线性电路动态过程的复频域分析

1、电路理论基础第十章第十章 线性电路动态过程的复频域分析线性电路动态过程的复频域分析 重点内容重点内容 （1 1）拉普拉斯变换的定义、性质及反变换）拉普拉斯变换的定义、性质及反变换（2 2）电路的运算模型）电路的运算模型( (电感、电容耦合电感电感、电容耦合电感) )（3 3）利用运算法分析计算线性电路的动态过程）利用运算法分析计算线性电路的动态过程（4 4）网络函数的频率定义、性质、零极点及与冲）网络函数的频率定义、性质、零极点及与冲 激响应的关系。激响应的关系。拉普拉斯变换的拉普拉斯变换的核心核心问题是将复频率问题是将复频率s域的函数与域的函数与时域内（时域内（ 0- ，）的函数）的函数f(

2、t)联系起来。联系起来。本章的关键在于：如何利用拉普拉斯变换解决动本章的关键在于：如何利用拉普拉斯变换解决动态电路的分析（方程建立及求解）问题。态电路的分析（方程建立及求解）问题。拉普拉斯变换拉普拉斯变换s域代数方程t 域微分方程域微分方程t 域域响应t 域电路域电路微分运算微分运算高阶响应形式和高阶响应形式和待定常数的确定待定常数的确定难KCLKVLVCRKCLKVLVCR高阶微分高阶微分方程建立方程建立难拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换s域电路域电路拉普拉斯变换拉普拉斯变换s域响应代数运算代数运算KCLKVLVCRKCLKVLVCR代数方程代数方程动态分析方法动态分析方法电路理论基础10.1

3、拉普拉斯拉普拉斯(laplace)变换变换 0)(dtetf)s(Fst复数变量复数变量s =+j1. 拉氏变换的定义：拉氏变换的定义： 0,) 间函数间函数f(t),满足：满足： 狄里克雷狄里克雷(Dirichlet)条件条件 存在适当常数存在适当常数M和和C，使它满足，使它满足则有则有ctMe| )t (f| 积分下限积分下限0-，强调包含，强调包含0时刻的冲激时刻的冲激上述两个条件得到满足，保证上述两个条件得到满足，保证足够大足够大,使使积分收敛，积分收敛， F(s) 存在存在解释：解释：电路理论基础F(s) 为为 f(t) 的的象函数象函数， f(t) 称为称为F(s) 的的原函数原函

4、数 0)(dtetf)s(FstF(s)= f(t) 记为记为拉氏变换符拉氏变换符2. 拉氏反变换的定义拉氏反变换的定义jjd)(j)( sesFtfst21F(s)= -1f(t) 记为记为拉氏反变换符拉氏反变换符3. 原函数和象函数原函数和象函数原函数原函数: f(t)、 h(t)、 u(t)、 i(t)象函数象函数：F(s)、H(s)、 I(s) 、U(s)电路理论基础例例10-1 求求: (1) f(t)= e e(t) ，(2) f(t)= (t) (3) f(t)= e-at e e(t)的象函数的象函数。解：解：(1) f(t)= (t) 的象函数的象函数s|esdtettsFs

5、tst11)()()(0-0 e ee e 由定义求象函数由定义求象函数 (2) f(t)= (t) 的象函数的象函数1)()()(00-0 |edtettsFsst (3) f(t)= e-at e e(t)的象函数的象函数asdtedteeesFtasstatat 1)()(0-0 电路理论基础一般常用的电路信号，均可以求得象函数，一般常用的电路信号，均可以求得象函数，但有些函数，例如但有些函数，例如 ，是不可积的。，是不可积的。2)(tetf 4. 拉氏拉氏变换及变换及反变换的性质反变换的性质 唯一性唯一性: F(s)与与f(t) 0,) 一一对应一一对应电路常用的象函数和原函数对照表电

6、路常用的象函数和原函数对照表电路理论基础 原函数原函数f(t) 象函数象函数F(s)原函数原函数f(t)象函数象函数F(s)(tA )( tsin22 scossins)t (Ae esA)( tcos22 ssincoss11 nstsineta 22)( as11 n)as(tcoseta 22)( asasAnt!n1atent!n 1电路常用的象函数和原函数对照表电路常用的象函数和原函数对照表电路理论基础 线性性质线性性质 A1f1(t) A2f2(t)= A1F1(s) A2F2(s)例例10-2 求求 f(t)= cos t的象函数的象函数解：解： f (t)= cos t = 2

7、2)2(1)-2(12121 ssjsjseetjtj 微分性质微分性质若若f(t)的象函数为的象函数为F(s)， 则则 (0-)(fssFdtdf f(0-)为原函数为原函数t=0-的值的值推广到推广到n阶导数有阶导数有(0-)(0-)(0-)()1(21 nnnnnnffsfssFsdtfd 电路理论基础例如例如： f (t)= cos t = s cos t - cos t | t=0- 22221 ssss2 积分性质积分性质若若f(t)的象函数为的象函数为F(s)， 则则 ssFdttft)()(0 例例10-3 求斜波函数求斜波函数f(t)=t的象函数的象函数F(s) 解解 斜波函

8、数斜波函数tdtttf0)()(e e21ssstF1)(cos t的象函数的象函数象函数象函数1/s电路理论基础 时域延迟性质时域延迟性质 )()()(sFettttfst000e e s域延迟性质域延迟性质 )()e(-asFtfat 初值定理：初值定理：若若f(t)及其一阶导数的拉氏变及其一阶导数的拉氏变换存在，且换存在，且)(lim)(tfft00)(lim)(ssFfs0则则 初值定理：初值定理：若若f(t)及其一阶导数的拉氏变及其一阶导数的拉氏变换存在，且换存在，且)(lim)(tfft)(lim)(ssFfs0则则电路理论基础例例10-4 求下面波形的象函数求下面波形的象函数tf

9、(t)A00t0tA-AAe e(t)-Ae e(t-t0)t0f(t)= A 0 t t0 解：解：根据延迟和线性性质根据延迟和线性性质 f (t)= A e e(t) - A e e(t- t0 ) = seAesAsAstst)1(00 电路理论基础t0tf(t)A0TT+ t0f1(t)f(t)= f1(t)+ f1(t-T) +f1(t-2T) +f1(t-T)+.)iTt (fii 11 f (t)=F1(s)1+e-sT+ e-2sT+ e-3sT+ . e-isT )()(sTsteseA110推广：推广：脉冲序列的象函数脉冲序列的象函数根据泰勒公式根据泰勒公式电路理论基础5.

10、 象函数的部分分式展开象函数的部分分式展开电路响应的象函数，通常可表示为两个实系数电路响应的象函数，通常可表示为两个实系数s变量变量 的多项式之比，即的多项式之比，即s 的一个有理分式的一个有理分式式中式中m和和n为正整数，且为正整数，且nm求其原函数比较困难求其原函数比较困难利用反变换公式利用反变换公式 jcjcdsstesFj)t(f)(21 一般先分解一般先分解F(s)为若干简单项之和，再根据拉氏变换为若干简单项之和，再根据拉氏变换的线性性质求出院函数。该方法为的线性性质求出院函数。该方法为分解定理分解定理或或部分分部分分式展开法式展开法。电路理论基础若若nm，F(s)为真分式为真分式象

11、函数象函数分解定理分解定理部分分式展开部分分式展开若若n=m为真分式为真分式对真分式对真分式F(s)，按照其分母多项式，按照其分母多项式D(s)因式分解。因式分解。D(s)=0的根可能是的根可能是 1 单根单根 2 重根重根电路理论基础 1 D(s)=0 有有n个单根个单根P1、 P2 、 Pn式中式中ki 为待定系数为待定系数 ，i=1,2，n将上式两边都乘以将上式两边都乘以(s-pi)，得，得 代入法求待定系数代入法求待定系数kiipsiisFpsK)()( 罗必塔法则求待定系数罗必塔法则求待定系数ki)(pD)N(p(s)DN(s)(s)N)p(slimD(s)N(s)p(slimKii

12、iipsiipsi )(sF电路理论基础中系数求得后中系数求得后 f(t)= -1-1 n1itipieKsF)(查表得原函数查表得原函数例例10-5 10-5 求原函数求原函数)3)(2)(1(53)(2 ssssssF)3()2()1()(321 sksksksF解解5111)1(12)13(5)1(3)1()()(2211.sDsNks 11123s)5)(21()3)(2)()(2 sssssssD电路理论基础311)2(12)23(5)2(3)2()()(2222 ssDsNk5 . 1) 3)(2(53121sssssk3) 3)(1(53222sssssk) 3() 2() 1(

13、)(321 sksksksF)3(52)2(3)1(51 s.ss.)()523(1.5 )()(32te.eesFtfttte e -15211)3(12)33(5)3(3)3()()(2233.sDsNks 代入法计算代入法计算ki：5 . 2)2)(1(53323sssssk电路理论基础 jsjssDsNsFjsK )()()()(1 jsjs2sDsNsFjsK )()()()(特例：特例：D(s)=0有共轭复根有共轭复根 p1= a +jw 、 p2= a-jw因因F(s) 是实系数多项式之比，故是实系数多项式之比，故 k1、 k2为共轭复数为共轭复数。 令令111jeKK 112j

14、eKK tj(jeeK)11 tjjeeK)(11 ttKKpsKpsK)j(2)j(12211ee 相应的原函数为相应的原函数为) )( (112)(tcoseKtft 电路理论基础)21()21()1()(321jskjsksksF 例例10-6 求原函数求原函数)52)(1(3)(2 sssssF解解763)2)(21(52s)(22 ssssssD0)53)(1()(2 ssssDP1= -1, , P2=-1+j2 , P3=-1- j25 . 076) 13(31)()(211ssDsNk电路理论基础7216213212212)j()j3(j)()(jssDsNk13542 822

15、 jk3=k2*13542 )21(135)42()21(135)42()1(50)(js/js/s.sF ttetcos.etf )1352(2500.5)(-电路理论基础2 D(s)=0有多重根有多重根 p1 将上式两边乘以将上式两边乘以 ，则有，则有 m1ps)( )()1sFpsm ( )1psKK12(11111 mmpsK)( mps)(1 1mniiipsK2)(sF mpsK)(1111mpsK)(11211psKm 1mn2iiipsK.=令令 ，有，有 ips电路理论基础将式两边对将式两边对 求一次导数，并令求一次导数，并令 可得可得sips 由类似的方法可推导出由类似的方

16、法可推导出原函数为原函数为 )(tF tpmmmeKt!mKt!mK11212111)2()1(+ + 12mnitipieK电路理论基础23) 1(1)(sssF 例例10-7 求求 的原函数的原函数 )(tf0 0 23) 1()(sssD)(sF2212231121213) 1() 1(1sKsKsKsKsK 以以 乘以乘以 得得 3)1( s)(sF2323311)(1)(1)()1(sssssFs 11 p三重根三重根02 p二重二重根根解解展开式可写为展开式可写为111211 ssK电路理论基础322112113122213 sssdsdsdsdK类似的，以类似的，以 乘以乘以 得

17、得 2s)(sF32232)1(1)1(1)( sssssFs1)1(10321 ssK221131212 ssssdsdK电路理论基础所以所以 )(sF 13s 2) 1(2s 3) 1(1s s321s相应的原函数为相应的原函数为 )()32123()(2ttetetetfttte e 3)1(3)1(1020322 ssssdsdK电路理论基础1.1.基尔霍夫定律的复频域形式基尔霍夫定律的复频域形式 时域时域KCL i=0 ，KVL u=0 。对二式拉氏变换，根据。对二式拉氏变换，根据其线性性质可得其线性性质可得 0 0)(sI 0 0)(sU10.2 s域电路定律与电路模型域电路定律与

18、电路模型2.2.元件的复频域形式及其电路模型元件的复频域形式及其电路模型 电阻复频域形式的模型电阻复频域形式的模型 （1 1）电阻元件的复频域形式及其模型）电阻元件的复频域形式及其模型 R RuRi电阻时域形式的模型电阻时域形式的模型 uR= =Ri R )(sURRI UR(s)=RI (s)电路理论基础( (s s) )L LI(s)(s)L LU)(0LLisL复频域串联模型复频域串联模型(2)(2)电感电感元件的复频域形式及其模型元件的复频域形式及其模型 时域时域VCR dtdiLtuLL )()()()( 0LissLIsULLL时频域模型时频域模型 L LuL LiL S S域域V

19、CR1 附加电压源附加电压源运算感抗运算感抗S S域域VCR2 sisUsLsILLL)(0)(1)( siL)0( UL(s)IL(s)sL1复频域并联模型复频域并联模型运算感纳运算感纳附加电流源附加电流源电路理论基础 tCCdiCutu0)(1)(0)( )()(sIsC1sUCCsuC)(0 cuci时频域模型时频域模型)(sUc)(sIc复频域串联模型复频域串联模型suC)(0 sC1(3)(3)电容元件的复频域形式及其模型电容元件的复频域形式及其模型 sC1运算容抗运算容抗suC) )( ( 0附加电压电源附加电压电源)()()( 0CusCUssIcCC运算容纳运算容纳 sC附加电

20、流电源附加电流电源)0( cCuUc(s)Ic(s)复频域并联模型复频域并联模型sC)0( cCu电路理论基础 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111取拉氏变换并利用其微分性质可得取拉氏变换并利用其微分性质可得 )0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU（4 4）两个耦合电感的运算模型）两个耦合电感的运算模型M*L1L2i1i2u1u2sL1,2， sM _自感、互感运算阻抗自感、互感运算阻抗L1i1(0-)、 L2i2(0-)、 Mi1(0-)、 Mi2(0-) )_附加电压源附加

21、电压源电路理论基础耦合电感的复频域形式电路模型耦合电感的复频域形式电路模型 )0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU)(sU1)(2sUsM1sL2sL)0(22iL)0(11iL)0(1Mi)0(2MiI1I2*电路理论基础3.3.电路的运算模型电路的运算模型uRuCuLusi电路的时域模型电路的时域模型UR (s)UC (s)UL(s)Us (s)I (s)电路的复频域模型电路的复频域模型uR+ uL+ uC= usuC (0-) 0，i (0-) 0)(-)()(1-)(-)()(sUsusIsC

22、LissLIsRISc00suLisUsIsCsLRcS-)(-)()()(100sCsLRsuLisUSIcS1-)(-)()()(00电路理论基础10.3 利用拉普拉斯变换分析利用拉普拉斯变换分析 线性电路的动态过程线性电路的动态过程利用拉氏变换分析线性动态电路的具体步骤：利用拉氏变换分析线性动态电路的具体步骤：(1).(1).由换路前由换路前t=0-电路求出各电容电压电路求出各电容电压uc(0-) 电感电流电感电流iL(0-) 的值。的值。(2).(2).画出相应的运算电模型图（注意附加电画出相应的运算电模型图（注意附加电 源的大小及极性）。源的大小及极性）。 (3).(3).利用线性电

23、路的分析方法由运算电路求利用线性电路的分析方法由运算电路求 出待求量的象函数出待求量的象函数。(4).(4).利用拉氏反变换求出待求量的原函数，即利用拉氏反变换求出待求量的原函数，即 可得到电路的时域动态响应可得到电路的时域动态响应。 例例10-810-8 RCRC并联电路与单位冲激函数接通。并联电路与单位冲激函数接通。求单位冲激响应。求单位冲激响应。解解 建立运算电路建立运算电路运算导纳运算导纳 Y(s)=1/R+sC电路的时域模型电路的时域模型u(t)CR (t)U(s)sCR1 1电路的频域模型电路的频域模型RCSCsCR/sYsIsU11111)()()( )(1)(teCtuRCte

24、电路理论基础RCSRCsCRsCsYsCsIsI11111/)()()(CRCSRCsCRRsYRsIsI111111/)(/)()(R)(1)(RteRCtiRCteU(s)sCR1 1电路的频域模型电路的频域模型IC(s)IR(s)(1)()(CteRCttiRCte例例10-9 图为常用的分压电路（也成为衰减器），若图为常用的分压电路（也成为衰减器），若电容电压在电容电压在t=0-的值为的值为0，且，且R1C1=R2C2，求单位阶，求单位阶跃响应。跃响应。解解 建立运算电路建立运算电路 R1C1=R2C2 e e( (t t) 1/ ) 1/ ssRRsCRsCRRsCRRs/sCRsC

25、/RsCRsC/Rs/sI)(11112111)(21112221112221111 电路的电路的s域模型域模型u1u2C1iR2R1C2usU1U2sC1IR2R1sC2Us电路理论基础sRRRRCRI11(s)212111 )(1)()(212111tRRtRRCRtie e 冲激电流冲激电流sRRRsRRCRsCRRIsCRU)()(s)/(s)21221122211111222)()(2122tRRRtue e 输出与输入波形相输出与输入波形相似，没发生畸变！似，没发生畸变！电路理论基础R1C1= R2C2R1C1 R2C2R1C1 R2C2212RRR 0tu2说明：电路中存在说明：

26、电路中存在c-e回路，在回路，在t=0瞬间电容完成充瞬间电容完成充电，电流必然为冲激函数，当满足电，电流必然为冲激函数，当满足R1C1= R2C2时，时，C2上充电恰好等于上充电恰好等于 R2/(R1 +R2)。同样，当电路中存在同样，当电路中存在L-j割集，电感电流发生突变，割集，电感电流发生突变，存在冲激电压。存在冲激电压。电路理论基础例例10-8 电路原处于稳态，电源为指数电压电路原处于稳态，电源为指数电压us1(t)=e-4t V， Us2=5V， R1=R1=5 ，C=1F，求开关闭合后的电流求开关闭合后的电流uc(t)。t=0uCus1R1R2Cus211/(s+4)R1R21/s

27、C5/suc(0-)/s502 sCu)(ussuC5)0( ， 解解 由时域模型求得由时域模型求得t0电压为电压为41)(1 ssUsssUs5)(2 对复频域模型，对复频域模型，应用节点法，设应用节点法，设0点为参考节点，则点为参考节点，则点的节点电压为点的节点电压为电路理论基础suscRsURsUsUscRRCssC)0()()()(11221121 代入已知数据，得代入已知数据，得 51) 4( 51)(52 sssUsC)25)(4(2010625)(2 ssssssUC1/(s+4)R1R21/sC5/suc(0-)/s0uc(t)节点电压方程为节点电压方程为 )40()4()(3

28、21.sksksksUC 电路理论基础52)25)(4(2010625021.|ssssks 081206052404teetuttC,V.)(.确定常数，确定常数，求反变换得电容电压为求反变换得电容电压为 )40()4()(321.sksksksUC 060)25(2010625422.|ssssks 812)4(20106254023.|ssssk.s )V(.)(.teetuttCe404812060525例例10-9 t0时电路稳定，时电路稳定，t= 0时开关闭合。求电路的时开关闭合。求电路的电路电路i(t)。已知。已知R1= R2=R3，L=1H，C=1F，uc (0-)= 0, u

29、s (t)=2sin2tV 。uCusi电路的时域模型电路的时域模型R1R2R3CL解解 1 t0电路稳定电路稳定， uc (0-)= 0,求求i (0-)= 0UCUsIR1R2R3CL.t0时电路时电路4550220221 .jLjRRUIs 电路理论基础)452sin(25 . 0)( tti 44 2)(222 SSSUS t =0时，时，i(0-) = -0.5A,u(0-)= 02. 2. 画出画出t t00运算电路运算电路UC(s)Us(s)I (s)R1R2R31/sCsLLi(0-)3. 3. 用回路法列方程用回路法列方程I(s) -0.5(0-)1()1(44)1()1(1

30、23222121LiUsIsCRIsCsLRRsUsIsCRIsCRRI1 (s)电路理论基础 -0.5)11()12(44)11()12(121IsIsssIsIs1)(21)(1)(12501)(4412)(22 ssssss.sssssI)2()2()1()1(2221112jskjsksksk UC(s)Us(s)I (s)R1R2R31/sCsLLi(0-)4()12(20.5-2223 ssss电路理论基础4.4.用部分分式展开法用部分分式展开法求时域响应求时域响应i(t)471532240)43(2212)1(s225032232.jjjs|s.sK 10)4(s22503122

31、312.s.sdsdKs 2501)4(s2250322311.s|s.sK 4715322402.K )2(471532240)2(471532240)1(250)1(10)(2js.js.s.s.sI 电路理论基础)2(471532240)2(471532240)1(250)1(10)(2js.js.s.s.sI )A471532(44800.250.1)(-.tcos.teetitt 第二项第二项与电源具有相同的正弦变化规律，是由与电源具有相同的正弦变化规律，是由us 引起的引起的强制响应强制响应。第一项第一项则是由电路本身引起则是由电路本身引起 的的固有响应固有响应。由上述分析可得：由

32、上述分析可得：电路理论基础总结：运算法总结：运算法相比经典法的相比经典法的优点优点 （1）列写关于）列写关于s的代数形式电路方程的代数形式电路方程（2）求解电路方程进行的是代数运算）求解电路方程进行的是代数运算（3）不需要计算）不需要计算0+初始值初始值（4）包含了）包含了0时刻冲激的情形，不需要特别分析时刻冲激的情形，不需要特别分析（5）含）含C-E回路和回路和L-J割集的电路，不需特别特别考割集的电路，不需特别特别考虑虑0时刻能量的跃变时刻能量的跃变（6）令）令s=jw，直接得到网络的频率响应，直接得到网络的频率响应相对简单相对简单缺点：缺点：过程比较抽象过程比较抽象 电路理论基础10.4

33、 10.4 网络函数与电路的动态过程网络函数与电路的动态过程 10.4.1 网络函数的定义及性质网络函数的定义及性质 电路在电路在单一单一的独立电源的激励下，其的独立电源的激励下，其零状态零状态响应响应 r(t)的象函数的象函数R(s) 与激励与激励e(t)的象函数的象函数E(s) 之比定义为之比定义为该电路的网络函数该电路的网络函数 H(s) ，即，即 1.定义定义2.种类种类驱动点阻抗驱动点阻抗驱动点导纳驱动点导纳转移阻抗转移阻抗转移导纳转移导纳电压转移函数电压转移函数电流转移函数电流转移函数)()()(defsEsRsH电路理论基础U(s)I(s)N驱动点阻抗驱动点阻抗网络函数的种类网络

34、函数的种类)()()(sIsUsZ )()()(sUsIsY )()()(12sIsIsH 驱动点导纳驱动点导纳U1(s)I1(s)NU2(s)I2(s)转移阻抗转移阻抗)()()(12sIsUsZ 转移导纳转移导纳)()()(12sUsIsY 电压转移函数电压转移函数电流转移函数电流转移函数)()()(12sUsUsH U(s)Is(s) CR2R1L例例10-10 计算驱动点阻抗，计算驱动点阻抗， R1=1，R2=2，C=0.5F，L=0.1H。sCRsCRsIsUsZ12111/)()()()6)(5()10(2)( ssssZ解解ss101150501.电路理论基础3. 性质性质（1）

35、网络函数是复变量）网络函数是复变量s的实系数有理函数的实系数有理函数（2）网络函数的原函数为单位冲激响应）网络函数的原函数为单位冲激响应当网络的激励为当网络的激励为(t)时，时， (t) = E(s)=1则单位冲激响应为则单位冲激响应为，R(s)=H(s). E(s)= H(s)H(s) = (t)h(t)= -1H(s)H(s)与与h(t)构成拉氏变换对构成拉氏变换对利用此性质可以计算任意激励下的响应。利用此性质可以计算任意激励下的响应。（3）网络函数的分母多项式）网络函数的分母多项式=0的根为电路的固有频的根为电路的固有频率率电路理论基础应该指出的是：固有频率是零输入响应的性质，应该指出的

36、是：固有频率是零输入响应的性质，而单位冲激响应是零状态响应，所以在某些特殊而单位冲激响应是零状态响应，所以在某些特殊情况下，网络函数分母多项式的根不一定包括了情况下，网络函数分母多项式的根不一定包括了电路对应电路变量的全部固有频率。电路对应电路变量的全部固有频率。1111)(11(1)()()(s1 sssssIsUsH网络函数的分母多项式的没有根，但零输入响应电网络函数的分母多项式的没有根，但零输入响应电路变量路变量i1的固有频率为的固有频率为-1，而不是网络函数分母等于，而不是网络函数分母等于零的根。零的根。1W W1W W1Fu1u2i1is1H例例10-11 图示电路中，图示电路中，R

37、1=1, R2=2，L=1H，C=1 F，=0.25 ，已知电感、电容的初始储能均为，已知电感、电容的初始储能均为零，分别求出如下激励时的响应零，分别求出如下激励时的响应 i2(t) 。 )()(ttus )(2)(3tetutse e （1）（2）usu1u1LR2R1Ci2电路的运算模型电路的运算模型U1(s)R2R1sL1/sCI2(s)U1(s)Us(s)电路理论基础解解 对图示运算电路的两个网孔列对图示运算电路的两个网孔列KVLKVL方程为方程为)()()(11sUsUsUs )()()1(122sUsIsCsLR 代入数据并化简得代入数据并化简得 )()1(5)(22sUsssIs

38、 转移导纳函数为转移导纳函数为 )1(51)1(51)1(5)()()(222 sssssUsIsHsU1(s)R2R1sL1/sCI2(s)U1(s)Us(s)电路理论基础当激励为当激励为 时的冲激响应为时的冲激响应为 )t ()t (us 当激励为当激励为 时，响应的象函数为时，响应的象函数为 )t (e)t (utse e32 32 s)s(Us222151110331031352)s()s()s()s)(s(s)s(U)s(H)s(Is 电感电流为电感电流为 )A()203030()(32tet.e.e.tittte e 电感电流的电感电流的象函数为象函数为 -1 H(s) = -1

39、)()(2thti)1(51)1(512 ss)()5151(tetette e A电路理论基础分析上述结果可知，响应的分析上述结果可知，响应的第一项第一项中的指数项对中的指数项对应于外加激励应于外加激励us(t)的分母为零的根，因此第一项与的分母为零的根，因此第一项与外加激励具有相同的函数形式，是响应的强制分外加激励具有相同的函数形式，是响应的强制分量。量。强制分量和暂态分量强制分量和暂态分量)A()203030()(32tet.e.e.tittte e 第二、三项第二、三项中的指数项对应于网络函数中的指数项对应于网络函数H(s)的分母的分母为零的根（称之为网络函数的极点），所以第二、为零的

40、根（称之为网络函数的极点），所以第二、三项是响应的固有分量或暂态分量。由此可见网络三项是响应的固有分量或暂态分量。由此可见网络函数分母多项式函数分母多项式=0的根决定了电路冲激响应的特性，的根决定了电路冲激响应的特性，也就是任意激励下电路响应的暂态分量或固有分量。也就是任意激励下电路响应的暂态分量或固有分量。电路理论基础10.4.2 网络函数的极点与电路动态响应的关系网络函数的极点与电路动态响应的关系 )ps()ps)(ps()zs()zs)(zs(Hnm 21210 njjmii)ps()zs(H110H0 为常数为常数（比例因（比例因子）子）2. 网络函数的零点、极点网络函数的零点、极点1

41、. 复频率平面复频率平面由由s=+j确定的平面。零、极点可以在复频率平确定的平面。零、极点可以在复频率平面上表示。面上表示。nnnmmmbsbsbasasasDsNsH 110110)()()(网络函数的一般表达式可写为网络函数的一般表达式可写为+j+ 0零点零点极点极点电路理论基础S平面上平面上零点零点用用”标注，极点极点用用“”标注，得到标注，得到零极点分布图。零极点分布图。3. 网络函数的零、极点分布图网络函数的零、极点分布图网络的网络的自然频率自然频率4. 网络函数的模值与零点、极点网络函数的模值与零点、极点n在极点处，在极点处， |H(s)| n在零点处，在零点处， |H(s)| 0

42、|H(s)|与与、j构成三维空间构成三维空间|H(s)|j0零点零点极点极点电路理论基础例例10-12 在复频率在复频率平面上画出其零、极点。平面上画出其零、极点。)12)(121)(3)()(2jsjsssssH 零点为零点为 z1=0， z2=-3。解：解：极点为极点为 p1=-1 、 p2 = -2 +j1、p3 = -2 -j1 。0+j-11-1-2-3p2p1p3z2z1双重零点双重零点用零极点和比例因子完全可以将网络函数描述在复用零极点和比例因子完全可以将网络函数描述在复频率平面上。频率平面上。)12)(12)(3()4)(1()(0jsjssssHsH j0-1-2-3-4j1

43、-j1)120)(120)(30()40)(10(8)0(0jjHH 01548)0(HH 300 H网络函数为网络函数为151774530)(232 ssssssH解解 零点零点z1=-1， z2=-4， p1=-3 ，p2=-2+j1， p3=-2-j1。设网络函数为设网络函数为例例10-13 某网络函数某网络函数H(s)的零极点分布如图示，且已的零极点分布如图示，且已知知H(0)=8，求该网络的网络函数。，求该网络的网络函数。电路理论基础5.零极点与冲激响应零极点与冲激响应 (1) (1) 若若网络函数网络函数极点为实数位于实轴极点为实数位于实轴，则网络的冲，则网络的冲激响应为激响应为)

44、(sH -1-1 )(thnjtpjnjjjjeKpsK11 -1 冲激响应的性质取决于网络函数的极点在复平面上冲激响应的性质取决于网络函数的极点在复平面上的位置。极点的分布有三种情况的位置。极点的分布有三种情况)ps()ps)(ps()zs()zs)(zs(Hnm 21210 njjmii)ps()zs(H110nnnmmmbsbsbasasasDsNsH 110110)()()(网络函数的一般表达式可写为网络函数的一般表达式可写为电路理论基础当当 p1 0对应的冲激响应是安增长的指数函数；对应的冲激响应是安增长的指数函数； 衰减或增长的速度随衰减或增长的速度随 |p1|的增大而加快。的增大

45、而加快。当极点位于原点当极点位于原点( p1=0)时响应为阶跃函数。时响应为阶跃函数。设设 网络函数有一个网络函数有一个 极点为实数，并位于实轴上，极点为实数，并位于实轴上，对对应的冲激响应是按指数函数变化。应的冲激响应是按指数函数变化。)(sH -1-1 )(thtpeKpsK1111 -1 极点与冲激响应的对应关系极点与冲激响应的对应关系电路理论基础极点与冲激响应的对应关系极点与冲激响应的对应关系 (2)(2)极点为一对共轭复数，对应的冲激响应是按指数极点为一对共轭复数，对应的冲激响应是按指数 规律衰减或规律衰减或增长增长的正弦量。的正弦量。)()(H)(0 jsjsbssH tetsin

46、bth )()-()(22极点为一对共轭复数，位于左半平面极点为一对共轭复数，位于左半平面(a 0 )时，对时，对应的冲激响应是按指数规律衰减的正弦量，位于右应的冲激响应是按指数规律衰减的正弦量，位于右半平面半平面(a 0、t0时的时的 iL和和uc。0 t+_+10V5WSt 0130FuciL5W5W20W20W5 5H电路理论基础回路方程回路方程 ssIssL55)()30255( 6512 sss)s(IL2132 ss0)A2()(23 t ,eetittL 6555)(2 ssssUC 215320 ss VeetuttC)1520()(23 0 t 复频域模型复频域模型+_+52

47、55s5s30sIsL( )UsC( )A1)0( LiV5)0( Cu例例3 图示电路，开关闭合前电路稳定，且图示电路，开关闭合前电路稳定，且uc2(0-)=0，t =0时开关闭合，求时开关闭合，求t 0时时uc2(t)。2.5A2W W0.5F1/3Fuc1uc2S(t=0)2Uc1Uc2s.52s2s5s3解解 (1) t0时，开关是打开的，电路稳定，故有时，开关是打开的，电路稳定，故有 uc1(0-)=2.52=5V，uc2(0-)=0。 (2) t0时，开关闭合，电路运算模型为时，开关闭合，电路运算模型为 (3) 列方程求列方程求S域响应域响应电路理论基础52s2.52ss5s2.5

48、)()3221(2.sUssC 3/5)(51)(153)(561)(52635ss2.52.5s)(2 ssssss.sUC (4) 利用反变换求利用反变换求t域响应域响应3/5)()(212 sksksUC5533)53()1(30|1 /ssks23/51)3/5(3)1(353|2 /sssk2Uc1Uc2s.52s2s5s3 (3) 列方程求列方程求S域响应域响应电路理论基础Uc1(t)Uc2(t)(6) 波形（全时域表达式）波形（全时域表达式）(5) t 域响应域响应0 A252-5)()(0.6t-t53-12 teetutucc3/5)(25)(2 sssUCt35解解 (1) t0电感电流分别为电感电流分别为 4322224)0(21221211 RRRRRRRRUis2312224)0(21121212 RRRRRRRRUis+u1- -L1RUsR1R2L2i1+u2- -i2S