第3课时反比例函数的图象与性质的综合应用

1、1.2反比例函数的图象与性质第3课时反比例函数的图象与性质的综合应用教学目标：（一）教学知识点1进一步巩固作反比例函数的图象.2逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质（二）能力训练要求1通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力2通过从图象中获取信息训练学生的识图能力3通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力（三）情感与价值观要求让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊教学重点：通过观察

2、图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质教学方法：教师引导学生类推归纳概括学习法教具准备：多媒体课件教学过程：I创设问题情境，弓I入新课师上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当k>0时函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当kv0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象44限内并讨论了反比例函数y=4与y=-4的图象的异同点这是从函数的图象位于哪些象限来研究了反比例函数的我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当k>0时，y的值随x的增大而增大，当kv0时，y的值随x值的增大

3、而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与x轴，y轴的交点坐标本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质n新课讲解1.做一做246师观察反比例函数y=,y=,y=的形式，它们有什么共同点？生表达式中的k都是大于零的师大家的观察能力非同一般呐下面再用你们的慧眼观察它们的图象，总结它们的共同特征函数图象分别位于哪几个象限？(2)在每一个象限内，随着x值的增大.y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？师请大家先独立思考，再互相交流得出结论生(1)函数图象分别位于第一、三象限内从图象的变化趋势来看，当自变量x逐渐增大时，函数值y

4、逐渐减小.(3)因为图象在逐渐接近x轴,y轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x轴y轴相交师大家同意他的观点吗？生不同意的观点师能解释一下你的观点吗？2一一生从关系式y=中看，因为xmQ所以图象与y轴不可能能有交点；因为不论x取任x2何实数，2是常数，y=永远也不为0,所以图象与x轴心也不可能有交点x师对于(1)和(3)我不需要再说什么了，因为大家都回答的非常棒，不面我再补充一下(2).2观察函数y=的图象，在第一象限我任取两点A(xi,yi),B(x2,y2),分别向x轴,y轴作垂x线，找到对应的Xi,x2,yi,y2,因为在坐标轴上能比较出X1与X2,yi与y2的大小，所以就可判断

5、函数值的变化随自变址的变化是如何变化的山图可知xivX2,y2<yi,所以在第一象限内有y随X的增大而减小同理可知在其他象限内y随x的增大而如何变化大家可以分组验证上图中的其他五种情况生情况都一样师能不能总结一下生当k>0时，函数图象分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限内，y随x的增大而减小.2议一议246、师刚才我们研究了y=,y=,y=的图象的性质，下面用类推的方法来研究y=XXX-2,y=-4,y=-6的图象有哪些共同特征？XXX246生(i)y=-,y=-,y=-中的k都小于0,它们的图象都位于第二，四象限，所以XXX当A<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内

6、2在图象y=-中，在第二象限内任取两点xA(xi,yi),B(x2,y2),可知xi>X2，yi>y2，所以可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y随自变量x的增大而增大.这些反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.师通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论：k反比例函数y=的图象，当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当xk<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.3想一想(1) 在一个反比例函数图象任取两点P、Q,过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为Si；过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩

7、形面积为S2,Si与S2有什么关系？为什么？(2) 将反比例函数的图象绕原点旋转i80。后.能与原来的图象重合吗？生设P(xi,yi)，过P点分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为Si,贝VSi=|xi|yi|=|xiyi|.kkt(xi,yi)在反比例函数y=图象上，所以yi=，即xiyi=k.xxi二Si=|k|.同理可知S2=|k|,所以Si=S2师从上面的图中可以看出，P、Q两点在同一支曲线上，如果P,Q分别在不同的曲线,情况又怎样呢？生S1=|xy|=|k|,S2=|X2y2|=|k|.师因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P、Q.不管P、Q是在同一支曲线上，还是

8、在不同的曲线上过P、Q分别作x.轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为Si,S2,则有Si=S2.(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180。后，能与原来的图象重合，这个问题在上节课中我们已做过研究川课堂练习P155随堂练习IV 课时小结本节课学习了如下内容k1反比例函数y=的图象，当k0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随，x值的增大而减小；当k<O时，图象在第二、四象限内，y的值随x值的增大而增大2在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,分别过P,Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为Si,S2，则有Si=S2.3将反比例函数的图象绕原点旋转180。后,能与原来的图

9、形重合即反比例函数是中心对称图形4反比例函数的图象既不能与x轴相交也不能与y轴相交，但是当x的值越来越接近于0时，y的值将逐渐变得很大；反之，y的值将逐渐接近于0因此，图象的两个分支无限接近；轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交V 课后作业习题6.3W活动与探究反比例函数图象与三等分角历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题任取一锐角/POH，过点P作0H的平行线，过点0作直线，两线相交于点M,OM交PH于点Q,并使QM=20P，设N为0M的中点.NP=NM=OP,：/1=Z2=2/3./4=/3,/1=2/4.1/MOH=-/POH.3问题在于，如何确定线段OM两端点的位置，并且保证

10、O,Q,M在同一条直线上？事实上，用尺规作图无法解决这一问题那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢？帕普斯(Pappus,公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角/AOB置于1直角坐标系中，角的一边OA与y=的图象交于点P,以P为圆心；以2OP为半径作弧交x图象于点R.分别过点P和B作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接OM得到/MOB.(1) 为什么矩形PQRM的顶点Q在直线OM上?1(2) 你能说明/MOB=/AOB的理由吗？3(3) 当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办？、一1111、解：(1)设P、R两点的坐标分别为P(a1,),R(a2,)则Q(a1,),M(a2,a?a?设直线OM的关系式为y=kx.当x=a2时，y=-a1111/一=ka2,k=.y=x.3ia<ia?aia2亠1当x=a1时，y=-a?1 Q(a1,)在直线OM上.a?(2) 四边形PQRM是矩形.1 PC=PR=CM.2=2/3.2/PC=OP,./1=Z2,/3=/4，/1=2/4,1即/MOB=-/AOB.3(3) 当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.备课资料参考例题k如图能表示函数y=k（1-x）和y=（k丰0）在同一直角坐标系小的图象大致是（）k分析：从对函数