第九章直线、平面、简单几何体(B)综合能力测试

1、第九章直线、平面、简单几何体（B）综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。满分150分。考试时间120分钟。一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.（2019上海市普通高等学校春季招生考试）在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：在空间中，两条直线没有公共点，这两条直线可能是异面直线，即由“两条直线没有公共点”不能推知“这两条直线平行”；反过来，由“两条直线平行”可知“这两条直线没有公共点”.

2、因此，在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件，选B.2. （2019广东重点中学）已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面a、有下列命题：若m/nn?a贝m/a；若1丄a,m±3且l/m贝a/3；若m?an?am/3n/3贝a/3；若a丄3,an3=mn?3n丄m,贝n丄a其中正确的命题个数是()A.1B.2C.3D.4答案：B解析：对于若m/nn?a贝m/a或m?a,不止确；对于，若I丄a,m丄3且I/m,贝Ua/显然成立；对于，若m?a,n?a,m/3,n/3,贝Ua/B,由面面平行的判定定理知它是不正确的；对于，若a丄3,an3=m,n?3

3、,n丄m,则n丄a,由面面垂直的性质定理知它是正确的；综上所述正确命题的个数为2故选B.3. （2019东北三省十校一模）三棱锥PABC中/ABC=90°°PA=PB=PC,则下列说法正确的是（）A.平面PAC丄平面ABCB.平面PAB丄平面PBCC.PB丄平面ABCD.BC丄平面FAB答案：A解析：如图，因为/ABC=90°°PA=PB=PC,所以点P在底面的射影落在ABC的斜边的中点O处，连结OB、OP,贝UPO丄OB.又TPA=PC,所以PO丄AC,且ACnOB=O,所以PO丄平面ABC.又PO?平面PAC,平面PAC丄平面ABC,故选A.4. （

4、2019安徽皖北联考）已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4,4,7，若此三棱锥的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积是（）81A.81nB.36nC.”nD.144n答案：A解析：由于三棱锥的三个侧面两两垂直，即可把它补成长方体，其对角线长为9,外接球9的半径为9，则球的表面积为81n,故选A.5.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC,AB丄AC,M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°答案：D解析：取AC的中点N，连结AN、QN,可证：A

5、B丄AMAB/NQAM丄NQ又AM丄A&AM丄面A1B1QN,?AM丄PQ.PQ?面A1B1QN故选D.6. 正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，对角线BD1=8,BD1与侧面B®所成的角为30°则BD1和底面ABCD所成的角为（）A.30°B.60°C.45°D.90°答案：C解析：/BD1与侧面BC1所成的角为/D1BC1，则/D1BC1=30°.又BD=8,二D1C1=4,二BD=4,2.又D1B与底面ABCD所成的角为/D1BD,从而cos/D1BD=jBDD=;,/D1BD=45°7. 已知三棱锥

6、PABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=.3,BC=2.则二面角PBCA的大小为（）nnn2nA.b.3c.2d.§答案：c解析：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且得PB=PC=3,PA=BC=2,取BC的中点E，连结AE,PE,则/AEP即为所求二面角的平面角.且AE=EP=2,/AP2=AE2+PE2,/AEP=2.AB=AC=/3,8.如图，在棱长为3的正方体ABCDAiBiCiDi中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点,则点B到平面AMN的距离是（）A.9C6C.5B.3答案：D解析：设AC的中点为O,MN的中点为E,连结AE,作0G丄AE于G,易证0G即是点

7、B到平面AMN的距离.作出截面图，如图所示，由AAi=3,A0=2,aE=,AAiEOGA，计算得OG=2,故选D.9.如图，a丄B,aAB=l,Aa,BB,A、B到I的距离分别是a和bAB与aB所成的角分别是B和購AB在aB内的射影分别是A.B>0,m>nB.0>0mvnC.0v0mvnD.0v0m>n答案：D解析：由题意可得AB2=a2+n2=b2+m2,a>b,m和n.若a>b,贝U()atan（j）=,屮ntan0=b,mm>n,即有故选D.I*010.如图所示,在单位正方体ABCDA1B1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最

8、小值，则此最小值为（）A.2C.2+,2答案：D2+6B.2-D.2+-.211一个正三棱锥的四个顶点都在三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是半径为1的球面上，其中底面的()A.3,34C亚C.4解析：如图所示，把对角面AiC绕AiB旋转至AiBC'Di'，使其与AAiB在同一平面上，连接ADi'，贝UADi'=1+12X1X1Xcos135°=_2+,2为所求的最小值.的相关图形是AHC()答案：C解析：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1.底面是正三角形且球半径为1.底面边长为押3,底面积为牛3.v=1x鎚X1=亚344-12. (

9、2019辽宁省东北育才中学高三模拟)如图在正四棱锥SABCD中，E是BC的中点,P点在侧面厶SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE丄AC,则动点P的轨迹与厶SCD组成答案：D解析：取CD中点F,AC丄EF，又TSD在面ABCD内的射影为BD且AC丄BD,AC丄SD,取SC中点Q,EQ/SD,AC丄EQ,又AC丄EF,AC丄面EQF，因此点P在FQ上移动时总有AC丄EP.故选D.第n卷（非选择题共90分）、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。）13. （2019江苏，12）设a和B为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若a内的两条相交直线分别平行于B内的两

10、条直线，则a平行于3；（2）若a外一条直线I与a内的一条直线平行，则I和a平行；设a和3相交于直线I，若a内有一条直线垂直于I，贝Ua和3垂直;（4）直线I与a垂直的充分必要条件是I与a内的两条直线垂直.上面命题，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）答案：（2）解析：由面面平行的判定定理可知，（1）正确.由线面平行的判定定理可知，（2）正确.对于（3）来说，a内直线只垂直于a和3的交线I，得不到其是3的垂线，故也得不出a丄3对于来说，I只有和a内的两条相交直线垂直，才能得到I丄a也就是说当I垂直于a内的两条平行直线的话，I不一定垂直于a14. 如图所示，等边ABC的边长为4,D为BC中点，沿

11、AD把厶ADC折叠到ADC'处，使二面角B-ADC'为60°,则折叠后点A到直线BC'的距离为;二面角ABCD的正切值为.答案：152解析：如图，作DM丄BC'于点M，连结AM，则AM为点A到直线BC'的距离，AD=2.3,DM=.3,所以AM=AD2+DM2=帀二面角2逅ABC'D的平面角为/AMD，正切值为tan/AMD=电=2.15. （2019四川，15）如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱答案:解析:90°设棱长为a，补正三棱柱ABCA2B2C2（如图）.平移AB1至连结A2M,/MBA2即为AB1与BM

12、所成的角，在A?BM中，A2B=232,52)=2a,(3a)2=13a2a)2a，A2B2+BM2=A2M2,/MBA2=90°.BM=.a2+A2M=+A2B,a,长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是.16. 如图，已知球O的面上四点A、B、C、D,DA丄平面ABC,AB丄BC,DA=AB=BC=J3,则球o的体积等于9答案：2n解析：ABC的外接圆的直径为AC,AC=.6,由DA丄面ABC得DA丄AC,CD为球的直径，CD=DA2+AC2=3,球的半径R=3,439V球=；nR=n32三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演

13、算步骤或证明过程。)17. (本小题满分10分)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SA丄底面ABCD,E是SC上一点.由于AA1=FC=ACCE求证：平面EBD丄平面SAC;假设SA=4,AB=2,求点A到平面SBD的距离；解析：(1)正方形ABCD,BD丄AC,又TSA丄平面ABCD,SA丄BD，贝UBD丄平面SAC,又BD?平面BED,平面BED丄平面SAC.111(2)设ACnBD=O,由三垂线定理得BD丄SO.AO=?AC=22AB="22=2,SA=4,JI11则SO=.SA2+AO2=.16+2=32,Sabsd=尹DSO=?2.23.2=6.设A到面BSD的距离为1

14、144h,贝yVsABD=VA-BSD,即jSABDSA=SaBSDh，解得h=3，即点A到平面SBD的距离为4.18. (本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=4,点E在C1C上且C1E=3EC.(1) 证明AQ丄平面BED;(2) 求二面角A1DEB的大小.解析：依题设知AB=2,CE=1,(1)证明：连结AC交BD于点F，则BD丄AC.由三垂线定理知，BD丄AQ.在平面A1CA内，连结EF交A1C于点G,故Rt"AC"RtFCE,/AA1C=ZCFE,/CFE与/FCA1互余.于是AQ丄EF.AiC与平面BED内两条相交直线BD、

15、EF都垂直.所以AiC丄平面BED.作GH丄DE,垂足为H，连结AiH.由三垂线定理知AiH丄DE,故/AiHG是二面角AiDEB的平面角.CG=CEXCF=EF=EF=.CF2+CE2=.'3,EG=a/CE2-CG2=¥EF=3,gh=ix普=弋又AiC=-JAAi+AC=2ZHFE=arctan亡-2-'6,AiG=AiCCG=“_AiG厂芹tanZAiHG=55.hg所以二面角AiDEB的大小为arctan5.5.i9.(本小题满分i2分)如图，四棱锥SABCD的底面是直角梯形，ZABC=ZBCD=90°AB=BC=SB=SC=2CD=2,侧面SBC

16、丄底面ABCD.(1) 由SA的中点E作底面的垂线EH，试确定垂足H的位置;(2) 求二面角EBCA的大小.解析：作SO丄BC于O,则SO?平面SBC,又面SBC丄底面ABCD,面SBCA面ABCD=BC,SO丄底面ABCD又SO?平面SAO,面SAO丄底面ABCD,作EH丄AO,EH丄底面ABCD即H为垂足，由知，EH/SO,又E为SA的中点，H是AO的中点.(2)过H作HF丄BC于F，连结EF,由(1)知EH丄平面ABCD,EH丄BC,又EHAHF=H,BC丄平面EFH,BC丄EF,ZHFE为面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角.在等边三角形SBC中，/SO丄BC, O为BC中点，又B

17、C=2. SO=2212=.3,EH=?SO=于，1又HF=AB=1,在RtEHF中，tanZHFE=黒HF即二面角EBCA的大小为arctan由(1)知/PNM即为MN与平面ADD1A1所成的角.在RtPMN中，易知PM=1,PN=,tan/PNM=胞=2,/PNM=arctan2.PN故MN与平面ADD1a1所成的角为arctan2./N是A1D的中点，M是BB1的中点，-A1N=AN,A1M=AM,又MN为公共边，A1MNAMN.在厶AMN中，作AG丄MN交MN于G,连结"G，则/A1GA即为二面角AMNA1的平面角.20.（本小题满分12分）（2019唐山市高三摸底考试）如图

18、，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=1,AA1=2,N是A1D的中点，MBB1，异面直线MN与A1A所成的角为90°(1) 求证：点M是BB1的中点；(2) 求直线MN与平面ADD1A1所成角的大小；(3) 求二面角AMNA1的大小.解析：(1)取AA1的中点P,连结PM,PN./N是A1D的中点，AA1±PN，又TAA1±MN,MNnPN=N,AA1丄面PMN./PM?面PMN,AA1±PM,PM/AB,点M是BB1的中点.在厶AiGA中，AAi=2,AiG=GA=/AiG2+GA2AA2305，2/a23,/AiGA=arccos(3),2

19、AiGGA故二面角AMNAi的大小为arccos21.（2019安徽，18）（本小题满分12分）如图所示,四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=；2.AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.-cos/AiGA=（1）求二面角BAFD的大小；求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的体积.命题意图：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识.考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力.解答：（1）解：连接AC、BD交于菱形的中心O,过O作OG丄AF,G为垂足，连接BG、DG.由BD丄AC,BD丄CF得BD丄平面ACF，故BD丄AF.于是AF丄平面BGD，所以BG丄AF,DG丄AF,/BGD为二面角BAFD的平面角.由FC丄AC,FC=AC=2,得/FAC=OG=*.由OB丄OG,OB=I，n得/BGD=2/BGO=专.解：连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥EABCD与四棱锥FABCD的公共部分为四棱锥HABCD.过H作HP丄平面ABCD,P为垂足.因为EA丄平面ABCD,FC丄平面ABCD,所以平面ACEF丄平面ABCD，从而PAC,HP丄AC.HP+器=AP+AC=1,得hp=2.1又因为S菱形abcd=2ACBD=.2,1212故四棱锥HABCD的体积V=3S菱