第五章大数定律和中心极限定理_第1页
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1、第五章大数定律和中心极限定理§大数定律设Xi,X2,.Xn,.是一随机变量列，ai,a?,.a,.是一常数列，令Yn=n=1,2,.”所谓大数定律就是研究（Yn-）收敛到0的定理。按收敛意义的不同，有弱大数定律和强大数定律。我们主要介绍弱大数定律，弱大数定律也称大数定律。契比雪夫不等式设R.V.X,其E(X),D(X)2都存在，则对任意PXE(X)D(X)PXE(X)D(X)2、大数定律定理5.1:契比雪夫大数定律）E(Xi)=?i,若Xi,X2,.X,.相互独立，它们的数学期望和方差都存在，且方差一致有界，即D(Xi)=?"C常数)i=1,2,.则对任意的？?Q均有lim

2、P?Yn-E(Yn)?=1(5.1)n其中Y"=ni1Xi定理5.2（伯努利大数定律）A发生的设伯努利试验中，事件A发生的概率为p（0?p?1）m为n重伯努利试验中事件次数，则对任意的？?0均有1(5.2)厂mlimPTpnn定理5.3（辛钦大数定律）若Xi,X2,.,Xv.相互独立同分布，其数学期望存在，即E(X戶？,i=1,2,，则对任意的？?Q均有limPXi1(5.3)例:设Xi,X2,Xv.独立同分布，且Xi的k阶矩mk=E(Xik)存在(k为正整数)，则对任意的?0均有limnXik二、中心极限定理定理5.4林德贝格-莱维定理)若X1,X2,.,Xn,.相互独立同分布，其

3、数学期望和方差均存在且方差大于零，即E(Xi)=?,nD(Xi)=?2?0,i=1,2,.则Xi的标准化随机变量Yni1Xii1.n的分布函数Fn(X)对于任意的x满足XinlimFn(x)limPnx1即Xi的分布函数N(0,1).当n很大时近似公式nPiXinn)Xn,它们相互独立,例:为了把问题简化，假定在计算机上进行加法计算时，对每个数都取最接近它的整数(即取整)再相加。设n个数取整之后的误差依此为X1?X2?都在-0.5,0.5上服从均匀分布。求(1)1200个数相加时，误差总和的绝对值小于10的概率(2)多少个数相加时，误差总和的绝对值小于15的概率大于0.9。定理5.5:(德莫佛-拉普拉斯积分极限定理)设伯努利试验中，事件A发生的概率为p（0?p?1）m为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则对任意的x,均有mnp、nimPlnp(帀xt21dt应用：当n充分大abmnpPabbavnp(1p)例:有一大批种子其中良种占20%，从中任取5000粒*，试问这些种子中良种所占比例与15（即20%）之差小于0.01的概率注：*可认为是有放回抽取例.设某车间有150台机床独立工作，已知每台机床在运转时耗电量都是5千瓦）.因检修等原因，每台机床平均只有60%的时间在运转.试问，配电室至少要供给这个车间多少电.才能以99.9%的概率保证这个车间不致因供电不足而影响机床工作实用

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