数学形态学及应用

1、数学形态学图像处理 基本理论、符号和术语 二值形态学 引 言一、数学形态学1、 形态学形态学: :一般指生物学中研究动物和植物结一般指生物学中研究动物和植物结构的一个分支构的一个分支 数学形态学数学形态学（也称图像代数）表示以（也称图像代数）表示以形态形态为为基础对基础对图像图像进行分析的数学工具进行分析的数学工具2、基本思想基本思想：用具有一定形态的：用具有一定形态的结构元素结构元素去度去度量和提取图像中的对应形状，以达到分析和识别量和提取图像中的对应形状，以达到分析和识别图像的目的。图像的目的。5、形态学的主要应用： 边界提取、区域填充、连通分量的提取、凸壳、边界提取、区域填充、连通分量的

2、提取、凸壳、细化、粗化等细化、粗化等。形态学图像处理的应用可以简化图形态学图像处理的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构的结构4、基本运算：、基本运算： 膨胀（或扩张）、腐蚀（或侵蚀）、开膨胀（或扩张）、腐蚀（或侵蚀）、开启启、 闭闭合合3、数学基础数学基础集合论集合论二、基本符号和术语1. 元素和集合元素和集合把一幅图像称为一个集合把一幅图像称为一个集合aAbBA(a)(b)ABABAbAa2、交集、 并集、补集和差集AB=aaA且且aBAB=aaA或或aBAC=aa ABC3、击中（Hit）与击不中（Miss）(a)(

3、b)ABBABAABABBAAB：击不中，记为：击中4、平移和反射A被被b平移：平移：Abab| aAa与与b对应坐标对应坐标相加相加01234xy12345(a )数字图像数字图像x01234123y(b )点点b01234xy12345(c)01 2 3 4 xy12345(a)y123401234x(d)|AaaAVA关于原点的关于原点的反射（对称集）反射（对称集）：即即A中所有元素的坐标取反中所有元素的坐标取反5、目标和结构元素被处理的图像称为被处理的图像称为目标图像目标图像，一般用集合，一般用集合A描述。描述。收集信息的收集信息的“探针探针”， 称为称为“结构元素结构元素”，用，用集

4、合集合 B(或或 S) 描述。描述。通常通常形态学图像处理形态学图像处理是以在图像中移动一是以在图像中移动一个结构元素并进行一种类似于卷积运算的个结构元素并进行一种类似于卷积运算的方法进行，只是以逻辑运算代替卷积的乘方法进行，只是以逻辑运算代替卷积的乘加运算。加运算。二值图像的逻辑运算（a）非）非（b b）与）与（c c）或）或（d d）异或）异或（e e）非与）非与 二值形态学说明说明A为图像集合，为图像集合，B为结构元素，用为结构元素，用B对对A进行腐蚀、进行腐蚀、膨胀等操作。膨胀等操作。对每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元对每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的

5、参考点。素参与形态学运算的参考点。为了分析方便，为了分析方便，阴影阴影代表值为代表值为0的目标区域，的目标区域，白白色色代表值为代表值为1的背景区域，运算是对值为的背景区域，运算是对值为0的区域的区域进行的。进行的。一、膨胀 使图像扩大 A A和和B B是两个集合，是两个集合，A A被被B B膨胀定膨胀定义义为：为：上式表示：上式表示：B B的反射进行平移与的反射进行平移与A A的交集不为空的交集不为空 B B的反射：相对于自身原点的映象的反射：相对于自身原点的映象 B B的平移：对的平移：对B B的反射进行位移的反射进行位移膨胀的另一个定义上式表示：上式表示：B B的反射进行平移与的反射进行

6、平移与A A的交集是的交集是A A的子集的子集膨胀操作过程将结构元素B的原点移至集合A的某一点,将结构元素B中点的坐标与集合A中该点坐标相加,得到对集合A中一点膨胀的运算结果.对集合A中所有元素重复该过程(a) 原始图像原始图像A(b) 结构元素结构元素B(c) 膨胀图像膨胀图像膨胀的作用图像填充 （1）填充图像比结构元素小的孔洞; （2）填充图像边缘处的小凹陷或断开部分。 二、腐蚀：使图像缩小A和B是两个集合，A被B腐蚀定义为： 集合B称为结构元素 用用B来腐蚀来来腐蚀来腐蚀腐蚀A的的结果结果是是将结构元素B相对于集合A进行平移, 平移后B完全包括在A中时，B的原点位置的集合。 对一个给定的

7、目标图像X和一个结构元素 S，将S在图像上移动。在每一个当前位置x，S+x只有三种可能的状态xS x1S x2S x3ccXxSXxSXxSXxS33)3(2)2(1) 1 (满足条件满足条件（1）的点的点x的集合称为的集合称为S对对X的腐蚀的腐蚀|XxSxSX腐蚀的作用腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。如果结构元素取如果结构元素取33的像素块，腐蚀将使物体的边的像素块，腐蚀将使物体的边界沿周边减少一个像素。界沿周边减少一个像素。腐蚀可以把小于结构元素的物体腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、小凸起毛刺、小凸起)去去除，这样选取不同大小

8、的结构元素，就可以在原图除，这样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小的物体。像中去掉不同大小的物体。如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素足够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开。足够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开。腐蚀运算的示例(a)图象X(b)结构元素 S(c)腐蚀结果*c c图中图中黑色部分给出了黑色部分给出了腐蚀腐蚀结果。结果。由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。二值图像的腐蚀、膨胀结果E1=3*3方形结构单元方形结构单元 原图原图 E1膨胀后图像膨胀后图像 E1腐蚀后图像腐

9、蚀后图像 开运算：先对图像进行腐蚀，然后膨胀其结果； 闭运算：先对图像进行膨胀，然后腐蚀其结果 应用同一结构元素SSXSX)( SSXSX)(三、膨胀和腐蚀的结合使用开运算断开狭窄的间断和断开狭窄的间断和消除细的突出物。消除细的突出物。 闭运算通常消弥狭窄的间断和长通常消弥狭窄的间断和长细的鸿沟，消除小的孔洞，细的鸿沟，消除小的孔洞，并填补轮廓线中的断裂。并填补轮廓线中的断裂。(a)噪声噪声图像图像A(b)结构结构元素元素S(c)(d)(e)(f)C = A SD = C SE = D SF = E SSSXSSSSX)()( 开运算开运算：（：（1 1）对腐蚀图像用膨胀运算进行恢复对腐蚀图像

10、用膨胀运算进行恢复 （2 2）基于几何结构的滤波器基于几何结构的滤波器 （3 3）平滑图平滑图像轮廓，像轮廓，去除凸出部分去除凸出部分 闭运算：闭运算：（1 1）对膨胀图像用腐蚀运算进行恢复对膨胀图像用腐蚀运算进行恢复 （2 2）平滑图平滑图像轮廓，像轮廓，填充凹入部分填充凹入部分 开运算与闭运算的应用开运算与闭运算的应用开、闭运算形态学滤波举例：指纹噪声消除(a)(a)有噪声的有噪声的图像图像(b)(b)结构元素结构元素(c)(c)腐蚀图像腐蚀图像(d)A(d)A的开操的开操作作(e)(e)膨胀膨胀(f)(f)腐蚀（开腐蚀（开操作的闭操操作的闭操作）作）过程：先开后闭，开消除噪声，闭修复开运

11、算造成的指纹断裂。过程：先开后闭，开消除噪声，闭修复开运算造成的指纹断裂。 使用不同的结构元素，判定哪些成分包括使用不同的结构元素，判定哪些成分包括在图像内，哪些不包含在内在图像内，哪些不包含在内 结构元素由多个不相交的部分组成结构元素由多个不相交的部分组成 21SSS21SS |21CXxSXxSxSX且 四、击中/击不中（Hit/Miss）变换X被S击中的结果相当于X被S1腐蚀的结果与X被S2的反射集S2V膨胀的结果之差。)()()()()()(212121VCVCSXSXSXSXSXSXSX 严格的模版匹配。指出被匹配点所应满足严格的模版匹配。指出被匹配点所应满足的性质（模板形状）的同时

12、也指出这些点的性质（模板形状）的同时也指出这些点所不应满足的性质，即对周围环境背景的所不应满足的性质，即对周围环境背景的要求。要求。 保持拓扑结构的形状细化，以及形状识别保持拓扑结构的形状细化，以及形状识别和定位和定位。击中/击不中变换的应用 应用实例细化 骨架抽取：把一个平面区域简化成线条 图像细化：即骨架抽取。 对于结构对B=(B1， B2)，利用B细化X定义为 )(BXXBX利用结构对序列利用结构对序列B1，B2迭代产生输出序列迭代产生输出序列 在实际应用中，通常选择一组结构元素对，迭代过程不断在这些结构对中循环，当一个完整的循环结束时，如果所得结果不再变化， 则终止迭代过程。 设设:

13、:已知目标点标记为已知目标点标记为1 1，背景点标记为，背景点标记为0 0 边界点边界点是指：本身标记为是指：本身标记为1 1而其而其8 8连通邻连通邻域中至少有一个标记为域中至少有一个标记为0 0的点的点 对对3 3* *3 3邻域中的点作如下判断：邻域中的点作如下判断：细化实例（1） 考虑以边界点为中心的考虑以边界点为中心的8邻域，设邻域，设p1为中心点，对为中心点，对其邻域的其邻域的8个点逆时针绕中心点分别标记为个点逆时针绕中心点分别标记为p2，p3，p9，其中，其中p2位于位于p1的上方。如果的上方。如果p1=1(即黑点即黑点)时，下面时，下面4个条件同时满足，则删除个条件同时满足，则

14、删除p1(p1=0)： 2N(p1)6，其中，其中N(p1)是是p1的非零邻点的个数的非零邻点的个数 p3p2p9p4p1p8p5p6p7 p2p4p6=0 p4p6p8 =0 S(p1) =1，其中，其中S(p1)是以是以p2，p3，p4，p9为为序时这些点的值从序时这些点的值从0到到1变化的次数变化的次数（1） 考虑以边界点为中心的考虑以边界点为中心的8邻域，设邻域，设p1为中心点，对为中心点，对其邻域的其邻域的8个点逆时针绕中心点分别标记为个点逆时针绕中心点分别标记为p2，p3，p9，其中，其中p2位于位于p1的上方。如果的上方。如果p1=1(即黑点即黑点)时，下面时，下面4个条件同时满

15、足，则删除个条件同时满足，则删除p1(p1=0)： 2N(p1)6，其中，其中N(p1)是是p1的非零邻点的个数的非零邻点的个数 p3p2p9p4p1p8p5p6p7 p2p4p6=0 p4p6p8 =0保留了只有一个标记为保留了只有一个标记为1的邻点的中心点以及有的邻点的中心点以及有7个标记为个标记为1的邻点的中心点；这表明中心点的邻点的中心点；这表明中心点p1或者为线段的端点或者是深入区域内部的点或者为线段的端点或者是深入区域内部的点 S(p1) =1，其中，其中S(p1)是以是以p2，p3，p4，p9为为序时这些点的值从序时这些点的值从0到到1变化的次数变化的次数保留对宽度为单个象素的线

16、段进行操作的情况，保留对宽度为单个象素的线段进行操作的情况，以避免将骨架割断以避免将骨架割断 表明表明p1为边界的右为边界的右/下（下（p4=0或或p6=0）端点或左上）端点或左上（p2=0和和p8=0）角点，不属于骨架点。）角点，不属于骨架点。（2） 如果如果p1=1(即黑点即黑点)时，下面时，下面4个条件同时满足，则删个条件同时满足，则删除除p1(p1=0)： 2N(p1)6，其中，其中N(p1)是是p1的非零邻点的个数的非零邻点的个数 S(p1) = 1，其中，其中S(p1)是以是以p2，p3，p4，p9为序为序时这些点的值从时这些点的值从0到到1变化的次数变化的次数 p2p4p8=0

17、p2p6p8=0（3）算法反复迭代，直至没有点再满足标记删除的条件）算法反复迭代，直至没有点再满足标记删除的条件以上两步操作构成一次迭代。以上两步操作构成一次迭代。（2） 如果如果p1=1(即黑点即黑点)时，下面时，下面4个条件同时满足，则删个条件同时满足，则删除除p1(p1=0)： 2N(p1)6，其中，其中N(p1)是是p1的非零邻点的个数的非零邻点的个数 S(p1) = 1，其中，其中S(p1)是以是以p2，p3，p4，p9为序为序时这些点的值从时这些点的值从0到到1变化的次数变化的次数 p2p4p8=0 p2p6p8=0（3）算法反复迭代，直至没有点再满足标记删除的条件）算法反复迭代，直至没有点再满足标记删除的条件以上两步操作构成一次迭代。以上两步操作构成一次迭代。、 去除了边