻尼比； 无阻尼自然振荡角频率。Tn12-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环

55、节传函分析其特征方程为2.阶跃响应)2()(222nnncssssX0222nnss当 时，欠阻尼122, 11nnjs（一对共轭复根）)1tansin(1112)(2122221tesssLtxdtnnncn2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析21nd阻尼振荡频率即输出曲线为频率为d初相位211tan故起名为“振荡环节”12211tne21tne 越小，振荡越剧烈； 增大，逐渐平稳。2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析)(1)(1)()(22tuLCtuLCdttduLRdttudrccc dttduCtic)()( )()()()(tutRidttd

56、iLtucr )()()(22tudttduRCdttudLCccc 举例：举例： R-L-C R-L-C 串连电路串连电路（二阶定常线性微分方程）（二阶定常线性微分方程）举例：机械运动系统举例：机械运动系统例：弹簧例：弹簧-质量质量-阻尼系统阻尼系统输入外力输出位移)(tF)(tykfFFtFdttydm)()(22dttdyfFf)()(tkyFk)(22tFkydtdyfdtydm)(tFKmf)(ty2-1动态微分方程式的建立动态微分方程式的建立1. 传函sesW)(2.单位阶跃响应)( 11)(1tseLtxsc3.参数： 延迟时间 （六）延迟环节（六）延迟环节 )(txrt1t)(

57、txc1)(sW)(sXr)(sXc2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析4.特性：能充分复现输入，只是相差 ，该环节是非线性的，他对系统稳定性不利。然而过程控制中，系统多数都存在延迟环节，常用带延迟环节的一阶或二阶惯性环节作为系统的广义对象。5.5.近似近似2323111112!3!sseessss对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开成泰勒级数，并略去高次项，如下：2-3 传递函数传递函数典型环节传函分析典型环节传函分析6.实例 带钢厚度检测环节设 vl)()(ththdcthtthdc0)(取拉氏变换后)()(sheshdscchldhAB输入输出2-3 传递函数传递函

58、数典型环节传函分析典型环节传函分析K 11 Ts12122 TssT ss1典型环节典型环节 ： （1）比例环节比例环节 （2）微分环节微分环节 （3）积分环节积分环节 （4）惯性环节惯性环节 （5）振荡环节振荡环节 K 11 Ts12122 TssT ss11 s 1222 ss 典型环节典型环节 ： （1）比例环节比例环节 （2）微分环节微分环节 （3）积分环节积分环节 （4）惯性环节惯性环节 （5）振荡环节振荡环节 （6）一阶复合微分环节一阶复合微分环节 （7）二阶复合微分环节二阶复合微分环节一、概念： 系统方框图是系统中各环节的功能和信号流向的图解表示，它满足以下需求： 各个环节均以传

59、函表示，并用箭头标出信号流向。是信号传递关系而非实际结构关系。 环节的输入输出均以象函数表示 信号沿箭头方向单向流动 这样通过结构图便能方便的求出系统传函。2-4.系统动态结构图系统动态结构图2-4.系统动态结构图系统动态结构图画结构图的步骤画结构图的步骤二、建立系统动态结构图二、建立系统动态结构图 1 1、写出各个环节传函及其方框图、写出各个环节传函及其方框图 2 2、以信号传递方向把各环节方框连接起来以信号传递方向把各环节方框连接起来1U1R2R2U3U1C2C1i3i2i例：2-4.系统动态结构图系统动态结构图 1、按电路理论求：)(11)(1)(32232222sUscRsUscRsc

60、sU1)(1)()()(2221112212112sCRCRCRsCCRRsUsUsW+)(1)(112221112212122sUsCRCRCRsCCRRsCR+=)()/()/()(1121112132121sURRRsUsCsCsCsC+=2-4.系统动态结构图系统动态结构图1U1R2R2U3U1C2C1i3i2i 若要求以每个电路元件为环节画出方块图，再求传函，则须建立系统动态结构图。2、按步骤有)()()(1131sIRsUsU1U1I11R3U2-4.系统动态结构图系统动态结构图)()()(213sIsIsI1I3I2I)(1)(313sIsCsU11sC3I3U1U1R2R2U3